大連市重點中學2024屆高二上數(shù)學期末學業(yè)水平測試模擬試題含解析

大連市重點中學2024屆高二上數(shù)學期末學業(yè)水平測試模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若，則（）A. B.C. D.2．直線的傾斜角為（）A.30° B.60°C.90° D.120°3．已知直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點，且直線l與圓相切，則的面積的最小值為（）A.1 B.2C.3 D.44．（）A.-2 B.-1C.1 D.25．某城市2017年的空氣質量狀況如下表所示：污染指數(shù)3060100110130140概率其中污染指數(shù)時，空氣質量為優(yōu)；時，空氣質量為良；時，空氣質量為輕微污染，該城市2017年空氣質量達到良或優(yōu)的概率為（）A. B.C. D.6．函數(shù)的導函數(shù)的圖像如圖所示，則（）A.為的極大值點B.為的極大值點C.為的極大值點D.為的極小值點7．等軸雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，與拋物線的準線交于兩點，且則的實軸長為A.1 B.2C.4 D.88．已知是拋物線：的焦點，直線與拋物線相交于，兩點，滿足，記線段的中點到拋物線的準線的距離為，則的最大值為（）A. B.C. D.9．已知兩定點和，動點在直線上移動，橢圓C以A，B為焦點且經過點P，則橢圓C的短軸的最小值為（）A. B.C. D.10．已知實數(shù)，，則下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.11．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{}，=5，=10，則=A. B.7C.6 D.12．已知橢圓的左，右兩個焦點分別為，若橢圓C上存在一點A，滿足，則橢圓C的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在三棱錐中，點Р在底面ABC內的射影為Q，若，則點Q定是的______心14．已知正方體,點在底面內運動,且始終保持平面,設直線與底面所成的角為,則的最大值為______.15．函數(shù)是R上的單調遞增函數(shù)，則a的取值范圍是______16．若＝，則x的值為_______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若函數(shù)有且僅有2個零點，求實數(shù)的值.18．（12分）設：實數(shù)滿足，：實數(shù)滿足（1）當時，若與均為真命題，求實數(shù)的取值范圍；（2）當時，若是的必要條件，求實數(shù)的取值范圍19．（12分）已知拋物線：，直線過定點.（1）若與僅有一個公共點，求直線的方程；（2）若與交于A，B兩點，直線OA，OB（其中О為坐標原點）的斜率分別為，，試探究在，，，中，運算結果是否有為定值的？并說明理由.20．（12分）已知二次函數(shù)，.（1）若，求函數(shù)的最小值；（2）若，解關于x的不等式.21．（12分）已知點是圓上任意一點，是圓內一點，線段的垂直平分線與半徑相交于點（1）當點在圓上運動時，求點的軌跡的方程；（2）設不經過坐標原點，且斜率為的直線與曲線相交于、兩點，記、的斜率分別是、，以、為直徑的圓的面積分別為、當、都存在且不為時，試探究是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由22．（10分）已知函數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個不相等的零點，證明：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】設，計算出、的值，利用平方差公式可求得結果.【詳解】設由已知可得，，因此，.故選：D.2、B【解析】根據(jù)給定方程求出直線斜率，再利用斜率的定義列式計算得解.【詳解】直線的斜率，設其傾斜角為，顯然，則有，解得，直線的傾斜角為.故選：B3、A【解析】由直線與圓相切可得，再利用基本不等式即求.【詳解】由已知可得，，因為直線與圓相切，所以，即，因為，當且僅當時取等號，所以，，所以面積的最小值為1.