外文翻譯-輪式移動機(jī)器人的導(dǎo)航與控制

畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）外文資料翻譯系部：機(jī)械工程專業(yè)：機(jī)械工程及自動化姓名：學(xué)號：外文出處：（用外文寫）Control andRobotics（CRB）TechnicalReport附 件：1?外文資料翻譯譯文；2.外文原文。指導(dǎo)教師評語：譯文比較正確地表達(dá)了原文的意義、概念描述基本符合漢語的習(xí)慣，語句較通暢，層次較清晰。簽名： 年月日附件1：外文資料翻譯譯文輪式移動機(jī)器人的導(dǎo)航與控制摘要：本文研究了把幾種具有導(dǎo)航功能的方法運(yùn)用于不同的控制器開發(fā)，以實(shí)現(xiàn)在一個已知障礙物前面控制一個開環(huán)系統(tǒng)（例如：輪式移動機(jī)器人）執(zhí)行任務(wù)。第一種方法是基于三維坐標(biāo)路徑規(guī)劃的控制方法。具有導(dǎo)航功能的控制器在自由配置的空間中生成一條從初始位置到目標(biāo)位置的路徑。位移控制器控制移動機(jī)器人沿設(shè)置的路徑運(yùn)動并停止在目標(biāo)位置。第二種方法是基于二維坐標(biāo)路徑規(guī)劃的控制方法。在二維平面坐標(biāo)系中建立導(dǎo)航函數(shù)，基于這種導(dǎo)航函數(shù)設(shè)計(jì)的微控制器是漸進(jìn)收斂控制系統(tǒng)。仿真結(jié)果被用來說明第二種控制方法的性能。1介紹很多研究者已經(jīng)提出不同算法以解決在障礙物雜亂的環(huán)境下機(jī)器人的運(yùn)動控制問題。對與建立無碰撞路徑和傳統(tǒng)的路徑規(guī)劃算法，參考文獻(xiàn)[19]的第一章第九部分中提供了的全面總結(jié)。從Khatib在參考文獻(xiàn)[13]的開創(chuàng)性工作以來，很顯然控制機(jī)器人在已知障礙物下執(zhí)行任務(wù)的主流方法之一依然是構(gòu)建和應(yīng)用位函數(shù)?？傊缓瘮?shù)能夠提供機(jī)器人工作空間、障礙位置和目標(biāo)的位場。在參考文獻(xiàn)[19]中提供對于位函數(shù)的全面研究。應(yīng)用位函數(shù)的一個問題是局部極小化的情況可能發(fā)生以至于機(jī)器人無法到達(dá)目標(biāo)位置。不少研究人士提出了解決局部極小化錯誤的方法（例如參考文獻(xiàn)[2],[3],[5],[14],[25]）。其中Koditschek在參考文獻(xiàn)[16]中提供了一種解決局部極小化錯誤的方法，那是通過基于一種特殊的位函數(shù)的完整系統(tǒng)構(gòu)建導(dǎo)航函數(shù)，此函數(shù)有精確的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，它能夠保證存在唯一最小值。在針對標(biāo)準(zhǔn)的（完整的）系統(tǒng)的先前的結(jié)果的影響下,面對更多的具有挑戰(zhàn)性的非完整系統(tǒng)，越來越多的研究集中于位函數(shù)方法的發(fā)展（例如.,機(jī)器人）。例如,Laumond等人[18]用幾何路線策劃器構(gòu)建了一條忽略機(jī)器人非完全約束的無障礙路線,然后把幾何線路分成更短的線路來滿足非完全限制,然后應(yīng)用最佳路線來減少路程。在[10]和[11]中,Guldner等人使用間斷變化的模式控制器迫使機(jī)器人的位置沿著位函數(shù)的負(fù)傾斜度變動，及其定位與負(fù)傾斜度一致。在[1],[15],和[21]中,持續(xù)的位場控制器也保證了位函數(shù)的負(fù)傾斜度的位置追蹤和定位追蹤。在[9]中，面對目標(biāo)因?yàn)橹苓叺恼系K物而不能達(dá)到這一情況時，Ge和Cui最近提出一種新的排斥的位函數(shù)的方法來解決這一問題。在[23]和[24]中,Tanner等人采用[22]中提出的導(dǎo)航函數(shù)研究和偶極位場概念為一個不完全移動操縱器建立導(dǎo)航函數(shù)控制器。特別是,[23]和[24]中的結(jié)果使用了間斷控制器來追蹤導(dǎo)航函數(shù)的負(fù)傾斜度,在此過程中，一個不平坦的偶極位場使得機(jī)器人按照預(yù)想的定位拐入目標(biāo)位置。本文介紹了為不完全系統(tǒng)達(dá)到導(dǎo)航目標(biāo)的兩種不同的方法。在第一個方法中,產(chǎn)生了一個三維空間似導(dǎo)航函數(shù)的預(yù)想的軌道，它接近于機(jī)器人自由配置空間上的唯一最小值的目標(biāo)位置和定位。然后利用連續(xù)控制結(jié)構(gòu)使機(jī)器人沿著這條路線走，在目標(biāo)位置和定位點(diǎn)停下（例如,控制器解決一體化的追蹤和調(diào)節(jié)問題）。這種方法特別的地方是機(jī)器人根據(jù)預(yù)想的定位到達(dá)目標(biāo)位置，而不需要像許多先前的結(jié)果中一樣轉(zhuǎn)彎。正如[4]和[20]中描述的一樣,一些因素如光線降低現(xiàn)象，更有效處罰離開預(yù)期周線的機(jī)器人的能力，使執(zhí)行任務(wù)速度恒定的能力，以及達(dá)到任務(wù)協(xié)調(diào)性和同步性的能力提高等為按照目前位置和定位壓縮預(yù)期軌道提供動機(jī)。至于即時的二維空間問題設(shè)計(jì)一個連續(xù)控制器，沿著一個導(dǎo)航函數(shù)的負(fù)傾斜度駕駛機(jī)器人到達(dá)目標(biāo)位置。像許多先前的結(jié)果一樣，在線二維空間方法的定位需要進(jìn)一步發(fā)展（例如,一個單獨(dú)的調(diào)節(jié)控制器，一個偶極位場方法[23],[24];或一個有效障礙物[9]）來使機(jī)器人與預(yù)期的定位在一條線上。模擬結(jié)果闡明了第二種方法的效果。2運(yùn)動學(xué)模型本文所討論的不完全系統(tǒng)的種類可以作為運(yùn)動轉(zhuǎn)輪的模型這里曲r「二丁定義為g—[%yc卩]丁4=札札$ - ⑵在（1）中，矩陣定義為TOC\o"1-5"\h\zcoi= 0S(q} 0 \3)"[0 1速度向量；三二定義為v—[%^c]T (4)其中vc(t),3c(t)eR表示系統(tǒng)線速度和角速度。在(2)中，xc(t),yc(t),0(t)eR分別表示位置和定位，xc(t),yc(t)表示線速度的笛卡爾成分,0(t)eR表示角速度。3控制目標(biāo)本文的控制目標(biāo)是在一個有障礙物且混亂的環(huán)境下，沿著無碰撞軌道駕駛不完全系統(tǒng)(例如，機(jī)器人)到達(dá)不變的目標(biāo)位置和定位，用<■三㈡上廠-二表示。特別是從起始位置和定位沿著軌道控制不完全系統(tǒng)，q*eD,這里的D表示一個自由的配置空間。自由配置空間D是整個配置空間的子集，除去了所有含有障礙物碰撞的配置。使軌道計(jì)劃控制量化，實(shí)際笛卡爾位置和定位與預(yù)想的位置和定位之間的差異可表示為，定義為…’如下—^2-“ —y--4卍直全&一g門：這里設(shè)計(jì)了預(yù)想的軌道，因此qd(t)fq*.[16]中，運(yùn)用導(dǎo)航函數(shù)方法，利用似導(dǎo)航函數(shù)生成預(yù)期路線qd(t)。