大學(xué)物理第9章靜電場習(xí)題參考答案

第9章靜電場9-1兩小球處于如題9-1圖所示的平衡位置時(shí)，每小球受到張力T，重力mg以及庫侖力F的作用，則有和,∴,由于θ很小，故習(xí)題9-1圖習(xí)題9-1圖∴9-2設(shè)q1,q2在C點(diǎn)的場強(qiáng)分別為和，則有習(xí)題9-2圖習(xí)題9-2圖方向沿AC方向方向沿CB方向∴C點(diǎn)的合場強(qiáng)的大小為：設(shè)E的方向與CB的夾角為α，則有9-3坐標(biāo)如題9-3圖所示，帶電圓弧上取一電荷元，它在圓心O處的場強(qiáng)為習(xí)題9-3圖，方向如題9-3圖所示，由于對稱性，上、下兩習(xí)題9-3圖帶電圓弧中對應(yīng)電荷元在圓心O處產(chǎn)生的dE1和dE2在x方向分量相互抵消。，圓心O處場強(qiáng)E的y分量為方向沿y軸正向。9-4（1）如題9-4圖(a)，取與棒端相距d1的P點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),x軸向右為正。設(shè)帶電細(xì)棒電荷元至P點(diǎn)的距離x，它在P點(diǎn)的場強(qiáng)大小為習(xí)題9-4圖（a）方向沿x軸正向習(xí)題9-4圖（a）各電荷元在P點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)方向相同，于是方向沿x軸方向。（2）坐標(biāo)如題9-4圖(b)所示，在帶電細(xì)棒上取電荷元與Q點(diǎn)距離為r，電荷元在Q點(diǎn)所產(chǎn)生的場強(qiáng)，由于對稱性，場dE的x方向分量相互抵消，所以Ex=0,場強(qiáng)dE的y分量為習(xí)題9-4圖（b）習(xí)題9-4圖（b）因∴其中代入上式得方向沿y軸正向。9-5帶電圓弧長,電荷線密度。帶電圓弧在圓心O處的場強(qiáng)等價(jià)于一個(gè)閉合帶電圓環(huán)（線密度為）和一長為d、電荷線密度為-的小段圓弧在O處場強(qiáng)的矢量和。帶電閉合圓環(huán)在圓心處的場強(qiáng)為零，而d<<R,∴小段帶電圓弧可視為點(diǎn)電荷，所帶電量，故圓心處的場強(qiáng)，,方向由圓心指向空隙中心。9-6（1）點(diǎn)電荷q位于一立方體中心，則通過立方體每一面的電通量相等，∴通過每一面的電通量為總通量的,即（2）如果這點(diǎn)電荷移到立方體的一個(gè)角上，則電荷q所在頂角的三個(gè)面上，因?yàn)楦鼽c(diǎn)平行于該面，所以這三個(gè)面的電通量均為零，另三個(gè)面的電通量相等。如果要把q全部包圍需要有8個(gè)立方體，相當(dāng)于有24個(gè)面，每一面上通過的電通量為總通量的，即習(xí)題9-7圖（a）9-7解法（一）通過圓形平面的電通量與通過以A為球心，為半徑，以圓平面的周界為周界的球冠面的電通量相等，該球冠面的面積，通過整個(gè)球面的電通量，所以通過該球冠面的電通量為習(xí)題9-7圖（a）解法（二）在圖形平面上取一同心面元環(huán)，設(shè)其中半徑為r，寬為dr,此面元的面積。設(shè)此面元對A點(diǎn)的半張角為，見圖所示，由通量公式可得習(xí)題9-7(b)習(xí)題9-7(b)圖9-8通過此半球面的電通量與通過以O(shè)為圓心的圓平面電通量相等，無限大平面外任一點(diǎn)的場強(qiáng)為，∴通過該球面的電通量為9-9設(shè)想地球表面為一均勻帶電球面，則它所帶總電量為9-10設(shè)均勻帶電球殼內(nèi)、外半徑分別為R1和R2，它所產(chǎn)生的電場具有球?qū)ΨQ性，以任意半徑r作一與均勻帶電球殼同心的高斯球面S，由高斯定理可得∴當(dāng)時(shí)，,∴∴9-11無限長均勻帶電圓柱面產(chǎn)生的電場具有軸對稱性，方向垂直柱面，以斜半徑r作一與兩無限長圓柱面的同車圓柱面以及兩個(gè)垂直軸線的平面所形成的閉合面為高斯面，由高斯定理可得∴（1）當(dāng)r<R1，（2）當(dāng)時(shí)∴;（3）當(dāng)時(shí)，,∴9-12見題9-12圖所示，由于平面無限大，電荷分布均勻，且對中心面S0（圖中虛線）對稱，電場分布也應(yīng)具有均勻性和對稱性，即在與帶電板平行且位于中心面S0兩側(cè)距離相等的平面上場強(qiáng)大小應(yīng)處處相等，且方向垂直該平面。過板內(nèi)P點(diǎn)或板外Q點(diǎn)作軸線與x軸平行，兩底面積為S且相對中心面S0對稱的閉合正圓柱面為高斯面，由高斯定理可得：（1）平板內(nèi)習(xí)題9-12圖習(xí)題9-12圖∴方向垂直板面向外（2）平板外∴方向垂直板面向外。