高中數(shù)學(xué) 極徑幾何意義的應(yīng)用

極徑幾何意義的應(yīng)用1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1：，曲線C2：（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.（1）求C1,C2的極坐標(biāo)方程；（2）若曲線C3的極坐標(biāo)方程為，且曲線C3分別交C1,C2于A,B兩點(diǎn)，求的最大值.解：（1）∵∴C1的極坐標(biāo)方程為∵∴又∵∴∴∴C2的極坐標(biāo)方程為（2）曲線C3的極坐標(biāo)方程為，設(shè)A,B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為A，B，則，∴==∴當(dāng)時(shí)，的最大值為.2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為，直線的極坐標(biāo)方程為（Ⅰ）分別求曲線C1的極坐標(biāo)方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）設(shè)直線交曲線C1于O，M兩點(diǎn)，交曲線C2于O，N兩點(diǎn)，求MN的長(zhǎng)．解：（Ⅰ）由消去參數(shù)，得曲線C1的普通方程為，∵∴C1的極坐標(biāo)方程為，即因?yàn)榍€C2的極坐標(biāo)方程為，即，又因?yàn)?，，故曲線C2的極坐標(biāo)方程為，即（Ⅱ）因?yàn)橹本€的極坐標(biāo)方程為，且直線交曲線C1于O，M兩點(diǎn)，交曲線C2于O，N兩點(diǎn)，所以設(shè)點(diǎn)M,N對(duì)應(yīng)的極徑分別為，，而C1的極坐標(biāo)方程為，所以而曲線C2的極坐標(biāo)方程為，所以=+=4所以|MN|=|ON|-|OM|=-=4-3.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，過(guò)極點(diǎn)O的射線與曲線C相交于不同于極點(diǎn)的點(diǎn)A，且點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，其中.(1)求θ的值；(2)若射線OA與直線l相交于點(diǎn)B，求|AB|的值．解：(1)由題意知，曲線C的普通方程為x2＋(y－2)2＝4，∵，∴曲線C的極坐標(biāo)方程為()2＋(－2)2＝4，即.由ρ＝2，得＝，∵，∴.(2)由題易知直線l的普通方程為x＋y－4＝0，∴直線l的極坐標(biāo)方程為＋－4＝0.又射線OA的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ≥0)，聯(lián)立解得ρ＝4.∴點(diǎn)B的極坐標(biāo)為（4，），∴|AB|＝|ρB－ρA|＝4－2＝2.4.已知直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，取相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為（1）寫(xiě)出直線的極坐標(biāo)方程，并判斷曲線C的形狀；（2）設(shè)直線與曲線C交于A,B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的值.解（1）由消去參數(shù)t，得，故直線的極坐標(biāo)方程為，，（2分）由，得所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為。即即曲線C是圓心為（2,2），半徑為2的圓.（5分）（2）聯(lián)立直線與曲線C的方程，得，消去，得，設(shè)點(diǎn)A,B對(duì)應(yīng)的極徑分別為，，則+=，=4所以====.（10分）5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C1：，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，C2：，.（1）求C1的極坐標(biāo)方程和C2的平面直角坐標(biāo)方程；（2）若直線C3的極坐標(biāo)方程為（），設(shè)C2與C1的交點(diǎn)為O、M，C3與C1的交點(diǎn)為O、N，求△OMN的面積.解：（1）由圓C1：，得圓C1的普通方程為：因?yàn)?，，所以C1的極坐標(biāo)方程為，即，因?yàn)镃2的極坐標(biāo)方程為，，所以C2的平面直角坐標(biāo)方程為（2）分別將，代入得，，則△OMN的面積為×（）×（）×sin（-）=6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,A、B為曲線C上的兩點(diǎn)，且OA⊥OB，設(shè)射線OA：.（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程；（2）求|OA|·|OB|的最小值.解：（1）由，消去參數(shù)得，即（2分）將代入上式得化簡(jiǎn)得（5分）（2）根據(jù)題意得射線OB的極坐標(biāo)方程為或，故|OA|=，|OB|==，則|OA|·|OB|==·=≥當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值另解：|OA|·|OB|==·========因?yàn)?