故選：A4、A【解析】利用微積分基本定理計算得到答案.【詳解】.故選：.【點睛】本題考查了定積分的計算，意在考查學生的計算能力.5、A【解析】根據(jù)互斥事件的和的概率公式求解即可.【詳解】由表知空氣質量為優(yōu)的概率是，由互斥事件的和的概率公式知，空氣質量為良的概率為，所以該城市2017年空氣質量達到良或優(yōu)的概率，故選：A【點睛】本題主要考查了互斥事件，互斥事件和的概率公式，屬于中檔題.6、A【解析】由導函數(shù)的圖像可得函數(shù)的單調區(qū)間，從而可求得函數(shù)的極值【詳解】由的圖像可知，在和上單調遞減，在和上單調遞增，所以為的極大值點，和為的極小值點，不是函數(shù)的極值點，故選：A7、B【解析】設等軸雙曲線的方程為拋物線,拋物線準線方程為設等軸雙曲線與拋物線的準線的兩個交點,，則,將，代入，得等軸雙曲線的方程為的實軸長為故選8、C【解析】設，過點，分別作拋物線的準線的垂線，垂足分別為，進而得，再結合余弦定理得，進而根據(jù)基本不等式求解得.【詳解】解：設，過點，分別作拋物線的準線的垂線，垂足分別為，則，因為點為線段中點，所以根據(jù)梯形中位線定理得點到拋物線的準線的距離為，因為，所以在中，由余弦定理得，所以，又因為，所以，當且僅當時等號成立，所以，故.所以的最大值為.故選：C【點睛】本題考查拋物線的定義，直線與拋物線的位置關系，余弦定理，基本不等式，考查運算求解能力，是中檔題.本題解題的關鍵在于根據(jù)題意，設，進而結合拋物線的定于與余弦定理得，，再求最值.9、B【解析】根據(jù)題意，點關于直線對稱點的性質，以及橢圓的定義，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，設點關于直線的對稱點，則，解得，即.根據(jù)橢圓的定義可知，，當、、三點共線時，長軸長取最小值，即，由且，得，因此橢圓C的短軸的最小值為.故選：B.10、C【解析】根據(jù)不等式性質和作差法判斷大小依次判斷每個選項得到答案.【詳解】當時，不等式不成立，錯誤；，故錯誤正確；當時，不等式不成立，錯誤；故選：.【點睛】本題考查了不等式的性質，作差法判斷大小，意在考查學生對于不等式知識的綜合應用.11、A【解析】由等比數(shù)列的性質知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比數(shù)列，所以a4a5a6＝故答案為考點：等比數(shù)列的性質、指數(shù)冪的運算、根式與指數(shù)式的互化等知識，轉化與化歸的數(shù)學思想12、C【解析】根據(jù)題意可知當A為橢圓的上下頂點時，即可滿足橢圓C上存在一點A，使得，由此可得，解此不等式可得答案.【詳解】由橢圓的對稱性可知，當A為橢圓的上下頂點時，最大，故只需即可滿足題意，設O為坐標原點，則只需,即有，所以，解得，故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、外【解析】由可得，故是的外心.【詳解】解：如圖，∵點在底面ABC內的射影為,∴平面又∵平面、平面、平面，∴、、.在和中，,∴，∴同理可得：,故故是的外心.故答案為：外.14、【解析】畫出立體圖形,因為面面,在底面內運動,且始終保持平面,可得點在線段上運動,因為面面,直線與底面所成的角和直線與底面所成的角相等,即可求得答案.【詳解】連接和,面面在底面內運動,且始終保持平面可得點在線段上運動,面面,直線與底面所成的角和直線與底面所成的角相等面直線與底面所成的角為:有圖像可知:長是定值,當最短時,,即最大,即角最大設正方體的邊長為,故故答案為:【點睛】本題考查了求線面角的最大值,解題是掌握線面角的定義和處理動點問題時,應畫出圖形,尋找?guī)缀侮P系,考查了分析能力和計算能力,屬于難題.15、【解析】對求導，由題設有恒成立，再利用導數(shù)求的最小值，即可求a的范圍.【詳解】由題設，，又在R上的單調遞增函數(shù)，∴恒成立，令，則，∴當時，則遞減；當時，則遞增.∴，故.故答案為：.16、4或9.【解析】分析：先根據(jù)組合數(shù)性質得，解方程得結果詳解：因為＝，所以因此點睛：組合數(shù)性質：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）函數(shù)的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為，（2）【解析】（1）利用導數(shù)求得的單調區(qū)間.