人教版九年級數(shù)學第一章總復習課件

1、一元二次方程的概念

像這樣的等號兩邊都是整式,只含有一個未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的方程叫做一元二次方程。③都是整式方程;①只含一個未知數(shù);②未知數(shù)的最高次數(shù)是2.即：一元二次方程的共同特點:例1：判斷下列方程是否為一元二次方程？(1)x2+x=36(2)x3+x2=36(3)x+3y=36(5)x+1=0

1.關于x的方程(k－3)x2＋

2x－1＝0,當k

時，是一元二次方程．2.關于x的方程(k2－1)x2＋

2(k－1)x＋

2k＋

2＝0,當k

時，是一元二次方程．當k

時，是一元一次方程．≠3≠±1＝－13.m為何值時，方程（m-1）xm2+1+3x+2=0是關于x的一元二次方程？4.若關于x的方程2mx（x-1）-nx（x+1）=1，化成一般形式后為4x2-2x-1=0，求m、n的值。練習鞏固

?問題(2)要組織一次排球邀請賽,參賽的每兩隊之間都要比賽一場,根據(jù)場地和時間等條件,賽程計劃安排7天,每天安排4場比賽,比賽組織者應邀請多少個隊參加比賽?分析:全部比賽共4×7=28場設應邀請x個隊參賽,每個隊要與其他個隊各賽1場,由于甲隊對乙隊的比賽和乙隊對甲隊的比賽是同一場比賽,所以全部比賽共場.(x-1)即2、根據(jù)題意列一元二次方程3、一元二次方程的一般形式

一般地,任何一個關于x

的一元二次方程都可以化為的形式,我們把(a,b,c為常數(shù)，a≠0）稱為一元二次方程的一般形式。為什么要限制a≠0，b,c可以為零嗎？想一想

ax2+bx+c=0(a≠

0)二次項系數(shù)一次項系數(shù)常數(shù)項找一元二次方程的二次項、一次項系數(shù)及常數(shù)項要先化為一般式例2.把下列方程化為一元二次方程的形式，并寫出它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項：方程一般形式二次項系數(shù)一次項系數(shù)常數(shù)項3x2=5x-1(x+2)(x-1)=64-7x2=03x2－5x＋1＝0x2＋x－8＝0或－7x2＋0

x＋4＝03－5＋11＋1－8－70

43－5

111－8－70

4或7x2

－4＝070－4－7x2＋4＝0能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解.一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.4、一元二次方程的根1.已知x＝-1是方程x2-ax＋6＝0的一個根.則a＝___,另一個根為__.-762.若關于X的一元二次方程的一個根為0.則a的值為（）BA.1B.-1C.1或-1D.3、一元二次方程ax2+bx＋c=0，若x=1是它的一個根，則a+b+c=

.若a-b+c=0，則方程必有一根為

.0-14.已知m是方程x2+x－2009=0的一個根，求m2+m的值為

。提高題：若方程x2a+b-2xa-b+3=0是關于x的一元二次方程，則a、b的值各是多少？

一般地,對于形如x2=a

(a≥0)的方程,根據(jù)平方根的定義,可解得這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法（squarerootextraction）.這樣就將一個一元二次方程轉化成兩個一元一次方程，這一過程稱為一元二次方程的“降次”5、用直接開平方法解一元二次方程12122

練習解下列方程：方程的兩根為:解：

注意：二次根式必須化成最簡二次根式。把一元二次方程的左邊配成一個完全平方式,然后用開平方法求解,這種解一元二次方程的方法叫做配方法.

注意:配方時,等式兩邊同時加上的是一次項系數(shù)一半的平方.6、用配方法解一元二次方程用配方法解一元二次方程的步驟移項:把常數(shù)項移到方程的右邊;化系數(shù)：二次項系數(shù)化為１；配方:方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方;開方:根據(jù)平方根意義,方程兩邊開平方;求解:解一元一次方程;定解:寫出原方程的解.像上面那樣,通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法叫配方法。P9練習22.解下列方程：(5)x2+4x-9＝2x-11P9練習22.解下列方程：(3)3x2+6x-4＝0由上可知，一元二次方程的根由方程的系數(shù)a，b，c確定．因此，解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式 ，當

就得到方程的根，這個式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有兩個實數(shù)根。時，將a，b，c代入式子7、用求根公式法解一元二次方程公式法解一元二次方程的解題過程1.

