講連續(xù)型隨機(jī)變量分布及隨機(jī)變量的函數(shù)的分布

第七講持續(xù)型隨機(jī)變量（續(xù)）及

隨機(jī)變量的函數(shù)的分布3.三種重要的持續(xù)型隨機(jī)變量（1）均勻分布設(shè)持續(xù)型隨機(jī)變量X含有概率密度則稱(chēng)X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布,記為X~U(a,b).

X的分布函數(shù)為（2）指數(shù)分布設(shè)持續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為其中>0為常數(shù),則稱(chēng)X服從參數(shù)為的指數(shù)分布.容易得到X的分布函數(shù)為

如X服從指數(shù)分布,則任給s,t>0,有

P{X>s+t|X>s}=P{X>t} (4.9)

事實(shí)上性質(zhì)(4.9)稱(chēng)為無(wú)記憶性.

指數(shù)分布在可靠性理論和排隊(duì)論中有廣泛的運(yùn)用.（3）正態(tài)分布設(shè)持續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為其中,(>0)為常數(shù),則稱(chēng)X服從參數(shù)為,的正態(tài)分布或高斯(Gauss)分布,記為X~N(,).

顯然f(x)0,下面來(lái)證明令,得到f(x)含有的性質(zhì):

（1）.曲線有關(guān)x=對(duì)稱(chēng).這表明對(duì)于任意h>0有

P{-h<X}=P{<X+h}.

（2）.當(dāng)x=時(shí)取到最大值x離越遠(yuǎn),f(x)的值越小.這表明對(duì)于同樣長(zhǎng)度的區(qū)間,當(dāng)區(qū)間離越遠(yuǎn),X落在這個(gè)區(qū)間上的概率越小。在x=處曲線有拐點(diǎn)。曲線以O(shè)x軸為漸近線。X的分布函數(shù)為特別:當(dāng)=0,=1時(shí)稱(chēng)X服從原則正態(tài)分布.其概率密度和分布函數(shù)分別用(x)和(x)表達(dá),即有易知 (-x)=1-(x) (4.15)

人們已經(jīng)編制了(x)的函數(shù)表,可供查用(見(jiàn)附表2).

引理若X~N(,),則證明：由此知Z~N(0,1).若X~N(,),則它的分布函數(shù)F(x)可寫(xiě)成:則對(duì)于任意區(qū)間(x1,x2],有

例如,設(shè)X~N(1,4),查表得設(shè)X~N(,),由(x)的函數(shù)表還能得到:

P{<X<}=(1)-(-1)

=2(1)-1=68.26%

P{<X<}=(2)-(-2)=95.44%

P{<X<}=(3)-(-3)=99.74%我們看到,盡管正態(tài)變量的取值范疇是(),但它的值落在(,)內(nèi)幾乎是必定的事.這就是人們所談的"3"法則.例１將一溫度調(diào)節(jié)器放置在貯存著某種液體的容器內(nèi).調(diào)節(jié)器整定在d°C,液體的溫度X(以°C計(jì))是一種隨機(jī)變量,且X~N(d,0.52).(1)若d=90,求X不大于89的概率.(2)若規(guī)定保持液體的溫度最少為80的概率不低于0.99,問(wèn)d最少為多少?解(1)所求概率為(2)按題意需求d滿足設(shè)X~N(0,1),若za滿足條件P{X>za}=a,0<a<1,(4.18)則稱(chēng)點(diǎn)za為原則正態(tài)分布的上a分位點(diǎn).由(x)的對(duì)稱(chēng)性知z1-a=-za第二章隨機(jī)變量及其分布§4持續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度慣用的幾個(gè)za值：（課間休息）隨機(jī)變量的函數(shù)的分布例１設(shè)隨機(jī)變量X含有下列的分布律,試求Y=(X-1)2的分布律.解Y全部可能值為0,1,4,由P{Y=0}=P{(X-1)2=0}=P{X=1}=0.1,P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.7,P{Y=4}=P{X=-1}=0.2,例２設(shè)隨機(jī)變量X含有概率密度求變量Y=2X+8的概率密度.解：分別記X,Y的分布函數(shù)為FX(x),FY(y).下面先來(lái)求FY(y).

