專題02不等式的性質(zhì)解法與均值定理(原卷版)

專題02不等式的性質(zhì)解法與均值定理目錄一常規(guī)題型方法1題型一不等式的性質(zhì)1題型二一元二次不等式3題型三其他不等式5題型四由均值定理求積與和的最值6題型五均值不等式化“1”法7題型六均值不等式構(gòu)造法9二針對性鞏固練習(xí)10練習(xí)一不等式的性質(zhì)10練習(xí)二一元二次不等式11練習(xí)三其他不等式12練習(xí)四由均值定理求積與和的最值12練習(xí)五均值不等式化“1”法13練習(xí)六均值不等式構(gòu)造法13常規(guī)題型方法題型一不等式的性質(zhì)【典例分析】典例1-1．（2022·北京市陳經(jīng)綸高一期中）若實(shí)數(shù)a，b，且，則下列不等式恒成立的是（

）A． B． C． D．典例1-2．（2022·北京·首師大附中昌平高一期中）下列命題是真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則典例1-3．（北京市房山區(qū)2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期業(yè)水平調(diào)研數(shù)學(xué)試題）已知，則m和n的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．典例1-4．（2022·重慶·西南大學(xué)附中高一期中）已知，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【方法技巧總結(jié)】1.不等式的性質(zhì)有：對稱性、傳遞性、可加性（同向可加性，異向可減性）、可積性（同向正數(shù)可乘性，異向正數(shù)可除性）、平方法則、開方法則、倒數(shù)法則。2.技巧：性質(zhì)的應(yīng)用要注意正負(fù)，如果不方便用性質(zhì)可以在滿足條件的前提下進(jìn)行代數(shù)驗(yàn)證，進(jìn)而排除選項(xiàng)。3.比較大小可用作差法或作商法【變式訓(xùn)練】1．（北京市房山區(qū)2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期業(yè)水平調(diào)研數(shù)學(xué)試題）若，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．2．（2022·河南南陽·高一期中）下列命題為真命題的是（

）．A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則3．（新疆兵團(tuán)地州2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知，，則（

）A． B． C． D．4．（2022·山東·濱州高新高級高一階段練習(xí)）已知，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型二一元二次不等式【典例分析】典例2-1．（2022·福建省泉州市培元高一階段練習(xí)）若不等式的解集為，則不等式的（

）A． B．或C． D．或典例2-2．（2022·山西·晉城市第高一階段練習(xí)）已知集合，，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．典例2-3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且兩個(gè)實(shí)數(shù)根都大于2，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．典例2-4．（2022·北京市第五十高一階段練習(xí)）對于任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．或【方法技巧總結(jié)】1.一元二次不等式口訣：小于取中間，大于取兩邊，但前提是x平方前的系數(shù)為整數(shù)，另外也可以畫二次函數(shù)圖像來解一元二次不等式。2.含參的一元二次不等式要注意討論的方向，一般先討論開口方向，然后十字相乘，再對含參的根進(jìn)行大小比較，最后在不同情況下下結(jié)論。3.一元二次方程根的分布：有五種不同模型，以根的判別式、對稱軸、端點(diǎn)值的正負(fù)三方面求參數(shù)的范圍?！咀兪接?xùn)練】1．（2022·山西·太原高一階段練習(xí)）不等式的解集為，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．2．（2022·北京·和平街第一高一階段練習(xí)）若集合，，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）關(guān)于x的方程恰有一根在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2022·廣東·高一期中）已知函數(shù)，，若對于任意，均有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型三其他不等式【典例分析】典例3-1．（2022·江西省豐城高一期中）若“”是“”的充分而不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．1<a≤3 B． C． D．典例3-2．（2022·江蘇·鹽城高三階段練習(xí)）已知集合，，則（

）A． B． C． D．典例3-3．（2021·山東·德州市陵城區(qū)翔龍高級高一階段練習(xí)）設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【方法技巧總結(jié)】1.其他不等式有：分式不等式、絕對值不等式、高階不等式、根式不等式、指數(shù)不等式、對數(shù)不等式等。2.技巧：分式不等式可同乘分母的平方來去分母，且需注意最后結(jié)果要考慮分母不為零；絕對值不等式和根式不等式都是同時(shí)平方；高階不等式用穿針引線法，注意“奇穿偶不穿”；指對不等式需化同底，然后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性。【變式訓(xùn)練】1．（2022·河南·高一階段練習(xí)）若，，則（

）A． B．C． D．2．（2022·安徽省亳州市第一高三階段練習(xí)）不等式的解集為（

）A． B．C． D．3．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知集合，則（

）A． B． C． D．題型四由均值定理求積與和的最值【典例分析】典例4-1．（2022·廣東深圳·高三階段練習(xí)）已知，若，則的最大值為（

）A．1 B． C．2 D．典例4-2．（2022·安徽·蕪湖高一階段練習(xí)）已知，且，則的最小值是（

）A．4 B．5 C．6 D．7典例4-3．（2022·江蘇省灌南高級高三階段練習(xí)）下列命題中正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，典例4-4．（2020·寧夏·石嘴山市第三高三階段練習(xí)（文））若，則函數(shù)（

）A．有最大值10 B．有最小值10C．有最大值6 D．有最小值6【方法技巧總結(jié)】1.技巧：均值不等式求最值得關(guān)鍵在于“一正二定三相等”。一正：各項(xiàng)必須為正；二定：要求積的最大，其和必為定值，要求和的最小，其積必為定；三等：必須驗(yàn)證等號成立的條件。2.相關(guān)拓展推式：（1）（2）（3）（4）【變式訓(xùn)練】1．（2022·四川成都·高二期中（理））若正實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．12．（2017·湖南·武岡市教育科學(xué)研究所高二學(xué)業(yè)考試）已知點(diǎn)在直線上運(yùn)動，則的最小值是（