把方程化成一元二次方程的一般形式寫出方程各項的系數(shù)（系數(shù)包括前面符號）計算出b2-4ac的值，看b2-4ac的值與0的關系，若b2-4ac的值小于0，則此方程沒有實數(shù)根。當b2-4ac的值大于、等于0時，代入求根公式計算出方程的解（2）當 時，有兩個相等的實數(shù)根。（1）當 時，有兩個不等的實數(shù)根。（3）當 時，沒有實數(shù)根。（4）當b2-4ac≥0時，有兩個實數(shù)根。7、一元二次方程的根的情況一般的，式子b2-4ac叫做一元二次方程根的判別式，通常用希臘字母“?”來表示，即?＝b2-4ac。解：方程可化為例2用公式法解下列方程:(3)解：例2用公式法解下列方程：(2)解：方程可化為例2用公式法解下列方程:(4)∴方程無實數(shù)根。2、關于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有兩個不等的實根，則k的取值范圍是（）

A.k>-1B.k>-1

且k≠0C.k<1D.

k<1且k≠0解:∵

＞0∴k＞-1又∵k≠0∴k＞-1且k≠01、關于x的一元二次方程有兩個實根，則m的取值范圍是——.注意：一元二次方程有實根，說明方程可能有兩個不等實根或兩個相等實根的兩種情況。拓展延伸解：∴4.方程2x2-mx-m2=0有一個根為–1,m=

，另一個根為

。分解因式的方法有那些?（1）提取公因式法:（2）公式法:（3）十字相乘法:am+bm+cm=m(a+b+c).a2-b2=(a+b)(a-b),a2±2ab+b2=(a±b)2.x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).回顧與復習2用因式分解法解一元二次方程的步驟

1.方程右邊化為______。

2.將方程左邊分解成兩個___________的乘積。

3.至少________因式為零，得到兩個一元一次方程。

4.兩個___________________就是原方程的根。零一次因式有一個一元一次方程的解AB=0（A、B表示兩個因式）A=0或B=08、用因式分解法解一元二次方程用因式分解使方程化為兩個一次式的乘積等于0的形式,再使這兩個一次式分別等于0,從而實現(xiàn)降次.這種解法叫做因式分解法.1.用因式分解法的條件是:方程左邊能夠分解,而右邊等于零;因式分解法2.理論依據(jù)是:如果兩個因式的積等于零那么至少有一個因式等于零.因式分解法解一元二次方程的一般步驟:一移-----方程的右邊=0;二分-----方程的左邊因式分解;三化-----方程化為兩個一元一次方程;四解-----寫出方程兩個解;因式分解如果a·

b=0，那么a=0或b=0。兩個因式乘積為0，說明什么或降次，化為兩個一次方程解兩個一次方程，得出原方程的根（2）解：移項，得因式分解，得x＋2=0或3x－5=0∴x1=－2

，x2=解：化為一般式為因式分解，得x2－2x+1=0.(x－1)(x－1)=0.有x

－1=0或x

－1=0，x1=x2=1.解：因式分解，得(2x+11)(2x－11)=0.有2x+11=0或2x

－11=0，解：化為一般式為因式分解，得6x2－x

－2=0.(3x

－2)(2x+1)=0.有3x

－2=0或2x+1=0，x2-5x+6=0x2+5x-24=0x2+7x+10=0如果一元二次方程的兩個根分別是、，那么：這就是一元二次方程根與系數(shù)的關系，也叫韋達定理。9、用因式分解法解一元二次方程用根與系數(shù)的關系，不解方程，幾種常見的求值例2：已知方程的一個根是2，求它的另一個根及k的值.

解：設方程的兩個根分別是、，其中。所以：即：由于得：k=-7

答：方程的另一個根是，k=-7例如：已知方程x2＝2x＋1的兩根為x1,x2，不解方程，求下列各式的值。（1）（x1－x2）2

（2）x13x2＋x1x23

（3）1、如果-1是方程2X2－X+m=0的一個根，則另一個根是___，m=____。2、設X1、X2是方程X2－4X+1=0的兩個根，則

X1+X2=

___,X1X2=____，

X12+X22=(X1+X2)2-___=

___(X1-X2)2

=(___)2-4X1X2=___

3、判斷正誤：以2和-3為根的方程是X2－X-6=0（）4、已知兩個數(shù)的和是1，積是-2，則這兩個數(shù)是

_____

。X1+X22X1X2-3411412×2和-1基礎練習（還有其他解法嗎？）引申:1、若ax2

bx

c

0(a

0

0)（1）若兩根互為相反數(shù),則b

0;（2）若兩根互為倒數(shù),則a

c;（3）若一根為0,則c

0

;（4）若一根為1,則a

b

c

0;（5）若一根為

1,則a

b

c

0;（6）若a、c異號,方程一定有兩個實數(shù)根.以為兩根的一元二次方程(二次項系數(shù)為1)為:4、已知兩根求作新的方程例3：已知方程的兩個實數(shù)根是且

