復(fù)f代數(shù)的一些性質(zhì)

復(fù)f代數(shù)的一些性質(zhì)

0復(fù)f-代數(shù)和實的ringz空間f-代際理論是risz空間理論和正算子理論的重要分支。f-代數(shù)的概念最早提出是在上個世紀50年代,它是以格序代數(shù)為基礎(chǔ)的一類特殊的代數(shù)結(jié)構(gòu)。f-代數(shù)理論的研究在最近二、三十年里取得了較大的突破,但已有的結(jié)果大多集中在實的格序代數(shù)和實的Riesz空間中進行,而對復(fù)空間的情況考慮較少。到目前為止,除C.B.Huijsmans,B.de.Pagter和F.Beukers討論過復(fù)f-代數(shù)在半素情況下絕對值的表達式以及復(fù)Riesz空間中的控制分解定理以外,關(guān)于這方面的系統(tǒng)研究工作還不是很多。本文正是在實f-代數(shù)的研究方法和手段的基礎(chǔ)上,圍繞復(fù)f-代數(shù)的性質(zhì),尤其是有單位元和半素的復(fù)f-代數(shù)來展開討論。未經(jīng)解釋的術(shù)語符號和基本理論可參見文獻和。1f-木定義的復(fù)f-代詞Riesz空間(向量格)是一個序向量空間,并且還是一個格,但是通常在它上面并沒有乘法的定義。如果在Riesz空間上定義一種乘法,并使這種乘法和原來的序結(jié)構(gòu)相容和,那么這個Riesz空間就做成了一個Riesz代數(shù)。進一步的有f-代數(shù)的定義:定義1Riesz代數(shù)E是f-代數(shù),是指對E中的任意元素x,y,若x∧y=0,則對任意z∈E+都有(xz)∧y=(zx)∧y=0成立。這是實f-代數(shù)的定義,為了討論復(fù)f-代數(shù),首先以一個引理的形式給出復(fù)的Riesz空間的定義:引理1如果E是Archimedean和一致完備的實Riesz空間,則對任意h∈E+iE,且h=f+ig都有:|h|=sup{fcosθ+gsinθ∶0≤θ≤2π}存在。把滿足上述定理條件的復(fù)向量空間E+iE稱為(實)Riesz空間E的Riesz(向量格)復(fù)化形式,簡稱為復(fù)Riesz空間E+iE。在本文的討論中,若未加說明,復(fù)Riesz空間的實部均要求滿足Archimedean和一致完備的條件。定義2E+iE是復(fù)Riesz空間,如果E還是Riesz代數(shù),則E+iE按照類似于通常復(fù)數(shù)域中的乘法運算,即若φ=f1+ig1,Ψ=f2+ig2∈E+iE,則φΨ=f1f2-g1g2+i(f1g2+g1f2)做成復(fù)的格序(Riesz)代數(shù)。在上面定義的基礎(chǔ)上,自然有復(fù)f-代數(shù)的定義:定義3如果E是實f-代數(shù),則E+iE就稱為復(fù)f-代數(shù)。下面給出半素和有單位元的實f-代數(shù)的定義,它們是特殊而重要的兩類f-代數(shù)。定義4E是實的f-代數(shù),若E的冪零元只有零元,則E被稱為是半素的。E是一個有單位元的實f-代數(shù),是指在E中存在某個元素e,使得對E中任意元x有xe=ex=x成立。容易證明有單位元的實f-代數(shù)一定也是半素的實f-代數(shù),并且半素和有單位元的復(fù)f-代數(shù)也可以類似定義。2e是半素的f-代數(shù)且表面活性劑f2本節(jié)主要討論有單位元的和半素的復(fù)f-代數(shù),為此先給出復(fù)f-代數(shù)的一些重要性質(zhì):引理2E+iE是復(fù)的Riesz代數(shù),則任意φ,Ψ∈E+iE,|φΨ|≤|φ||Ψ|成立。定理1E是實f-代數(shù),若φ,Ψ∈E+iE,并且φ⊥Ψ,則對任意σ∈E+iE都有σφ⊥Ψ和φσ⊥Ψ成立。證明:因為φ⊥Ψ所以|φ|∧|Ψ|=0.由于E是實f-代數(shù),所以對任意σ∈E+iE,都有|σ||φ|∧|Ψ|=|φ||σ|∧|Ψ|=0。從引理2易知|φσ|≤|φ||σ|,|σφ|≤|σ||φ|,因此=|φσ|∧|Ψ|=|σφ|∧|Ψ|=0,所以根據(jù)不交的定義有σφ⊥Ψ,φσ⊥Ψ成立。由Archimedean的實f-代數(shù)滿足(乘法)交換性及復(fù)Riesz代數(shù)的乘法定義,顯然可得:定理2復(fù)f-代數(shù)也滿足(乘法)交換性。下面引理是F.Beukers證明的復(fù)f-代數(shù)在半素情況下絕對值的表達式定理:引理3當E是半素的實f-代數(shù)時,對任意f,g∈E下面等式成立:f2+g2??????