基于小波分析的時(shí)-頻帶交錯(cuò)分析

基于小波分析的時(shí)-頻帶交錯(cuò)分析

小波包分析方法在振動(dòng)信號(hào)分析中，許多信號(hào)具有非統(tǒng)計(jì)定期偏移特性。對(duì)于此類(lèi)信號(hào),一般的頻譜分析或者時(shí)序分析方法難以全面反映信號(hào)的特點(diǎn),而借助于時(shí)-頻分析方法,則可以更好地揭示信號(hào)的特征。由于小波函數(shù)具有良好的時(shí)-頻局部化特性,因而小波分析方法為振動(dòng)信號(hào)的時(shí)-頻分析提供了有力的手段。多分辨率分析是小波分析方法中的重要算法。通過(guò)多分辨率分析可以將信號(hào)在不同的尺度上展開(kāi),提取了信號(hào)在不同頻帶上的特征,同時(shí)保留了信號(hào)在各個(gè)尺度上的時(shí)域特征,因而是對(duì)信號(hào)的時(shí)-頻分解。多分辨率分析方法的時(shí)-頻分辨率是隨著尺度變化的,對(duì)于信號(hào)的高頻部分,它的時(shí)間分辨率高而頻率分辨率差;對(duì)于信號(hào)的低頻部分,則頻率分辨率高而時(shí)間分辨率差。小波包方法是對(duì)多分辨率分析的改進(jìn),它具有對(duì)信號(hào)的自適應(yīng)性,能夠根據(jù)信號(hào)的特性,自動(dòng)選取不同的時(shí)-頻分辨率,從而彌補(bǔ)了多分辨率分析的不足。小波包分析中會(huì)產(chǎn)生頻帶錯(cuò)位現(xiàn)象,Wickerhauser提出了排序法,即對(duì)分解結(jié)果重新排序來(lái)解決這一問(wèn)題。本文對(duì)產(chǎn)生頻帶錯(cuò)位的原因進(jìn)行了探討,指出了排序法的不足,并提出了新的算法——移頻算法,從根本上解決了頻帶錯(cuò)位現(xiàn)象。文章給出了用兩種算法進(jìn)行信號(hào)分析的實(shí)例,從分析效果來(lái)看,移頻法確實(shí)優(yōu)于排序法。文章最后對(duì)小波包分析方法與其他時(shí)-頻分析方法進(jìn)行了比較。1.多分辨率分析1.1小波變換的參數(shù)滿足一定條件的函數(shù)ψ(t)稱(chēng)為基本小波,它的伸縮平移系{ψab}統(tǒng)稱(chēng)為小波函數(shù)任一函數(shù)f(t)的小波變換,可以表示為它與小波函數(shù)的內(nèi)積式中a稱(chēng)為尺度參數(shù),b稱(chēng)為位置參數(shù)。變換結(jié)果反映了f(t)在尺度a(頻率)和位置b(時(shí)間)的狀態(tài),所以小波變換是一種時(shí)-頻變換。1.2共構(gòu)濾波器的基本原理若取尺度a=2j,j∈Z,則相應(yīng)的小波變換稱(chēng)為二進(jìn)小波變換。Mallat提出的離散二進(jìn)小波變換的快速算法叫做多分辨率分析,在小波分析中具有重要的作用。設(shè)有振動(dòng)信號(hào)f(t)的離散采樣序列f(n),n=1,…,N。若以f(n)表示信號(hào)在尺度j=0時(shí)的近似值,記為C0(n)=f(n),則f(t)的離散二進(jìn)小波變換由下式確定式中h(n)和g(n)為由小波函數(shù)確定的一對(duì)互補(bǔ)的共軛濾波器。Cj和Dj分別稱(chēng)為信號(hào)在尺度j上的近似部分和細(xì)節(jié)部分。離散信號(hào)C0經(jīng)過(guò)尺度1,…,J的分解,最終分解為D1,D2,…,DJ,CJ,它們分別包含了信號(hào)從高頻到低頻的不同頻帶的信息,所以被稱(chēng)為多分辨率分析。同時(shí)它們各自都包含了原信號(hào)的時(shí)間信息,因而是信號(hào)的時(shí)一頻表示。2高頻率分辨率變差多分辨率分析雖然是一種有效的時(shí)一頻分析方法,但它的頻率分辨率與2j成正比,因而高頻段頻率分辨率變差。