特訓05壓軸題題型01用導數(shù)解決恒成立問題（解析版）

特訓05壓軸題題型01用導數(shù)解決恒成立問題一、解答題1．已知函數(shù)且為常數(shù)）.(1)當，求函數(shù)的最小值；(2)若函數(shù)有2個極值點，求的取值范圍；(3)若對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）首先求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求函數(shù)的最小值；（2）首先求函數(shù)的導數(shù)，再設(shè)函數(shù)，利用導數(shù)分析函數(shù)的圖像，轉(zhuǎn)化為直線與的圖像有2個交點，即可求得的取值范圍；（3）首先不等式轉(zhuǎn)化為對任意的恒成立，再構(gòu)造函數(shù)，利用二次導數(shù)，結(jié)合零點存在性定理，分析函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最小值，即可求的取值范圍.【解析】（1）當時，，，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)取得最小值；（2）函數(shù)的定義域為，，設(shè)，，由，得，列表如下：減極小值增當時，，當時，，做出函數(shù)與的圖像，如下圖，當時，直線與的圖像有2個交點，設(shè)這兩個交點的橫坐標分別為，且，有圖可知，當或時，，當時，，此時函數(shù)有2個極值點，所以的取值范圍是；（3）不等式對任意的恒成立，等價于對任意的

恒成立，所以對任意的恒成立，令，其中，則，令，其中，則，對任意的恒成立，所以在上單調(diào)遞增，因為，，故存在，使得，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以，因為，則，因為，則，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，由可得，故，可得，所以，故.2．己知函數(shù)．(1)若經(jīng)過點的直線與函數(shù)的圖像相切于點，求實數(shù)a的值；(2)設(shè)，若函數(shù)在區(qū)間當為嚴格遞減函數(shù)時，求實數(shù)a的取值范圍；(3)對于（2）中的函數(shù)，若函數(shù)有兩個極值點為，且不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義求過點的直線方程，結(jié)合直線過，即可求得的值；（2）由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，可知其導數(shù)恒成立，分離參數(shù)，求解函數(shù)的最大值即可；（3）依題意可知有兩個不相等的實數(shù)根，結(jié)合韋達定理，可將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，進而利用導數(shù)求的最大值即可.【解析】（1）由得,所以過點切線的斜率為,因為切線過點,所以,解得：.（2）由得，依題意對區(qū)間上的任意實數(shù)恒成立，即對區(qū)間上的任意實數(shù)恒成立，易得在區(qū)間單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，所以在上的最大值為，所以，實數(shù)a的取值范圍為（3）依題意：在上有兩個不同的根，即在上有兩個不同的根,所以，可得，由于不等式，可得又.令,所以，又,所以，即在區(qū)間上嚴格遞減，所以,所以.【點睛】導函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．3．已知函數(shù)，，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)令，求證：對，有成立；(3)若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2)證明見解析；(3).【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義求曲線在點處的切線的斜率，利用點斜式求切線方程；（2）利用導數(shù)求函數(shù)的最小值，利用基本不等式求的最大值，由此證明；（3）由已知可得在上恒成立，設(shè)，則在上恒成立，利用導數(shù)求函數(shù)的最大值，可求的取值范圍．【解析】（1）因為，所以，所以，，所以曲線在點處的切線的斜率為2，故切線方程為，即；（2）因為，當時，，故在上單調(diào)遞增，所以，又，因為，所以，，所以，當且僅當，即時取等號，即當時，，由于的最小值等于的最大值，且不是在同一點取得，故有成立（3）由不等式在上恒成立，即不等式在上恒成立，得在上恒成立，令，由(2)在上單調(diào)遞增，所以，則在上恒成立，在上恒成立，令，則在遞減，所以實數(shù)的取值范圍是【點睛】結(jié)論點睛：對于恒成立問題，常用到以下兩個結(jié)論：(1)恒成立?；(2)恒成立?.4．已知函數(shù)(1)求的最小值；(2)函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，記該曲線與軸圍成圖形的面積為，證明：；(3)若對于任意恒成立，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）求導，利用導函數(shù)的正負確定單調(diào)性，進而可求最值，（2）通過單調(diào)性和最值可知當時，，進而可證明圍成的面積在梯形內(nèi)部，進而可求解，（3）對式子進行變形為，構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性將其轉(zhuǎn)化為只需要即可求解.