北京市海淀區(qū)2023年九年級(jí)上學(xué)期《數(shù)學(xué)》期末試卷與參考答案

北京市海淀區(qū)2023年九年級(jí)上學(xué)期《數(shù)學(xué)》期末試卷與參考答案一、選擇題共16分，每題2分。第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)．1.刺繡是中國(guó)民間傳統(tǒng)手工藝之一．下列刺繡圖案中，是中心對(duì)稱圖形的為（）A. B.C. D.答案：B2.點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.答案：C3.二次函數(shù)的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的二次函數(shù)解析式為（）A. B.C. D.答案：D4.如圖，已知正方形，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作，點(diǎn)與的位置關(guān)系為（）A.點(diǎn)在外 B.點(diǎn)在內(nèi) C.點(diǎn)在上 D.無(wú)法確定答案：A5.若點(diǎn)，在拋物線上，則的值為（）A.2 B.1 C.0 D.答案：B6.勒洛三角形是分別以等邊三角形的頂點(diǎn)為圓心，以其邊長(zhǎng)為半徑作圓弧，由三段圓弧組成的曲邊三角形．如圖，該勒洛三角形繞其中心旋轉(zhuǎn)一定角度后能與自身重合，則該角度可以為（）A. B. C. D.答案：C7.如圖，過(guò)點(diǎn)作的切線，，切點(diǎn)分別是，，連接．過(guò)上一點(diǎn)作的切線，交，于點(diǎn)，．若，的周長(zhǎng)為4，則的長(zhǎng)為（）A.2 B. C.4 D.答案：B8.遙控電動(dòng)跑車(chē)競(jìng)速是青少年喜歡的活動(dòng)．如圖是某賽道的部分通行路線示意圖，某賽車(chē)從人口A駛?cè)?，行至每個(gè)岔路口選擇前方兩條線路的可能性相同，則該賽車(chē)從口駛出的概率是（）A. B. C. D.答案：B二、填空題共16分，每題2分。9.二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____．答案：10.半徑為3且圓心角為的扇形的面積為_(kāi)_______.答案：3π．11.下表記錄了一名球員在罰球線上投籃的結(jié)果．投籃次數(shù)50100150200300400500投中次數(shù)284978102153208255投中頻率0.560.490.520.510.510.520.51根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計(jì)這名球員在罰球線上投籃一次，投中的概率為_(kāi)_____．答案：0.51（答案不唯一）12.若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是______．答案：13.二次函數(shù)的圖象如圖所示，則______0（填“”，“”或“”）．答案：14.如圖，是的內(nèi)接三角形，于點(diǎn)，若的半徑為，，則______．答案：115.對(duì)于二次函數(shù)，與的部分對(duì)應(yīng)值如表所示．在某一范圍內(nèi)，隨的增大而減小，寫(xiě)出一個(gè)符合條件的的取值范圍______．…0123……1331…答案：（答案不唯一，滿足即可）16.如圖，，，分別是某圓內(nèi)接正六邊形、正方形、等邊三角形的一邊．若，下面四個(gè)結(jié)論中，①該圓的半徑為2；②的長(zhǎng)為；③平分；④連接，，則與的面積比為．所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．答案：①③④三、解答題解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程．17.解方程：．答案：，，∴，∴，．18.已知拋物線過(guò)點(diǎn)和，求該拋物線的解析式．答案：∵拋物線過(guò)點(diǎn)和，∴解方程組，得∴拋物線的解析式是．19.已知為方程的一個(gè)根，求代數(shù)式的值．答案：∵為方程的一個(gè)根，∴．∴．∴原式=．20.如圖，四邊形內(nèi)接于，為直徑，．若，求的度數(shù)．答案：如圖，連接．∵，∴．∵，∴．∵為直徑，∴．∴．21.為了發(fā)展學(xué)生的興趣愛(ài)好，學(xué)校利用課后服務(wù)時(shí)間開(kāi)展了豐富的社團(tuán)活動(dòng)．