動量守恒定律

動量守恒定律編稿：田萍審稿：李井軍責編：代洪

目的認知

學習目的

1.理解動量、動量的變化量的概念，懂得動量、動量的變化量都是矢量，會對的計算一維的動量變化。

2.會用牛頓運動定律推導動量守恒定律。

3.理解動量守恒定律確實切含義和體現(xiàn)式，懂得定律的合用條件和合用范疇，并會用動量守恒定律解決某些簡樸問題。

學習重點

1.理解動量守恒定律確實切含義和體現(xiàn)式以及簡樸計算。

2.會用牛頓運動定律推導動量守恒定律。

學習難點

1.動量守恒定律的合用條件和合用范疇

2.用動量守恒定律解決問題。

知識要點梳理

知識點一.動量

要點詮釋：

1.動量的定義

物體的質(zhì)量和速度的乘積叫做動量（用符號P表達）。

2.公式

；單位：

3.方向

動量是矢量，它的方向與速度的方向相似。

知識點二.動量的變化

要點詮釋：

1.動量的變化

某段運動過程（或時間間隔）物體的末動量跟物體的初動量的（矢量）差，稱為動量的變化（或動量的增量），即

2.動量的變化的方向

動量的變化是矢量，它的方向是由速度的變化方向決定的。

知識點三．系統(tǒng)、內(nèi)力和外力

要點詮釋：

1.系統(tǒng)

互相作用的兩個或多個物體構(gòu)成一種系統(tǒng)。

2.內(nèi)力

物體之間的互相作用力叫內(nèi)力。

3.外力

系統(tǒng)以外的物體施加的力叫外力。

知識點四．動量守恒定律

1.推導

以兩球碰撞為例：光滑水平面上有兩個質(zhì)量分別是m1和m2的小球，分別以速度v1和v2（v1＞v2）做勻速直線運動。當m1追上m2時，兩小球發(fā)生碰撞，設(shè)碰后兩者的速度分別為v1ˊ、v2ˊ。

設(shè)水平向右為正方向，它們在發(fā)生互相作用（碰撞）前的總動量：p=p1+p2=m1v1+m2v2，在發(fā)生互相作用后兩球的總動量：pˊ=p1ˊ+p2ˊ=m1v1ˊ+m2v2ˊ。

設(shè)碰撞過程中兩球互相作用力分別是F1和F2，力的作用時間是。

根據(jù)牛頓第二定律，碰撞過程中兩球的加速度分別為

根據(jù)牛頓第三定律，大小相等，方向相反，即

因此

碰撞時兩球之間力的作用時間很短，用表達，這樣加速度與碰撞前后速度的關(guān)系就是

，代入

整頓后可得

或?qū)懗?/p>

即

這表明兩球碰撞前后系統(tǒng)的總動量是相等的。

2.內(nèi)容

如果一種系統(tǒng)不受外力，或者所受外力的矢量和為零，這個系統(tǒng)的總動量保持不變，這就是動量守恒定律。

3.體現(xiàn)式

或者亦或

4.合用條件

①系統(tǒng)不受外力或者所受合外力為零；

②系統(tǒng)所受合外力即使不為零，但系統(tǒng)的內(nèi)力遠不不大于外力時，如碰撞、爆炸等現(xiàn)象中，系統(tǒng)的動量可當作近似守恒；

③系統(tǒng)總的來看不符合以上條件的任意一條，則系統(tǒng)的總動量不守恒。但是若系統(tǒng)在某一方向上符合以上條件的任意一條，則系統(tǒng)在該方向上動量守恒。

5.合用范疇

它是自然界最普遍、最基本的規(guī)律之一。不僅合用于宏觀物體的低速運動，也合用與微觀物體的高速運動。小到微觀粒子，大到宇宙天體，無論內(nèi)力是什么性質(zhì)的力，只要滿足守恒條件，動量守恒定律總是合用的。

6.動量守恒定律的特點

①矢量性

動量是矢量。動量守恒定律的方程是一種矢量方程。普通規(guī)定正方向后，能擬定方向的物理量一律將方向表達為“+”或“-”，物理量中只代入大小：不能擬定方向的物理量就用字母表達，計算成果為“+”，闡明其方向與規(guī)定的正方向相似，計算成果為“-”，闡明其方向與規(guī)定的正方向相反。