在本文中似導(dǎo)航函數(shù)有如下定義：定義1把D作為連接解析流形和邊界的紐帶，把q*當(dāng)作D內(nèi)部的目標(biāo)點(diǎn).似導(dǎo)航函數(shù)0(q):Df[0,1]是符合下列條件的函數(shù)：0(q(t))第一個命令和可辨第二個命令(例如，存在與D中的和三:)0(q(t))在D的邊界有最大變量。0(q(t))在q(t)=q*上有唯一的全局最小值.如果|耕麗)『HhEn|的—川―，其中￡z,￡reR是正常數(shù)。如果0(q(t))被￡限制,那么代7被￡r限制，其中￡eR是正常數(shù)。4在線三維空間軌道計(jì)劃軌道計(jì)劃生成的預(yù)期的三維空間軌道如下：血=一甲⑷▽歲⑷一5 ⑹其中0(q)eR表示定義1中定義的似導(dǎo)航函數(shù)，―小二1表示0(q)的傾斜向量，―工二-?是另加的限制條件。假設(shè)定義1中定義的似導(dǎo)航函數(shù)，沿著由(6)生成的預(yù)期軌道，確保了輔助條件N(?)eR3,表示為v全評山丿不0屜1—護(hù)也)▽護(hù)加)■U)滿足了下面的不等式INIIpfef*Ikll (8)其中正函數(shù)p(?)在IL7和I卜II中是不減少的。(8)中給的不等式將在以后的穩(wěn)定性分析中用到。模型轉(zhuǎn)換為了達(dá)到控制目標(biāo)，控制器必須能夠追蹤預(yù)期軌道，停在目標(biāo)位置q*上.最后,使用［7］中提到的統(tǒng)一追蹤和調(diào)節(jié)控制器。為了改進(jìn)［7］中的控制器,必須把(5)中定義的開路錯誤系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為合適的形式。(5)中定義的位置和定位循跡誤差信號通過以下全應(yīng)可逆轉(zhuǎn)換［8］和輔助循跡誤差變量w(t)eR和—3cge占十2sinQ—&sin.&—2cds9000LCPS&&inG0運(yùn)用(9)中的時間導(dǎo)數(shù)和(1)-(5)及(9)后,根據(jù)(9)定義的輔助變數(shù)，循跡誤差可表示為[8]■w=\i.TJTz—f (10：z=u其中/三二'：表示不相稱矩陣，定義為"[1Ji⑴)二二定義為f^2'_-dn 門](12：(10)中介紹的輔助控制輸入譏勺空[呦⑹心購r匚底根據(jù):廠勺a，?1'和農(nóng)「定義如下控制發(fā)展為了促進(jìn)控制發(fā)展，一個輔助誤差信號，用■-r，---?表示，是后來設(shè)計(jì)的動態(tài)似振蕩器信號：:廠和轉(zhuǎn)換的變量z(t)之間的差別，如下-=W.—孟 〔1」：根據(jù)(10)中開路運(yùn)動系統(tǒng)和后來的穩(wěn)定性分析，我們把u(t)設(shè)計(jì)為[7]:c=%—幻二 [15：其中k2eR是正的不變的控制增長率。(15)中介紹的輔助控制條件■：.|?三二定義為其中輔助信號■：.|?三二定義為其中輔助信號zd(t)由下列微分方程式和初始條件決定輔助條件Q1(w,f,t)eRand6d(t)eR分別為和expj—qt4st [19),k1,a0,a1,￡1eR是正的不變的控制增長率，:'汀」?在(12)中有定義。正如[8]中描述的一樣,(17)和(19)中結(jié)構(gòu)是以以下事實(shí)為基礎(chǔ)的ll^ll2=砒 (20)根據(jù)⑼，e(t)f能夠用■■■■r\ ■「和：?’表示出來，如下其中.勺'二才匚卞：，仁寸]r--2^1i丄玄-1-2其中.勺'二才匚卞：，仁寸]r--2^1i丄玄-1-2-OsCQ-Cc1-2表示為(23：在隨后的穩(wěn)定性分析推動下，附加的限制條件vr(t)表示如下

-I-= 壬甲?)-心就寸石伽) (34)其中k3,k4eR是正的不變的控制增長率，正函數(shù)p1(zdl,z1,qd,e),p2(zd1,z1,qd,e)eR表示為P岸P(陰E)||殆II P占pEl^2II(⑸4.4閉環(huán)誤差系統(tǒng)把(15)替換到(10)中后，得到含有w(t)如下的公式也=訐幾—訐幾d—f 〔絢這里利用了(14)和(11)中J的屬性。第二次出現(xiàn)ua(t)時把(16)替換到(26)中，利用(20)和(11)中J的屬性，最終得到的w(t)閉環(huán)誤差系統(tǒng)表達(dá)式如下込=It：—亢！1U- '?7：為了確定I「閉環(huán)誤差系統(tǒng)，我們運(yùn)用(14)中的時間導(dǎo)數(shù)，替換(10)和(17)到最終表達(dá)式，達(dá)到下面的表達(dá)式替換(15)替換(15)和(16)到(28),(28)可以寫成已)第二次出現(xiàn)Q1(t)時，替換(18)到(29)，然后刪去相同部分，得到表達(dá)式:三=_i邊三_心』( —JJ— . (30'：因?yàn)?30)中的相等條件和(16)中定義的ua(t)是一樣的，得到；「閉環(huán)誤差系統(tǒng)的最終表達(dá)式如下z=—葩玄+wJua. (31)備注1根據(jù)(19)中6d(t)接近任意小常量，(16),(17)，和(18)中禁止產(chǎn)生位奇點(diǎn)。4.5穩(wěn)定性分析法則1倘若qd(0)eD,(6)中產(chǎn)生的預(yù)期軌道連同附加的限制條件vr(t)保證了WX和:其中￡r在定義1中有解釋。證明：讓V(t)eR表示下面的函數(shù)TOC\o"1-5"\h\z#=m (32i其中keR是一個正常數(shù),V1(t)eR表示下面的函數(shù)%=斗護(hù)％ (33)V2(qd):D-R表示下面的一個函數(shù)門=戸心)- (汩.|運(yùn)用(33)中時間導(dǎo)數(shù)，替換(27)和(31)到最終的表達(dá)式，刪去相同部分，得到下面的表達(dá)式%=一銚屏-覘詳M 05}運(yùn)用(34)中時間導(dǎo)數(shù)和(6)，得到下面的表達(dá)式鈕)=(7^W)T^- ［陶=-忖卩(知)『護(hù)伽)一；7R恥)嚴(yán)*—(不3鈕)產(chǎn)珈其中N(?)在(7)中有定義。根據(jù)(8),V2(t)是上限，如下門< -IIV^(^)11^(^-!) 0!~P專||V^(7d)||||e||+(W(?d))T^r-替換(21)到(37),得到下面的不等式V2W-忖沁加)1S如 陽+P12ii：刃蟲右町V^^djll血您+P,E；如廚0訐④)|||滋+〔7尹@))2■齢其中向量也"丁表示如下正函數(shù)p1(zdl,z1,qd,e)和p2(zdl,z1,qd,e)在(25)中有所定義。替換(24)到(38),V2(t)可以重新寫成如下’w—He斶答如-￡i；^-||s||-；i+1||M-.34根據(jù)(35)和(40),(32)中V(t)的時間導(dǎo)數(shù)可以按下面的不等式得到上限VW—阡J_矗||汀 ui)一||p\?gd!I*歸i：張)一七『其中正常數(shù)-三二表示如下其中正常數(shù)-三二表示如下案例1:如果—［「，根據(jù)定義1中屬性4,得到H-^"11冬->案例2:如果—■' _ 「，根據(jù)(32),(33),(34),和(41)得到min丄匕小和f「是正常數(shù)?根據(jù)(42),V(t)得到上限如下因此屮)円)根據(jù)(32),(34),和(44),得到円)y7:if;)笛貯(k:dD—用｛l'i(o〕-匸；皿如果qd(0)不在D的邊界，0(qd(0))<1,k可以符合；皿百(如⑼)+血(+于)c1.