9-13由于電荷分布具有軸對稱性，故其場強(qiáng)必沿柱體的徑向，其大小也具有軸對稱性，故在圓柱體內(nèi)取下同心薄圓筒，其半徑為r，厚度dr，長l，見右圖示，根據(jù)高斯定理可得習(xí)題9-13圖習(xí)題9-13圖∴9-14設(shè)想原來不帶電的小空腔內(nèi)同時(shí)存在電荷體密度為的兩種電荷，則原帶電荷等價(jià)于一個(gè)半徑為R，電荷體密度為的均勻帶電球體和一個(gè)半徑為r，電荷體密度為的均勻帶電球體的組合，空間各處的場強(qiáng)等于這兩個(gè)均勻帶電球體產(chǎn)生場強(qiáng)的矢量和。對于球心O處，，由于均勻帶電球體球心處的場強(qiáng)為零，所以習(xí)題9-14圖習(xí)題9-14圖方向由O指向。對于球心處，∴方向由O指向。對于空腔內(nèi)的任一點(diǎn)P，位置如圖所示。以上計(jì)算表明空腔任意點(diǎn)的場強(qiáng)大小均為且方向均由O指向，所以，空腔內(nèi)為勻強(qiáng)電場。習(xí)題9-15圖9-15電偶極子在均勻電場中所受的力矩為習(xí)題9-15圖為電矩與兩方向間的夾角，當(dāng)時(shí)，外電場作用于電偶極子上的力矩最大9-16外力所作的功為9-17（1）氫原子內(nèi)負(fù)電荷的總電量為（2）由于負(fù)電荷呈球狀對稱分布，故可采用高斯定理計(jì)算負(fù)電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度的大小為正電荷在球心，其產(chǎn)生的電場強(qiáng)度的大小為則在距球心r處的總電場強(qiáng)度為，其大小為的方向沿徑向向外。9-18電場力的功9-19由高斯定理可求得是空間場強(qiáng)分布（略）離球心為處的電勢習(xí)題9-20圖(a)9-20（1）電荷線密度，坐標(biāo)如題9-20圖(a)所示，距原點(diǎn)O為x處取電荷元，它在P點(diǎn)的電勢習(xí)題9-20圖(a)∴P點(diǎn)的總電勢習(xí)題9-20圖（b）習(xí)題9-20圖（b）（2）坐標(biāo)如題9-20圖(b)所示，電荷元在Q點(diǎn)的電勢Q點(diǎn)的總電勢習(xí)題9-21圖9-21半圓環(huán)中心O的場強(qiáng)（或電勢）是兩段帶電直線和帶電半圓環(huán)在該處場強(qiáng)（或電勢）的迭加，由于兩直線對O對稱，所以兩帶電直線在O處的場強(qiáng)大小相等，方向相反，相互抵消，因而O處的場強(qiáng)就是帶電半圓環(huán)在O處的場強(qiáng)，取電荷元,它在O處場強(qiáng)，由于對稱性，各的x分量相互抵消?！嗟膟分量為習(xí)題9-21圖∴O處的電勢9-22由高斯定理可求得兩無限長同軸圓柱面間的場強(qiáng)為，所以兩圓柱面間的電勢差9-23靜電平衡時(shí)，導(dǎo)體球殼內(nèi)、外表面均有感應(yīng)電荷，由于帶電系統(tǒng)具有球?qū)ΨQ性，所以內(nèi)表面均勻分布有-q電荷，外表面均勻分布+q電荷，可判斷電場分布具有球?qū)ΨQ性，以任意半徑r作一與球殼同心的高斯球面S，由高斯定理可得當(dāng)∴∴∴由電勢定義式可求得電勢分布9-24（1）內(nèi)球電荷q均勻分布在外表面，外球內(nèi)表面均勻感應(yīng)電荷-q，外表面均勻分布電荷q+Q，由高斯定理可求得電場分布（略）由電勢定義可求得內(nèi)球電勢（2）用導(dǎo)線把兩球連接起來時(shí)，內(nèi)球和外球內(nèi)表面電荷中和，這時(shí)只有外球的外表面帶有q+Q電荷，外球殼外場強(qiáng)不變，外球電勢不變，這時(shí)兩球是等勢體，其電勢均為原外球殼電勢270V。（3）若外球殼接地，外球電勢為零，外球外表面電荷為零，內(nèi)球的電荷以及外球內(nèi)表面電荷分布不變，所以內(nèi)球的電勢9-25由于帶電系統(tǒng)具有軸對稱性，所以電荷分布和電場分布也應(yīng)具有軸對稱，靜電平衡時(shí)，圓柱形導(dǎo)體電荷均勻分布在其外表面，單位長度電量為，導(dǎo)體圓筒內(nèi)表面均勻分布有感應(yīng)電荷，其單位長度的電量為，外表面電荷均勻分布，單位長度的電量為。