√=sup{fcosθ+gsinθ∶0≤θ≤2π}f2+g2=sup{fcosθ+gsinθ∶0≤θ≤2π}其中f2+g2??????√f2+g2表示E中平方等于f2+g2的正元素,即f2+g2??????√≥0f2+g2≥0且(f2+g2??????√)2=f2+g2(f2+g2)2=f2+g2。根據(jù)這個引理,容易得到下面的定理和推論:定理3如果E是半素的實f-代數(shù),那么對任意φ,Ψ∈E+iE都有|φΨ|=|φ||Ψ|;特別地|φk|=|φ|k,k=1,2,3,…證明:令φ=f1+ig1,Ψ=f2+ig2,則|φ|=f12+g12???????√?|Ψ|=f22+g22???????√|φ|=f12+g12?|Ψ|=f22+g22,所以|φΨ|=|f1f2?g1g2+i(f1g2+f2g1)|=(f12+g12)(f22+g22)?????????????????√=|φ||Ψ||φΨ|=|f1f2-g1g2+i(f1g2+f2g1)|=(f12+g12)(f22+g22)=|φ||Ψ|。證畢。推論1E是實的f-代數(shù),則E是半素的當且僅當E+iE也是半素的,即冪零元只有零元。證明:必要性:由定理3可得,|φk|=|φ|k,對任意自然數(shù)k都成立。因此若φ∈E+iE存在某個自然數(shù)n,使得φn=0,則|φ|n=0;又因為E是半素的,所以|φ|=0,即φ=0.充分性顯然。證畢。從這個推論可以看出,實f-代數(shù)的半素性和它相對應(yīng)的復(fù)f-代數(shù)的半素性是等價的。因此,在后文中說E+iE是半素的實際上也暗含了E的半素性。定理4如果E+iE是半素的復(fù)f-代數(shù),則任意φ,Ψ∈E+iE,φ⊥Ψ當且僅當φΨ=0證明:若φ⊥Ψ,則|φ|∧|Ψ|=0,所以由E是實f-代數(shù)和定理3可知|φΨ|=|φ||Ψ|=0,從而φΨ=0。另一方面,如果φΨ=0,則|φΨ|=|φ||Ψ|=0。E+iE是半素的復(fù)f-代數(shù),因而E也是半素的,所以|φ|∧|Ψ|=0,即φ⊥Ψ。證畢。“單位元”性質(zhì)是實-代數(shù)中的一類重要性質(zhì),在復(fù)f-代數(shù)中也不例外。下面定理討論了在復(fù)f-代數(shù)中單位元和序單位的關(guān)系。定理5(1)若E是有單位元e的實f-代數(shù),則e也是E+iE的單位元,且e還是E+iE的弱序單位元。如果e是E的強序單位元,那么它也是E+iE的強序單位元。(2)若e是復(fù)f-代數(shù)E+iE的單位元,則e也是E的單位元,并且e∈E。證明:(1)如果e是E的單位元,很顯然e也是E+iE的單位元,即任意φ∈E+iE,eφ=φe=φ。注意E=Be(由e在E中產(chǎn)生的帶),所以E+iE=Be+iBe,e是E+iE的弱序單位元。同理可證,若e還是E的強序單位元,則e也是E+iE的強序單位元。(2)只需說明e是E中的元素即可。令e=f+ig∈E+iE,對任意的h∈E,h=eh=fh+igh,所以gh=0。由h的任意性可知,E中的每個元素和g的乘積都是0,于是g=eg=fg+ig2=0,故e∈E。證畢。3ue,ue逆元的存在性是有單位元的f-代數(shù)的一個重要代數(shù)性質(zhì),文獻首先給出實f-代數(shù)中逆元存在的一個充分條件。引理4如果E是有單位元e的實f-代數(shù),并且E還是一致完備的,那么若u∈E,且u≥e,則u在E中的逆元存在。定理6若E+iE是有單位元e的復(fù)f-代數(shù),則任意元φ∈E+iE,如果|φ|≥e,則φ在E+iE中的逆元存在。證明:令φ=f+ig,由|φ|≥e可推|φ|2≥e,由引理4可知f2+g2≥e。根據(jù)引理4,f2+g2在E中有逆元,不妨設(shè)為(f2+g2)-1。再令Ψ=(f2+g2)-1f-i(f2+g2)-1g,容易驗證Ψ就是φ在E+iE中的逆元。證畢。實際上,實Riesz空間E是復(fù)Riesz空間E+iE的實向量子空間,因此定理6中的充分條件也適用于實f-代數(shù)的情況,這顯然比引理4中的充分條件要更好一些。4復(fù)f-代差原理及其性質(zhì)f-代數(shù)中的乘法分解定理有很多種類型,考察了以下2種比較常規(guī)的情況:定義5實f-代數(shù)E具有乘法分解(M.D)性質(zhì)是指如果0≤u≤vw,其中w,v∈E+,則存在p,q∈E,使得u=pq,且0≤p≤v,0≤q≤w。