關(guān)于定義11設(shè)l的偏序集

關(guān)于定義11設(shè)l的偏序集

1u3000l-sfzy群如果定義1.1是一個排列，則l是一個完整的序列，當(dāng)l中的任何二元u和u、sup{u》、u{和u{時，它被稱為l。此時，sup{u}、u{、inf{u}和u}被簡化為u、u。全文設(shè)L為格,L0=L0}.定義1.2設(shè)X是非空集合.L0=L0},僅在點x∈X處取值λ∈L0,而在其余點處取零值的L-Fuzzy集稱為X上的L-Fuzzy點,記為點xλ,x稱為xλ的支點(或承點),λ稱為xλ的值(或水平).定義1.3當(dāng)0<λ≤A(x),稱點xλ屬于A,記為xλ∈A.定義1.4設(shè)X是非空集合,令X={xλ|x∈X,λ∈L0}.若A?X,適合A=?或滿足:(1)xλ∈A??u≤λ,xu∈A;(2){xλt,t∈T}?A且∨t∈Τλt=λ?xλ∈A,∨t∈Tλt=λ?xλ∈A,就稱A為X上的L-Fuzzy集.X上的L-Fuzzy集合全體記為F(X).由定義知(1)xλ=yu?x=y,λ=u;xλ≤yu?x=y,λ≤u.(2)?A∈F(X),A={xλ|A(x)≥λ,λ∈L0}.(3)?A∈F(X),x∈X,A(x)=∨{λ|xλ∈A}.定義1.5?A∈F(X),SUPPA={x|xλ∈A}稱為A的承集.?x∈X,x1表示點x處的特征值為1的Fuzzy點,簡記為x.設(shè)X是普通集合.?λ∈L0,令X={xλ|xλ∈X},其中xλ為X的Fuzzy點,則顯然?XX?等勢于X.設(shè)A∈F(X),?λ∈L0,令A(yù)={xλ|xλ∈A},則A=∪λ∈(0,1]AA=∪λ∈(0,1]A.定義1.6設(shè)A∈F(X),如有一法則對?aλ,bu∈A,存在唯一的cv∈A,v=∧{λ,u},使得aλbu=cv,則稱A為X上的一個L-Fuzzy廣群.定義1.7L-Fuzzy廣群A稱為L-Fuzzy半群,若對?aλ,bu,cv∈A,有(aλbu)cv=aλ(bucv).定義1.8設(shè)A∈F(X).若A內(nèi)有元eλ,使得對?au∈A,有eλau=aueλ=au(u≤λ),則稱eλ為A的單位元,且單位元是唯一的.此時稱A為X上的一個含單L-Fuzzy半群.定義1.9設(shè)L-Fuzzy半群A內(nèi)有單位元eλ,對?au∈A,存在a′u′∈A,使a′u′au=aua′u′=eu∧u′≤eλ,則稱a′u′為au的一個逆元,記為a-1u?1u.顯然,a-1λ?1λ為aλ的逆元,且所有滿足a-1u?1u≤a-1λ?1λ的a-1u?1u皆是aλ的逆元.即逆元不唯一.在aλ的所有逆元中,常用a-1λ?1λ記aλ的同值逆元,且唯一.定義1.10L-Fuzzy半群A稱為L-Fuzzy群,若(1)A中有單位元eλ;(2)對于eλ,?au∈A,至少存在一個逆元a′u′∈A.定義1.11稱aλ為A的主元,若A(a)=λ,記˙a=aλ?˙A={a|A(a)=λ,λ∈L0}a˙=aλ?A˙={a|A(a)=λ,λ∈L0}為A的主元集,˙aa˙為a的主元.顯然˙AA˙?A.2abuaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaabuaaaab.aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaab.aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa定義2.1設(shè)A是群X上的L-Fuzzy群且B?A.若對?xλ,yu∈B,有x-1λ?1λyu∈B,則稱B為A的L-Fuzzy子群.定義2.2設(shè)X是群,A∈F(X).若A滿足?aλ,bu∈A,aλbu=buaλ,則稱A是L-Fuzzy交換群.定理2.1設(shè)X是群,A∈F(X),A是L-Fuzzy交換群,n為一固定正整數(shù).記H={xλ|xλ∈A,xnλnλ=eλ},則H是A上的L-Fuzzy子群.