以任意半徑r作同軸封閉圓柱面為高斯面，則由高斯定理得：當(dāng)∴∴∴∴9-26（1）A板帶正電荷q分布在左右兩表面上，設(shè)B板感應(yīng)電荷為-q1，C板感應(yīng)電荷為-q2，則AB、AC間均可視為勻強(qiáng)電場依題意可得∴即B板上感應(yīng)電荷為,C板上感應(yīng)電荷為A板的電勢（2）當(dāng)AB間充以電介質(zhì)時(shí)，則有下列關(guān)系仍可解得,所以B板上的感應(yīng)電荷為C板上感應(yīng)電荷為A板上電勢9-27設(shè)AB兩板各面上的電荷面密度分別為，空間各處場強(qiáng)方向應(yīng)與板面垂直，作如題9-27圖所示的閉合圓柱面為高斯面，由于導(dǎo)體內(nèi)場強(qiáng)處處為零，A、B兩板間場強(qiáng)方向平行于圓柱側(cè)面，所以通過高斯面的電通量為零，由高斯定理習(xí)題9-27圖習(xí)題9-27圖∴（1）A板內(nèi)的P點(diǎn)場強(qiáng)為∴（2）若A板帶電QA，B板帶電QB，板面積為S，則有（3）（4）由（1）、（2）、（3）、（4）式可得9-28點(diǎn)電荷q使金屬球上產(chǎn)生感應(yīng)電荷，由于金屬球與地相聯(lián)，其電勢為零，球心處的電勢應(yīng)是點(diǎn)電荷q和球上感應(yīng)電荷在此處產(chǎn)生電勢之和，即∴即金屬球上感應(yīng)q/3的負(fù)電荷。9-29（1）（2）（3）（4）（5）設(shè)極化電荷產(chǎn)生的場強(qiáng)為，則，其中為極板上極化電荷面密度，，則極化電荷（6）或9-30（1）以任意r為半徑作金屬球的同心球面為高斯面，由介質(zhì)中的高斯定理得當(dāng)（2）由電勢定義式可得（3）9-31（1）（2）（3）（4）9-32設(shè)A、B兩導(dǎo)體球分別帶有電荷Q和-Q，則兩球的電勢差為9-33用導(dǎo)線連接二導(dǎo)體，這相當(dāng)將電容C1和C2并聯(lián)，此時(shí)等效電容和總電量分別為根據(jù)電容，故聯(lián)接二導(dǎo)體后它們的電勢為這時(shí)電容上的電量為則由導(dǎo)體1流向?qū)w2的電量為9-34（1）以任意半徑r作金屬球的同心球面為高斯面，由介質(zhì)中的高斯定理可得：當(dāng)（2）電勢分布：（3）這相當(dāng)于內(nèi)外半徑分別為R與a的球形空氣電容器C1與內(nèi)外半徑分別為a與b的球形介質(zhì)電容器C2，二者相串聯(lián)，其等效電容為其中將C1、C2代入上式9-35（1）在介質(zhì)中以任意半徑r作圓柱體同軸的閉合圓柱面為高斯面，由介質(zhì)中的高斯定理可得∴（2）設(shè)介質(zhì)內(nèi)表面上單位長度的極化電荷為，則對上述高斯面應(yīng)用高斯定理則介質(zhì)內(nèi)表面上的極化電荷面密度為介質(zhì)外表面上的極化電荷密度為9-36（1）設(shè)兩電介質(zhì)中的電位移和場強(qiáng)分別為D1、D2和E1、E2，兩板板間的電勢差∴則兩介質(zhì)中各點(diǎn)的能量體密度為（2）（3）9-37（1）由高斯定理可求得電場分布整個(gè)電場儲存的能量（2）導(dǎo)體球殼接地，導(dǎo)體球殼外表面不帶電，球殼外場強(qiáng)為零，這時(shí)電場的能量由得9-38（1）平行板電容器抽出金屬板后的電容為，插入金屬板時(shí)的電容為，當(dāng)充電到后拆去電源，然后抽出金屬板，除金屬板秘在位置外的空間場強(qiáng)不變，均為（2）抽出金屬板需作功9-39由高斯定理可求得帶球體內(nèi)、外的場強(qiáng)為（略）其電場所儲存的能量9-40由于并聯(lián)前后電量不變，所以有由此可得能量減少為1.5一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為的圓周運(yùn)動，其角位置（以弧度表示）可用公式表示：θ=2+4t3．求：（1）t=2s時(shí)，它的法向加速度和切向加速度；（2）當(dāng)切向加速度恰為總加速度大小的一半時(shí)，θ為何值？（3）在哪一時(shí)刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？[解答]（1）角速度為ω=dθ/dt=12t2=48(rad·s-1)，法向加速度為an=rω2=230.4(m·s-2)；角加速度為β=dω/dt=24t=48(rad·s-2)，切向加速度為at=rβ=4.8(m·s-2)．（2）總加速度為a=(at2+an2)1/2，當(dāng)at=a/2時(shí)，有4at2=at2+an2，即．由此得，即，解得．所以=3.154(rad)．（3）當(dāng)at=an時(shí)，可得rβ=rω2，即24t=(12t2)2，解得t=(1/6)1/3=0.55(s)．1.7一個(gè)半徑為R=的輕圓盤，可以繞一水平軸自由轉(zhuǎn)動．一根輕繩繞在盤子的邊緣，其自由端拴一物體A．在重力作用下，物體A從靜止開始勻加速地下降，在Δt=2.0s內(nèi)下降的距離h=．求物體開始下降后3s末，圓盤邊緣上任一點(diǎn)的切向加速度與法向加速度．[解答]圓盤邊緣的切向加速度大小等于物體A下落加速度．由于，所以at=2h/Δt2=0.2(m·s-2)．物體下降3s末的速度為v=att=0.6(m·s-1)，這也是邊緣的線速度，因此法向加速度為=0.36(m·s-2)．