《一元二次方程的根的判別式》教學設計(遼寧省市級優(yōu)課)-九年級數(shù)學教案

北師大版九年級上《一元二次方程的根的判別式》教學設計王煥麗沈陽市渾南區(qū)第一初級中學2．3一元二次方程的根的判別式教學分析【教材分析】本節(jié)課是九年制義務教育初級中學北師大版九年級上冊第二章繼第三節(jié)《用公式法求解一元二次方程》學習的內容，在學完直接開方法、配方法、公式法解一元二次方程的基礎上，在不解方程的條件下，掌握用判別式來判斷一元二次方程根的情況，培養(yǎng)學生由特殊到一般的解題思想。一元二次方程的根的判別方法及其逆定理是一元二次方程的重要性質，為二次函數(shù)等后繼知識的學習奠定了基礎。【教學目標】知識目標：理解一元二次方程的根的判別式，運用根的判別式，在不解方程的前提下判別根的情況。能力目標：經歷一元二次方程的根的判別式的意義及作用的探究過程，增強學生數(shù)學推理的嚴密性，體會由特殊到一般、分類討論的數(shù)學思想。情感目標：通過一元二次方程的根的判別式的引入，養(yǎng)成對科學的探索精神和嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度，形成合作交流、獨立思考的學習習慣，產生熱愛數(shù)學的情感?！窘虒W重難點】重點：運用一元二次方程的根的判別式，在不解方程的前提下判別根的情況。難點：對一元二次方程的根的判別方法及其逆定理的理解和運用?！窘虒W準備】ppt課件、教學工具單、一元二次方程計算小程序、希沃軟件?！疚业乃伎肌勘竟?jié)課在充分預習的基礎上，充分放手給學生，以“小組合作、展示交流”的生態(tài)教學模式開展的探索課堂。首先，通過公式法解一元二次方程的練習復習了公式法的步驟，接著用自制一元二次方程小軟件驗證一元二次方程的解是否正確，同時引起學生興趣，引導學生感受到一元二次方程的根的情況，引發(fā)學生學習本節(jié)課內容的熱情。接下來，通過問學生為什么在代入求根公式之前要先計算一下b2-4ac的值，由此引入b2-4ac的名稱的作用。師生合作的方式把根的判別式性質用三個原命題與三個相應的逆命題形式出現(xiàn)，把條件與結論分得明確，使學生易于接受及記憶，進而突破教學重難點。教師通過例題板演，規(guī)范解題格式，體驗用根的判別式解決兩類問題，一類是已知方程的系數(shù)，要判別方程根的情況；另一類是已知方程根的情況，要求方程的系數(shù)中所含字母的值或求字母間的關系式。另外，學生能獨立自主解決運用根的判別式解決一元二次方程的簡單問題，不僅體會到自主學習的價值，也增強了探索數(shù)學奧秘的信心。這將深刻影響學生的一生。最后，將自我評價引入到教學的最高層次，僅用3分鐘來測評學生對這部分知識掌握情況，并做到及時反饋，使之達到教學最優(yōu)化。教學過程一、情境引入（時間為5分鐘）教師活動：上節(jié)課我們學習了用公式法解一元二次方程，回憶一下一元二次方程的求根公式是什么？大家用公式法解下列方程。（教師利用ppt為學生呈現(xiàn)圖片。）用公式法解下列方程x2-7x-18=04x2+1=4x2x2+x+1=0【設計意圖：復習用公式法解一元二次方程，達到“溫故而知新”的目的,熟練掌握用公式法解一元二次方程的一般步驟。三道小題三種不同的解的情況，讓學生注意到一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，有兩個相等的實數(shù)根，沒有實數(shù)根的情況，為這節(jié)課的學習做好鋪墊。】教師活動：借助希沃助手上傳圖片，對學生的計算過程進行展示，用公式法解一元二次方程的一般步驟。給予積極肯定的回答，同時問其他學生二三小題解的情況。然后在電腦上用一元二次方程計算小軟件驗證一下是否正確。用它讓學生感受到一元二次方程根的情況有所不同。同時對于沒有實數(shù)根的情況，簡單講解和高中銜接部分，對學生以后的學習發(fā)展奠定基礎。學生活動：學生認真傾聽第一小題中公式法的步驟，接著回答二三小題解的情況，注意到一元二次方程根的情況是由a,b,c決定的。用一元二次方程計算小軟件，輸入其他的a,b,c,可嘗試直接看出一元二次方程根的不同情況?！驹O計意圖：引起學生興趣，和信息技術有效結合，引導學生思考，前面學習的求根公式中要求，那么是什么引起一元二次方程的根的情況有所不同呢？】這就是我們今天要學習的一元二次方程的根的判別式。（寫出標題）二、探索新知教師活動：教師引導學生思考上述方程根的情況不同的原因，嘗試提出下列問題：一般的，對于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），何時有兩個不相等的實數(shù)根？何時有兩個相等的實數(shù)根？它何時沒有實數(shù)根？方程根的情況是由什么決定的？請學生結合自己的理解，就上述問題的答案在小組內進行討論、探究。時間為3分鐘（學生自主學習教師巡視）。學生活動：學生在演算紙上自主推導、并針對自己思考過程中預見的問題在小范圍內自由研討。教師活動：引導學生獨立利用公式法解上述3個方程，然后觀察方程的解的情況，觀察解題過程，總結一元二次方程的根的規(guī)律和b2-4ac的關系，請同學們經過討論得出結論。學生活動：學生討論后得出（1）當時，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）當時，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）當時，一元二次方程無實數(shù)根。