將FY(y)有關(guān)y求導(dǎo)數(shù),得Y=2X+8的概率密度為例３設(shè)隨機(jī)變量X含有概率密度f(wàn)X(x),,求Y=X2的概率密度.解分別記X,Y的分布函數(shù)為FX(x),FY(y).由于Y=X20,故當(dāng)y0時(shí)FY(y)=0.當(dāng)y>0時(shí)有將FY(y)有關(guān)y求導(dǎo)數(shù),即得Y的概率密度為例３結(jié)論的應(yīng)用：設(shè)X~N(0,1),其概率密度為則Y=X2的概率密度為（5.1）此時(shí)稱(chēng)Y服從自由度為1的分布.定理設(shè)隨機(jī)變量X含有概率密度f(wàn)X(x),,又設(shè)函數(shù)g(x)到處可導(dǎo)且恒有g(shù)'(x)>0(或恒有g(shù)'(x)<0),則Y=g(X)是持續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度為其中=min(g(),g()),=max(g(),g()),h(y)是g(x)的反函數(shù).證先設(shè)g'(x)>0.此時(shí)g(x)在(，)嚴(yán)格單調(diào)增加,它的反函數(shù)h(y)存在,且在()嚴(yán)格單調(diào)增加,可導(dǎo).分別記X,Y的分布函數(shù)為FX(x),FY(y).

因Y在()取值,故當(dāng)時(shí),FY(y)=P{Yy}=0;當(dāng)y時(shí),FY(y)=P{Yy}=1.當(dāng)時(shí),FY(y)=P{Yy}=P{g(X)y}=P{Xh(y)}=FX[h(y)].將FY(y)有關(guān)y求導(dǎo)數(shù),即得Y的概率密度對(duì)于g'(x)<0的狀況同樣能夠證明,有合并(5.3),(5.4)式，命題得證。例４設(shè)隨機(jī)變量X~N().試證明X的線性函數(shù)Y=aX+b(a0)也服從正態(tài)分布.證X的概率密度為現(xiàn)在Y=g(X)=aX+b,由這一式子解得由(5.2)式得Y=aX+b的概率密度為即有Y=aX+b~N(a+b,(a)2).這就是上一節(jié)引理的成果.例５設(shè)電壓V=Asin,其中A是一種已知的正常數(shù)，相角是一隨機(jī)變量，且有。試求電壓V的概率密度.解現(xiàn)在v=g()=Asin，又，的概率密度為由（5.2）式得V=Asin的概率密度為作業(yè)第二章習(xí)題第69頁(yè)開(kāi)始

第1,6,12,14,16,19,23,28題§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布在實(shí)際中經(jīng)常對(duì)某些隨機(jī)變量的函數(shù)更感愛(ài)好.

例如,在某些實(shí)驗(yàn)中,所關(guān)心的隨機(jī)變量往往不能由直接測(cè)量得到,而它卻是某個(gè)能直接測(cè)量的隨機(jī)變量的函數(shù).例如我們能測(cè)量圓軸的直徑d,而關(guān)系的卻是截面積A=pd2/4.這里,隨機(jī)變量A是隨機(jī)變量d的函數(shù).下面討論如何由已知的隨機(jī)變量X的概率分布去求得它的函數(shù)Y=g(X)(g()是已知的持續(xù)函數(shù))的概率分布.(特注：y=0時(shí)概率為零，但并非不可能事件。)當(dāng)g'(x)<0時(shí),g(x)在(，)嚴(yán)格單調(diào)遞減,它的反函數(shù)h(y)存在,且在()嚴(yán)格單調(diào)遞減,可導(dǎo).分別記X,Y的分布函數(shù)為FX(x),FY(y).

當(dāng)時(shí),FY(y)=P{Yy}