1.8一升降機(jī)以加速度·s-2上升，當(dāng)上升速度為·s-1時(shí)，有一螺帽自升降機(jī)的天花板上松落，天花板與升降機(jī)的底面相距．計(jì)算：（1）螺帽從天花板落到底面所需的時(shí)間；（2）螺帽相對于升降機(jī)外固定柱子的下降距離．[解答]在螺帽從天花板落到底面時(shí)，升降機(jī)上升的高度為；螺帽做豎直上拋運(yùn)動，位移為．由題意得h=h1-h2，所以，解得時(shí)間為=0.705(s)．算得h2=-0.716m，即螺帽相對于升降機(jī)外固定柱子的下降距離為0.716m．[注意]以升降機(jī)為參考系，釘子下落時(shí)相對加速度為a+g，而初速度為零，可列方程h=(a+g)t2/2，由此可計(jì)算釘子落下的時(shí)間，進(jìn)而計(jì)算下降距離．第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)1.1一質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動，運(yùn)動方程為x(t)=6t2-2t3．試求：（1）第2s內(nèi)的位移和平均速度；（2）1s末及2s末的瞬時(shí)速度，第2s內(nèi)的路程；（3）1s末的瞬時(shí)加速度和第2s內(nèi)的平均加速度．[解答]（1）質(zhì)點(diǎn)在第1s末的位移大小為x(1)=6×12-2×13=4(m)．在第2s末的位移大小為x(2)=6×22-2×23=8(m)．在第2s內(nèi)的位移大小為Δx=x(2)–x(1)=4(m)，經(jīng)過的時(shí)間為Δt=1s，所以平均速度大小為=Δx/Δt=4(m·s-1)．（2）質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度大小為v(t)=dx/dt=12t-6t2，因此v(1)=12×1-6×12=6(m·s-1)，v(2)=12×2-6×22=0，質(zhì)點(diǎn)在第2s內(nèi)的路程等于其位移的大小，即Δs=Δx=4m．（3）質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)加速度大小為a(t)=dv/dt=12-12t，因此1s末的瞬時(shí)加速度為a(1)=12-12×1=0，第2s內(nèi)的平均加速度為=[v(2)-v(1)]/Δt=[0–6]/1=-6(m·s-2)．[注意]第幾秒內(nèi)的平均速度和平均加速度的時(shí)間間隔都是1秒．1.2一質(zhì)點(diǎn)作勻加速直線運(yùn)動，在t=10s內(nèi)走過路程s=30m，而其速度增為n=5倍．試證加速度為．并由上述數(shù)據(jù)求出量值．[證明]依題意得vt=nvo，根據(jù)速度公式vt=vo+at，得a=(n–1)vo/t，(1)根據(jù)速度與位移的關(guān)系式vt2=vo2+2as，得a=(n2–1)vo2/2s，(2)（1）平方之后除以（2）式證得．計(jì)算得加速度為=0.4(m·s-2)．°的夾角的初速度65m·s-1從西邊起跳，準(zhǔn)確地落在坑的東邊．已知東邊比西邊低70m，忽略空氣阻力，且取g=10m·s-2．問：（1）礦坑有多寬？他飛越的時(shí)間多長？（2）他在東邊落地時(shí)的速度？速度與水平面的夾角？[解答]方法一：分步法．（1）夾角用θ表示，人和車（他）在豎直方向首先做豎直上拋運(yùn)動，初速度的大小為vy0=v0sinθ=24.87(m·s-1)．取向上的方向?yàn)檎?，根?jù)勻變速直線運(yùn)動的速度公式vt-v0=at，這里的v0就是vy0，a=-g；當(dāng)他達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)，vt=0，所以上升到最高點(diǎn)的時(shí)間為t1=vy0/g=2.49(s)．再根據(jù)勻變速直線運(yùn)動的速度和位移的關(guān)系式vt2-v02=2as，可得上升的最大高度為h1=vy02/2g=30.94(m)．他從最高點(diǎn)開始再做自由落體運(yùn)動，下落的高度為h2=h1+h=100.94(m)．根據(jù)自由落體運(yùn)動公式s=gt2/2，得下落的時(shí)間為=4.49(s)．因此他飛越的時(shí)間為t=t1+t2=6.98(s)．他飛越的水平速度為vx0=v0cosθ=60.05(m·s-1)，所以礦坑的寬度為x=vx0t=419.19(m)．（2）根據(jù)自由落體速度公式可得他落地的豎直速度大小為vy=gt=69.8(m·s-1)，落地速度為v=(vx2+vy2)1/2=92.08(m·s-1)，與水平方向的夾角為φ=arctan(vy/vx)=49.30?