根據(jù)(45)和(46),0(qd(t))<1,因此從定義1得到qd(t)eD,從(43)可以得出，0(qd)最終被尹限制。法則2 (15)-(19)中運(yùn)動學(xué)控制法保證全局統(tǒng)一最終限制的(GUUB)位置和定位按下面公式追蹤其中￡其中￡1在(19)中給定，二證明:根據(jù)(33)和(35),V1(t)根據(jù)(48),得到下面的不等式根據(jù)(33)和(49),得到w(t), 「-eL-.根據(jù)(19)和證明:根據(jù)(33)和(35),V1(t)根據(jù)(48),得到下面的不等式根據(jù)(33)和(49),得到w(t), 「-eL-.根據(jù)(19)和(20),我們可以得到zd(t)eL—.根據(jù)(14)和廠，zd(t)eL—,得到z(t)eL—.因?yàn)閣(t),z(t)eL—,根據(jù)(9)中的逆轉(zhuǎn)換,e(t)eL—.根據(jù)法則1中qd(t)eL—和e(t)eL—,得到q(t)eL—.由于(22)-(25),qd(t),zd(t),z(t),e(t)eL—,及定義1中的性質(zhì)，我們得到vr(t).qd(t)eL—.根據(jù)(12)和q(t),z(t),qd(t)eL—,f(0,z2,qd)eL—.然是正常數(shù).得到上限如下%(和瘟gpf—2min］鬲：心｝ijV:：0). (49.1根據(jù)(33),(49)可以被寫成||血(圳範(fàn)眈p ｛虬臉｝竹||眄(0川(50)其中向量屮1(t)在(39)中有定義。(t),zd(t)后根據(jù)(⑻得到Q1(t)eL—.根據(jù)(15)-(17)得到u(t),uaeL—.根據(jù)f(0,z2,qd),z(t),u(t)eL—,利用(10)得到w(t),z(t)eL—.由于z(t),zd(t)eL—得到〔el—.利用論據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)信(t),zd(t)號可以得出控制之下的所有的剩余信號和系統(tǒng)在閉環(huán)試驗(yàn)中仍然被限定。根據(jù)(19),(20),(39),和(50),把三元不等式應(yīng)用到(14)可以證明hllW|R||+||^-|| (51)wexp(-min｛虬｝t)|0(Dl||利用(50)-(51),根據(jù)(9)中的逆轉(zhuǎn)換得到(47)中的結(jié)果。備注2雖然qd(t)是無碰撞軌道，如果只確保實(shí)際機(jī)器人軌道在預(yù)期路線的附近，法則2的穩(wěn)定性結(jié)果保證了軌道的實(shí)際追蹤。根據(jù)(5)和(47),得到下面的限制hll<\M\+v'^2exp(-yoij-歯乍：(^2)其中根據(jù)法則1的證明，qd(t)eD.為了確保q(t)eD,自由配置空間需要處于(52)右邊的第二和第三條件共同作用。最后，障礙物的大小可以增加7二—二門。其中通過調(diào)節(jié)控制增加率，￡3￡1可以任意小。為了使￡2的影響最小化，起始條件w(0)和z(0)(因此要求足夠小來產(chǎn)生可行的路線到達(dá)目標(biāo)。在線二維空間導(dǎo)航先前的方法中，因?yàn)樗茖?dǎo)航函數(shù)用預(yù)期軌道表示，障礙物的尺寸要求增加。在下面的方法中，［22］提出的導(dǎo)航函數(shù)是根據(jù)現(xiàn)有位置反饋表示出來的，因此，不需要在起始條件里添加限制，q(t)就可以證明是D的一部分。5.1軌道編制讓0(xc,yc)eR表示二維空間位置型導(dǎo)航函數(shù)，其中梯度向量G(xc,yc)定義如下讓8d(xc,yc)eR表示預(yù)期定位，定義為一個二維空間導(dǎo)航函數(shù)的負(fù)梯度函數(shù)，如下其中arctan2(?):R2fR表示第四象限逆切線函數(shù)［26］,其中8d(t)在下面的定義域中按照［21］規(guī)定，通過定義I—、： 二,沿著任何到達(dá)目標(biāo)位置的方向8d(t)仍然是連續(xù)的。見附錄8d(t)的表達(dá)式，根據(jù)先前的0d(t)連續(xù)定義。備注3正如［22］中討論的，函數(shù)0(q(t))的建立，結(jié)合導(dǎo)航函數(shù)，滿足定義1的前三個性質(zhì)因?yàn)榕懦收喜皇呛唵蔚膯栴}。事實(shí)上,對與典型的故障排除來說，建立0(q(t))如只有當(dāng)q(t)二q時，立='-，是不大可能的。這就是說，如［22］所述，內(nèi)部承受點(diǎn)的外觀(如不穩(wěn)定平衡)好像不可避免;可是，這些不穩(wěn)定均衡不會真正造成實(shí)踐中的困難。這就是說，如［22］所述可以建立0(q(t))，只有少數(shù)起始條件能夠真正受不穩(wěn)定均衡影響。5.2控制發(fā)展根據(jù)(1)-(4)介紹的開路系統(tǒng)和后來的穩(wěn)定性分析，線速度控制輸入vc(t)表示如下其中kveR表示正的不變的控制增長率，卄在(5)中有介紹。替換(55)到(1)，得到下面的閉環(huán)系統(tǒng)運(yùn)用(5)中時間導(dǎo)數(shù) ，得到開路定位追蹤誤差系統(tǒng)，如下.利用(1),根據(jù)(57)，角速度控制輸入3c(t)表示如下［旳）其中k3eR表示正的不變的控制增長率，0d(t)表示預(yù)期定位的時間導(dǎo)數(shù)。見附錄0d(t)外部表達(dá)式。替換(58)到(57),通過下面的線性關(guān)系，得到閉環(huán)定位追蹤誤差系統(tǒng)線性分析技巧用來解決(59)如下替換(60)到(56)，得到下面的閉環(huán)誤差系統(tǒng)5.3穩(wěn)定性分析法則3(55)和(58)中的控制輸入和導(dǎo)航函數(shù) (xc(t),yc(t))在下列條件下保證了漸近導(dǎo)航I?(七)—兀*|，I勒(才)—I，d(t)—0ast―oc.(62)證明：讓V3(xc,yc):DfR表示下面的非負(fù)函數(shù)G(比一九］空創(chuàng)哄：決「 陰運(yùn)用(63)時間導(dǎo)數(shù)，利用(1),(53),和(56)，得到下面的表達(dá)式根據(jù)附錄的說明,導(dǎo)航函數(shù)的梯度可表示為替換(65)到(64),得到下面的表達(dá)式Vj=—kv▽爭2(coscos-I-smsm^c()cos(66)利用三角恒等式，(66)可以寫成辺=一0：巧 仰：其中g(shù)(t)eR表示下面的正函數(shù)炎)亙觥||舲||鼻叱瞋 (68)根據(jù)(53)和導(dǎo)航函數(shù)的屬性(與定義1的屬性1相同)，可以得到一-n 。因此，根據(jù)(55)可以得出vc(t)eL-.附錄同樣證明了8d(t)eL—onD;因此，根據(jù)(58)得出3c(t)eL-.根據(jù)vc(t)eL