（1）當時，由題知：當時，在上單調(diào)遞減當時，在上單調(diào)遞增.所以當，又因為所以最小值為.（2）因為，由（1）知：當時，.因為，所以在點處的切線方程為令，則所以在上單調(diào)遞減，所以.所以曲線在軸?軸?和之間設(shè)原點為軸與交點為和的交點為，點為，所以曲線在梯形內(nèi)部所以.（3）因為，所以所以①當時，因為，所以，所以②當時，令則在時恒成立所以在時單調(diào)遞增由題知：所以.所以由（1）知：所以【點睛】本題考查了導數(shù)的綜合運用，利用導數(shù)求解不含參的最值問題比較常規(guī)，處理起來也比較容易，對于含參問題，利用導數(shù)求解時，往往需要合理變形，然后根據(jù)式子特征構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求解構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性.5．已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的極值；(2)若存在時，使成立，求的取值范圍.(3)若不等式對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)函數(shù)有極小值，無極大值；(2)；(3).【分析】（1）由題可得，然后根據(jù)導數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系即得；（2）由題可得存在，成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求函數(shù)的最值即得；（3）設(shè)，由題可得對任意恒成立，利用導數(shù)可得，進而可得只需在上單調(diào)遞增，即在上恒成立，即得.（1）因為，∴，由，可得，由，可得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當時，函數(shù)有極小值，無極大值；（2）由，可得，即存在，成立，設(shè)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，所以；（3）由題可知對任意恒成立，即對任意恒成立，設(shè)，則對任意恒成立，下面證明對任意恒成立，設(shè)，，則在上恒成立，且僅在時取等號，所以在上單調(diào)遞減，∴，即，所以對任意恒成立，只需在上單調(diào)遞增，即在上恒成立，所以在上恒成立，所以，即實數(shù)的取值范圍為.【點睛】方法點睛：恒（能）成立問題的解法：若在區(qū)間上有最值，則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分離常數(shù)，即將問題轉(zhuǎn)化為：（或），則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.6．已知函數(shù)．(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為(2)【分析】（1）用導數(shù)法求單調(diào)區(qū)間即可；（2）等價于，根據(jù)不等式的特征，結(jié)合導數(shù)法分別討論、、時的恒成立問題即可（1）當時，，定義域為，，當；當.故單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為（2）等價于，令，，則，i.當時，對于不等式，∵，故不等式恒成立；ii.當時，，故，不等式恒成立；單調(diào)遞減；單調(diào)遞增，要使不等式成立，只需，解得，iii.當時，，，故，不等式恒成立；，單調(diào)遞減；，單調(diào)遞增，要使不等式成立，只需即，解得，綜上，【點睛】本題考查含參不等式恒成立問題，解題關(guān)鍵是分離常量，構(gòu)造函數(shù)討論.本題中等價于，恒成立，故關(guān)鍵是對式子的分析，可看作二次函數(shù)，則通過作為依據(jù)對a分類討論，最后結(jié)合導數(shù)法討論各分類的恒成立情況即可.7．已知函數(shù)．(1)若曲線在處的切線的方程為，求實數(shù)，的值；(2)當時，，且，求證．(3)若，對任意，，不等式恒成立，求的取值范圍；【答案】(1)(2)證明見解析；(3)【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義列出相應方程，求得；（2）時求導數(shù)，判斷的單調(diào)性，不妨設(shè)，則要證明，即證，，即證，結(jié)合，即只需證明，從而令，求其導數(shù)，判斷單調(diào)性，即可證明結(jié)論；（3）利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，從而將可化為，構(gòu)造函數(shù)，判斷其單調(diào)性，可得在上恒成立，分離參數(shù)，求函數(shù)最值，即可求得答案.