小明和小天參加的籃球社共有甲、乙、丙三個(gè)訓(xùn)練場(chǎng)．活動(dòng)時(shí)，每個(gè)學(xué)生用抽簽的方式從三個(gè)訓(xùn)練場(chǎng)中隨機(jī)抽取一個(gè)場(chǎng)地進(jìn)行訓(xùn)練．（1）小明抽到甲訓(xùn)練場(chǎng)的概率為_(kāi)_____；（2）用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法，求小明和小天在某次活動(dòng)中抽到同一場(chǎng)地訓(xùn)練的概率．答案：（1）小明抽到甲訓(xùn)練場(chǎng)的概率為，故答案為：；（2）根據(jù)題意，可以畫(huà)出如下樹(shù)狀圖：由樹(shù)狀圖可以看出，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有9種，并且這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等．小明和小天抽到同一場(chǎng)地訓(xùn)練（記為事件）的結(jié)果有3種，所以，．22.已知：如圖，是的切線，為切點(diǎn)．求作：的另一條切線，為切點(diǎn)．作法：以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)；作直線．直線即為所求．（1）根據(jù)上面的作法，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面證明過(guò)程．證明：連接，，．∵是的切線，為切點(diǎn)，∴．∴．在與中，∴．∴．∴于點(diǎn)．∵是的半徑，∴是的切線（____________________）（填推理的依據(jù)）．答案：（1）補(bǔ)全圖形，如圖所示：（2）連接，，．∵是的切線，A為切點(diǎn)，∴．∴．在與中，∴．∴．∴于點(diǎn)．∵是的半徑，∴是的切線（經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線）．故答案為：，經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．23.紫砂壺是我國(guó)特有的手工制造陶土工藝品，其制作過(guò)程需要幾十種不同的工具，其中有一種工具名為“帶刻度嘴巴架”，其形狀及使用方法如圖1．當(dāng)制顯藝人把“帶刻度嘴巴架”上圓弧部分恰好貼在壺口邊界時(shí)，就可以保證需要粘貼的壺嘴、壺把、壺口中心在一條直線上．圖2是正確使用該工具時(shí)的示意圖．如圖3，為某紫砂壺的壺口，已知，兩點(diǎn)在上，直線過(guò)點(diǎn)，且于點(diǎn)，交于點(diǎn)．若，，求這個(gè)紫砂壺的壺口半徑的長(zhǎng)．答案：如圖，連接．∵過(guò)圓心，，，∴．∵，∴．∵，∴．解得．∴這個(gè)紫砂壺的壺口半徑的長(zhǎng)為．24.如圖，是的直徑，點(diǎn)在上．過(guò)點(diǎn)作的切線，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．（1）求證：平分；（2）連接，若，，求的長(zhǎng)．答案：（1）證明：如圖，連接．∵直線與相切于點(diǎn)，∴于點(diǎn)．∴．∵于點(diǎn)，∴．∴．∴．∴．∵，∴．∴．∴平分．（2）連接．∵是的直徑，∴．∵，∴．在中，∵，，∴．在中，∵，∴．∵，∴．∴．在中，∵，∴．25.學(xué)校舉辦“科技之星”頒獎(jiǎng)典禮，頒獎(jiǎng)現(xiàn)場(chǎng)人口為一個(gè)拱門(mén)．小明要在拱門(mén)上順次粘貼“科”“技”“之”“星”四個(gè)大字（如圖1），其中，“科”與“星”距地面的高度相同，“技”與“之”距地面的高度相同，他發(fā)現(xiàn)拱門(mén)可以看作是拋物線的一部分，四個(gè)字和五角星可以看作拋物線上的點(diǎn)．通過(guò)測(cè)量得到拱門(mén)的最大跨度是10米，最高點(diǎn)的五角星距地面6.25米．（1）請(qǐng)?jiān)趫D2中建立平面直角坐標(biāo)系，并求出該拋物線的解析式；（2）“技”與“之”的水平距離為米．小明想同時(shí)達(dá)到如下兩個(gè)設(shè)計(jì)效果：①“科”與“星”的水平距離是“技”與“之”的水平距離的2倍；②“技”與“科”距地面的高度差為1.5米．小明的設(shè)計(jì)能否實(shí)現(xiàn)？若能實(shí)現(xiàn)，直接寫(xiě)出的值；若不能實(shí)現(xiàn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．答案：（1）如圖，以拋物線頂點(diǎn)為原點(diǎn)，以拋物線對(duì)稱軸為軸，建立平面直角坐標(biāo)系．