到下面的表達(dá)式因?yàn)閤c(t),yc(t)eL0,到下面的表達(dá)式因?yàn)閤c(t),yc(t)eL0,限制(與定義1的屬性1相同),可以得到g(t)eLo.根據(jù)(63),(67),(68),和g(t)eLo，那么輔助定理［6］中的A.6可以用來證明||號。蛻)|2匚品0—o >70：在D區(qū)域.根據(jù)co：-7：-—1,那么(70)可以用來證明IV- -—因此根據(jù)備注3中的分析，可以得到(62)中的結(jié)果。備注4這部分控制發(fā)展是以一個二維空間導(dǎo)航函數(shù)為基礎(chǔ)的.為了達(dá)到目標(biāo),a預(yù)期的定位0d(t)看作是二維空間導(dǎo)航函數(shù)的負(fù)梯度函數(shù).先前的發(fā)展可以用來證明(62)的結(jié)果。如果一個導(dǎo)航函數(shù)0(xc,yc)能夠在0d|(x*c，評c)=0*中找到，那么漸近導(dǎo)航可以通過(55)和(58)中控制器達(dá)到；否則，根據(jù)0d|(x*c,y*c)-0*一個標(biāo)準(zhǔn)的調(diào)節(jié)控制器(如?，見［8］中的候選控制器)可能用來調(diào)節(jié)機(jī)器人的定位。作為選擇,偶極位場方法［23］,［24］或有效障礙物［9］可以用來使導(dǎo)航函數(shù)的梯度場與機(jī)器人的目標(biāo)定位成一行。模擬結(jié)果為了說明(55)和(58)中控制器的成效，用數(shù)值模擬駕駛機(jī)器人從q(xc(0),yc(0),0 (0))到q*(x*c,y*c,0*)。因?yàn)閷?dǎo)航函數(shù)的屬性是不變的underadiffeomorphism,adiffeomorphism用來繪制機(jī)器人自由配置空間到模型空間［17］.正函數(shù)0(xc,yc)如下譏7= (%-珥「+(齡一城尸———.其中K是正整數(shù)參量，邊界函數(shù)p0(xc,yc)eR,障礙函數(shù)01(xc,yc)wR定義如下在(72)中，(xrO,yr0)和(xr1,yr1)分別是障礙物和分界線的中心，r0,r1eR分別是障礙物和界面的半徑。根據(jù)(71)和(72),可以看出模型空間是一個排除障礙物函數(shù)01(xc,yc)形成的圓的單位圓.如果更多的障礙物出現(xiàn),相應(yīng)的障礙物函數(shù)就能簡單的和導(dǎo)航函數(shù)［17］合成一體.在［17］中,Koditschek證明(xc,yc)in(71)是關(guān)于(xc(t),yc(t))的導(dǎo)航函數(shù)，假設(shè)K足夠大.由于模擬，模型空間配置選擇如下%=0論°=° 巾=1工壯=0沿1=0.1『I=0.15其中起始位置和目標(biāo)配置為</(0i=_0.1 0.6 51.6］r0=［-0.2 -04-40.1］r.利用(55)和(58)中定義的控制輸入沿著負(fù)梯度角駕駛機(jī)器人到目標(biāo)點(diǎn)?？刂圃鲩L率kv和k3調(diào)整到下面的值來產(chǎn)生最好的效果/■:L：=0.3 =17. 盲3：一旦機(jī)器人到達(dá)目標(biāo)位置，［8］中的調(diào)節(jié)控制器按照ed|(x*c,y*c)-e*調(diào)節(jié)機(jī)器人。機(jī)器人的實(shí)際軌道如圖1所示。.圖1中的外圓描述了障礙物自由空間外邊界,內(nèi)部的圓代表了障礙物周圍的邊界。機(jī)器人的最終位置和定位誤差如圖2所示,其中轉(zhuǎn)動誤差如圖2所示是實(shí)際定位和目標(biāo)定位之間的誤差。(55)和(58)分別定義的控制輸入速度vc(t)和3c(t)如圖3所示。值得注意的是角速度輸入在±90［deg?s—1］之間人為飽和。結(jié)論兩種方法都把導(dǎo)航函數(shù)方法合并到不同的控制器，在已知障礙物面前執(zhí)行任務(wù)。第一種方法利用以3D位置和定位信息為基礎(chǔ)的似導(dǎo)航函數(shù)。似導(dǎo)航函數(shù)生成一條軌道從自由配置空間里的初始配置到目標(biāo)配置.一個可微的振蕩器型控制器使這個移動式遙控裝置沿著這條路線走，在目標(biāo)位置停止.。利用這種方法,機(jī)器人可以用一個任意的目標(biāo)定位產(chǎn)生統(tǒng)一最終綁定路線和調(diào)節(jié)目標(biāo)點(diǎn)（例如.,機(jī)器人不需要固定在目標(biāo)位置旋轉(zhuǎn)來達(dá)到預(yù)期的定位）。第二種方法使用的是二維空間位置信息建立的導(dǎo)航函數(shù)。根據(jù)這個導(dǎo)航函數(shù)，使用一個可辨的控制器。這個方法的好處是產(chǎn)生了漸近位置收斂;可是，機(jī)器人如果沒有附加的條件就不能在任意定位停止。模擬結(jié)果用來說明第二種方法的效

【邑尬■展?￡Jiu.Figure【邑尬■展?￡Jiu.Figure2:卩ositiona^dGrieniatio^errors.■i0Tme閣Figure3:Linearandangularvelocityhiputiz.附錄根據(jù)(54)中ed(t)的定義，ed(t)可用自然對數(shù)表示的表達(dá)式如下[26]屮』=寺卜叫一廠心)利用(74)得到下面的表達(dá)式利用(75)和(76),得到下面的表達(dá)式CCB1：吐)sin：^rf)根據(jù)(74)中的表達(dá)式，Od(t)的時間導(dǎo)數(shù)可以寫成其中，替換(1),(79),和(80)到(78),得到下面的表達(dá)式替換(55)和(77)到(81),得到下面的表達(dá)式定義1的第一部分限制了黑森矩陣的每個元件，因此根據(jù)(82),直接得到UOd(t)附件2：外文原文(復(fù)印件)NavigationandControlofaWheeledMobileRobotAbstract:Severalapproachesforincorporatingnavigationfunctionapproachintodifferentcontrollersaredevelopedinthispaperfortaskexecutionbyanonholonomicsystem(e.g.,awheeledmobilerobot)inthepresenceofknownobstacles.Thefirstapproachisapathplanning-basedcontrolwithplanningadesiredpathbasedona3-dimensionalpositionandorientationinformation.Anavigation-likefunctionyieldsapathfromaninitialconfigurationinsidethefreeconfigurationspaceofthemobilerobottoagoalconfiguration.Adifferentiable,oscillator-basedcontrolleristhenusedtoenablethemobilerobottofollowthepathandstopatthegoalposition.Asecondapproachisdevelopedforanavigationfunctionthatisconstructedusing2-dimensionalpositioninformation.Adifferentiablecontrollerisproposedbasedonthisnavigationfunctionthatyieldsasymptoticconvergence.Simulationresultsareprovidedtoillustratetheperformanceofthesecondapproach.1IntroductionNumerousresearchershaveproposedalgorithmstoaddressthemotioncontrolproblemassociatedwithrobotictaskexecutioninanobstacleclutteredenvironment.Acomprehensivesummaryoftechniquesthataddresstheclassicgeometricproblemofconstructingacollision-freepathandtraditionalpathplanningalgorithmsisprovidedinSection9,.LiteratureLandmarksofChapter1of[19].SincethepioneeringworkbyKhatibin[13],itisclearthattheconstructionanduseofpotentialfunctionshascontinuedtobeoneofthemainstreamapproachestorobotictaskexecutionamongknownobstacles.Inshort,potentialfunctionsproducearepulsivepotentialfieldaroundtherobotworkspaceboundaryandobstaclesandanattractivepotentialPeldatthegoalconfiguration.Acomprehensiveoverviewofresearchdirectedatpotentialfunctionsisprovidedin[19].Oneofcriticismsofthepotentialfunctionapproachisthatlocalminimacanoccurthatcancausetherobottogetstuckwithoutreachingthegoalposition.Severalresearchershaveproposedapproachestoaddressthelocalminimaissue(e.g.,see[2],[3],[5],[14],[25]).OneapproachtoaddressthelocalminimaissuewasprovidedbyKoditschekin[16]forholonomicsystems(seealso[17]and[22])thatisbasedonaspecialkindofpotentialfunction,coinedanavigationfunction,thathasarefinedmathematicalstructurewhichguaranteesauniqueminimumexists.Byleveragingfrompreviousresultsdirectedatclassic(holonomic)systems,morerecentresearchhasfocusedonthedevelopmentofpotentialfunction-basedapproachesformorechallengingnonholonomicsystems(e.g.,wheeledmobilerobots(WMRs)).Forexample,Laumondetal.[18]usedageometricpathplannertogenerateacollision-freepaththatignoresthenonholonomicconstraintsofaWMR,andthendividedthegeometricpathintosmallerpathsthatsatisfythenonholonomicconstraints,andthenappliedanoptimizationroutinetoreducethepathlength.In[10]and[11],Guldneretal.usediscontinuous,slidingmodecontrollerstoforcethepositionofaWMRtotrackthenegativegradientofapotentialfunctionandtoforcetheorientationtoalignwiththenegativegradient.In[1],[15],and[21],continuouspotentialfield-basedcontrollersaredevelopedtoalsoensurepositiontrackingofthenegativegradientofapotentialfunction,andorientationtrackingofthenegativegradient.Morerecently,GeandCuipresentanewrepulsivepotentialfunctionapproachin[9]toaddressthecasewhenthegoalisnon-reachablewithobstaclesnearby(GNRON).In[23]and[24],Tanneretal.exploitthenavigationfunctionresearchof[22]alongwithadipolarpotentialfieldconcepttodevelopanavigationfunction-basedcontrollerforanonholonomicmobilemanipulator.Specifically,theresultsin[23]and[24]useadiscontinuouscontrollertotrackthenegativegradientofthenavigationfunction,whereanonsmoothdipolarpotentialfieldcausestheWMRtoturninplaceatthegoalpositiontoalignwithadesiredorientation.Inthispaper,twodifferentmethodsareproposedtoachieveanavigationobjectiveforanonholonomicsystem.Inthefirstapproach,a3-dimensional(3D)navigation-likefunction-baseddesiredtrajectoryisgeneratedthatisproventoultimatelyapproachtothegoalpositionandorientationthatisauniqueminimumovertheWMRfreeconfigurationspace.AcontinuouscontrolstructureisthenutilizedthatenablestheWMRtofollowthepathandstopatthegoalpositionandorientationsetpoint(i.e.,thecontrollersolvestheunifiedtrackingandregulationproblem).TheuniqueaspectofthisapproachisthattheWMRreachesthegoalpositionwithadesiredorientationandisnotrequiredtoturninplaceasinmanyofthepreviousresults.Asdescribedin[4]and[20],factorssuchastheradialreductionphenomena,theabilitytomoreeffectivelypenalizetherobotforleavingthedesiredcontour,theabilitytoincorporateinvariancetothetaskexecutionspeed,andtheimprovedabilitytoachievetaskcoordinationandsynchronizationprovidemotivationtoencapsulatethedesiredtrajectoryintermsofthecurrentpositionandorientation.Fortheon-line2Dproblem,acontinuouscontrollerisdesignedtonavigatetheWMRalongthenegativegradientofanavigationfunctiontothegoalposition.Asinmanyofthepreviousresults,theorientationfortheon-line2Dapproachrequiresadditionaldevelopment(e.g.,aseparateregulationcontroller;adipolarpotentialfieldapproach[23],[24];oravirtualobstacle[9])toaligntheWMRwithadesiredorientation.Simulationresultsareprovidedtoillustratetheperformanceofthesecondapproach.2KinematicModelTheclassofnonholonomicsystemsconsideredinthispapercanbemodeledasakinematicwheelwhere；：- ；。二-「aredefinedasg—yc卩]丁4=札札d- ⑵In(1),thematrixJ；匚二'：isdefinedasfollowscoiz&0S(q}siti^0 \3)01

andthevelocityvectow二'isdefinedaswithvc(t),?c(t)WRdenotingthelinearandangularvelocityofthesystem.In(2),xc(t),yc(t),and0(t)WRdenotethepositionandorientation,respectively,xc(t),yc(t)denotetheCartesiancomponentsofthelinearvelocity,and0(t)WRdenotestheangularvelocity.3ControlObjectiveThecontrolobjectiveinthispaperistonavigateanon-holonomicsystem(e.g.,awheeledmobilerobot)alongacollision-freepathtoaconstant,goalpositionandorientation,denotedby必三、..門 w二，inanobstacleclutteredenvironmentwithknownobstacles.Specifically,theobjectiveistocontrolthenon-holonomicsystemalongapathfromaninitialpositionandorientationtoq*WD,whereDdenotesafreeconfigurationspace.ThefreeconfigurationspaceDisasubsetofthewholeconfigurationspacewithallconfigurationsremovedthatinvolveacollisionwithanobstacle.Toquantifythepathplanning-basedcontrolobjective,thedifferencebetweentheactualCartesianpositionandorientationandthedesiredpositionandorientation,denotedby「廠三〉：”;；：?：..二?：.；p, is defined as八]"asfollows八]"asfollows文蘭攵T一“ ?蘭4一 &皂e一4 ：3：wherethedesiredtrajectoryisdesignedsothatqd(t)fq*.Motivedbythenavigationfunctionapproachin[16],anavigation-likefunctionisutilizedtogeneratethedesiredpathqd(t).Specifically,thenavigation-likefunctionusedinthispaperisdefinedasfollowsDefinition1LetDbeacompactconnectedanalyticmanifoldwithboundary,andletq*beagoalpointintheinteriorofD.Thenavigation-likefunction甲(q):Df[0,1],isafunctionsatisfiesthefollowingproperties:甲(q(t))isfirstorderandsecondorderdifferentiable(i.e.,"existonD)."existonD).甲(q(t))obtainsitsmaximumvalueontheboundaryofD.甲(q(t))hasuniqueglobalminimumatq(t)=q.IfI知⑷卯「U閒 with￡Z,srERbeingknownpositiveconstants.If9(q(t))isultimatelyboundedbys,then|忖〔勾-b||isultimatelyboundedbysrwithsERbeingsomeknownpositiveconstant.4Online3DPathPlanner4.1TrajectoryPlanningThe3DdesiredtrajectorycanbegeneratedonlineasfollowsQd=一爭⑷v爭a—g e)where9(q)ERdenotesanavigation-likefunctiondefinedinDefinition1,—二二：denotesthegradientvectorof9(q),and：匚二:isanadditionalcontroltermtobedesigned.AssumptionThenavigation-likefunctiondefinedinDefinition1alongwiththedesiredtrajectorygeneratedby(6)ensuresanauxiliarytermsN(?)ER3,definedasv全/心q甲gj—爭?