二次函數(shù)的應(yīng)用

華樂思在線教學(xué)直播課堂馬上開始請同學(xué)們準(zhǔn)備好筆和紙，認(rèn)真聽講第九講二次函數(shù)的應(yīng)用主講教師夏祖超多篇教學(xué)設(shè)計獲得區(qū)一等獎；多篇教學(xué)論文在區(qū)或市獲獎；多次作研究課、展示課，有著豐富的教學(xué)經(jīng)驗；多次帶初三畢業(yè)班，有著豐富的中考經(jīng)驗，對于課改背景下的中考命題有著獨特的見解和研究．本講的重點是二次函數(shù)的應(yīng)用，難點是二次函數(shù)應(yīng)用中的綜合題．

重點難點一、基本要求1.能根據(jù)拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x

軸的位置關(guān)系，說明方程ax2+bx+c=0有兩個不等實數(shù)根、兩相等實數(shù)根和沒有實數(shù)根的三種不同情況，體會二次函數(shù)和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系；二次函數(shù)和一元二次方程的關(guān)系

y=ax2+bx+c的圖象與x

軸的交點

ax2+bx+c=0的根兩個不等實根兩個相等實根沒有實數(shù)根b2-4ac

的值b2-4ac＞0b2-4ac=0b2-4ac＜0兩個交點一個交點沒有交點xyxxxxxyyyyyOOOOOOx1x2x2x1x1,2x1,22.通過學(xué)習(xí)進一步認(rèn)識二次函數(shù)在解決實際問題中的作用，能正確運用二次函數(shù)的知識討論和處理一些實際問題.：1.幾何問題2.增減性問題3.最值問題.一、基本要求實際問題實際問題的答案二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)

利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解目標(biāo)利用數(shù)形結(jié)合的思想，借助函數(shù)的圖象和性質(zhì)直觀地解決函數(shù)的極值最值、方程的解以及圖形的位置關(guān)系問題．利用轉(zhuǎn)化思想，通過一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系來解決拋物線與x軸的交點問題．

二、學(xué)習(xí)方法三、典型例題1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系例1已知二次函數(shù)y=x2

-2x

-3.(1)

作出這個函數(shù)的圖象；(2)

利用圖象回答:(i)

方程x2

-2x

-3=0的解是什么?(ii)

x

取何值時，y＞0?(iii)

x

取何值時，y＜0?解:

(1)

y=x2

-2x

-3=(x

-1)2–4，列表x

······-2-101234······y

······50-3-4-305······三、典型例題1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系描點、連圖:654321-1-2-3-4-5-612345-5-4-3-2-1Oyx(2)

(i)方程x2

-2x

-3=0的解是

x1=-1，x2=3；

(ii)當(dāng)x＜-1或x＞3時，

y＞0；

(iii)當(dāng)-1＜x＜3時，

y＜0.三、典型例題1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系類似題目以40m/s的速度將小球沿與地面成30°角的方向擊出時，球的飛行路線將是一條拋物線，如果不考慮空氣阻力，球的飛行高度h（單位：m）與飛行的時間t（單位：s）之間具有關(guān)系：

考慮以下問題：三、典型例題1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（1）小球飛行高度是0m，飛行時間是多少？由此得到小球從飛出到落地要用多少時間？（2）球的飛行高度能否達(dá)到15m？如能，需要多少飛行時間？（3）球的飛行高度能否達(dá)到20m？如能，需要多少飛行時間？（4）球的飛行高度能否達(dá)到25m？如能，需要多少飛行時間？

三、典型例題1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系解析：（1）令h＝0，則有解得：

小球飛行高度是0m，飛行時間是0s和4s，由此得到小球從飛出到落地要用4s的時間.