，所以所以?dāng)cos4α=-1，即時(shí)，取得最小值=7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C1的參數(shù)方程為(為參數(shù)，是大于0的常數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓C2的極坐標(biāo)方程為.（1）求圓C1極坐標(biāo)方程和圓C2的直角坐標(biāo)方程；（2）分別記直線：（）與圓C1，圓C2的異于原點(diǎn)的交點(diǎn)為A,B，若圓C1與圓C2外切，試求實(shí)數(shù)的值及線段|AB|的長(zhǎng).解：（1）由圓C1的參數(shù)方程，消去參數(shù)得其普通方程為，將代入上式并化簡(jiǎn)得圓C1極坐標(biāo)方程為由圓C2的極坐標(biāo)方程.得將，代入上式得圓C2的直角坐標(biāo)方程為（2）由（1）知圓C1的圓心C1（-1，-1），半徑r1=;圓C2的圓心C2（1，1），半徑r2=|C1C2|=因?yàn)閳AC1與圓C2外切，所以，解得即圓C1極坐標(biāo)方程為將代入圓C1的極坐標(biāo)方程，得得將代入圓C2的極坐標(biāo)方程.，得得故|AB|=||=8.點(diǎn)P是曲線C1：(x－2)2＋y2＝4上的動(dòng)點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，以極點(diǎn)O為中心，將點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)Q的軌跡方程為曲線C2.(1)求曲線C1，C2的極坐標(biāo)方程；(2)射線θ＝eq\f(π,3)(ρ>0)與曲線C1，C2分別交于A，B兩點(diǎn)，定點(diǎn)M(2,0)，求△MAB的面積．解(1)曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cosθ.設(shè)Q(ρ，θ)，則Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρ，θ－\f(π,2)))，則ρ＝4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,2)))＝4sinθ.所以曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sinθ.(2)M到射線θ＝eq\f(π,3)的距離為d＝2sineq\f(π,3)＝eq\r(3)，|AB|＝ρB－ρA＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,3)－cos\f(π,3)))＝2(eq\r(3)－1)，則S＝eq\f(1,2)|AB|×d＝3－eq\r(3).9.在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρcosθ＝4.(1)M為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OM上，且滿足|OM|·|OP|＝16，求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))，點(diǎn)B在曲線C2上，求△OAB面積的最大值．解(1)設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(ρ，θ)(ρ>0)，點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(ρ1，θ)(ρ1>0)，由題設(shè)知，|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝eq\f(4,cosθ).由|OM|·|OP|＝16，得C2的極坐標(biāo)方程ρ＝4cosθ(ρ>0)．所以C2的直角坐標(biāo)方程為(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．(2)設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(ρB，α)(ρB>0)．由題設(shè)知|OA|＝2，ρB＝4cosα.于是△OAB的面積S＝eq\f(1,2)|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cosαeq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))))＝4cosαeq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinα－\f(\r(3),2)cosα))＝|sin2α－eq\r(3)cos2α－eq\r(3)|＝2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,3)))－\f(\r(3),2)))≤2＋eq\r(3).當(dāng)2α－eq\f(π,3)＝－eq\f(π,2)，即α＝－eq\f(π,12)時(shí)，S取得最大值2＋eq\r(3)，所以△OAB面積的最大值為2＋eq\r(3).10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝acosφ，,y＝bsinφ))(φ為參數(shù))，其中a>b>0.