，方向斜向下．方法二：一步法．取向上的方向?yàn)檎?，他在豎直方向的位移為y=vy0t-gt2/2，移項(xiàng)得時(shí)間的一元二次方程，解得．這里y=-70m，根號項(xiàng)就是他落地時(shí)在豎直方向的速度大小，由于時(shí)間應(yīng)該取正值，所以公式取正根，計(jì)算時(shí)間為t=6.98(s)．由此可以求解其他問題．1.4一個(gè)正在沿直線行駛的汽船，關(guān)閉發(fā)動機(jī)后，由于阻力得到一個(gè)與速度反向、大小與船速平方成正比例的加速度，即dv/dt=-kv2，k為常數(shù)．（1）試證在關(guān)閉發(fā)動機(jī)后，船在t時(shí)刻的速度大小為；（2）試證在時(shí)間t內(nèi)，船行駛的距離為．[證明]（1）分離變量得，積分，可得．（2）公式可化為，由于v=dx/dt，所以積分．因此．證畢．[討論]當(dāng)力是速度的函數(shù)時(shí)，即f=f(v)，根據(jù)牛頓第二定律得f=ma．由于a=d2x/dt2，而dx/dt=v，所以a=dv/dt，分離變量得方程，解方程即可求解．在本題中，k已經(jīng)包括了質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量．如果阻力與速度反向、大小與船速的n次方成正比，則dv/dt=-kvn．（1）如果n=1，則得，積分得lnv=-kt+C．當(dāng)t=0時(shí)，v=v0，所以C=lnv0，因此lnv/v0=-kt，得速度為v=v0e-kt．而dv=v0e-ktdt，積分得．當(dāng)t=0時(shí)，x=0，所以C`=v0/k，因此．（2）如果n≠1，則得，積分得．當(dāng)t=0時(shí)，v=v0，所以，因此．如果n=2，就是本題的結(jié)果．如果n≠2，可得，讀者不妨自證．1.5一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為的圓周運(yùn)動，其角位置（以弧度表示）可用公式表示：θ=2+4t3．求：（1）t=2s時(shí)，它的法向加速度和切向加速度；（2）當(dāng)切向加速度恰為總加速度大小的一半時(shí)，θ為何值？（3）在哪一時(shí)刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？[解答]（1）角速度為ω=dθ/dt=12t2=48(rad·s-1)，法向加速度為an=rω2=230.4(m·s-2)；角加速度為β=dω/dt=24t=48(rad·s-2)，切向加速度為at=rβ=4.8(m·s-2)．（2）總加速度為a=(at2+an2)1/2，當(dāng)at=a/2時(shí)，有4at2=at2+an2，即．由此得，即，解得．所以=3.154(rad)．（3）當(dāng)at=an時(shí)，可得rβ=rω2，即24t=(12t2)2，解得t=(1/6)1/3=0.55(s)．1.6一飛機(jī)在鉛直面內(nèi)飛行，某時(shí)刻飛機(jī)的速度為v=300m·s-1，方向與水平線夾角為30°而斜向下，此后飛機(jī)的加速度為a=20m·s-2，方向與水平前進(jìn)方向夾角為30°而斜向上，問多長時(shí)間后，飛機(jī)又回到原來的高度？在此期間飛機(jī)在水平方向飛行的距離為多少？[解答]建立水平和垂直坐標(biāo)系，飛機(jī)的初速度的大小為v0x=v0cosθ，v0y=v0sinθ．加速度的大小為ax=acosα，ay=asinα．運(yùn)動方程為，．即，．令y=0，解得飛機(jī)回到原來高度時(shí)的時(shí)間為t=0（舍去）；(s)．將t代入x的方程求得x=9000m．[注意]選擇不同的坐標(biāo)系，例如x方向沿著a的方向或者沿著v0的方向，也能求出相同的結(jié)果．1.7一個(gè)半徑為R=的輕圓盤，可以繞一水平軸自由轉(zhuǎn)動．一根輕繩繞在盤子的邊緣，其自由端拴一物體A．在重力作用下，物體A從靜止開始勻加速地下降，在Δt=2.0s內(nèi)下降的距離h=．求物體開始下降后3s末，圓盤邊緣上任一點(diǎn)的切向加速度與法向加速度．[解答]圓盤邊緣的切向加速度大小等于物體A下落加速度．由于，所以at=2h/Δt2=0.2(m·s-2)．物體下降3s末的速度為v=att=0.6(m·s-1)，這也是邊緣的線速度，因此法向加速度為=0.36(m·s-2)．1.8一升降機(jī)以加速度·s-2上升，當(dāng)上升速度為·s-1時(shí)，有一螺帽自升降機(jī)的天花板上松落，天花板與升降機(jī)的底面相距．計(jì)算：（1）螺帽從天花板落到底面所需的時(shí)間；（2）螺帽相對于升降機(jī)外固定柱子的下降距離．