三、典型例題1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系解析（2）令h＝15，則有解得：

當(dāng)球飛行1s和3s的時候，它的高度是15m.三、典型例題1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系解析（3）令h＝20，則有解得：

當(dāng)球飛行2s的時候，它的高度是20m三、典型例題1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系解析（4）令h＝25，則有即球的飛行高度達(dá)不到25m所以方程無解

三、典型例題1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系例2已知方程x2+ax+b=0的兩根是x1=-5，

x2=2，求函數(shù)y=x2+ax+b

的圖象的對稱軸.解1:∵x1=-5，x2=2是方程x2+ax+b=0的根，∴函數(shù)的解析式是y=x2+3x

-10，它的圖象的對稱軸是直線x=-.32_(-5)2

-5a+b=022+2a+b=0∴5a

-

b=252a

+b=-4即

解此方程組得a=3，b=-10.解2:∵方程x2+ax+b=0的兩根是

x1=-5，x2=2.∴拋物線y=x2+ax+b

與x

軸的兩個交點是

A(-5，0)，B(2，0).32_∴拋物線y=x2+ax+b

的對稱軸是直線

x=-.32_∵這兩點的中點坐標(biāo)是(-

，0)，三、典型例題1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系例3二次函數(shù)的圖象如圖所示則四個式子中值為正數(shù)的有（）個A．4個 B．3個C．2個D．1個

xyO-11三、典型例題1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系分析：觀察圖象拋物線開口向上得到a＞0對稱軸在y軸的右側(cè)，得得到b＜0，拋物線與y軸交點在y軸負(fù)半軸，c＜0，因此abc＞0．xyO-11三、典型例題1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系圖象與x軸有兩個交點，即方程有兩個不相等的實數(shù)根，得b2－4ac＞0，對稱軸令x＝1，則y＝a＋b＋c，由圖象知當(dāng)x=1時對應(yīng)的點在y軸下方于是a＋b＋c

＜0答案為B（3個）xyO-11例1

有一拋物線拱橋(如圖)，拱頂離水面的距離是16m，水面寬度是40m，若水面上升4m，求上升后水面的寬度(

取1.7).40m16m2.實際問題與二次函數(shù).三、典型例題解:

以拱頂為原點建立坐標(biāo)系(如圖)設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式是y=ax2(a≠0).則由點A

的坐標(biāo)(20，-16)有

-16=a·202解得a=-

=-.故y=-

x2.125__1620×20125__40m16mOyxBA當(dāng)水面上升4m后，水面與拋物線的一個交點A’的坐標(biāo)是(x，-12)，于是有

-12=-

x2x2=25×12∵x＞0，∴x==10≈17

此時，水面的寬度大約是17×2=34(m).

答:水面上升4m后，水面的寬度大約是34m.125__A’類似題目：用長為6m的條形木料作矩形窗架(包括中間的兩根橫條，如圖)，窗架的高（長）和寬是多少時，才能使通過的光線最多(木條的寬度忽略不計).2.實際問題與二次函數(shù).三、典型例題解:

設(shè)窗架的寬為xm，面積為ym2，則窗架的高為(6-4x)m，于是

y=x·(6-4x)=x(3-2x)=-2x2+3x=-2(x

-

)2+12_12_98_34_xm(0＜x＜).32_∵a=-2＜0，∴當(dāng)x=時，y

有最大值，即通過的光線最多.此時(6-4x)=.34_98_12_32_答:窗架的高和寬分別是m和m時，通過的光線最多.32_34_xm類似題目：某農(nóng)場生產(chǎn)西紅柿在市場上出售，從2月1日起的200天內(nèi)，售價y(元)與上市時間t(天)的函數(shù)關(guān)系是y=f(t)=300-t(元/百公斤)，又西紅柿的種植成本(元/百公斤)與時間t(天)的函數(shù)關(guān)系式是y=g(t)=(t-150)2

+100(0≤t≤200)，若純利潤為市場售價與種植成本的差，問何時上市西紅柿的純利潤最大?1200___2.實際問題與二次函數(shù).三、典型例題解:

設(shè)純利潤為S

元.則S=f(t)

-

g(t)