設(shè)這條拋物線表示的二次函數(shù)為．∵拋物線過(guò)點(diǎn)，∴∴∴這條拋物線表示的二次函數(shù)為．（2）能實(shí)現(xiàn)；．由“技”與“之”的水平距離為米，設(shè)“技”，“之”，則“科”，“技”與“科”距地面的高度差為1.5米，，解得：或(舍去)26.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過(guò)點(diǎn)．（1）求（用含的式子表示）；（2）拋物線過(guò)點(diǎn)，，．①判斷：______0（填“＞”“＜”或“＝”）；②若，，恰有兩個(gè)點(diǎn)在軸上方，求的取值范圍．答案：（1）把代入，得，∴；【小問(wèn)2詳解】解：①把代入，得，由（1）知：，∴，把代入，得，，當(dāng)時(shí)，，，∴，當(dāng)時(shí)，，，∴，綻上，；②由（1）知，∴∴拋物線對(duì)稱軸為．∵拋物線過(guò)點(diǎn)，，，∴，，．當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，∴拋物線在時(shí)，取得最小值．∵，，恰有兩點(diǎn)在軸上方，∴，在軸上方，在軸上或軸下方．∴，解得．當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為，∴拋物線在時(shí)，取得最大值，且．∵，，恰有兩點(diǎn)在軸上方，∴，在軸上方，在軸上或軸下方．∴，解得．綜上，的取值范圍是或．27.如圖，在中，，．是邊上一點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）用等式表示與的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）連接，延長(zhǎng)至，使．連接，，．①依題意補(bǔ)全圖形；②判斷的形狀，并證明．答案：（1）線段與的數(shù)量關(guān)系：．證明：，．，；（2）①補(bǔ)全圖形，如圖．②結(jié)論：是等邊三角形．證明：延長(zhǎng)至點(diǎn)使，連接，，如圖．，．，是等邊三角形．，．，，，．．．，，．，（），．．是等邊三角形．28.在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)和線段，若線段或的垂直平分線與線段有公共點(diǎn)，則稱點(diǎn)為線段的融合點(diǎn)．（1）已知，，①在點(diǎn)，，中，線段的融合點(diǎn)是______；②若直線上存在線段的融合點(diǎn)，求的取值范圍；（2）已知的半徑為4，，，直線過(guò)點(diǎn)，記線段關(guān)于的對(duì)稱線段為．若對(duì)于實(shí)數(shù)，存在直線，使得上有的融合點(diǎn)，直接寫(xiě)出的取值范圍．答案：（1）①如圖所示，根據(jù)題意可知，是線段的融合點(diǎn)，故答案為；，；②如圖1所示，設(shè)的垂直平分線與線段的交點(diǎn)為Q，∵點(diǎn)Q在線段的垂直平分線上，∴，∴當(dāng)點(diǎn)Q固定時(shí)，則點(diǎn)P在以Q為圓心，的長(zhǎng)為半徑的圓上，∴當(dāng)點(diǎn)Q在上移動(dòng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P的軌跡即線段的融合點(diǎn)的軌跡為分別以點(diǎn)，為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓及兩圓內(nèi)區(qū)域．當(dāng)直線與兩圓相切時(shí)，記為，，如圖2所示．∵，，∴,∴或．∴當(dāng)時(shí)，直線上存在線段的融合點(diǎn)．（2）如圖3-1所示，假設(shè)線段位置確定，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，∴點(diǎn)在以T為圓心，的長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在以T為圓心，以的長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∴的融合點(diǎn)的軌跡即為以T為圓心，的長(zhǎng)為半徑的圓和以T為圓心，以的長(zhǎng)為半徑的圓的組成的圓環(huán)上（包括兩個(gè)圓上）；當(dāng)時(shí)，如