第一主成分作為系統(tǒng)評(píng)估指數(shù)的原理和條件

第一主成分作為系統(tǒng)評(píng)估指數(shù)的原理和條件

20世紀(jì)70年代中期，美國著名的運(yùn)動(dòng)家尼古拉斯塔普賽德（ahp）教授的tl薩aty提出了這一問題。這是對(duì)多指標(biāo)系統(tǒng)的分類和評(píng)估的一般方法之一。隨著多元統(tǒng)計(jì)方法的普及與應(yīng)用,主成分分析法(PrincipalComponentAnalysis,簡稱PCA)也成為構(gòu)造系統(tǒng)排序評(píng)估指數(shù)的常用方法之一。文中有用第一主成分作為系統(tǒng)評(píng)估指數(shù)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行評(píng)估的成功案例。本文介紹了Perron-Frobenius定理——AHP中特征根法排序和第一主成分作為系統(tǒng)評(píng)估指數(shù)的理論基礎(chǔ),以及標(biāo)準(zhǔn)化變量的樣本主成分的性質(zhì);討論了第一主成分作為系統(tǒng)評(píng)估指數(shù)的原理和條件;最后研究了PCA和AHP的排序公式及其內(nèi)在的、本質(zhì)的聯(lián)系,并指出了PCA與AHP的適用情況,對(duì)正確選擇使用PCA與AHP評(píng)價(jià)方法具有參考意義。1處理的a定理1:設(shè)A為非負(fù)不可約陣,則:①A有最大的正特征根λmax。這里λmax是單根,其余特征根的模小于等于λmax。②λmax對(duì)應(yīng)的A的特征向量可以由正分量組成,除差一個(gè)常數(shù)倍數(shù)外它是唯一的。λmax=maxx∈R+nminxi>0(Ax)ixi=minx∈R+nmaxxi>0(Ax)ixiλmax=maxx∈R+nminxi>0(Ax)ixi=minx∈R+nmaxxi>0(Ax)ixi其中R+n={x=(x1,x2,…,xn)T|xi≥0,x≠0}2主要成分分析及系統(tǒng)評(píng)估的應(yīng)用2.1y的參數(shù)ls設(shè)p維隨機(jī)向量X=(X1,X2,…,Xp)T的觀測數(shù)據(jù)陣為Xn×p。Xn×p的相關(guān)陣R的特征值λ1≥λ2≥…≥λp≥0,相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交的特征向量為a1,a2,…,ap,用Y1,Y2,,…,Yp表示樣本主成分。其中Yk=aTkX(k=1,2,…,p),記A=(a1,a2,…,ap),Y=(Y1,Y2,…,Yp),則Y=ATX。性質(zhì)1Y的協(xié)方差陣D(Y)=Λ=diag(λ1,λ2,…,λp)。性質(zhì)2p∑i=1λi=p∑i=1pλi=p性質(zhì)3主成分Yk與標(biāo)準(zhǔn)化變量Xi的相關(guān)系數(shù)ρ(Yk,Xi)為ρ(Yk,Xi)=√λkaikρ(Yk,Xi)=λk??√aik。其中ak=(a1k,a2k,…,apk)T是R對(duì)應(yīng)于λk的單位正交特征向量,(k,i=1,2,…,p)。性質(zhì)4p∑k=1ρ2(Yk?Xi)=p∑k=1λka2ik=1(i=1,2,…,p)性質(zhì)5p∑i=1ρ2(Yk?Xi)=p∑i=1λka2ik=λk(k=1,2,…,p)2.2y1成為第一主成分在實(shí)際工作中會(huì)遇到多指標(biāo)系統(tǒng)的排序評(píng)估問題,如對(duì)某類企業(yè)的經(jīng)濟(jì)效益進(jìn)行評(píng)估比較,影響企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益的指標(biāo)有很多,如何更科學(xué)、更客觀地將一個(gè)多指標(biāo)問題綜合為單個(gè)指數(shù)的形式。主成分分析方法為樣品排序或多指標(biāo)系統(tǒng)評(píng)估提供可行的方法。如果只選一個(gè)綜合變量來代表原有的原始變量Xj(j=1,2,…,p),最佳的選擇便是第一主成分Y1。一方面由主成分的性質(zhì)5有p∑i=1ρ2(Y1?Xi)=λ1,知Y1與原始標(biāo)準(zhǔn)化變量X1,X2,…,Xp的綜合相關(guān)程度最強(qiáng);另一方面,由Var(Y1)=λ1知第一主成分Y1對(duì)應(yīng)于數(shù)據(jù)變異最大的方向。這說明Y1是使數(shù)據(jù)信息損失最小、精度最高的一維綜合變量,因此Y1有可能成為構(gòu)造系統(tǒng)排序評(píng)估指數(shù)。然而Y1能否真正成為一個(gè)尺度因子,還要看Y1與原變量Xj(j=1,2,…,p)的相關(guān)情況。如果Y1與所有Xj均正相關(guān),Y1可以成為系統(tǒng)評(píng)估排序指數(shù)。