2023學年完整公開課版數(shù)學活動

數(shù)學活動

R·九年級上冊新課導入導入課題問題:觀察下列兩個兩位數(shù)的積，猜一猜其中哪個積最大.91×99,92×98,…,98×92,99×91.

這節(jié)課我們運用二次函數(shù)的知識探究和說明兩數(shù)的積的最大值.(1)探究具有某種特點的兩數(shù)的積中存在的某種規(guī)律.(2)建立二次函數(shù)模型證明猜想是否正確.(3)通過活動，培養(yǎng)學生的觀察、比較、歸納和概括能力.重點：探究具有某種特點的兩數(shù)的積中存在的某種規(guī)律,并建立二次函數(shù)模型論證猜想的正確性.難點：建模.學習目標學習重、難點:推進新課活動1關(guān)于兩數(shù)乘積的猜想與證明猜想：下列式子中，哪個積最大？901×999，902×998，…，998×902,999×901.猜一猜先研究稍小一點的數(shù)，算一算，看你的猜想是否正確：91×99=

,92×98=

,93×97=

,94×96=

,95×95=

.90099016902190249025猜想：下列式子中，哪個乘積最大？901×999，902×998，…，998×902,999×901.猜測:950×950最大！這個猜測對不對呢？證明：設(shè)第一個數(shù)是900+x，則第二個數(shù)是(1000-x),設(shè)兩數(shù)積為y.(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式；y=(900+x)(1000-x)=-x2+100x+900000(2)求y的最大值；y=-(x-50)2+902500∴y的最大值為902500，此時x=50.【對應(yīng)訓練】觀察：5×5=0×1×100+25,15×15=1×2×100+25,25×25=2×3×100+25,35×35=3×4×100+25,…請猜測，第n個算式（n為正整數(shù)）的結(jié)果y應(yīng)表示為什么解析式?此解析式是否為二次函數(shù)？解：y=(n-1)×n×100+25=100n2-100n+25.此解析式是二次函數(shù).活動2曲線l的形狀如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是(0,2).在x軸上任取一點M，完成以下作圖步驟：①連接AM，作線段AM的垂直平分線l1，過點M作x軸的垂線l2,記l1,l2的交點為P.②在x軸上多次改變點M的位置，用①的方法得到相應(yīng)的點P，把這些點用平滑的曲線連接起來.3yO-33xA(0,2)Ml1l2P（1）觀察畫出的曲線L，猜想它是我們學過的哪種曲線？（2）對于曲線L上任意一點P，線段PA與PM有什么關(guān)系？設(shè)點P的坐標是（x,y）,你能由PA與PM的關(guān)系得到x、y滿足的關(guān)系式嗎？3yOxA(0,2)Ml1l2P（提示：根據(jù)勾股定理用含x,y的式子表示線段PA的長.）解：對于曲線L上任意一點P，連接PM、PA，則線段PA與線段PM的關(guān)系為：PA=PM,設(shè)點P的坐標為(x,y),則PA2=x2+(y-2)2，PM=|y|，由PA與PM的關(guān)系列等式x2+(y-2)2=y2，化簡得y=x2/4+1.由此，點P在函數(shù)y=x2/4+1的圖象上.即曲線L的形狀是拋物線.3yOxA(0,2)Ml1l2P你能由此確定曲線L是哪種曲線嗎？隨堂演練基礎(chǔ)鞏固1.如圖是某段河床橫斷面的示意圖．查閱該河段的水文資料，得到下表中的數(shù)據(jù)：(1)請你以上表中的各對數(shù)據(jù)(x，y)作為點的坐標，嘗試在坐標系中畫出y關(guān)于x的函數(shù)圖象;解：(1)如圖.xyO1020304050261014(2)當水面寬度為36米時，一艘吃水深度(船底部到水面的距離)為1.8米的貨船能否在這個河段安全通過?為什么?解：設(shè)該函數(shù)解析式為y=ax2，∵拋物線過點(20，2)，∴2=a×202，解得a=0.005，∴y=0.005x2.當x=18時，y=1.62<1.8.∴該貨船在這個河段不能安全通過.2.根據(jù)以下10個乘積，回答問題：1×399；2×398；3×397；4×396；…；398×2；399×1．(1)猜一猜：所有的積中，哪兩個數(shù)的積最大？(2)運用二次函數(shù)的知識說明你的猜想是正確的.解：(1)200×200的積最大.(2)設(shè)第一個乘數(shù)為x，第二個乘數(shù)為(400-x)，乘積為y.∴y=x(400-x)=-x2+400x.當x=200時，y有最大值.猜想正確.綜合應(yīng)用3.九(1)班數(shù)學興趣小組在社會實踐活動中，進行了如下的課題研究：用一定長度的鋁合金材料，將它設(shè)計成外觀為長方形的三種框架，使長方形框架面積最大.小組討論后，同學們做了以下三種試驗:

(1)在圖案①中，如果鋁合金材料總長度(圖中所有黑線的長度和)為6m,當AB為1m,長方形框架ABCD的面積是

m2;請根據(jù)以上圖案回答下列問題:(2)在圖案②中，如果鋁合金材料總長度為6m，設(shè)AB為xm,長方形框架ABCD的面積為S=

(用含x的代數(shù)式表示)；當AB=

m時,長方形框架ABCD的面積S最大;在圖案③中，如果鋁合金材料總長度為lm,設(shè)AB為xm，當AB=

m時，長方形框架ABCD的面積S最大.x(2-x)1(3)經(jīng)過這三種情形的試驗，他們發(fā)現(xiàn)對于圖案④這樣的情形也存在著一定的規(guī)律．探究:如圖案④，如果鋁合金材料總長度為lm共有n條豎檔時，那么當豎檔AB為多少時,長方形框架ABCD的面積最大.解：設(shè)AB=xm.

拓展延伸4.如圖①是棱長為a的小正方體，圖②、圖③由這樣的小正方體擺放而成．按照這樣的方法繼續(xù)擺放，自上而下分別把第一層、第二層、第三層…第n層的小正方體的個數(shù)記為S．解答下列問題：(1)填表：n12345…S1361015…(2)當n＝6時，S=

;21n＝6136101521(3)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，把S作為點的縱坐標，n作為點的橫坐標，在平面直角坐標系中描出相應(yīng)的點；解：(3)如圖xyO246810246810121412解：它們在同一函數(shù)圖象上.設(shè)函數(shù)解析式為y=an2+bn+c,圖象經(jīng)過點(1,1),(2,3),(3,6).則(4)請你猜一猜上述各點會在某一函數(shù)圖象上嗎?如果在某一函