小波包分析方法是對(duì)多分辨率分析的改進(jìn),它能根據(jù)信號(hào)本身的特點(diǎn),自適應(yīng)地確定信號(hào)在不同頻段的分辨率。2.1多分辨率分析在(3)式中,將C和D統(tǒng)一用記號(hào)M表示,在求和式中作變量代換并乘以規(guī)一化系數(shù),得到比較(3)式和(4)式,可以看出在多分辨率分析中僅對(duì)Cj即信號(hào)的近似部分作分解,信號(hào)的細(xì)節(jié)部分保留作為分解結(jié)果,不再進(jìn)行分解。而在(4)式中,每次分解得到的結(jié)果都是兩個(gè)序列,而這兩個(gè)序列都要再進(jìn)一步分解,使得頻率分辨率得到了提高。所以小波包是一種比多分辨率更加精細(xì)的分解方法,能夠更有效地提取信號(hào)的時(shí)一頻特征。2.2混序編碼的方法信號(hào)經(jīng)過(guò)小波包分解(4)式,形成一系列分解結(jié)果。對(duì)任一尺度j來(lái)說(shuō),分解為,等共2j個(gè)序列,稱(chēng)為自然列或Paley列。在多分辨率分析的結(jié)果D1,D2……中,各序列按下標(biāo)排列依次分別包含了原信號(hào)從高到低的各個(gè)頻帶的信息。而在小波包分解的自然列中,各序列所含頻帶并不依下標(biāo)排列,而是十分混亂的?；煨蚴怯捎谛〔ò纸庵懈酎c(diǎn)采樣造成的。根據(jù)(4)式,每次分解結(jié)果都是經(jīng)過(guò)隔點(diǎn)取值得到的,即對(duì)上一次分解結(jié)果進(jìn)行二抽一采樣,使采樣頻率降低一半。而且隨著尺度j的增大,采樣頻率將以2-j的比例遞減,當(dāng)采樣頻率低于奈奎斯特頻率時(shí),發(fā)生頻率折迭。對(duì)已發(fā)生頻率折迭的序列再進(jìn)行分解時(shí),就會(huì)產(chǎn)生頻帶交錯(cuò)。圖1(a)顯示了這種現(xiàn)象。原信號(hào)是一個(gè)頻率由低到高隨時(shí)間變化的信號(hào),經(jīng)過(guò)一層分解后,在L1:層看到M3中發(fā)生了頻率折迭,頻率變?yōu)橛筛咦兊?。再分解一次以?在L2:中M6和M7的頻帶發(fā)生了錯(cuò)位。同時(shí),M5和M6中都存在頻率折迭,是下一次分解時(shí)出現(xiàn)頻帶錯(cuò)位的根源。為了得到正確的結(jié)果,Wickerhauser提出了按照Grey編碼對(duì)自然列進(jìn)行排序的方法,排序結(jié)果叫做有序列。圖1(b)顯示了按有序列分解的結(jié)果,各序列所含頻帶是由低到高依次排列的。2.3濾波器h的低通性及其頻率折迭問(wèn)題利用排序法雖然能使分解結(jié)果按各序列所含頻帶從低到高依次排列,消除了各序列間的混序現(xiàn)象,但序列內(nèi)的頻率折迭是仍然存在的,對(duì)分析結(jié)果仍會(huì)有一定的影響。移頻算法可以避免發(fā)生頻率折迭,因而不會(huì)出現(xiàn)混序現(xiàn)象,分析效果優(yōu)于排序法。根據(jù)(4)式,由于濾波器H的低通性質(zhì),凡是由濾波器h卷積得到的序列,都不會(huì)發(fā)生頻率折迭;而由濾波器g得到的序列只含信號(hào)的高頻分量,必然發(fā)生頻率折迭。如果先進(jìn)行移頻處理,使其所含最高頻率降低,低于二分之一奈奎斯特頻率,即可避免在分解時(shí)發(fā)生頻率折迭。根據(jù)付里葉變換性質(zhì)可知欲使函數(shù)f(t)移頻f0只要將其乘以即可。設(shè)原信號(hào)所含最高頻率為f0,采樣頻率fs0=2f0,當(dāng)分解至尺度j時(shí),由于隔點(diǎn)取值,采樣頻率降為,為防止頻率折迭,各序列所含的最高頻率fj應(yīng)不大于,因而信號(hào)的細(xì)節(jié)部分應(yīng)移頻,即乘以。由此得到小波包分解的移頻算法如下圖1(c)顯示了移頻算法的分解過(guò)程。