1200___∵a=-

＜0，1200___1752___=-

t2+t+12_1200___

=300-

t

-

(t

-150)2

-1002.實際問題與二次函數(shù).三、典型例題經(jīng)檢驗知，t=50符合題意.答:西紅柿在從2月1日開始的第50天時出售，所獲純利潤最大.∴當(dāng)t=-==50時，S

取得最大值.b2a_________1200___2×12_2.實際問題與二次函數(shù).三、典型例題例2

公園要建造一個圓形的噴水池，在水池中央安裝一個有造型的柱子OA，O

恰好是水面的中心，OA=1.25m，噴頭安在A

點，噴水時，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，圖為過OA

的一個水流截面的示意圖.若在離O

點1m，水流達(dá)到距水面的最大高度為2.25m，不考慮其他因素，水池的半徑多大時，才能使噴出的水不致落到池外?OA1解:

如圖，建立坐標(biāo)系，設(shè)水流高度為y(m)，水流落點與O

的距離是x(m)，則y

與x

的函數(shù)關(guān)系是

y=a(x

-1)2+2.25.∵點A

(0，1.25)

在拋物線上，∴1.25=a+2.25.

解得a=-1.1xyOA2.實際問題與二次函數(shù).三、典型例題于是y=-(x

-1)2+2.25，令y=0，得(x

-1)2=2.25，解得x1=2.5，x2=-0.5(舍去).答:水池的半徑至少是2.5m，才能使水流不落在池外.1xyOA2.實際問題與二次函數(shù).三、典型例題

例3工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品x

件的生產(chǎn)成本是P元，附加成本是每件Q

元，已知P=x2

-12x+1800，Q=+2，試求這種產(chǎn)品是多少件時，總生產(chǎn)成本y

(元)最低？最低成本是多少？130__x15__2.實際問題與二次函數(shù).三、典型例題解:

y=P+xQ

130__x215__=x2

-12x+1800++2x110__=

x2

-10x+1800110__=(x

-50)2+1550.110__∵＞0，∴當(dāng)x=50時，y

有最小值1550.答:當(dāng)生產(chǎn)件數(shù)為50時,總成本最低,最低成本是1550元.類似題目：商店出售某種商品，平均每天可售出20件，每件獲利40元，若每件商品降價1元，平均每天可多售出2件，問：每件商品降低多少元，能獲利最多?2.實際問題與二次函數(shù).三、典型例題解:

設(shè)每件商品降價x

元(x

為正整數(shù))，則每件獲利(40-

x)元，每天售出(20+2x)件.此時每天的獲利為:

y=(40-

x)(20+2x)=-2x2+60x+800

=-2(x-15)2+1250.

當(dāng)x=15時，y

取最大值1250.

答:每件商品降低15元，每天獲利最大為1250元.2.實際問題與二次函數(shù).三、典型例題類似題目：某通訊器材公司銷售一種市場需求較大的新型通訊產(chǎn)品．已知每件產(chǎn)品的進價為40元，每年銷售該種產(chǎn)品的總開支（不含進價）總計120萬元．在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，年銷售量y(萬件)與銷售單價x(元)之間存在著如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)試寫出該公司銷售該種產(chǎn)品的年獲利z(萬元)關(guān)于銷售單價x(元)的函數(shù)關(guān)系式(年獲利＝年銷售額－年銷售產(chǎn)品總進價－年總開支)．當(dāng)銷售單價x為何值時，年獲利最大？并求這個最大值；(3)若公司希望該種產(chǎn)品一年的銷售獲利不低于40萬元，借助(2)中函數(shù)的圖象，請你幫助該公司確定銷售單價的范圍．在此情況下，要使產(chǎn)品銷售量最大，你認(rèn)為銷售單價應(yīng)定為多少元？解(1)由于第一個問已經(jīng)明確y和x的函數(shù)關(guān)系為一次函數(shù)關(guān)系，所以可以設(shè)

由圖象知此直線經(jīng)過點（60,5）和（80,4）代入得

解得：

所以

解(2)第二個問題不明確z和x的函數(shù)關(guān)系，但可以根據(jù)題意表示出z

整理得：

2.實際問題與二次函數(shù).三、典型例題函數(shù)