[解答]在螺帽從天花板落到底面時(shí)，升降機(jī)上升的高度為；螺帽做豎直上拋運(yùn)動，位移為．由題意得h=h1-h2，所以，解得時(shí)間為=0.705(s)．算得h2=-0.716m，即螺帽相對于升降機(jī)外固定柱子的下降距離為0.716m．[注意]以升降機(jī)為參考系，釘子下落時(shí)相對加速度為a+g，而初速度為零，可列方程h=(a+g)t2/2，由此可計(jì)算釘子落下的時(shí)間，進(jìn)而計(jì)算下降距離．1.9有一架飛機(jī)從A處向東飛到B處，然后又向西飛回到A處．已知?dú)饬飨鄬τ诘孛娴乃俣葹閡，AB之間的距離為l，飛機(jī)相對于空氣的速率v保持不變．（1）如果u=0（空氣靜止），試證來回飛行的時(shí)間為；（2）如果氣流的速度向東，證明來回飛行的總時(shí)間為；（3）如果氣流的速度向北，證明來回飛行的總時(shí)間為．[證明]（1）飛機(jī)飛行來回的速率為v，路程為2l，所以飛行時(shí)間為t0=2l/v．（2）飛機(jī)向東飛行順風(fēng)的速率為v+u，向西飛行逆風(fēng)的速率為v-u，所以飛行時(shí)間為．（3）飛機(jī)相對地的速度等于相對風(fēng)的速度加風(fēng)相對地的速度．為了使飛機(jī)沿著AB之間的直線飛行，就要使其相對地的速度偏向北方，可作矢量三角形，其中沿AB方向的速度大小為，所以飛行時(shí)間為．證畢．1.10如圖所示，一汽車在雨中沿直線行駛，其速度為v1，下落雨的速度方向與鉛直方向的夾角為θ，偏向于汽車前進(jìn)方向，速度為v2．今在車后放一長方形物體，問車速v1為多大時(shí)此物體剛好不會被雨水淋濕？[解答]雨對地的速度等于雨對車的速度加車對地的速度，由此可作矢量三角形．根據(jù)題意得tanα=l/h．方法一：利用直角三角形．根據(jù)直角三角形得v1=v2sinθ+v3sinα，其中v3=v⊥/cosα，而v⊥=v2cosθ，因此v1=v2sinθ+v2cosθsinα/cosα，即．證畢．方法二：利用正弦定理．根據(jù)正弦定理可得，所以，即．方法三：利用位移關(guān)系．將雨滴的速度分解為豎直和水平兩個(gè)分量，在t時(shí)間內(nèi)，雨滴的位移為l=(v1–v2sinθ)t，h=v2cosθ?t．兩式消去時(shí)間t即得所求．證畢．2.12質(zhì)量為m的物體，最初靜止于x0，在力(k為常數(shù))作用下沿直線運(yùn)動．證明物體在x處的速度大小v=[2k(1/x–1/x0)/m]1/2．[證明]當(dāng)物體在直線上運(yùn)動時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律得方程利用v=dx/dt，可得，因此方程變?yōu)椋e分得．利用初始條件，當(dāng)x=x0時(shí)，v=0，所以C=-k/x0，因此，即．證畢．[討論]此題中，力是位置的函數(shù)：f=f(x)，利用變換可得方程：mvdv=f(x)dx，積分即可求解．如果f(x)=-k/xn，則得．（1）當(dāng)n=1時(shí)，可得．利用初始條件x=x0時(shí)，v=0，所以C=lnx0，因此，即．（2）如果n≠1，可得．利用初始條件x=x0時(shí)，v=0，所以，因此，即．當(dāng)n=2時(shí)，即證明了本題的結(jié)果．2.13一質(zhì)量為m的小球以速率v0從地面開始豎直向上運(yùn)動．在運(yùn)動過程中，小球所受空氣阻力大小與速率成正比，比例系數(shù)為k．求：（1）小球速率隨時(shí)間的變化關(guān)系v(t)；（2）小球上升到最大高度所花的時(shí)間T．[解答]（1）小球豎直上升時(shí)受到重力和空氣阻力，兩者方向向下，取向上的方向?yàn)橄?，根?jù)牛頓第二定律得方程，分離變量得，積分得．當(dāng)t=0時(shí)，v=v0，所以，因此，小球速率隨時(shí)間的變化關(guān)系為．（2）當(dāng)小球運(yùn)動到最高點(diǎn)時(shí)v=0，所需要的時(shí)間為．[討論]（1）如果還要求位置與時(shí)間的關(guān)系，可用如下步驟．由于v=dx/dt，所以，即，積分得，當(dāng)t=0時(shí)，x=0，所以，因此．（2）如果小球以v0的初速度向下做直線運(yùn)動，取向下的方向?yàn)檎瑒t微分方程變?yōu)?，用同樣的步驟可以解得小球速率隨時(shí)間的變化關(guān)系為．這個(gè)公式可將上面公式中的g改為-g得出．由此可見：不論小球初速度如何，其最終速率趨于常數(shù)vm=mg/k．2.14如圖所示：光滑的水平桌面上放置一固定的圓環(huán)帶，半徑為R．一物體帖著環(huán)帶內(nèi)側(cè)運(yùn)動，物體與環(huán)帶間的滑動摩擦因數(shù)為μk．