稱E具有(*)性質(zhì)是指對所有的0≤u,v∈E,若0≤u≤v2,則存在w∈E使得u=vw。在實f-代數(shù)中乘法分解(M.D)性質(zhì)和(*)性質(zhì)一般不等價,以下引理E是具有這2種性質(zhì)的一個充分條件:引理5若E是一致完備并且有單位元的f-代數(shù),則E具有乘法分解(M.D)性質(zhì)和(*)性質(zhì)。類似于實f-代數(shù)中的乘法分解(M.D)性質(zhì)和(*)性質(zhì),給出復(fù)f-代數(shù)中的相應(yīng)定義,并討論滿足這些性質(zhì)的一些充分條件。定義6復(fù)f-代數(shù)E+iE具有乘法分解(M.D)性質(zhì)是指任意u,v,w∈E+iE,如果|u|≤|wv|,則存在p,q∈E+iE,使得u=pq,且|p|≤|v|,|q|≤|w|。復(fù)f-代數(shù)E+iE具有(*)性質(zhì)是指任意u,v∈E+iE,如果|u|≤|v|2,則存在w∈E+iE,使得u=wv。引理6若實Riesz空間E是正規(guī)的f-代數(shù),則任意φ∈E+iE,都存在σ∈E+iE,使得φ=σ|φ|,并且|φ|=σφ。定理7E+iE是有單位元的復(fù)f-代數(shù),并且E是正規(guī)的,則E+iE具有(*)性質(zhì)。證明:由引理5知有單位元的實f-代數(shù)E具有(*)性質(zhì),所以從|u|≤|v|2可推,存在w1∈E,使得|u|=w1|v|。又由于E是正規(guī)的,利用上面引理可得:存在σ1,σ2∈E+iE,使得u=σ1|u|,|v|=σ2v。因此,u=σ1|u|=σ1w1σ2v;再令w=σ1w1σ2∈E+iE,則u=wv。試圖按照上面的方法去證明有單位元的復(fù)f-代數(shù)具有乘法分解(M.D)性質(zhì),但遺憾的是不能保證分解后因子的絕對值受控制(|p|≤|v|,|q|≤|w|)的條件。為此,把命題的條件加強,得到以下結(jié)果。定理8E+iE是有單位元e的復(fù)f-代數(shù),E是正規(guī)的,u,v,w∈E+iE,如果e≤|u|≤|wv|,則存在p,q∈E+iE,使得u=pq,且|p|≤|v|,|q|≤|w|。證明:因為有單位元的實f-代數(shù)E有乘法分解(M.D)性質(zhì),則由|u|≤|wv|=|w||v|可知,存在p,q∈E,使得|u|=pq,且0≤p≤|v|,0≤q≤|w|。又因為E是正規(guī)的,所以存在σ∈E+iE,使得u=σ|u|。從e≤|u|可知|u|存在逆元|u|-1,因此,σ=u|u|?1?|σ|=∣∣∣∣u|u|?1∣∣∣∣∣∣∣∣=|u||u|?1=eσ=u|u|-1?|σ|=|u|u|-1||=|u||u|-1=e。所以|σp|=|σ||p|≤|v|,u=σ|u|=(σp)q滿足條件。5復(fù)f-代差與序理想f-代數(shù)首先是一個Riesz空間,因此在它上面有序理想的概念(復(fù)Riesz空間中的序理想是指:線性子空間A是E+iE的序理想當且僅當A的實部Ar是E的序理想且A=Ar+iAr)。同時它也是一個代數(shù)結(jié)構(gòu),在它上面就有環(huán)理想(即:實Riesz代數(shù)E的線性子空間A是環(huán)理想,是指任意f∈A,g∈E都有fg∈A,gf∈A;復(fù)Riesz空間中的環(huán)理想也類似定義),也就是代數(shù)理想的概念。在同一個結(jié)構(gòu)中討論這兩種理想的關(guān)系是有意義的。下面類比實f-代數(shù)的結(jié)果,刻畫復(fù)f-代數(shù)中代數(shù)理想與序理想的關(guān)系。引理7E是實f-代數(shù),則任意一致閉的序理想是代數(shù)理想。定理9若A是復(fù)f-代數(shù)E+iE的序理想,且A的實部Ar在E中是一致閉的,則A是E+iE的代數(shù)理想。證明:若A是E+iE的序理想,則A=Ar+iAr,并且Ar還是E的序理想。根據(jù)引理7,Ar是E的代數(shù)理想。很顯然,A=Ar+iAr也是E+iE的代數(shù)理想。引理8E+iE是有單位元e的復(fù)f-代數(shù),A是E+iE的代數(shù)理想,則A的實部Ar是E的代數(shù)理想,且A=Ar+iAr。證明:容易驗證Ar是E的實線性子空間,且Ar是E的代數(shù)理想。令A(yù)的虛部為Ai,即A=Ar+iAi,下證Ar=Ai。任意f∈Ai?A,因為A是E+iE的代數(shù)理想,故f(ie)=if∈A,因此f∈Ai,這說明Ar?Ai。同理可證A