）A．2 B．4 C．6 D．83．（2022·寧夏·石嘴山市第三高二階段練習(xí)（理））下列函數(shù)中，最小值為2的是（

）A． B．C． D．4．（2020·云南·昭通市昭陽區(qū)第一高一階段練習(xí)）函數(shù)的最小值是（

）A．3 B．4 C． D．6題型五均值不等式化“1”法【典例分析】典例5-1．（2022·浙江寧波·高一期中）已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值為（

）A．7 B．14 C．18 D．9典例5-2．（2022·重慶·高三階段練習(xí)）已知,且,則最小值為（

）A． B． C． D．典例5-3．（2022·北京市第五十七高一階段練習(xí)）設(shè)正實(shí)數(shù)、滿足，則下列說法不正確的是（

）A．的最小值為 B．的最大值為C．的最小值為 D．的最小值為典例4-4．（2022·四川·簡陽市陽安高三階段練習(xí)（文））若兩個(gè)正實(shí)數(shù)、滿足，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．或C． D．或【方法技巧總結(jié)】1.方法流程：首先，條件化“1”，然后，把其與問題相乘，再將其括號展開變?yōu)樗捻?xiàng)，最后直接使用均值定理求出最值。2.注意：需再讀題時(shí)觀察條件和問題，是否滿足“兩分子，兩分母分別相加”的形式，也需注意變量范圍和取等情況?！咀兪接?xùn)練】1．（2022·江蘇省灌南高級高一階段練習(xí)）已知，且，則最小值為（

）A．9 B． C．7 D．2．（2022·福建省長汀縣第一高一階段練習(xí)）若，，且，那么的最小值是（

）A． B． C． D．3．（2022·江蘇·常州市北郊高級高二開學(xué)考試）設(shè)正實(shí)數(shù)x，y滿足，則（

）A．的最大值是 B．的最小值是8C．的最小值為 D．的最小值為24．（2022·新疆·兵團(tuán)第一師高級高一階段練習(xí)）已知，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A．B．C． D．題型六均值不等式構(gòu)造法【典例分析】典例6-1．（2022·黑龍江齊齊哈爾·高一期中）設(shè)x，y均為正實(shí)數(shù)，且，則x＋y＋4的最小值為（

）A．12 B．20 C．13 D．10典例6-2．（2021·天津·高一期末）若，且，則的最小值為（

）A．8 B．3 C．2 D．典例6-3．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知正數(shù)、滿足，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【方法技巧總結(jié)】1.構(gòu)造法是利用配湊的方法將條件或問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使得整道題可以使用直接法或是化“1”法來進(jìn)行求解。2.均值定理方法的選擇順序?yàn)椋褐苯臃?化“1”法、構(gòu)造法、其他方法（同一變量法，三角換元等）?！咀兪接?xùn)練】1．（2022·黑龍江·雙鴨山高一階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．6 B．8 C．10 D．122．（2022·湖北·廣水市第二高級高一期中）已知正數(shù)、滿足，求的最小值是（

）A． B．9 C． D．43．（2022·山東·梁山縣第一高一階段練習(xí)）若正數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．8 B．9 C．10 D．12針對性鞏固練習(xí)練習(xí)一不等式的性質(zhì)1．（2022·北京·大峪高一期中）如果，那么下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．2．（2022·福建省福州延安高一階段練習(xí)）若、、為實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若a＜b＜0，則3．（2022·云南·高一階段練習(xí)）已知，，則（

）A． B． C． D．4．（2022·陜西·咸陽市高新高一期中）若，則的取值范圍是（

）A． B． C．(0，4) D．(0，10)練習(xí)二一元二次不等式5．（2022·山西大附中高一階段練習(xí)）已知關(guān)于的不等式的解集是，則關(guān)于的不等式的解集是（

）A．或 B．C．或 D．6．（2022·廣東·佛山市南海區(qū)藝術(shù)高級高一階段練習(xí)）已知集合，，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．或7．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）要使關(guān)于的方程的一根比大且另一根比小，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若不等式對任意都成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．練習(xí)三其他不等式9．（2022·遼寧·大連市第二十高級高一階段練習(xí)）命題，命題，則是成立的（

）.A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件10．（2022·江西·贛州市第一高二階段練習(xí)（文））不等式的解集為（

）A．或 B．或C．或 D．或11．（2021·河南南陽·高三期末）已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．練習(xí)四由均值定理求積與和的最值12．（2022·廣東·廣州南洋英文高一期中）已知，且滿足，則有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值1 D．最小值113．（2022·湖南·株洲高一階段練習(xí)）已知，，且，則（

）A．xy的取值范圍是 B．的取值范圍是C．的最小值是3 D．的最小值是14．（2022·重慶市長壽中高三期中）下列函數(shù)中，最小值為4的是（

）A． B．C． D．15．（2022·吉林·東北師大附中高一階段練習(xí)）的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4練習(xí)五均值不等式化“1”法16．（黑龍江省齊齊哈爾市普高聯(lián)誼校2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．17．（2019·山東省青島第六十八高一期中）已知正數(shù)，滿足，那么的最小值是（

）A．1 B． C．9 D．218．（2022·江蘇·南京外國語高一階段練習(xí)）已知，，且