概率論與數(shù)理統(tǒng)計 林文浩 其次章習題

本文格式為Word版，下載可任意編輯——概率論與數(shù)理統(tǒng)計林文浩其次章習題習題二一維隨機變量及其分布

A組

一、填空題

5．三個大小一致的小球隨機投入三個盒子中，設(shè)每個盒子至多可裝三個球，則空盒子的數(shù)目X的分布律為。

解此系古典概型問題。X的所有可能的取值為0，1，2，據(jù)古典概型有

111m0C3C2C16P(X?0)???，

n3327111C3C218m1C3P(X?1)???，3n327111C3C3m2C33P(X?2)???。

n3327（說明：每個球都有機遇盒子投入三個盒子中的任何一個內(nèi)，且機遇是均等的，于是三個球

3投入三個盒子內(nèi)的各種情形共有n?3種。當X?0，即不出現(xiàn)空盒子時，可視第一個球可

投入三個盒子中的任何一個內(nèi)，其次個球可投入另外兩個盒子中的任何一個內(nèi)，而第三個球

111只能投入剩下的最終一個盒子內(nèi)，故含X?0的情形只有m0?C3C2C1種。類似的，可得111111m1?C3C3C2，m2?C3C1C1）

B組

1．現(xiàn)有7件產(chǎn)品，其中一等品4件，二等品3件。從中任取3件，求3件中所含一等品數(shù)的概率分布。

解設(shè)所取3件產(chǎn)品中所含一等品數(shù)為X，則X可能的取值為0，1，2，3由古典概型知

312C3C4C112P{X?0}?3?，P{X?1}?33?，

C735C735213C4C318C44P{X?2}?3?，P{X?1}?3?

C735C7351

所以X的概率分布為

X012P3135123518354352．一個口袋中有六個球，在這六個球上分別標有?3,?3,1,1,1,2的數(shù)字，從這口袋中任取一個球，求取得的球上標明的數(shù)字X的分布列和分布函數(shù)。

解由古典概型知

P{X??3}?21311?，P{X?1}??，P{X?2}?636262所以X的分布列為

X-31P16?0,x?0?3．隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)??Ax,0?x?1,求：（1）系數(shù)A；（2）X的概

?1,x?1?率密度f(x)；（3）P{0?X?0.25}。

解X為連續(xù)型隨機變量，其分布函數(shù)為連續(xù)函數(shù)，故有

1312A?F(1?0)?F(1)?1

于是當x?0時，f(x)?F?(x)?0；

當x?0時，f?(0)?lim?x?0F(x)?F(0)0?0?lim?0，?x?0xxf?(0)?lim?x?0F(x)?F(0)?limx?0?x12xx?0???；x；

當0?x?1時，f(x)?F?(x)?(x)??當x?1時，f?(1)?lim?x?1F(x)?F(1)x?1?lim?0x?1?xxF(x)?F(1)1?1?lim?0x?0?xx2

f?(1)?lim?x?1故f(1)?0；

當x?1時，f(x)?F?(x)?(1)??0。

?1,0?x?1?所以所求概率密度為f(x)??2x

?0,其它?而P{0?X?0.25}?F(0.25)?F(0)?0.25?0?0.5

4．連續(xù)地擲一顆骰子，直到出現(xiàn)最大點數(shù)6為止，用X表示擲骰子的次數(shù)，求X的概率分布，并求P{X?3}。

解設(shè)A?{擲一次骰子出現(xiàn)點數(shù)6}，則P(A)?1，于是X為幾何分布即61X~G(P)?G()，其分布為

615P{X?k}?(1?p)k?1p?()k?1,k?1,2,?

66而

P{X?3}?1?P{X?3}?1?P{X?1}?P{X?2}

11525?1????

666365．某射手有5發(fā)子彈，射一次，命中率為0.9，若命中就中止射擊，若未命中就一直射到子彈用完，求耗用子彈數(shù)X的分布列。

解由題設(shè)X的所有可能取值為1，2，3，4，5，而由條件概率可得

P{X?k}?0.9(1?0.9)k?1,k?1,2,3,4

即

P{X?1}?0.9，P{X?2}?0.09，

P{X?3}?0.009，P{X?4}?0.000而由全概率公式得

P{X?5}?0.9(1?0.9)4?(1?0.9)5?0.0001

所以X的分布列為X120.093450.00013

P

0.90.0090.00096．在一致條件下相互獨立進行5次射擊，每次射擊擊中目標的概率為0.7，求擊中目標的次數(shù)X的分布律及分布函數(shù)。

解X~B(5,0.7)，由二項分布概率公式可得

kk5?kpk?P{X?k}?P,5(k)?C50.7(1?0.7)k?0,1,2,3,4,5

故X的分布律為

p0?0.00243，p1?0.02835，p2?0.1323p3?0.3087，p4?0.36015，p5?0.16807而根據(jù)F(x)?可得X的分布函數(shù)為

?P{X?k}

k?x0,x?0.??0.00243,0?x?1,??0.03078,1?x?2,?F(x)??0.16308,2?x?3,

?0.47178,3?x?4,??0.83193,4?x?5,?1,x?5.?7．設(shè)一個盒子中有5個紀念章，編號為1，2，3，4，5，在其中等可能地任取3個，以X表示取出的3個紀念章上的最大號碼，（1）求X的分布列；（2）求P{X?5}。

解由題設(shè)X的所有可能取值為3，4，5，而由古典概型可得

22C323C2C416P{X?3}?3?，P{X?4}?3?，P{X?5}?3?

C510C510C510所以X的分布列為

X345P且

110310610P{X?5}?P{X?3}?P{X?4}?

132??101054

8．袋中有四個紅球，兩個白球，今從中逐個取球，共取5次，在以下兩種狀況下求取得紅球數(shù)X的分布列：（1）每次取出的球，觀其顔色后又放回袋中；（2）每次取出的球不放回袋中。

解（1）X~B(5,)，由二項分布概率公式可得pk?P{X?k}?P5(k)?C5()(1?)故X的分布律為

k2323k235?k,k?0,1,2,3,4,5

11040808032，p1?，p2?，p3?，p4?，p5?243243243243243243（2）從六個球中不放回地逐個取球5次，最終袋中剩下或紅或白一球，因此X的所有可能取值為3，4。由古典概型按組合算法可得X的分布律為

p0?3241C4C22C4C21P{X?3}?，?P{X?4}??55C63C63若按排列算法，則有

3241C4C2P52C4C2P51，P{X?3}??P{X?4}??55A63A639．從一批含有7件正品及3件次品的產(chǎn)品中一件一件地抽取產(chǎn)品，設(shè)每次抽取時，所

面對的各件產(chǎn)品被抽到的可能性相等。在以下三種狀況下分別求出直到取得正品時抽取產(chǎn)品數(shù)X的分布列：

（1）每次取出產(chǎn)品檢定后又放回，再取下一件產(chǎn)品；（2）每次取出產(chǎn)品后不放回；

（3）每次取出一件產(chǎn)品后，總以一件正品放回這批產(chǎn)品中。

7)，其分布為1073P{X?k}?p(1?p)k?1?()k?1,k?1,2,?

1010（2）由題設(shè)X的所有可能取值為1，2，3，4，而由條件概率可得X的分布列為

7377?P{X?1}?，P{X?2}?，

1010930327732171P{X?3}????，P{X?4}

109812023987120（3）由題設(shè)X的所有