（1）,∵曲線在處的切線的方程為，所以，∴；（2）當時，，則，當時，，遞減，當時，，遞增，由于，且，故不妨設(shè)，則要證明，即證，而，當時，遞增，故即證，由于，即只需證明，令，則，當時，，即單調(diào)遞減，故，即時，，即有，故原命題成立，即；（3）因為，，所以，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，不妨設(shè)，則可化為，設(shè)，則，所以為上的增函數(shù)，即在上恒成立，等價于在上恒成立，即在上恒成立，又，所以，所以，對于函數(shù)，，當時，，故在上是增函數(shù)，所以，所以，即m的取值范圍為.【點睛】本題考查了導數(shù)幾何意義的應用以及不等式的證明和根據(jù)不等式恒成立求參數(shù)的范圍問題，綜合性較強，計算量較大，解答時要注意能熟練應用導數(shù)的相關(guān)知識，比如利用導數(shù)解決切線問題和判斷函數(shù)單調(diào)性以及最值問題，解答的關(guān)鍵是將不等式恒成立求參數(shù)范圍轉(zhuǎn)化為構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的最值問題加以解決.8．已知函數(shù)．(1)從下列條件中選擇一個作為已知條件，求的單調(diào)區(qū)間；①在處的切線與直線垂直；②的圖象與直線交點的縱坐標為．(2)若存在極值，證明：當時，．【答案】(1)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；(2)詳見解析.【分析】（1）由題可得，結(jié)合條件可得，進而可得，然后利用導數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即得；（2）令，分類討論利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)可得，當時，存在極值，進而利用導數(shù)求的極小值，結(jié)合條件即證.（1）∵，定義域為，∴，選①，由在處的切線與直線垂直，∴，故，所以，由，可得，所以當時，，當時，，故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；選②，，令，可得，即，所以，由，可得，所以當時，，當時，，故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；（2）由上可知，令，則，由，可得，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當時，，，函數(shù)單調(diào)遞增，沒有極值，當時，，且，因為，故有唯一的零點，且，由可得，即，當時，，，當時，，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處取得極小值，，所以，即.【點睛】方法點睛：恒（能）成立問題的解法：若在區(qū)間D上有最值，則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分離常數(shù)，即將問題轉(zhuǎn)化為：（或），則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.9．已知函數(shù)，且.(1)求實數(shù)a的值；(2)求證：存在唯一的極小值點，且；(3)設(shè)，.對，恒成立，求實數(shù)b的取值范圍.（參考結(jié)論：，）【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）由，得到，令，求得，根據(jù)，求得，進而確定的值；（2）求得，令，得到，求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點的存在定理，得到，使得，得到的單調(diào)性，得到存在唯一極小值點，設(shè)，利用導數(shù)求得的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性，即可作出證明.（3）轉(zhuǎn)化為恒成立，當時，得到，令，求得，令，求得，構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合結(jié)論，即可求解.(1)解：由題意，函數(shù)，可得其定義域為，因為，且，可得，且時函數(shù)的一個極值點，令，可得，因為，且，可得，解得，當時，，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，所以，符合題意.所以實數(shù)的值為.(2)證明：由函數(shù)，可得，令，則，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，又由，，，所以，使得，當時，，即，單調(diào)遞增；當時，，即，單調(diào)遞減；當時，，即，單調(diào)遞增，所以存在唯一極小值點.因為，所以，又因為，所以設(shè)，可得，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，因為，所以，綜上可得：.(3)解：對，恒成立，即恒成立，即不等式恒成立.當時，不等式對任意實數(shù)b都成立；當時，，所以，令，可得，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，單調(diào)遞減，所以，所以，單調(diào)遞減，又由當時，，所以，所以，即實數(shù)的取值范圍是.10．已知函數(shù).