檢驗(yàn)Y1是否與Xj正相關(guān),依據(jù)主成分的性質(zhì)3知ρ(Y1,Xi)=√λ1ai1(i=1,2,?,p)。這里ai1是特征值λ1的特征向量a1的第i個(gè)分量,所以檢驗(yàn)Y1是否與Xj正相關(guān)等價(jià)于檢驗(yàn)ai1>0,即第一主成分的系數(shù)均為正值。根據(jù)代數(shù)學(xué)中的Perron-Frobenius定理可知下述結(jié)論成立。定理若協(xié)方差矩陣的所有元素均為非負(fù)數(shù),則第一主成分的系數(shù)均為正數(shù)。假定第一主成分中各變量的系數(shù)均為正數(shù),則由正交性一定可以推出其它主成分的系數(shù)是有正、負(fù)的,于是第一主成分便可解釋為尺度因子,而其它被選中的主成分可以解釋為不同的形狀因子。3相對(duì)標(biāo)度的確定和ahp的排序(1)主成分分析法和AHP都有堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),由兩兩比較測度(即判斷矩陣)導(dǎo)出排序測度(即排序權(quán)值)常采用特征根法。這與用第一主成分被作為排序評(píng)估指數(shù)有相同的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)——Perron-Frobenius定理。(2)對(duì)p個(gè)指標(biāo)n個(gè)待評(píng)估的樣本點(diǎn)v1,v2,…,vn的系統(tǒng)進(jìn)行排序,如果已知觀測數(shù)據(jù)陣Xn×p,則:①將數(shù)據(jù)陣標(biāo)準(zhǔn)化(標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)陣仍記為Xn×p),計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)化后數(shù)據(jù)陣Xn×p的協(xié)方差陣,這時(shí)樣本協(xié)方差陣就是樣本相關(guān)陣R;②求R的最大特征值λmax和相應(yīng)的特征向量l=(l1,l2,…,lp)T;③若l>0,令:Y1=Xn×pl=(xij)n×pl=(Y1(1),Y1(2),?,Y1(n))Τ(1)由式(1)知:Y1(i)=p∑j=1xijlj(i=1,2,?,n)(2)然后按Y1(1),Y1(2),…,Y1(n)的大小進(jìn)行評(píng)估。這實(shí)際上是用第一主成分作為系統(tǒng)評(píng)估指數(shù)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行評(píng)估。用第一主成分作為系統(tǒng)評(píng)估指數(shù)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行評(píng)估的精度為第一主成分的貢獻(xiàn)率λ1/p。由于社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)許多問題的屬性常有相對(duì)的性質(zhì),因此不可能對(duì)這類屬性的測度確定一種絕對(duì)的標(biāo)度。例如國家的安全就無法用絕對(duì)的標(biāo)度去衡量,對(duì)它的估計(jì)只能在比較中確定。這提示我們可以在社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)某些問題的測度上考慮一種相對(duì)標(biāo)度。AHP提供了測度決策因素(尤其是社會(huì)經(jīng)濟(jì)因素)的基本方式。這種方式充分利用人的經(jīng)驗(yàn)和判斷,采用相對(duì)標(biāo)度形式,能夠統(tǒng)一有形與無形、可定量與不可定量的因素進(jìn)行測度。對(duì)p個(gè)指標(biāo)n個(gè)待評(píng)估的樣本點(diǎn)v1,v2,…,vn的系統(tǒng)進(jìn)行排序或評(píng)估,如果對(duì)于指標(biāo)n個(gè)待評(píng)估的樣本點(diǎn)不能用絕對(duì)的標(biāo)度去衡量,便要采取相對(duì)標(biāo)度,那末AHP法是最好的選擇之一。一般地,如果一個(gè)系統(tǒng)可以分解為如圖1的三個(gè)層次:最高層次(目標(biāo)層)為b,第二層次(準(zhǔn)則層)為{x1,x2,…,xp},第三層次(方案層)為{y1,y2,…,yn}。設(shè)已得到x對(duì)b的排序權(quán)值向量為:Wb(x)=(Wb(x1),Wb(x2),??Wb(xp))Τy對(duì)xi的權(quán)向量寫成矩陣:By=[Wx1(y1)Wx2(y1)?Wxp(y1)Wx1(y2)Wx2(y2)?Wxp(y2)????Wx1(yn)Wx2(yn)?Wxp(yn)]由此可以得到合成排序(層次總排序)為:Wb(y)=ByWb(x)=(Wb(y1),Wb(y2),?,Wb(yn))Τ(3)其中Wb(y)=(Wb(y1),Wb(y2),…,Wb(yn))T是y對(duì)b的權(quán)向量。