②瞬時性

動量是一種瞬時量，動量守恒定律指的是系統(tǒng)任一瞬間的動量和恒定。因此，列出的動量守恒定律體現(xiàn)式m1v1+m2v2+…＝m1v1ˊ+m2v2ˊ+…，其中v1，v2…都是作用前同一時刻的瞬時速度，v1ˊ，v2ˊ都是作用后同一時刻的瞬時速度。只要系統(tǒng)滿足動量守恒定律的條件，在互相作用過程的任何一種瞬間，系統(tǒng)的總動量都守恒。在具體問題中，可根據(jù)任何兩個瞬間系統(tǒng)內(nèi)各物體的動量，列出動量守恒體現(xiàn)式。

③相對性

物體的動量與參考系的選擇有關(guān)。普通，取地面為參考系，因此，作用前后的速度都必須相對于地面。

規(guī)律辦法指導

1.動量、動量變化的區(qū)別及聯(lián)系動量動量的變化定義物體質(zhì)量和速度的乘積末動量和初動量之差物理意義描述機械運動的狀態(tài)表征動量發(fā)生的變化性質(zhì)狀態(tài)量，矢量過程量，矢量體現(xiàn)式單位及符號公斤·米／秒（）公斤·米／秒（）

2.動量變化的大小和方向的討論

動量的變化是矢量，因動量的變化（動量的增量）是物體的末動量跟物體的初動量的（矢量）差，即。它的方向是由和共同決定的，它的運算符合矢量運算規(guī)則，要按平行四邊形定則進行。特別是當與在一條直線上時，在選定正方向后，動量的方向可用正負號表達，將矢量運算化為代數(shù)運算，計算成果為“+”，闡明其方向與規(guī)定的正方向相似，計算成果為“-”，闡明其方向與規(guī)定的正方向相反。

3.動量守恒定律的普通解題環(huán)節(jié)

①擬定研究對象(系統(tǒng))，進行受力分析：

②擬定研究過程，進行運動分析；

③判斷系統(tǒng)在所研究的過程中與否滿足動量守恒定律成立的條件；

④規(guī)定某個方向為正方向，分析初末狀態(tài)系統(tǒng)的動量；

⑤根據(jù)動量守恒定律建立方程，并求出成果。

典型例題透析

類型一—有關(guān)動量的理解

1.有關(guān)動量的概念下列說法對的的是（）

A.動量大的物體慣性一定大

B.動量大的物體運動一定快

C.動量相似的物體運動方向一定相似D.動量相似的物體速度小的慣性一定大

思路點撥:理解動量的定義是解此題的核心

解析：物體的動量是由速度和質(zhì)量兩個因素決定的。動量大的物體質(zhì)量不一定大，慣性也不一定大，A錯；同樣，動量大的物體速度也不一定大，B錯；動量相似指動量的大小和方向均相似，而動量的方向就是物體運動的方向，故動量相似的物體運動方向一定相似，C對；動量相似的物體，速度小的質(zhì)量大，慣性也大，D對。

答案：CD

總結(jié)升華：物體的動量是由速度和質(zhì)量兩個因素決定的；質(zhì)量是慣性大小的量度

遷移應(yīng)用

【變式】下列有關(guān)動量的說法中對的的是()

A.動量大的物體受到的力一定大

B.動量大的物體一定運動的快

C.動量大的物體的慣性一定大

D.動量大的物體的質(zhì)量與速度的乘積一定大

解析：由動量的定義式p＝mv可知，物體的動量是由物體的質(zhì)量和速度共同決定的，動量大小與物體與否受力無關(guān)，因此A錯誤的，動量大的物體其速度不一定大即動量大，物體運動的不一定快，因此B錯，質(zhì)量是物體慣性大小的量度，動量大的物體其質(zhì)量不一定大，即動量大的物體，慣性不一定大，故C錯，D是對的的。

答案：D

類型二—有關(guān)動量變化的計算

2.一種質(zhì)量是0.1kg的鋼球，以的速度水平向右運動，碰到一種堅硬的障礙物后被彈回，沿著同始終線以的速度水平向左運動。求碰撞前后鋼球的動量有無變化？變化了多少？

思路點撥:此題為動量變化題目，要分清初末動量。

解析：題中鋼球的速度發(fā)生了反向，闡明速度發(fā)生了變化，因此動量必發(fā)生變化。

取向左的方向規(guī)定為正方向

物體原來的動量：

彈回后物體的動量：

動量的變化：

動量變化量為正值，表達動量變化量的方向向左，大小為1.2kg·m/s。

答案：有變化；變化量方向向左，大小為1.2kg·m/s。

總結(jié)升華：動量及動量變化都是矢量，在進行動量變化的計算時應(yīng)首先規(guī)定正方向，這樣各矢量中方向與正方向一致的取正值，方向與正方向相反的取負值。從而把矢量運算變成代數(shù)加減。