(1)若，求曲線在點（1，f（1））處的切線方程；(2)若關(guān)于x的不等式在上恒成立，求a的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）求函數(shù)的導數(shù)，再求出曲線在點（1，f（1））處的切線斜率，可得答案；（2）將關(guān)于x的不等式進行分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，從而將不等式在上恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解,然后利用導數(shù)，求解新函數(shù)的最值，可得答案.(1)依題意，故,故,而，故所求切線方程為.(2)依題意，令,則令則當時，則在上單調(diào)彈增，因為，,所以存在，則，則，故,令，，則,所以在上單調(diào)遞增，則,因為當時，，當時，,即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)通增，所以,故a的取值范圍為.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義，利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查數(shù)學運算，邏輯推理的核心素養(yǎng),解答的關(guān)鍵在于能對函數(shù)式進行合理的變形，從而構(gòu)造新函數(shù)，確定最值問題，從而最終解決問題.11．已知函數(shù)，x∈[0，π]．(1)求f(x)的最大值，并證明：；(2)若恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)；證明見解析(2)[，＋）【分析】（1）構(gòu)造新函數(shù)去證明一個較為復雜的不等式是一個快捷方法；（2）構(gòu)造新函數(shù)去證明不等式，并不重不漏地進行分類討論是本小題亮點.(1)∵，x∈[0，π]，∴，∴f(x)在[0，π]上單調(diào)遞減，∴．

要證，只要證，即證＞f(x)，令g(x)＝，x∈[0，π]，則g′(x)＝，故g(x)在（0，2）上單調(diào)遞減；g(x)在（2，π）上單調(diào)遞增，所以g(x)≥g(2)＝-，又f(x)≤-，且等號不同時取到，所以(2)f(x)＋2ax3＋≥0，等價于xcosx－sinx＋2ax3≥0，令h(x)＝xcosx－sinx＋2ax3，x∈[0，π]，則h′(x)＝－xsinx＋6ax2＝x（6ax－sinx），令，則，①當a≤－時，，∴在[0，π]上遞減，∴，∴h′(x)≤0，∴h(x)在[0，π]上遞減，∴h(x)≤h（0）＝0，∴不合題意．②當a≥時，，∴在[0，π]上遞增，∴∴h′(x)≥0，∴h(x)在[0，π]上遞增，∴h(x)≥h（0）＝0，∴符合題意．③當－＜a＜時，因為，，且在[0，π]上遞增，∴∈[0，π]，使得，∴當x∈（0，x0）時，，此時在（0，x0）上遞減，∴，∴h′(x)＜0，∴h(x)在（0，x0）上遞減，∴h(x)＜h（0）＝0，∴不合題意．綜上得：a∈[，＋）．【點睛】導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何相聯(lián)系．(2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應用．12．已知函數(shù)的圖象在點處的切線為.(1)求；(2)求證：；(3)已知，若對恒成立，求正實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)證明見詳解；(3)【分析】（1）求出導數(shù)，由可求解.（2）分與兩種情況求的最大值可得證.（3）由可變形為，由可得到，再利用（2）結(jié)論求解即可.(1)由題意得：，故(2)由（1）知：令當時，當，因為，，，所以當，因為，，，所以所以在區(qū)間上單調(diào)遞減又因為當，因為，所以在上單調(diào)遞增，當，因為，所以在上單調(diào)遞減，所以當時，當，因為，，，所以當，因為，，，所以所以在區(qū)間上單調(diào)遞減又因為，所以有唯一的零點當，因為，所以所以在上單調(diào)遞增，當，因為，所以在上單調(diào)遞減，所以又因為所以因為，，所以所以當時，綜上知，當時，(3)因為，所以即因為所以由（2）知，當時，因為所以當時，若，則，不合題意綜上，13．已知函數(shù)，（）.(1)求函數(shù)在點（e，e）處的切線方程；(2)已知，求函數(shù)極值點的個數(shù)；(3)若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)(2)答案見解析(3)【分析】（1）求出導函數(shù)，得切線斜率，從而可得切線方程；（2）求出導函數(shù)，對的中部分函數(shù)求導，確定其最小值，單調(diào)性，從而確定其變號零點個數(shù)，得的變號零點個數(shù)，得極值點個數(shù)；（3）不等式恒成立，變形為.引入，由其恒成立的必要條件得，然后利用導數(shù)證明時，恒成立，即得結(jié)論．（1）由已知，所以，所以，切線斜率，所以函數(shù)在，點處的切線方程為，即.（2），令，則，當時，，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，由得，所以當時，由，函數(shù)有兩個變號零點，函數(shù)有兩個極值點.當時，函數(shù)有一個變號零點，函數(shù)有一個極值點.當時，函數(shù)沒有變號零點，函數(shù)沒有極值點.（3）不等式等價于.令，則在上恒成立，所以必須有，所以.