是二次函數(shù)

當(dāng)x＝100時，z最大＝60

所以當(dāng)銷售單價100元時，年獲利最大，最大獲利為60萬元．2.實際問題與二次函數(shù)三、典型例題解析（3）利用二次函數(shù)的圖象來解決令z＝40，得

2.實際問題與二次函數(shù)三、典型例題畫出二次函數(shù)的圖象，如圖所示：

由圖象可知要使年獲利不低于40萬元，銷售單價應(yīng)介于80元和120元之間．在此情況下，要使產(chǎn)品銷售量最大，則銷售單價應(yīng)最小，即銷售單價為80元的時候，產(chǎn)品的銷售量最大．例1已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過原點，且在x軸的正半軸上截得的線段長為4，對稱軸為直線x=m．過點A的直線繞點A(m

，0)旋轉(zhuǎn)，交拋物線于點B(x

，y)，交y軸負(fù)半軸于點C，過點C且平行于x軸的直線與直線x=m交于點D，設(shè)△AOB的面積為S1，△ABD的面積為S2．(1)求這條拋物線的頂點的坐標(biāo)；(2)判斷S1與S2的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論3.二次函數(shù)與幾何結(jié)合的綜合題三、典型例題分析：根據(jù)拋物線過原點可以得到c＝0，又過（4，0），得到b＝－4，于是有y＝x2－4x，因此頂點坐標(biāo)為（2，－4）．根據(jù)題意畫出示意圖，如圖．過A點的直線與拋物線有兩個交點B1，B2，考慮△AOB1和△AB1D同底AB1,因此只需證明O和D到直線AB1的距離相等即可，易證四邊形AOCD為矩形，得到△AOC和△ACD的面積相等，又這兩個三角形同底AC，于是AC上的高相等，即點O和D到直線AB1的距離相等所以S1=S2同樣考慮△AOB2和△AB2D例2已知：在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點，點A在點B的左側(cè)，若拋物線的對稱軸為，點A的坐標(biāo)為（－1，0）.（1）求這個二次函數(shù)的解析式；3.二次函數(shù)與幾何結(jié)合的綜合題三、典型例題（2）設(shè)拋物線的頂點為C，拋物線上一點D的坐標(biāo)為（-3，12），過點B、D的直線與拋物線的對稱軸交于點E.問：是否存在這樣的點F，使得以點B、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點F的坐標(biāo).3.二次函數(shù)與幾何結(jié)合的綜合題三、典型例題（1）求這個二次函數(shù)的解析式；解答（1）由對稱軸為x＝1，過（－1，0）得解得所以拋物線的解析式為3.二次函數(shù)與幾何結(jié)合的綜合題三、典型例題畫出函數(shù)示意圖,如圖所示：可以得到下列結(jié)論：對稱軸x＝1，B（3，0），C（1，－4）連接BD，易求BD的解析式為令x＝1，求出點E（1，4）（i）若BE和BC為四邊形的鄰邊，由拋物線的對稱性易知，四邊形BCAE為平行四邊形，此時F與A重合，坐標(biāo)為（－1，0）（ii）若BE和EC為鄰邊，則如圖所示，F(xiàn)（3，－2）（iii）若CE和BC為鄰邊，則F（3，2）所以存在點F,使B、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形點F的坐標(biāo)為（－1，0）或（3，2）或（3，－2）類似題目：已知：如圖，拋物線經(jīng)過直線與坐標(biāo)軸的兩個交點A（與x軸的交點），B，此拋物線與x軸的另一個交點為C，拋物線的頂點為D（1）求此拋物線的解析式；（2）點M為第一象限拋物線上的一個動點，求使得△ABM的面積與△ABD的面積相等的點M的坐標(biāo).（1）求此拋物線的解析式；解析：由題易知A(3,0),B(0,3),拋物線的代入解析式得所以拋物線的解析式為3.二次函數(shù)與幾何結(jié)合的綜合題三、典型例題（2）令y＝0，易求C