遷移應(yīng)用

【變式】一種質(zhì)量為2kg的小球，豎直落地時的速度為10m/s，反向彈地時的速度為8m/s.求小球與地面作用期間發(fā)生的動量變化。

解析：取向上為正方向，則豎直落地時的速度，反向彈地的速度。

方向：豎直向上。

答案：；方向豎直向上。

類型三—動量守恒守恒條件的判斷

3.位于光滑水平面的小車上放置一螺旋線管，一條形磁鐵沿著螺線管的軸線水平地穿過，如圖所示。在此過程中（）

A.磁鐵做勻速運動

B.磁鐵和螺線管系統(tǒng)的動量和動能都守恒

C.磁鐵和螺線管系統(tǒng)的動量守恒，動能不守恒

D.磁鐵和螺線管系統(tǒng)的動量和動能都不守恒

思路點撥：此題考察動量守恒的條件，因此對的理解動量守恒的條件是解決問題的核心。

解析：因磁鐵和螺線管構(gòu)成的系統(tǒng)所受外力之和為零，故動量守恒，但磁鐵進入和穿出螺線管的過程中，螺線管都要產(chǎn)生感應(yīng)電流妨礙磁鐵的相對運動，兩者互相作用力是變力，且都做功，因此動能不守恒，故選C。

答案：C

總結(jié)升華：當系統(tǒng)所受外力之和為零時，動量守恒

類型四—動量守恒定律的簡樸應(yīng)用

4.質(zhì)量的小球在光滑的水平桌面上以的速率向右運動，正好遇上質(zhì)量為的小球以的速率向左運動，碰撞后，小球正好停止，那么碰撞后小球的速率是多大？方向如何？

思路點撥：兩球相碰，內(nèi)力遠遠不不大于外力，符合動量守恒條件，故可用動量守恒定律來解決。

解析：設(shè)的方向即向右為正方向，則有

根據(jù)動量守恒：，

有：

解得：

方向與正方向相反，即向左。

答案：方向與正方向相反，即向左。

總結(jié)升華：運用動量守恒定律解題的辦法是：（1）看清與否符合動量守恒條件，（2）恰當選用正方向，（3)根據(jù)題意選用恰當?shù)膭恿渴睾愣傻捏w現(xiàn)式，（4）合理進行運算，得出最后成果。

遷移應(yīng)用

【變式】質(zhì)量為20g的小球A以的速度向東運動，某時刻和在同始終線上運動小球B迎面正碰。B球的質(zhì)量為50g。碰撞前的速度為，方向向西，碰撞后，A球以的速度向西返回，求碰后B球的速度。

解析：A、B兩球的正碰過程符合動量守恒定律，設(shè)向東為正方向，

根據(jù)動量守恒定律有：

，負號闡明碰后B球的速度方向向西。

答案：0.4m/s，方向向西。

類型五

－—若系統(tǒng)所受外力之和不為零，但如果某一方向上的外力之和為零，則在該方向上的動量守恒

5.小型迫擊炮在總質(zhì)量為1000kg的船上發(fā)射，炮彈的質(zhì)量為2kg．若炮彈飛離炮口時相對于地面的速度為600m/s，且速度跟水平面成45°角，求發(fā)射炮彈后小船后退的速度？

思路點撥：取炮彈和小船構(gòu)成的系統(tǒng)為研究對象，在發(fā)射炮彈的過程中，炮彈和炮身(炮和船視為固定在一起)的作用力為內(nèi)力．系統(tǒng)受到的外力有炮彈和船的重力、水對船的浮力．在船靜止的狀況下，重力和浮力相等，但在發(fā)射炮彈時，浮力要不不大于重力．因此，在垂直方向上，系統(tǒng)所受到的合外力不為零，但在水平方向上系統(tǒng)不受外力(不計水的阻力)，故在該方向上動量守恒．

解析：發(fā)射炮彈前，總質(zhì)量為1000kg的船靜止，則總動量Mv=0．

發(fā)射炮彈后，炮彈在水平方向的動量為mv1ˊcos45°，船后退的動量(M-m)v2ˊ．

答案：

總結(jié)升華：若系統(tǒng)所受外力之和不為零，則系統(tǒng)的總動量不守恒，但如果某一方向上的外力之和為零，則該方向上的動量仍然守恒，仍能夠應(yīng)用動量守恒定律。

遷移應(yīng)用

【變式】一門舊式大炮，炮身的質(zhì)量為M，射出炮彈的質(zhì)量為m，對地的速度為，方向與水平方向成角，若不計炮身與水平地面的摩擦，則炮身后退速度的大小為（）

A.B.C.D.