教師活動：由上面的討論可見，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情況由b2-4ac來決定。因此，我們把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式。通常用符號“Δ”（希臘字母）來表示，讀做“得爾塔”，即Δ=b2-4ac。教師強調有實數(shù)根是前兩種情況的結合。（教師板書）【設計意圖：由學生親身經歷探索過程，體驗從特殊到一般的過程，體會分類討論的數(shù)學思想，同時培養(yǎng)了學生的邏輯思維和發(fā)散思維，提高了思維的縝密性。為學生提供參與數(shù)學活動的時間和空間，發(fā)揮學生的主體作用；學生在合作交流中互相幫助，共同提升?！俊绢A設效果：學生的主要問題通常出現(xiàn)在這樣的幾個地方：（1）不能主動意識到一元二次方程有實數(shù)根是前兩種情況的結合。（2）對于方程有兩個相等的實數(shù)根容易寫成一個根。教師應關注：學困生的參與度及對學生邏輯思維的培養(yǎng)?！咳?、鞏固新知教師活動：學習了一元二次方程的根的判別式，我們就可以來解決任何一道一元二次方程，在求解的情況下，判別根的情況了。教師板書例題：不解方程，判別下列方程根的情況：2x2+3=7x（師生共同完成，師板書，時間為3分鐘）解:2x2-7x+3=0a=2,b=-7,c=3∵b2-4ac=(-7)2-4×2×3=25>0∴方程有兩個不相等的實數(shù)根?！驹O計意圖：規(guī)范解題格式；體驗用公式法解一元二次方程的步驟，進一步理解求根公式。并引導學生總結公式法解一元二次方程的步驟?！拷處熁顒樱河靡辉畏匠谈呐袆e式來判斷根的情況的一般步驟是什么？學生活動：（1）先將方程化為ax2+bx+c=0(a≠0)的一般形式；（2）確定a、b、c的值，（注意a、b、c的符號）；（3）求解b2－4ac的值；（4）判斷根的情況。教師強調：用一元二次方程根的判別式來判斷根的情況的三個注意點：（1）注意化方程為一般形式；（2）注意a、b、c的確定應包括各自的符號；（3）注意一元二次方程如果有根，應有兩個。教師活動：不解方程，判別下列方程根的情況：x2-7x-18=04x2+1=4x2x2+x+1=0（解答后與公式法過程對照,體會判別式的作用）（時間為5分鐘）學生活動：學生在工具單上完成上面的3道不解方程，判別方程根的情況的題，體會判別式的作用?！驹O計意圖：與前面學生使用公式法解方程的過程形成對比，感受到一元二次方程根的情況，進一步提高學生的思維能力?！俊绢A設效果：a,b,c的符號問題出錯,在方程中學生往往在找某個項的系數(shù)時總是丟掉前面的符號。對于無解的情況不會規(guī)范過程，需要教師及時引導。】四、逆向運用教師活動：上面的結論1中共有三個命題，你能分別說出它們的逆命題嗎？學生思考、交流并回答。教師指出：這三個命題也是真命題，從而得到：結論對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，當方程有兩個不相等的實數(shù)根時，Δ＞0；當方程有兩個相等的實數(shù)根時，Δ＝0；當方程沒有實數(shù)根時，Δ＜0。例2已知關于x的方程x2－3x+k=0，問k取何值時，這個方程有實數(shù)根?學生思考、分析，并與同伴交流與討論，其間，教師可以參與學生的討論，然后請同學說出自己的想法，教師視情況進行點撥：這道題中已知的是什么條件？要得出怎樣的結論？師生共同得到正確的思路，解題過程由學生自行完成后，教師展示參考答案。解：∵方程有實數(shù)根，∴Δ≥0，即(－3)2－4k≥0,解得k≤，∴k≤時，方程有實數(shù)根。變式1：已知關于x的一元二次方程kx2－3x+1=0，問k取何值時，這個方程有實數(shù)根?學生思考、分析，并與同伴交流與討論，師生共同得到正確解題思路。解：∵方程有實數(shù)根，∴Δ≥0，即(－3)2－4k≥0,解得k≤，同時k≠0∴k≤且k≠0時，方程有實數(shù)根。變式2：已知關于x的方程kx2－3x+1=0，問k取何值時，這個方程有實數(shù)根?【設計意圖：已知方程根的情況，要求方程的系數(shù)中所含字母的值或求字母間的關系式。理解充分必要條件，強調一元二次方程中的a≠0，很多同學容易忽略的問題?！课濉⑼卣箲媒處熁顒樱赫故緫妙}——某養(yǎng)雞廠的矩形雞舍靠墻．現(xiàn)在有材料可以制作竹籬笆13米，若欲圍成20平方米的雞舍，雞舍的長和寬應是多少？能圍成22平方米的雞舍嗎，若可以求出長和寬，若不能說明理由．【設計意圖：培養(yǎng)學生利用數(shù)學知識解決實際問題的能力，促使學生養(yǎng)成主動提煉現(xiàn)實生活中的數(shù)學問題的習慣?！苛w納小結我們共同學習了一元二次方程的根的判別式，談談你在本節(jié)課的收獲？及你的困惑？在學生自由發(fā)言的基礎上，師生共同總結：本節(jié)課學習的重點知識是一元二次方程的根的判別式。（1）當時，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）當時，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）當時，一元二次方程無實數(shù)根。這是充分必要條件。以及上述命題與逆命題的功能分為兩類，一類是已知方程的系數(shù)，要判別方程根的情況；另一類是已知方程根的情況，要求方程的系數(shù)中所含字母的值或求字母間的關系式?！驹O計意圖:鼓勵學生積極大膽發(fā)言，可增進師生、生生之間的交流、互動。同時也培養(yǎng)學生口頭表達和交流的能力，增強不斷反思總結的意識?！科?、課堂檢測1.一元二次方程3x2-2x