證明1)因enλnλ=eλ,故eλ∈H,H≠?.2)?aλ,bu∈H,anλnλ=bnunu=eλ,故(aλbu)n=anλnλbnunu=eλ,則aλbu∈H.3)?aλ∈H,anλnλ=eλ,(aλa-1λ?1λ)n=enλnλ=eλ,則anλnλ(a-1λ?1λ)n=eλ,即(a-1λ?1λ)n=eλ,故a-1λ?1λ∈H.由1)、2)、3)知,H是A上的L-Fuzzy子群.證畢.定理2.2設(shè)X是群,A∈F(X),A是L-Fuzzy交換群.記H={xλ|xλ∈A,?n∈N,使得xnλnλ=eλ},則H是A上的L-Fuzzy子群.證明1)因e1λ1λ=eλ,故eλ∈H,H≠?.2)?aλ,bu∈H,?n,s∈N,s.t.anλnλ=eλ,bsusu=eλ,故(aλbu)ns=ansλnsλbnsunsu=(anλnλ)s(bsusu)n=eλ,故aλbu∈H.3)同定理2.1中3)的證明類似.由1)、2)、3)知,H是A的L-Fuzzy子群.定理2.3群X的任意個L-Fuzzy子群的交仍是L-Fuzzy子群.L-Fuzzy子群的并一般不是L-Fuzzy子群,但有定理2.4若Ai(i∈I)是群X上的L-Fuzzy子群,?i,j∈I,Ai?Aj或者Aj?Ai,則∪i∈ΙAi∪i∈IAi是群X上的L-Fuzzy子群.證明1)∨i∈ΙeAi(e)∈∪i∈ΙAi≠?.2)?aλ,bu∈∪i∈ΙAi??k,j∈Ν,s.t.aλ∈Ak,bu∈Aj證明1)∨i∈IeAi(e)∈∪i∈IAi≠?.2)?aλ,bu∈∪i∈IAi??k,j∈N,s.t.aλ∈Ak,bu∈Aj,不妨設(shè)Ak≤Aj,則aλ,bu∈Aj.因Aj為L-Fuzzy群,故aλb-1u∈Aj?∪i∈ΙAiaλb?1u∈Aj?∪i∈IAi,由定義2.1知,∪i∈ΙAi∪i∈IAi是群X的L-Fuzzy子群.證畢.定義2.3設(shè)A是群X上的L-Fuzzy子群,H為A上的L-Fuzzy子群.aλ∈A,稱集aλΗ={aλhu|hu∈Η}(Ηaλ={huaλ|hu∈Η})aλH={aλhu|hu∈H}(Haλ={huaλ|hu∈H})為H關(guān)于aλ的左次陪集(右次陪集).定義2.4設(shè)A是有限階群X上的L-Fuzzy子群,H為A的L-Fuzzy子群.?a∈SUPPA,用aH(Ha)記所有與aλH(Haλ)的交非空的左次陪集(右次陪集)之并,稱aH(Ha)為H關(guān)于a的左陪集(右陪集).左陪集aH,bH或相同或不交.若aλH=bλH,則aH=bH.當(dāng)H(e)<A(e)時,A≠∪a∈SUΡΡA(aΗ)A≠∪a∈SUPPA(aH),且aH不一定包含˙a;當(dāng)H(e)=A(e)時,A=∪a∈SUΡΡA(aΗ),且˙a∈aH.定義2.5設(shè)A是有限階群X上的L-Fuzzy子群,A的L-Fuzzy子群H在A內(nèi)的左、右陪集的個數(shù)稱為H在A內(nèi)的指數(shù),記作.定理2.5設(shè)A為有限階群X上的L-Fuzzy子群,且B,C是A的L-Fuzzy子群.若volA=volB=volC,則≤.特別地,=?A=BC.證明記S={aλ(B∩C)|aλ∈B},T={aλC|aλ∈A}.?aλ,bu∈B,若aλ(B∩C)=bu(B∩C)成立;則只有λ,u≥vol(B∩C)或λ=u≤vol(B∩C)兩種情況.若λ,u≥vol(B∩C),則aλ(B∩C)=bu(B∩C)?a-1vol(B∩C)bvol(B∩C)∈(B∩C)?a-1volCbvolC∈C?aλC=buC;若λ=u≤vol(B∩C),則aλ(B∩C)=bu(B∩C)?a-1λbu∈(B∩C)?a-1λbu∈C?aλC=buC?故f(aλ(B∩C))=aλC為S到T的單射,于是≤.=?f為雙射?f為滿射?A=BC.現(xiàn)證f為滿射?A=BC.顯然BC?A;若f為滿射,?aλ∈A,則存在bu∈B,使得f(bu(B∩C))=aλC=buC,因volA=volB=volC,則aλeA(e)=aλ∈buC?BC,故A?BC.即證得A=BC.若A=BC,?aλ∈A,則?bλ∈B