又，顯然當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以.綜上可知，的取值范圍為.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義，考查用導數(shù)研究函數(shù)極值點個數(shù)問題，不等式恒成立問題．注意函數(shù)極值點的個數(shù)就是其導函數(shù)的變號零點個數(shù)，因此可以通過導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理判斷．不等式恒成立問題的方法常常是轉(zhuǎn)化為求出函數(shù)的最值，由最值滿足的不等式得出結(jié)論，本題方法是由必要條件（特殊化）得出參數(shù)范圍，然后證明這個范圍也是充分的，從而得出結(jié)論．14．在數(shù)學中，雙曲函數(shù)是一類與常見的三角函數(shù)類似的函數(shù)，其中shx＝，chx＝分別稱為雙曲正弦、余弦函數(shù)．(1)若對任意x∈R恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．(2)若a＞0，存在，使得成立，試比較a﹣1與(e﹣1)lna的大小，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)；(2)答案見解析﹒【分析】（1）不等式左邊構(gòu)造為函數(shù)g(x)，g(x)為偶函數(shù)，∴不等式恒成立轉(zhuǎn)換為g(x)的最大值小于等于零，故對g(x)的單調(diào)性進行討論，求其最大值；（2）該存在性問題轉(zhuǎn)化為，故對函數(shù)y＝chx和函數(shù)h(x)＝的單調(diào)性進行討論，分別求它們的最小值和最大值，由此即可得到參數(shù)a的取值范圍；要比較a﹣1與(e﹣1)lna的大小，構(gòu)造函數(shù)t(a)＝(e﹣1)lna﹣a＋1，根據(jù)前步求出的a的范圍求其單調(diào)性進行研究﹒(1)設(shè)，∵g(x)為定義域R上的偶函數(shù)，∴只需x≥0時g(x)≤0即可；∵g(0)＝0，，g′(0)＝0；令，則．①當時，m′(x)≤0，∴對任意x≥0，g′(x)單調(diào)遞減，g′(x)≤g′(0)＝0，g(x)單調(diào)遞減；∴對任意x≥0，g(x)≤0恒成立；②當λ≥0時，m′(x)＞0，∴任意x≥0，g′(x)單調(diào)遞增，g′(x)≥g′(0)＝0，g(x)單調(diào)遞增；∴對任意x≥0，g(x)≥0恒成立，不滿足題意；③當時，若，則m′(x)＞0，g′(x)單調(diào)遞增，g′(x)＞g′(0)＝0，g(x)單調(diào)遞增，g(x)＞g(0)＝0，不滿足題意；綜上知，實數(shù)λ的取值范圍是．(2)若a＞0，存在，使得成立，則；∵，∴當x≥1時(chx)′＞0；∴y＝chx在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，∴chx≥ch1，即；令h(x)＝a(﹣ch2x＋4shx﹣1)，則h(x)＝a(﹣1﹣sh2x＋4shx﹣1)＝a[﹣(shx﹣2)2＋2]；∵a＞0，x≥1，y＝shx在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，∴，∴＝2a；∴，即．設(shè)t(a)＝(e﹣1)lna﹣a＋1，則，因為；當時，t′(a)＞0，t(a)單調(diào)遞增，當a＞e﹣1時，t′(a)＜0，t(a)單調(diào)遞減；∴t(a)至多有兩個零點；又t(1)＝t(e)＝0，∴當a＞e時，t(a)＜0，即(e﹣1)lna＜a﹣1；當a＝e時，t(a)＝0，即(e﹣1)lna＝a﹣1；當時，t(a)＞0，即(e﹣1)lna＞a﹣1．綜上，a＞e時，(e﹣1)lna＜a﹣1；a＝e時，(e﹣1)lna＝a﹣1；時，(e﹣1)lna＞a﹣1．【點睛】函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應用貫穿于整個高中數(shù)學的教學之中．某些數(shù)學問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用．因此對函數(shù)的單調(diào)性進行全面、準確的認識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的．根據(jù)題目的特點，構(gòu)造一個適當?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進行解題，是一種常用技巧．許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效．導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應用．15．已知函數(shù)．(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)若不等式對恒成立，求實數(shù)a的范圍；(3)證明：當．【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】對于（1），求出，結(jié)合點斜式可得答案.對于（2），對兩次求導后，分類討論a的范圍結(jié)合對恒成立可得答案.對于（3），由（2）可得，令，其中.則可得，又令，則有，后通過累加可證明【解析】（1）由題，則.得，故在點處的切線方程為：.（2）由題，，令，則.