€爭■ 17)satisfythefollowinginequality||e|| (S)wherethepositivefunctionp(?)isnondecreasingin;：and.Theinequalitygivenby(8)willbeusedinthesubsequentstabilityanalysis.4.2ModelTransformationToachievethecontrolobjective,acontrollermustbedesignedtotrackthedesiredtrajectorydevelopedin(6)andstopatthegoalpositionq.Tothisend,theunifiedtrackingandregulationcontrollerpresentedin[7]canbeused.Todevelopthecontrollerin[7],theopen-looperrorsystemdefinedin(5)mustbetransformedintoasuitableform.Specifically,thepositionandorientationtrackingerrorsignalsdefinedin(5)arerelatedtotheauxiliarytrackingerrorvariablesw(t)€Rand廠三?j::廠「二二]throughthefollowingglobalinvertibletransformation[8]TOC\o"1-5"\h\zW 1r —0co&(9+2sin —&sin.&—2cos& 0 Sf2T1 = 0 0 1 & ■衍 J cos& Bin& 0 &■紹Aftertakingthetimederivativeof(9)andusing(1)-(5)and(9),thetrackingerrordynamicscanbeexpressedintermsoftheauxiliaryvariablesdefinedin(9)asfollows[8]where「二"denotesaskew-symmetricmatrixdefinedasand：已H二--isdefinedasf -SLY1&匚0汀門](12|Theauxiliarycontrolinput譏土；1蘭[幻&式口:匚R-introducedin(10)isdefinedintermsof ° 「'；；?l-and：；：?lasfollows4.3ControlDevelopmentTofacilitatethecontroldevelopment,anauxiliaryerrorsignal,denotedby5二,isdefinedasthedifferencebetweenthesubsequentlydesigneddynamicoscillator-likesignal：：.-二handthetransformedvariablez(t),definedin(9),asfollows二=鼻—z. 1.14：Basedontheopen-loopkinematicsystemgivenin(10)andthesubsequentstabilityanalysis,wedesignu(t)asfollows[7]:c=%—k二二 (15：wherek2WRisapositive,constantcontrolgain.Theauxiliarycontrolterm：*三introducedin(15)isdefinedaswheretheauxiliarysignalzd(t)isdefinedbythefollowingdifferentialequationandinitialcondition遷?隔⑼=呵0：. (I?)TheauxiliarytermsQI(w,f,t)WRand8d(t)WRaredefinedasandrespectively,k1,a0,a1,￡1WRarepositive,constantcontrolgains,and；宀：：；.、wasdefinedin(12).Asdescribedin[8],motivationforthestructureof(17)and(19)isbasedonthefactthatBasedon(9),e(t)canbeexpressedintermsof ；and：??廠zd(t)asfollows

whereEi|匚二''匚二'-aredefinedasfollows+知sin&cos0whereEi|匚二''匚二'-aredefinedasfollows—+沁cos&fiin91_0Motivatedbythesubsequentstabilityanalysis,theadditionalcontroltermvr(t)in(6)isdesignedasfollowsTOC\o"1-5"\h\zs=~.k3pl—幻血)-心就vt- (24)wherek3,k4WRdenotespositive,constantcontrolgains,andthepositivefunctionspl(zdl,zl,qd,e),p2(zd1,z1,qd,e)WRaredefinedasfollowsP岸p(q心點(diǎn))||場|| p2- ^21| (35)4.4Closed-loopErrorSystemAftersubstituting(l5)into(l0),thedynamicsforw(t)canbeobtainedasfollows心=代兀-直廠曲―； (26}where(l4)andthepropertiesofJin(ll)wereutilized.Aftersubstituting(l6)into(26)foronlythesecondoccurrenceofua(t),utilizing(20)andthepropertiesofJin(ll),thefinalexpressionfortheclosed-looperrorsystemforw(t)canbeobtainedasfollowsTodeterminetheclosed-looperrorsystemfor：?■,wetakethetimederivativeof(l4)andthensubstitute(l0)and(l7)intotheresultingexpressiontoobtainthefollowingexpressionAftersubstituting(15)and(16)into(28),(28)canberewrittenasfollowsAftersubstituting(18)into(29)foronlythesecondoccurrenceofQI(t)andthencancelingcommonterms,thefollowingexpressioncanbeobtained三=一丘2三一皿/( —JJ— ? I.30)Sincethebracketedtermin(30)isequaltoua(t)definedin(16),thefinalexpressionfortheclosed-looperrorsystemfori「canbeobtainedasfollows□=—用2三一IL-丿農(nóng)n. !31:Remark1Basedonthefactthat8d(t)of(19)exponentiallyapproachesanarbitrarilysmallconstant,thepotentialsingularitiesin(16),(17),and(18)arealwaysavoided.4.5StabilityAnalysisTheorem1Providedqd(0)三D,thedesiredtrajectorygeneratedby(6)alongwiththeadditionalcontroltermvr(t)designedin(24)ensuresthatw亍and際-H)-八|Wn.wheresrisdefinedinDefinition1.Proof:LetV(t)三Rdenotethefollowingfunctionv=kVi-\2 (32iwherekWRisapositiveconstant,V1(t)三RdenotesthefollowingfunctionandV2(qd):D—RdenotesafunctionasfollowsTOC\o"1-5"\h\z視O蘭護(hù)?