求k的值。解：由根與系數(shù)的關系得

X1+X2=-k，X1×X2=k+2

又X12+X2

2=4

即(X1+X2)2-2X1X2=4K2-2(k+2）=4K2-2k-8=0

∵△=K2-4k-8當k=4時，△＜0當k=-2時，△＞0∴k=-2解得：k=4或k=－2例4：方程

有一個正根，一個負根，求m的取值范圍。解:由已知,△={即{m>0m-1<0∴0<m<1總結規(guī)律：兩根均為負的條件：X1+X2

且X1X2

。

兩根均為正的條件：X1+X2

且X1X2

。

兩根一正一負的條件：X1+X2

且X1X2

。

當然，以上還必須滿足一元二次方程有根的條件：b2-4ac≥0

。即：

一正根，一負根△＞0X1X2＜0兩個正根△≥0X1X2＞0X1+X2＞0兩個負根△≥0X1X2＞0X1+X2＜0{{{練習：方程x2

(m

1)x

2m

1

0求m滿足什么條件時,方程的兩根互為相反數(shù)？方程的兩根互為倒數(shù)？方程的一根為零？解:

(m

1)2

4(2m

1)

m2

6m

5①∵兩根互為相反數(shù)∴兩根之和m

1

0,m

1,且

0∴m

1時,方程的兩根互為相反數(shù).②∵兩根互為倒數(shù)

m2

6m

5,∴兩根之積2m

1

1m

1且

0,∴m

1時,方程的兩根互為倒數(shù).③∵方程一根為0,∴兩根之積2m

1

0

且

0,∴時,方程有一根為零.有一個人患了流感,經過兩輪傳染后有121人患了流感,每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人?開始有一人患了流感,第一輪:他傳染了x人,第一輪后共有______人患了流感.第一輪的傳染源第一輪后共有________人患了流感.第二輪的傳染源第二輪:這些人中的每個人都又傳染了x人,第二輪后共有____________________人患了流感.x+1x+11+x+x(x+1)=(x+1)2列方程得1+x+x(x+1)=121x=10;x=-12(舍去)

有一個人收到短消息后,再用手機轉發(fā)短消息,經過兩輪轉發(fā)后共有144人收到了短消息,問每輪轉發(fā)中平均一個人轉發(fā)給幾個人?1+x1+x+(x+x2)分析:設每輪轉發(fā)中平均一個人轉發(fā)給x個人,第一輪后有

人收到了短消息,這些人中的每個人又轉發(fā)了x人,第二輪后共有

個人收到短消息.2.要組織一場籃球聯(lián)賽,賽制為單循環(huán)形式,即每兩隊之間都賽一場,計劃安排15場比賽,應邀請多少個球隊參加比賽?3.要組織一場籃球聯(lián)賽,每兩隊之間都賽2場,計劃安排90場比賽,應邀請多少個球隊參加比賽?4.參加一次聚會的每兩人都握了一次手,所有人共握手10次,有多少人參加聚會?1.某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干,每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支,主干,支干和小分支的總數(shù)是91,每個支干長出多少小分支?主干支干支干……小分支小分支……小分支小分支…………xxx1解:設每個支干長出x個小分支,則1+x+x●x=91即解得,

x1=9,x2=－10(不合題意,舍去)答:每個支干長出9個小分支.5．(數(shù)字問題)兩個連續(xù)奇數(shù)的積是323，求這兩個數(shù)．解法一：設較小奇數(shù)為x，則另一個為x＋2，依題意，得x(x＋2)＝323.整理后，得x2＋2x－323＝0.解得x1＝17，x2＝－19.由x＝17，得x＋2＝19.由x＝－19，得x＋2＝－17.答：這兩個奇數(shù)是17,19或者－19，－17.練習:

美化城市，改善人們的居住環(huán)境已成為城市建設的一項重要內容。某城市近幾年來通過拆遷舊房，植草，栽樹，修公園等措施，使城區(qū)綠地面積不斷增加（如圖所示）。（1）根據(jù)圖中所提供的信息回答下列問題：2001年底的綠地面積為

公頃，比2000年底增加了

公頃；在1999年，2000年，2001年這三年中，綠地面積增加最多的是

____________年；（2）為滿足城市發(fā)展的需要，計劃到2003年底使城區(qū)綠地面積達到72.6公頃，試求2002年,2003年兩年綠地面積的年平均增長率。20001999199820016042000解：設2002年,2003年兩年綠地面積的年平均增長率為x，根據(jù)題意，得