（2）利用導數(shù)研究的單調性、極值，從而求得的值.【小問1詳解】由，得，令，得或；令，得.∴函數(shù)的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為，.【小問2詳解】∵，∴.當時，；當時，∴的單調遞減區(qū)間為，；單調遞增區(qū)間為.∴的極小值為，極大值為.當時，；當時，.又∵函數(shù)有且僅有2個零點，∴實數(shù)的值為.18、（1）；（2）.【解析】（1）將代入，解一元二次不等式求兩集合的交集即可求解.（2）求出：，根據(jù)題意可得轉化為集合的包含關系即可求解.【詳解】（1）當時，：，：或.因為，中都是真命題.所以所以實數(shù)的取值范圍是；（2）當時，：，：或，所以：，因為是的必要條件，所以，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.19、（1）或或（2）為定值，而，，均不為定值【解析】（1）過拋物線外一定點的直線恰好與該拋物線只有一個交點，則分兩類分別討論，一是直線與拋物線的對稱軸平行，二是直線與拋物線相切；（2）聯(lián)立直線的方程與拋物線的方程，根據(jù)韋達定理，分別表示出，，，為直線斜率的形式，便可得出結果.【小問1詳解】過點的直線與拋物線僅有一個公共點，則該直線可能與拋物線的對稱軸平行，也可能與拋物線相切，下面分兩種情況討論：當直線可能與拋物線的對稱軸平行時，則有：當直線與拋物線相切時，由于點在軸上方，且在拋物線外，則存在兩條直線與拋物線相切：易知：是其中一條直線另一條直線與拋物線上方相切時，不妨設直線的斜率為，則有：聯(lián)立直線與拋物線可得：可得：則有：解得：故此時的直線的方程為：綜上，直線的方程為：或或【小問2詳解】若與交于A，B兩點，分別設其坐標為，，且由（1）可知直線要與拋物線有兩個交點，則直線的斜率存在且不為，不妨設直線的斜率為，則有：聯(lián)立直線與拋物線可得：可得：，即有：根據(jù)韋達定理可得：，則有：，下面分別說明各項是否為定值：，故運算結果為定值；，故運算結果不為定值；，故運算結果不為定值；，故運算結果不為定值.綜上，可得：為定值，而，，均不為定值20、（1）（2）當時，不等式的解集為當時，不等式的解集為當時，不等式的解集為【解析】（1）帶入，將化解為，再利用基本不等式求最值即可；（2）將不等式移項整理為，再對a分類討論，比較兩根的大小，即可求得解集.【小問1詳解】當a=3時，函數(shù)可整理為，因為，所以利用基本不等式，當且僅當，即時，y取到最小值.所以，當時，函數(shù)的最小值為.【小問2詳解】將不等式整理為，令，即，解得兩根為與1，因為，當時，即時，此時的解集為；當時，即時，此時的解集為；當時，即時，此時的解集為.綜上所述，當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為.21、（1）；（2）是定值，.【解析】(1)由條件可得點軌跡滿足橢圓定義，設出橢圓方程，由，的值可得的值，從而求得軌跡方程；(2)設出直線的方程，結合韋達定理，分別求得為定值，也為定值，從而可得是定值【小問1詳解】由題意知，，根據(jù)橢圓的定義知點的軌跡是以，為焦點的橢圓，設橢圓的方程為，則，，曲線的方程為；【小問2詳解】由題意知直線的方程為且m≠0)，設直線與橢圓的交點為，，，，由得，，，，，，，，，，是定值，為．22、（1）單調遞增區(qū)間是(4,+∞)，單調遞減區(qū)間是(0,4)；（2）證明見解析.【解析】（1）求的導函數(shù)，結合定義域及導數(shù)的符號確定單調區(qū)間；（2）法一：討論、時的零點情況，即可得，構造，利用導數(shù)研究在(0,2a)恒成立，結合單調性證明不等式；法二：設，由零點可得，進而應用分析法將結論轉化為證明，綜合換元法、導數(shù)證明結論即可.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為(0,+∞)，當a=2時，，則令得，x>4；令得，0<x<4；所以,單調遞增區(qū)間是(4,+∞)；單調遞減區(qū)間是(0,4).【小問2詳解】法一：當a≤0時，>0在(0,+∞)上恒成立，故函數(shù)不可能有兩個不相等的零點，當a>0時，函數(shù)在(2a,+∞)上單調遞增，在(0,2a)上單調遞減