由式(3)知Wb(y)的分量為:Wb(yi)=p∑j=1Wxj(yi)Wb(xj)(i=1,2,?,n)(4)按Wb(y1),Wb(y2),…,Wb(yn)的大小進(jìn)行排序。下面分析采用第一主成分排序與采用AHP排序的結(jié)果。將式(2)與式(4)相比較,可知主成分分析與層次分析的實(shí)質(zhì)是相同的。在系統(tǒng)綜合時(shí),主成分分析的排序向量的第i個(gè)分量是第i個(gè)樣本點(diǎn)(或?qū)ο?的p個(gè)指標(biāo)觀測值xij(j=1,2,…,p)的加權(quán)平均,權(quán)系數(shù)lj(j=1,2,…,p)是第一主成分的系數(shù),這實(shí)際上是第i個(gè)樣本點(diǎn)(或?qū)ο?的p個(gè)指標(biāo)在絕對(duì)標(biāo)度下取值的加權(quán)平均。而AHP的總排序向量的第i個(gè)分量是第i個(gè)樣本點(diǎn)(或?qū)ο?的p個(gè)指標(biāo)在相對(duì)標(biāo)度下取值的加權(quán)平均,權(quán)系數(shù)Wb(xj)(j=1,2,…,p)是指標(biāo)層x對(duì)最高層b的排序權(quán)值向量的分量。由討論可知,要對(duì)一個(gè)系統(tǒng)中的樣本排序或進(jìn)行評(píng)估,如果在絕對(duì)標(biāo)度下可以得到樣本的p個(gè)指標(biāo)的觀測值,且系統(tǒng)中的指標(biāo)正相關(guān),就可采用主成分分析法;如果對(duì)系統(tǒng)中樣本的屬性(或指標(biāo))不可能確定一種絕對(duì)的標(biāo)度,如前面提到國家的安全就無法用絕對(duì)的標(biāo)度去衡量,對(duì)它的估計(jì)只能在比較中確定,采取相對(duì)標(biāo)度,該系統(tǒng)評(píng)估時(shí)可采用AHP法。使用AHP法需進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。(3)心理學(xué)家GAMiller的實(shí)驗(yàn)表明,在某種屬性上對(duì)若干不同物體進(jìn)行辨別時(shí),普通人能正確辨別的物體數(shù)目在5～9個(gè)之間。Miller認(rèn)為,心理學(xué)上的極限應(yīng)為9。當(dāng)元素或方案的個(gè)數(shù)超過9的情況下,利用AHP時(shí)應(yīng)將元素或方案分組,每組的方案不超過9個(gè)。當(dāng)?shù)谝淮畏纸M之后,編組的個(gè)數(shù)超過9,再進(jìn)行上層編組,使得從目標(biāo)開始向下形成一個(gè)遞階樹狀層次結(jié)構(gòu)。理論上已證明,在方案個(gè)數(shù)超過9的情況下,采取分組方式以形成遞階層次結(jié)構(gòu)要比不分組的作法更有效。利用主成分分析時(shí)指標(biāo)或方案的個(gè)數(shù)可以超過9。(4)層次分析法是解決指標(biāo)之間的對(duì)比量化問題,并不解決指標(biāo)的選擇問題。指標(biāo)的選取憑借于人的定性判斷,而主成分的一個(gè)重要用途是用來選取指標(biāo),主成分評(píng)價(jià)所選取的主成分是原來指標(biāo)的綜合,包含了原來指標(biāo)的大部分信息。這從AHP與PCA兩種評(píng)價(jià)方法本身便可知這一點(diǎn)。4農(nóng)村地區(qū)lyity綜合指數(shù)的建立例表1是我國16個(gè)地區(qū)農(nóng)民在1982年支出情況的抽樣調(diào)查數(shù)據(jù),該資料反映了每人平均生活消費(fèi)支出情況的六個(gè)指標(biāo)。試根據(jù)調(diào)查資料利用主成分得分對(duì)16個(gè)地區(qū)的生活水平進(jìn)行排序。調(diào)用SPSS11.5的FactorAnalysis菜單進(jìn)行PCA分析,以59.412%的精度得到了評(píng)價(jià)的綜合指數(shù)(第一主成分Y1):Y1=1√3.565(0.907X1+0.871X2+0.083X3+0.881X4+0.914X5+0.605X6)按第一主成分得分由大到小對(duì)16個(gè)地區(qū)農(nóng)民的生活水平排序?yàn)?上海(205.072),北京(166.928),浙江(137.517),天津(121.718),遼寧(118.836),江蘇(118.530),吉林(112.195),安徽(106.726),山東(103.412),福建(101.968),江西(96.479),內(nèi)蒙(93.36),黑龍江(88.942),河南(83.616),河北(79.091),山西(76.654)。5