①當，即時，，有在上單調(diào)遞增，則，得在上單調(diào)遞增，此時，故滿足題意.②當，即時，令，得，則在上單調(diào)遞減，又，得在上單調(diào)遞減，此時，故不合題意.綜上可得：.（3）由（2），當時有.注意到，則令，其中.則由可得，當且僅當取等號.其中.則令，其中，得.又代換后原不等式中的等號已經(jīng)取不到（需），故有即，其中.則有故原式得證.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題涉及求曲線在一點切線方程，恒成立問題，及通過已知結(jié)論證明不等式.（1）較為基礎(chǔ)，解決（2）類問題，常利用分離參數(shù)，但本題分參后對應函數(shù)較為復雜，故利用分類討論求的范圍.解決（3）問，常需利用前面所涉問題結(jié)論，因本題涉及，故首先令，后結(jié)合所證，逐步調(diào)整結(jié)論形式，最終解決問題.16．已知函數(shù)(1)當時，求的極值；(2)若

且

恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)極大值為，極小值為；(2)．【分析】（1）求定義域，求導，根據(jù)導函數(shù)的正負求出函數(shù)的極值情況；（2）不等式變形為，構(gòu)造，求導后得到，對分類討論，求出每種情況下的實數(shù)a的取值范圍，即得.【解析】（1）當時，，定義域為，則令，得，或．當x變化時，的變化情況如下：x+0-0+單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞減因此，當時，有極大值，并且極大值為；當時，有極小值，并且極小值為；（2）因為等價于，令，則，（?。┤簦瑢τ诤瘮?shù)，有，所以恒成立，故當時，不等式恒成立；（ⅱ）若，當時，，所以，故不等式恒成立；現(xiàn)探究當時的情況：當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是的極小值點，要使不等式成立，只需，解得：，故當時，不等式恒成立；（ⅲ）若，當時，，所以，故不等式恒成立；現(xiàn)探究當時的情況：當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是的極小值點，要使不等式成立，只需，即．設(shè)，則化為，因為，所以在上為增函數(shù)，于是，由及，得，故當時，不等式恒成立；綜上，實數(shù)a的取值范圍為．【點睛】方法點睛：恒（能）成立問題的解法：若在區(qū)間上有最值，則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分離常數(shù)，即將問題轉(zhuǎn)化為：（或），則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.17．已知函數(shù)，，已知是函數(shù)的極值點．(1)求曲線在處的切線方程，并判斷函數(shù)的零點個數(shù)；(2)若對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)設(shè)函數(shù)．證明：．【答案】(1)，在定義域上存在唯一零點(2)(3)證明見解析【分析】（1）首先求導數(shù)，再求，即可求得切線，然后求出函數(shù)單調(diào)區(qū)間,利用零點存在定理即可判斷函數(shù)零點個數(shù).（2）首先參變分離，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，設(shè)出零點，分析函數(shù)單調(diào)區(qū)間，求最小值，然后整體換元，即可求解.（3）首先確定定義域，再令換元，然后對進行單調(diào)性分析，求出參數(shù)的值，從而求出的表達式，再對進行分析，即可求證.【解析】（1），所以，又所以切線方程為：，即切線方程為：；根據(jù)，可知在上為正，因此在區(qū)間上為增函數(shù)，又，，因此，即在區(qū)間上恰有一個零點，由題可知在上恒成立，即在上無零點，則在定義域上存在唯一零點．（2）原不等式可化為，令，則，由（1）可知在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，，設(shè)的零點為，即，下面分析，設(shè)，則，可得，即若，等式左負右正不相等，若，等式左正右負不相等，只能．因此，即．（3）證明：由題意，的定義域為，令，則，，則，因為是函數(shù)的極值點，則有，即，所以，當時，，且，因為，則在上單調(diào)遞減，所以當時，，當時，，所以時，是函數(shù)的一個極大值點．綜上所述，；所以，要證，即需證明，因為當時，，當時，，所以需證明，即，令，則，所以，當時，，當時，，所以為的極小值點，所以，即，故，所以．【點睛】(1)切線方程的求法主要利用導數(shù)求解切線斜率，其次需要注意題目中的關(guān)鍵字眼“在”與“過”的不同.(2)函數(shù)零點的個數(shù)的判斷主要利用零點存在定理，利用函數(shù)在某區(qū)間端點值異號來判斷.(3)導函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．18．已知且在上單調(diào)遞增，.(1)當取最小值時，證明恒成立.(2)對，，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）首先利用條件可得在恒成立，參變分離后可得，代入后構(gòu)造函數(shù)解不等式即可；（2）根據(jù)題意只需不等式左邊的最小值小于等于右邊