各序列間不需要再進(jìn)行排序,就能保持正確的頻帶順序。而且每個(gè)序列內(nèi)部都消除了頻率折迭現(xiàn)象,所以分析效果優(yōu)于排序法。3交基—小波包分析實(shí)例小波包的分解結(jié)果可以組合為許多組正交基的分解結(jié)果。為選出最適合信號(hào)的正交基——最佳基,可以利用Coifman等提出的最小熵法。將最佳基的分解結(jié)果以不同的灰度級(jí)顯示在時(shí)-頻平面上,就得到了信號(hào)的時(shí)-頻表示,對(duì)于分析瞬態(tài)信號(hào),時(shí)變信號(hào)以及多分量信號(hào)等具有良好的效果。以下給出一些分析實(shí)例。3.1不同移頻法的分析結(jié)果圖1是一個(gè)調(diào)頻信號(hào)的分析結(jié)果。信號(hào)是sin(500πt+5πsin20πt),頻率f=250+50πcos20πt,圖2(a)是移頻算法小波包分析結(jié)果,圖中可以清楚顯示信號(hào)的變化規(guī)律。作為對(duì)比,圖2(b)給出了排序法的分析結(jié)果。可以看出移頻法比排序法效果好。圖3是一個(gè)多分量信號(hào)的分析結(jié)果。該信號(hào)由四個(gè)分量迭加形成,同時(shí)人為加入一定量的白噪聲,信噪比約為6.5dB。這樣的信號(hào)如果僅作時(shí)域或頻域分析,是難以找出其規(guī)律的。而通過(guò)小波包分解,則可以很清晰地區(qū)分開(kāi)各個(gè)分量。圖3(a)是用移頻法進(jìn)行小波包分析的結(jié)果,可以看到其中兩個(gè)分量頻率隨時(shí)間線性增加,但增加的速率不同,另外兩個(gè)分量頻率逐漸減小,減小的速率也不同。圖3(b)是排序法分解的結(jié)果,效果不如移頻法,尤其在高頻部分,由于噪聲的作用,分辨率變差。3.2小波包分析的頻率特征該例為一外環(huán)有缺陷的308滾珠軸承振動(dòng)分析。運(yùn)行轉(zhuǎn)速為1000r/min,根據(jù)軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)算得脈動(dòng)頻率為51.8Hz。在作頻譜分析時(shí),由于背景噪聲較大以及沖擊振動(dòng)的準(zhǔn)周期特性,譜圖上找不到相應(yīng)的頻率(圖4(a)),故難以對(duì)故障特性做出準(zhǔn)確判斷。圖4(b)是小波包分析結(jié)果,在噪聲背景上,可以看出沖擊振動(dòng)的間隔約為19ms,說(shuō)明外環(huán)確實(shí)存在缺陷。同時(shí)可以看到?jīng)_擊引起的振動(dòng)頻率約為850Hz,這是軸承外環(huán)的固有頻率。圖4(c)是排序法分析結(jié)果,效果較差。3.3wiger分布的二次時(shí)頻分析在小波分析方法提出之前,主要的時(shí)-頻分析方法有加窗(短時(shí))付里葉變換和Wigner分布。加窗付里葉變換的分辨率由窗函數(shù)確定,當(dāng)窗長(zhǎng)確定之后,分辨率在整個(gè)時(shí)頻平面上保持不變,因而缺乏對(duì)信號(hào)的適應(yīng)能力。Wigner分布屬于二次時(shí)頻分析,是信號(hào)在時(shí)-頻平面上的聯(lián)合功率譜。Wigner分布的分辨率很高,但分析多分量信號(hào)時(shí)存在嚴(yán)重的交叉干涉,以致于影響它的實(shí)際應(yīng)用。目前雖有許多消除交叉干涉的方法提出,但卻是以降低分辨率為代價(jià)的。小波包具有對(duì)信號(hào)的自適應(yīng)能力,時(shí)一頻分辨率較高,不存在交叉干涉,對(duì)某些信號(hào)的分析效果優(yōu)于其它時(shí)一頻分析方法。圖5是上述軸承信號(hào)的加窗付里葉變換和Wigner分布的分析結(jié)果。與圖4(b)對(duì)比可以看出小波包分析優(yōu)于其它方法。4消除采樣不足造成頻帶交錯(cuò)小波包分析是一種正交