解析：豎直方向動量不守恒，水平方向動量仍守恒，即在水平方向運用動量守恒定律：

答案：B

類型六—動量守恒在多個物體構(gòu)成的系統(tǒng)中的應(yīng)用

6.如圖所示在光滑的水平面上有靜止的兩木塊A和B，，它們的上表面是粗糙的，今有一鐵塊C，其質(zhì)量以初速度沿兩木塊表面滑過，最后停在B上，此時B、C的共同速度。求：

(1)A的速度？

(2)C剛離開A時的速度？

解析：

(1)選A、B、C構(gòu)成的系統(tǒng)為研究對象，對整個過程運用動量守恒定律，有

可求得A運動的速度：

（2）C離開A后，A做勻速運動，C剛離開A時A、B含有共同速度，仍選A、B、C構(gòu)成的系統(tǒng)為研究對象，研究C從A的上表面滑過的過程，根據(jù)動量守恒定律，有

可求得C剛離開A時的速度

答案：（1）（2）

總結(jié)升華：此題為多個物體構(gòu)成的系統(tǒng)，由于物體較多互相作用的狀況也不盡相似，作用過程較為復(fù)雜，即使仍可對初末狀態(tài)建立動量守恒的關(guān)系式，但因未知條件過多而無法求解，這時往往要根據(jù)作用過程中的不同階段，建立多個動量守恒方程，或?qū)⑾到y(tǒng)內(nèi)的物體按作用的關(guān)系分別建立動量守恒定律方程。

遷移應(yīng)用

【變式1】質(zhì)量為的小船以的速度自西向東行駛，無視阻力。船上有兩個皆為的運動員，若運動員甲首先沿水平方向以（相對于靜止水面）的速度向東躍入水中，然后運動員乙沿水平方向以同一速度向西（相對于靜止水面）躍入水中。則二人跳出后小船的速度為（）

A.向東B.等于0C.向東D.

解析：系統(tǒng)不受外力，符合動量守恒。

設(shè)向東為正方向，由動量守恒：

方向向東。

答案：C

【變式2】一平板小車靜止在光滑水平面上，車的右端安有一豎直的板壁，車的左端站有一持槍的人，此人水平持槍向板壁持續(xù)射擊，子彈全部嵌在板壁內(nèi)未穿出，過一段時間后停止射擊。則（）

A.停止射擊后小車的速度為零

B.射擊過程中小車未移動

C.停止射擊后，小車在射擊之前位置的左方

D.停止射擊后，小車在射擊之前位置的右方

解析：在發(fā)射子彈的過程中，小車、人、槍及子彈構(gòu)成的系統(tǒng)動量守恒，因此，停止射擊后小車的速度為零，選項A對的。

每一次射擊過程子彈向右運動時，小車都向左運動，因此停止射擊后，小車在射擊之前位置的左方，選項C對的。

答案：A、C。

類型七—動量守恒與能量守恒的結(jié)合

7.（全國）質(zhì)量為M，內(nèi)壁間距為L的箱子靜止于光滑的水平面上，箱子中間有一質(zhì)量為m的小物塊，小物塊與箱子底板間的動摩擦因數(shù)為μ。初始時小物塊停在箱子正中間，如圖所示?，F(xiàn)給小物塊一水平向右的初速度v，小物塊與箱壁碰撞N次后恰又回到箱子正中間，并與箱子保持相對靜止。設(shè)碰撞都是彈性的，則整個過程中，系統(tǒng)損失的動能為

A．mv2

B．v2

C．NμmgL

D．NμmgL

答案：BD

解析：由于水平面光滑，首先，箱子和物塊構(gòu)成的系統(tǒng)動量守恒，兩者經(jīng)多次碰撞后，保持相對靜止，易判斷兩者含有向右的共同速度，根據(jù)動量守恒定律有mv=（M+m），系統(tǒng)損失的動能為知B對的，另首先，系統(tǒng)損失的動能可由Q=，且Q=，由于小物塊從中間向右出發(fā)，最后又回到箱子正中間，其間共發(fā)生N次碰撞，則=NL,則B選項也對的

