北京市海淀區(qū)2023年九年級上學(xué)期《數(shù)學(xué)》期末試卷與參考答案

北京市海淀區(qū)2023年九年級上學(xué)期《數(shù)學(xué)》期末試卷與參考答案一、選擇題共16分，每題2分。第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1.刺繡是中國民間傳統(tǒng)手工藝之一．下列刺繡圖案中，是中心對稱圖形的為（）A. B.C. D.答案：B2.點關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.答案：C3.二次函數(shù)的圖象向左平移1個單位長度，得到的二次函數(shù)解析式為（）A. B.C. D.答案：D4.如圖，已知正方形，以點為圓心，長為半徑作，點與的位置關(guān)系為（）A.點在外 B.點在內(nèi) C.點在上 D.無法確定答案：A5.若點，在拋物線上，則的值為（）A.2 B.1 C.0 D.答案：B6.勒洛三角形是分別以等邊三角形的頂點為圓心，以其邊長為半徑作圓弧，由三段圓弧組成的曲邊三角形．如圖，該勒洛三角形繞其中心旋轉(zhuǎn)一定角度后能與自身重合，則該角度可以為（）A. B. C. D.答案：C7.如圖，過點作的切線，，切點分別是，，連接．過上一點作的切線，交，于點，．若，的周長為4，則的長為（）A.2 B. C.4 D.答案：B8.遙控電動跑車競速是青少年喜歡的活動．如圖是某賽道的部分通行路線示意圖，某賽車從人口A駛?cè)耄兄撩總€岔路口選擇前方兩條線路的可能性相同，則該賽車從口駛出的概率是（）A. B. C. D.答案：B二、填空題共16分，每題2分。9.二次函數(shù)的圖象與軸的交點坐標(biāo)為______．答案：10.半徑為3且圓心角為的扇形的面積為________.答案：3π．11.下表記錄了一名球員在罰球線上投籃的結(jié)果．投籃次數(shù)50100150200300400500投中次數(shù)284978102153208255投中頻率0.560.490.520.510.510.520.51根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計這名球員在罰球線上投籃一次，投中的概率為______．答案：0.51（答案不唯一）12.若關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是______．答案：13.二次函數(shù)的圖象如圖所示，則______0（填“”，“”或“”）．答案：14.如圖，是的內(nèi)接三角形，于點，若的半徑為，，則______．答案：115.對于二次函數(shù)，與的部分對應(yīng)值如表所示．在某一范圍內(nèi)，隨的增大而減小，寫出一個符合條件的的取值范圍______．…0123……1331…答案：（答案不唯一，滿足即可）16.如圖，，，分別是某圓內(nèi)接正六邊形、正方形、等邊三角形的一邊．若，下面四個結(jié)論中，①該圓的半徑為2；②的長為；③平分；④連接，，則與的面積比為．所有正確結(jié)論的序號是______．答案：①③④三、解答題解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程．17.解方程：．答案：，，∴，∴，．18.已知拋物線過點和，求該拋物線的解析式．答案：∵拋物線過點和，∴解方程組，得∴拋物線的解析式是．19.已知為方程的一個根，求代數(shù)式的值．答案：∵為方程的一個根，∴．∴．∴原式=．20.如圖，四邊形內(nèi)接于，為直徑，．若，求的度數(shù)．答案：如圖，連接．∵，∴．∵，∴．∵為直徑，∴．∴．21.為了發(fā)展學(xué)生的興趣愛好，學(xué)校利用課后服務(wù)時間開展了豐富的社團活動．小明和小天參加的籃球社共有甲、乙、丙三個訓(xùn)練場．活動時，每個學(xué)生用抽簽的方式從三個訓(xùn)練場中隨機抽取一個場地進行訓(xùn)練．（1）小明抽到甲訓(xùn)練場的概率為______；（2）用列表或畫樹狀圖的方法，求小明和小天在某次活動中抽到同一場地訓(xùn)練的概率．答案：（1）小明抽到甲訓(xùn)練場的概率為，故答案為：；（2）根據(jù)題意，可以畫出如下樹狀圖：由樹狀圖可以看出，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有9種，并且這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等．小明和小天抽到同一場地訓(xùn)練（記為事件）的結(jié)果有3種，所以，．22.已知：如圖，是的切線，為切點．求作：的另一條切線，為切點．作法：以為圓心，長為半徑畫弧，交于點；作直線．直線即為所求．（1）根據(jù)上面的作法，補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面證明過程．證明：連接，，．∵是的切線，為切點，∴．∴．在與中，∴．∴．∴于點．∵是的半徑，∴是的切線（____________________）（填推理的依據(jù)）．答案：（1）補全圖形，如圖所示：（2）連接，，．