設(shè)物體在某時(shí)刻經(jīng)A點(diǎn)時(shí)速率為v0，求此后時(shí)刻t物體的速率以及從A點(diǎn)開始所經(jīng)過的路程．[解答]物體做圓周運(yùn)動的向心力是由圓環(huán)帶對物體的壓力，即N=mv2/R．物體所受的摩擦力為f=-μkN，負(fù)號表示力的方向與速度的方向相反．根據(jù)牛頓第二定律得，即．積分得．當(dāng)t=0時(shí)，v=v0，所以，因此．解得．由于，積分得，當(dāng)t=0時(shí)，x=x0，所以C=0，因此．2.15如圖所示，一半徑為R的金屬光滑圓環(huán)可繞其豎直直徑轉(zhuǎn)動．在環(huán)上套有一珠子．今逐漸增大圓環(huán)的轉(zhuǎn)動角速度ω，試求在不同轉(zhuǎn)動速度下珠子能靜止在環(huán)上的位置．以珠子所停處的半徑與豎直直徑的夾角θ表示．[解答]珠子受到重力和環(huán)的壓力，其合力指向豎直直徑，作為珠子做圓周運(yùn)動的向心力，其大小為F=mgtgθ．珠子做圓周運(yùn)動的半徑為r=Rsinθ．根據(jù)向心力公式得F=mgtgθ=mω2Rsinθ，可得，解得．2.16如圖所示，一小球在彈簧的彈力作用下振動．彈力F=-kx，而位移x=Acosωt，其中k，A和ω都是常數(shù)．求在t=0到t=π/2ω的時(shí)間間隔內(nèi)彈力予小球的沖量．[解答]方法一：利用沖量公式．根據(jù)沖量的定義得dI=Fdt=-kAcosωtdt，積分得沖量為，方法二：利用動量定理．小球的速度為v=dx/dt=-ωAsinωt，設(shè)小球的質(zhì)量為m，其初動量為p1=mv1=0，末動量為p2=mv2=-mωA，小球獲得的沖量為I=p2–p1=-mωA，可以證明k=mω2，因此I=-kA/ω．2.17一個(gè)質(zhì)量m=50g，以速率的v=20m·s-1作勻速圓周運(yùn)動的小球，在1/4周期內(nèi)向心力給予小球的沖量等于多少？[解答]小球動量的大小為p=mv，但是末動量與初動量互相垂直，根據(jù)動量的增量的定義得，由此可作矢量三角形，可得．因此向心力給予小球的的沖量大小為=1.41(N·s)．[注意]質(zhì)點(diǎn)向心力大小為F=mv2/R，方向是指向圓心的，其方向在不斷地發(fā)生改變，所以不能直接用下式計(jì)算沖量．假設(shè)小球被輕繩拉著以角速度ω=v/R運(yùn)動，拉力的大小就是向心力F=mv2/R=mωv，其分量大小分別為Fx=Fcosθ=Fcosωt，F(xiàn)y=Fsinθ=Fsinωt，給小球的沖量大小為dIx=Fxdt=Fcosωtdt，dIy=Fydt=Fsinωtdt，積分得，，合沖量為，所前面計(jì)算結(jié)果相同，但過程要復(fù)雜一些．，速率等于20m·s-1的水平飛來的球，球飛到豎直上方10m的高度．求棒給予球的沖量多大？設(shè)球與棒的接觸時(shí)間為0.02s，求球受到的平均沖力？[解答]球上升初速度為=14(m·s-1)，其速度的增量為=24.4(m·s-1)．棒給球沖量為I=mΔv=7.3(N·s)，對球的作用力為（不計(jì)重力）F=I/t=366.2(N)．2.19如圖所示，3個(gè)物體A、B、C，每個(gè)質(zhì)量都為M，B和C靠在一起，放在光滑水平桌面上，兩者連有一段長度為的細(xì)繩，首先放松．B的另一側(cè)則連有另一細(xì)繩跨過桌邊的定滑輪而與A相連．已知滑輪軸上的摩擦也可忽略，繩子長度一定．問A和B起動后，經(jīng)多長時(shí)間C也開始運(yùn)動？C開始運(yùn)動時(shí)的速度是多少？（取g=10m·s-2）[解答]物體A受到重力和細(xì)繩的拉力，可列方程Mg–T=Ma，物體B在沒有拉物體C之前在拉力T作用下做加速運(yùn)動，加速度大小為a，可列方程T=Ma，聯(lián)立方程可得a=g/2=5(m·s-2)．根據(jù)運(yùn)動學(xué)公式s=v0t+at2/2，可得B拉C之前的運(yùn)動時(shí)間=0.4(s)．此時(shí)B的速度大小為v=at=2(m·s-1)．物體A跨過動滑輪向下運(yùn)動，如同以相同的加速度和速度向右運(yùn)動．A和B拉動C運(yùn)動是一個(gè)碰撞過程，它們的動量守恒，可得2Mv=3Mv`，因此C開始運(yùn)動的速度為v`=2v/3=1.33(m·s-1)．2.22如圖所示，一匹馬拉著雪撬沿著冰雪覆蓋的弧形路面極緩慢地勻速移動，這圓弧路面的半徑為R．設(shè)馬對雪橇的拉力總是平行于路面．雪橇的質(zhì)量為m，它與路面的滑動摩擦因數(shù)為μk．當(dāng)把雪橇由底端拉上45°圓弧時(shí)，馬對雪橇做了多少功？重力和摩擦力各做了多少功？[解答]取弧長增加的方向?yàn)檎较?