(－1，0)，D(1，4)，畫出如圖所示示意圖．過點D作DE⊥y軸，由ABD的坐標(biāo)易證△AOB和△DEB都是等腰直角三角形，得到∠DBA＝90°，要使拋物線上點M滿足△ABM的面積與△ABD的面積相等，過D作DM//AB，交拋物線于點M．設(shè)DM：y＝－x＋m，過點（1，4）易求DM:y＝－x＋5令－x＋5＝－x2＋2x＋3解之：x1＝1，x2＝2所以M(2,3)3.二次函數(shù)與幾何結(jié)合的綜合題三、典型例題例3已知，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線l1的解析式為將拋物線l1平移后得到拋物線l2

，若拋物線經(jīng)過點（0，2），且其頂點A的橫坐標(biāo)為最小正整數(shù)（1）求拋物線l2的解析式；（2）說明將拋物線l1如何平移得到拋物線l2；（3）若將拋物線沿其對稱軸繼續(xù)上下平移，得到拋物線l3，設(shè)拋物線的頂點為B，直線OB與拋物線的另一個交點為C.當(dāng)OB=OC時，求點C的坐標(biāo)．3.二次函數(shù)與幾何結(jié)合的綜合題三、典型例題解析（1）易知l2的解析為y＝－（x－1）2＋m又過（0，2），則－（0－1）2＋m＝2得m＝3，即y＝－（x－1）2＋3（2）拋物線l2可以由l1向右平移1個單位長度，再向上平移3個單位長度得到3.二次函數(shù)與幾何結(jié)合的綜合題三、典型例題當(dāng)沿x＝1上下平移到如圖所示的位置時，OB=OC，拋物線的解析式為y＝－（x－1）2＋k設(shè)B（1，k）則有C（－1，－k）代入拋物線的解析式得k＝2即C（－1，－2）四、中考相關(guān)二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是中考的必考內(nèi)容，多以壓軸題的形式出現(xiàn)，分值一般在10－12分左右．一般是通過實際情景來確定二次函數(shù)的表達(dá)式，或者是和幾何、方程、三角函數(shù)等知識結(jié)合在一起，以綜合題、探索題、開放題的形式出現(xiàn)．例1已知拋物線(1)求證此拋物線與x軸有兩個不同的交點(2)若m是整數(shù)，拋物線

與x軸交于整數(shù)點，求m的值；

(3)在(2)的條件下，設(shè)拋物線的頂點為A，拋物線與x軸的兩個交點中右側(cè)交點為B.若M為坐標(biāo)軸上一點，且MA=MB，求點M的坐標(biāo).

四、中考相關(guān)(1)求證：此拋物線與x軸有兩個不同的交點．證明：b2－4ac＝m2－4m＋8＝（m－2）2＋4≥4＞0所以此拋物線與x軸有兩個不同的交點四、中考相關(guān)（2）由題知有整數(shù)解所以（m－2）2＋4是平方數(shù)可以設(shè)（m

－2）2＋4＝n2，移項得n2－（m

－2）2＝4，即（n＋m

－2）（n－m

＋2）＝4由于n＋m

－2和n－m

＋2的奇偶性相同，因此考慮下列兩種情況：四、中考相關(guān)第一種：第二種：即整數(shù)m的值為2．四、中考相關(guān)(3)畫出函數(shù)的示意圖根據(jù)（2）拋物線的解析式為y＝x2－2x易求B（2，0）A（1，－1）若點M在x軸上則M（1，0）若M在y軸上，易知MA=MB=1即∠MBA=∠MAB＝45°過M作AB的垂線MM′，根據(jù)題意得MM′為線段AB的中垂線，M′是另一個滿足條件的點此時△MM′O為等腰三角形于是MO=OM′＝1所以M′（0，1）即滿足條件的點M的坐標(biāo)為（0，1）或（1，0）四、中考相關(guān)例2已知拋物線y=ax2+bx+c與y軸交于點A(0