∵是的切線，A為切點，∴．∴．在與中，∴．∴．∴于點．∵是的半徑，∴是的切線（經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線）．故答案為：，經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．23.紫砂壺是我國特有的手工制造陶土工藝品，其制作過程需要幾十種不同的工具，其中有一種工具名為“帶刻度嘴巴架”，其形狀及使用方法如圖1．當(dāng)制顯藝人把“帶刻度嘴巴架”上圓弧部分恰好貼在壺口邊界時，就可以保證需要粘貼的壺嘴、壺把、壺口中心在一條直線上．圖2是正確使用該工具時的示意圖．如圖3，為某紫砂壺的壺口，已知，兩點在上，直線過點，且于點，交于點．若，，求這個紫砂壺的壺口半徑的長．答案：如圖，連接．∵過圓心，，，∴．∵，∴．∵，∴．解得．∴這個紫砂壺的壺口半徑的長為．24.如圖，是的直徑，點在上．過點作的切線，過點作于點．（1）求證：平分；（2）連接，若，，求的長．答案：（1）證明：如圖，連接．∵直線與相切于點，∴于點．∴．∵于點，∴．∴．∴．∴．∵，∴．∴．∴平分．（2）連接．∵是的直徑，∴．∵，∴．在中，∵，，∴．在中，∵，∴．∵，∴．∴．在中，∵，∴．25.學(xué)校舉辦“科技之星”頒獎典禮，頒獎現(xiàn)場人口為一個拱門．小明要在拱門上順次粘貼“科”“技”“之”“星”四個大字（如圖1），其中，“科”與“星”距地面的高度相同，“技”與“之”距地面的高度相同，他發(fā)現(xiàn)拱門可以看作是拋物線的一部分，四個字和五角星可以看作拋物線上的點．通過測量得到拱門的最大跨度是10米，最高點的五角星距地面6.25米．（1）請在圖2中建立平面直角坐標(biāo)系，并求出該拋物線的解析式；（2）“技”與“之”的水平距離為米．小明想同時達到如下兩個設(shè)計效果：①“科”與“星”的水平距離是“技”與“之”的水平距離的2倍；②“技”與“科”距地面的高度差為1.5米．小明的設(shè)計能否實現(xiàn)？若能實現(xiàn)，直接寫出的值；若不能實現(xiàn)，請說明理由．答案：（1）如圖，以拋物線頂點為原點，以拋物線對稱軸為軸，建立平面直角坐標(biāo)系．

設(shè)這條拋物線表示的二次函數(shù)為．∵拋物線過點，∴∴∴這條拋物線表示的二次函數(shù)為．（2）能實現(xiàn)；．由“技”與“之”的水平距離為米，設(shè)“技”，“之”，則“科”，“技”與“科”距地面的高度差為1.5米，，解得：或(舍去)26.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過點．（1）求（用含的式子表示）；（2）拋物線過點，，．①判斷：______0（填“＞”“＜”或“＝”）；②若，，恰有兩個點在軸上方，求的取值范圍．答案：（1）把代入，得，∴；【小問2詳解】解：①把代入，得，由（1）知：，∴，把代入，得，，當(dāng)時，，，∴，當(dāng)時，，，∴，綻上，；②由（1）知，∴∴拋物線對稱軸為．∵拋物線過點，，，∴，，．當(dāng)時，拋物線開口向上，對稱軸為，∴拋物線在時，取得最小值．∵，，恰有兩點在軸上方，∴，在軸上方，在軸上或軸下方．∴，解得．當(dāng)時，拋物線開口向下，對稱軸為，∴拋物線在時，取得最大值，且．∵，，恰有兩點在軸上方，∴，在軸上方，在軸上或軸下方．∴，解得．綜上，的取值范圍是或．27.如圖，在中，，．是邊上一點，交的延長線于點．（1）用等式表示與的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）連接，延長至，使．連接，，．①依題意補全圖形；②判斷的形狀，并證明．答案：（1）線段與的數(shù)量關(guān)系：．證明：，．，；（2）①補全圖形，如圖．②結(jié)論：是等邊三角形．證明：延長至點使，連接，，如圖．，．，是等邊三角形．，．，，，．．．，，．，（），．．是等邊三角形．28.在平面直角坐標(biāo)系中，對于點和線段，若線段或的垂直平分線與線段有公共點，則稱點為線段的融合點．（1）已知，，①在點，，中，線段的融合點是______；②若直線上存在線段的融合點，求的取值范圍；（2）已知的半徑為4，，，直線過點，記線段關(guān)于的對稱線段為．若對于實數(shù)，存在直線，使得上有的融合點，直接寫出的取值范圍．答案：（1）①如圖所示，根據(jù)題意可知，是線段的融合點，故答案為；，；②如圖1所示，設(shè)的垂直平分線與線段的交點為Q，∵點Q在線段的垂直平分線上，∴，∴當(dāng)點Q固定時，則點P在以Q為圓心，的長為半徑的圓上，∴當(dāng)點Q在上移動時，此時點P的軌跡即線段的融合點的軌跡為分別以點，為圓心，長為半徑的圓及兩圓內(nèi)區(qū)域．當(dāng)直線與兩圓相切時，記為，，如圖2所示．∵，，∴,∴或．∴當(dāng)時，直線上存在線段的融合點．（2）如圖3-1所示，假設(shè)線段位置確定，由軸對稱的性質(zhì)可知，∴點在以T為圓心，的長為半徑的圓上運動，點在以T為圓心，以的長為半徑的圓上運動，∴的融合點的軌跡即為以T為圓心，的長為半徑的圓和以T為圓心，以的長為半徑的圓的組成的圓環(huán)上（包括兩個圓上）；當(dāng)時，如