，弧位移的大小為ds=Rdθ．重力的大小為G=mg，方向豎直向下，與位移元的夾角為π+θ，所做的功元為，積分得重力所做的功為．摩擦力的大小為f=μkN=μkmgcosθ，方向與弧位移的方向相反，所做的功元為，積分得摩擦力所做的功為．要使雪橇緩慢地勻速移動，雪橇受的重力、摩擦力和馬的拉力就是平衡力，即，或者．拉力的功元為，拉力所做的功為．由此可見：重力和摩擦力都做負(fù)功，拉力做正功．2.23一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)拴在細(xì)繩的一端，繩的另一端固定，此質(zhì)點(diǎn)在粗糙水平面上作半徑為r的圓周運(yùn)動．設(shè)質(zhì)點(diǎn)最初的速率是v0，當(dāng)它運(yùn)動1周時(shí)，其速率變?yōu)関0/2，求：（1）摩擦力所做的功；（2）滑動摩擦因數(shù)；（3）在靜止以前質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動了多少圈？[解答]（1）質(zhì)點(diǎn)的初動能為E1=mv02/2，末動能為E2=mv2/2=mv02/8，動能的增量為ΔEk=E2–E1=-3mv02/8，這就是摩擦力所做的功W．（2）由于dW=-fds=-μkNds=-μkmgrdθ，積分得．由于W=ΔE，可得滑動摩擦因數(shù)為．（3）在自然坐標(biāo)中，質(zhì)點(diǎn)的切向加速度為at=f/m=-μkg，根據(jù)公式vt2–vo2=2ats，可得質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的弧長為，圈數(shù)為n=s/2πr=4/3．[注意]根據(jù)用動能定理，摩擦力所做的功等于質(zhì)點(diǎn)動能的增量-fs=ΔEk，可得s=-ΔEk/f，由此也能計(jì)算弧長和圈數(shù)。2.24如圖所示，物體A的質(zhì)量m=，靜止于光滑斜面上．它與固定在斜面底B端的彈簧M相距s=3m．彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)k=400N·m-1．斜面傾角為45°．求當(dāng)物體A由靜止下滑時(shí)，能使彈簧長度產(chǎn)生的最大壓縮量是多大？[解答]取彈簧自然伸長處為重力勢能和彈性勢能的零勢點(diǎn)，由于物體A和彈簧組成的系統(tǒng)只有保守力做功，所以機(jī)械能守恒，當(dāng)彈簧壓縮量最大時(shí)，可得方程，整理和一元二次方程，解得=0.24(m)（取正根）．2.29如圖所示，有一個(gè)在豎直平面上擺動的單擺．問：（1）擺球?qū)覓禳c(diǎn)的角動量守恒嗎？（2）求出t時(shí)刻小球?qū)覓禳c(diǎn)的角動量的方向，對于不同的時(shí)刻，角動量的方向會改變嗎？（3）計(jì)算擺球在θ角時(shí)對懸掛點(diǎn)角動量的變化率．[解答]（1）由于單擺速度的大小在不斷發(fā)生改變，而方向與弧相切，因此動量矩l不變；由于角動量L=mvl，所以角動量不守恒．（2）當(dāng)單擺逆時(shí)針運(yùn)動時(shí)，角動量的方向垂直紙面向外；當(dāng)單擺順時(shí)針運(yùn)動時(shí)，角動量的方向垂直紙面向里，因此，在不同的時(shí)刻，角動量的方向會改變．（3）質(zhì)點(diǎn)對固定點(diǎn)的角動量的變化率等于質(zhì)點(diǎn)所受合外力對同一點(diǎn)的力矩，因此角動量的變化率為173kg，其近地點(diǎn)高度為439km，遠(yuǎn)地點(diǎn)高度為2384km，求它的軌道總能量．[解答]地球半徑R0=6371km，因此r1=R0+h1，r2=R0+h2．根據(jù)萬有引力定律，在地球表面有，因此，根據(jù)上題的結(jié)果可得衛(wèi)星的軌道總能量為×109(J)．2.38質(zhì)量為m，半徑為R的均勻圓盤在水平面上繞中心軸轉(zhuǎn)動，如圖所示．盤與水平面的摩擦因數(shù)為μ，圓盤從初角速度為ω0到停止轉(zhuǎn)動，共轉(zhuǎn)了多少圈？[解答]圓盤對水平面的壓力為N=mg，壓在水平面上的面積為S=πR2，壓強(qiáng)為p=N/S=mg/πR2．當(dāng)圓盤滑動時(shí)，在盤上取一半徑為r、對應(yīng)角為dθ面積元，其面積為dS=rdθdr，對水平面的壓力為dN=pdS=prdrdθ，所受的摩擦力為df=μdN=μprdrdθ，其方向與半徑垂直，摩擦力產(chǎn)生的力矩為dM=rdf=μpr2drdθ，總力矩為．圓盤的轉(zhuǎn)動慣量為I=mR2/2，角加速度大小為，負(fù)號表示其方向與角速度的方向相反．根據(jù)轉(zhuǎn)動公