以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ＝2cosθ，射線l：θ＝α(ρ≥0)．若射線l與曲線C1交于點(diǎn)P，當(dāng)α＝0時(shí)，射線l與曲線C2交于點(diǎn)Q，|PQ|＝1；當(dāng)α＝eq\f(π,2)時(shí)，射線l與曲線C2交于點(diǎn)O，|OP|＝eq\r(3).(1)求曲線C1的普通方程；(2)設(shè)直線l′：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－t，,y＝\r(3)t))(t為參數(shù)，t≠0)與曲線C2交于點(diǎn)R，若α＝eq\f(π,3)，求△OPR的面積．押題依據(jù)將橢圓和直線的參數(shù)方程、圓和射線的極坐標(biāo)方程相交匯，考查相應(yīng)知識(shí)的理解和運(yùn)用，解題中，需要將已知條件合理轉(zhuǎn)化，靈活變形，符合高考命題趨勢(shì)．解(1)因?yàn)榍€C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝acosφ，,y＝bsinφ))(φ為參數(shù))，且a>b>0，所以曲線C1的普通方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，而其極坐標(biāo)方程為eq\f(ρ2cos2θ,a2)＋eq\f(ρ2sin2θ,b2)＝1.將θ＝0(ρ≥0)代入eq\f(ρ2cos2θ,a2)＋eq\f(ρ2sin2θ,b2)＝1，得ρ＝a，即點(diǎn)P的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，0))；將θ＝0(ρ≥0)代入ρ＝2cosθ，得ρ＝2，即點(diǎn)Q的極坐標(biāo)為(2,0)．因?yàn)閨PQ|＝1，所以|PQ|＝|a－2|＝1，所以a＝1或a＝3.將θ＝eq\f(π,2)(ρ≥0)代入eq\f(ρ2cos2θ,a2)＋eq\f(ρ2sin2θ,b2)＝1，得ρ＝b，即點(diǎn)P的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b，\f(π,2)))，因?yàn)閨OP|＝eq\r(3)，所以b＝eq\r(3).又因?yàn)閍>b>0，所以a＝3，所以曲線C1的普通方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)因?yàn)橹本€l′的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－t，,y＝\r(3)t))(t為參數(shù)，t≠0)，所以直線l′的普通方程為y＝－eq\r(3)x(x≠0)，而其極坐標(biāo)方程為θ＝－eq\f(π,3)(ρ∈R，ρ≠0)，所以將直線l′的方程θ＝－eq\f(π,3)代入曲線C2的方程ρ＝2cosθ，得ρ＝1，即|OR|＝1.因?yàn)閷⑸渚€l的方程θ＝eq\f(π,3)(ρ≥0)代入曲線C1的方程eq\f(ρ2cos2θ,9)＋eq\f(ρ2sin2θ,3)＝1，得ρ＝eq\f(3\r(10),5)，即|OP|＝eq\f(3\r(10),5)，所以S△OPR＝eq\f(1,2)|OP||OR|sin∠POR＝eq\f(1,2)×eq\f(3\r(10),5)×1×sineq\f(2π,3)＝eq\f(3\r(30),20).11.在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)＋\r(3)cosφ1，,y＝\r(3)sinφ1))(φ1是參數(shù))，圓C2的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosφ2，,y＝1＋sinφ2))(φ是參數(shù))，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．(1)求圓C1，圓C2的極坐標(biāo)方程；(2)射線θ＝α(0≤α<2π)同時(shí)與圓C1交于O，M兩點(diǎn)，與圓C2交于O，N兩點(diǎn)，求|OM|＋|ON|的最大值．解(1)圓C1：(x－eq\r(3))2＋y2＝3，圓C2：x2＋(y－1)2＝1，故圓C1：ρ＝2eq\r(3)cosθ，圓C2：ρ＝2sinθ.(2)當(dāng)θ＝α?xí)r，M的極坐標(biāo)為(2eq\r(3)cosα，α)，N的極坐標(biāo)為(2sinα，α)，所以|OM|＋|ON|＝2eq\r(3)cosα＋2sinα，所以|OM|＋|ON|＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3))).因?yàn)閑q\f(π,3)≤α＋eq\f(π,3)<eq\f(7π,3)，所以當(dāng)α＋eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)，即α＝eq\f(π,6)時(shí)，|OM|＋|ON|取得最大值4.12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù),0≤<)，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)C與直線交于M、N兩點(diǎn)（異于原點(diǎn)），求|OM|+|ON|的最大值.解析：（1）曲線C