8.在光滑的水平面上有一質(zhì)量為的木板A，其右端擋板上固定一根輕質(zhì)彈簧，在靠近木板左端的P處有一大小無視不計、質(zhì)量為的滑塊B。木板上Q處的左側(cè)粗糙，右側(cè)光滑。且PQ間距離，如圖所示。某時刻木板以的速度向左滑行，同時滑塊B以速度向右滑行，當滑塊B與P相距時，兩者剛好處在相對靜止狀態(tài)，若兩者共同運動方向的前方有一障礙物，木板A與它碰后以原速率反彈（碰后立刻撤去障礙物）。求B與A的粗糙面之間的摩擦因數(shù)和滑塊B最后停在木板上的位置。（g?。?/p>

思路點撥：此題動量與能量結(jié)合的題目，既要考慮動量守恒又要考慮能量守恒

解析：設(shè)M、m共同速度為，，選向右運動方向為正方向，由動量守恒定律得

對A、B構(gòu)成系統(tǒng)，由能量守恒得

木板A與障礙物發(fā)生碰撞后以原速率反彈，假設(shè)B向右滑行并與彈簧發(fā)生互相作用，當A、B再次處在相對靜止狀態(tài)時，兩者的共同速度為，在此過程中，A、B和彈簧構(gòu)成的系統(tǒng)動量守恒、能量守恒。

由動量守恒得

設(shè)B相對A的路程為，由能量守恒得

由于，因此滑過Q點并與彈簧互相作用，然后相對A向左滑動到Q點的左邊，設(shè)離Q點距離為，則

答案：A、B間的摩擦因數(shù)為0.6，滑塊B最后停在木板上Q點左側(cè)離Q點0.17m處

總結(jié)升華：本題是一道綜合性很強的題目，規(guī)定同窗對物理過程的分析要具體，會挖掘條件。同時對動量守恒定律、能量守恒定律的理解極高，對的使用這些規(guī)律解題是學生物理能力的試金石。

遷移應(yīng)用

【變式1】如圖所示，質(zhì)量分別為m和2m的A、B兩個木塊間用輕彈簧相連，放在光滑水平面上，A靠緊豎直墻．用水平力F將B向左壓，使彈簧被壓縮一定長度，靜止后彈簧儲存的彈性勢能為E．這時忽然撤去F，有關(guān)A、B和彈簧構(gòu)成的系統(tǒng)，下列說法中對的的是（）

A.撤去F后，系統(tǒng)動量守恒，機械能守恒

B.撤去F后，A離開豎直墻前，系統(tǒng)動量不守恒，機械能守恒

C.撤去F后，A離開豎直墻后，彈簧的彈性勢能最大值為E

D.撤去F后，A離開豎直墻后，彈簧的彈性勢能最大值為E/3

解析：A離開墻前墻對A有彈力，這個彈力即使不做功，但對A有沖量，因此系統(tǒng)機械能守恒而動量不守恒；A離開墻后則系統(tǒng)動量守恒、機械能守恒．A剛離開墻時刻，B的動能為E，動量為p=向右；后來動量守恒，因此系統(tǒng)動能不可能為零，當A、B速度相等時，系統(tǒng)總動能最小，這時的彈性勢能為E/3．

答案：BD

【變式2】在原子核物理中，研究核子與核關(guān)聯(lián)的最有效途徑是“雙電荷交換反映”。這類反映的前半部分過程和下述力學模型類似。兩個小球A和B用輕質(zhì)彈簧相連，在光滑的水平直軌道上處在靜止狀態(tài)。在它們左邊有一垂直于軌道的固定擋板P，右邊有一小球C沿軌道以速度射向B球，如圖所示。C與B發(fā)生碰撞并立刻結(jié)成一種整體D。在它們繼續(xù)向左運動的過程中，當彈簧長度變到最短時，長度忽然被鎖定，不再變化。然后，A球與擋板P發(fā)生碰撞，碰后A、D都靜止不動，A與P接觸而不粘連。過一段時間，忽然解除鎖定（鎖定及解除鎖定均無機械能損失）。已知A、B、C三球的質(zhì)量均為m。

（1）求彈簧長度剛被鎖定后A球的速度。

（2）求在A球離開擋板P之后的運動過程中，彈簧的最大彈性勢能。

解析：

（1）設(shè)