：)- [卻Aftertakingthetimederivativeof(33)andthensubstituting(27)and(31)intotheresultingexpressionandcancellingcommonterms,thefollowingexpressioncanbeobtainedT；=一冊⑷乜-處浮M (35)Aftertakingthetimederivativeof(34)andutilizing(6),thefollowingexpressioncanbeobtained“俗)=㈡字如)產(chǎn)張 >36)=-llv^(^l||2十(wi^d))T-v-(v(血)尸*whereN(?)isdefinedin(7).Basedon(8),uV2(t)canbeupperboundedasfollows-pig?IIv-^(^)ll||e||+ *Aftersubstituting(21)into(37),thefollowinginequalitycanbeobtainedr2W-IIV^'t^)||2 陽+m〔切V乩門VJ-wWWi(F;+p] ~.T-；；?0-)|lW-d+tv譏wherethevector‘卜「三>isdefinedasfollowsandthepositivefunctionpl(zdl,zl,qd,e)andp2(zdl,zl,qd,e)aredefinedin(25).Aftersubstituting(24)into(38),V2(t)canberewrittenasfollowsBasedon(35)and(40),thetimederivativeofV(t)in(32)canbeupper

boundedbythefollowinginequality円）Vw—和-J—鮎I抖円）—Ilv百佃』『幻（弘）斗右I函『wherethepositiveconstant'三-aredefinedasfollowsCase1:If— ：門" :,fromtheProperty4inDefinition1,itisclearCase2:If_-；「「 -,itisclearfrom(32),(33),(34),and(41)that;竺：where：-苗屮丄'：八!and：where：-苗屮I”it)WV；D)expI；—ezf)+—{1—exp(—(43)therefore円）；品）Basedon(32),(34),and(44),itisclearthat；品）y7如瑤卩4-0))_血{V'i(0j—fIfqd(0)isnotontheboundaryofD,甲(qd(0))<1.ThenkcanbeadjustedtoensureJg+止Basedon(45)and(46),甲(qd(t))<1,henceqd(t)€DfromDefinition1.Itisclearlyfrom(43)that甲(qd)isultimatelyboundedby"■2z.Therefore,if一-,1_ 「，k4canbeadjustedtoensure亍=：-,wheresisdefinedinDefinition1.HencebytheProperty5inDefinition1,7-■■■isultimatelyboundedbysr.口Theorem2Thekinematiccontrollawgivenin(15)-(19)ensuresglobaluniformlyultimatelybounded(GUUB)positionandorientationtrackinginthesensethat巨WlIS(卄1:°訓(xùn)<注exp；TQ+￡jei(47}wheresiwasgivenin(19),二三「「’--'—匸小,ands3andy0arepositiveconstants.Proof:Basedon(33)and(35),V1(t)of(35)canbeupperboundedasfollows\\W—2min{k_k2}I!- (43}Basedon(48),thefollowinginequalitycanbeobtained%(幼冬來P〔一2min|丘1： 4丨巧匚；P)- (45}Basedon(33),(49)canberewrittenasfollows||^1(i)||^exp(-min{kv臉}竹|陰(0川(50)wherethevector屮1(t)isdefinedin(39).From(33)and(49),itisclearthatw(t)，:亍■WLs.Basedon(19)and(20),wecanconcludethatzd(t)WLx.From(14)and；?■,zd(t)三Lx,itisclearthatz(t)三Lx.Sincew(t),z(t)WLx,basedontheinversetransformationfrom(9),e(t)WLx.Basedonqd(t)WLxfromTheorem1ande(t)WLx,itisclearthatq(t)WLx.From(22)-(25),qd(t),zd(t),z(t),e(t)WLx,andthepropertiesinDefinition1,wecanconcludethatvr(t),qd(t)WLx.Basedon(12)andq(t),z(t),qd(t)WLx,f(0,z2,qd)WLx.ThenQ1(t)WLxfrom(18).Thenu(t),ua(t),zd(t)WLxfrom(15)-(17).Basedonthefactthatf(0,z2,qd),z(t),u(t)WLx,then(10)canbeusedtoconcludew(t),z(t)WLx.Itisclearfromz(t),zd(t)WLxthat(±jWLx.Thenstandardsignalchasingargumentscanbeemployedtoconcludethatalloftheremainingsignalsinthecontrolandthesystemremainboundedduringclosed-loopoperation.Basedon(19),(20),(39),and(50),thetriangleinequalitycanbeappliedto(14)toprovethathllW同+MI (51)Wexp(-min｛師:&[i)|屮i■!01|+^cexp；—ctir'：—力一Utilizing(50)-(51),theresultgivenin(47)canbeobtainedfromtakingtheinverseofthetransformationgivenin(9).口Remark2Althoughqd(t)isacollision-freepath,thestabilityresultinTheorem2onlyensurespracticaltrackingofthepathinthesensethattheactualWMRtrajectoryisonlyguaranteedtoremaininaneighborhoodofthedesiredpath.From(5)and(47),thefollowingboundcanbedevelopedhll<ll^dll+V'^2exp(-7ci)-歯考= (52)whereqd(t)三DbasedontheproofforTheorem1.Toensurethatq(t)