2022年河南省洛陽市五頭附屬中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析

2022年河南省洛陽市五頭附屬中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.非零向量，，，若向量，則的最大值為（

）A．

B．

C．

D．以上均不對參考答案：B2.已知集合A＝{x｜x＋1＞0}，B＝{x|｜x|≤2}，則AB＝（）

A.{x|x≥－1}B.{x|x≤2}C.{x|－1＜x≤2}D.{x|－1≤x≤2}參考答案：C3.已知曲線(為參數(shù)).若直線與曲線C相交于不同的兩點A，B，則的值為（

）A. B. C.1 D.參考答案：C分析：消參求出曲線C的普通方程：，再求出圓心到直線的距離，則弦長。詳解：根據(jù)，求出曲線C的普通方程為，圓心到直線的距離，所以弦長，選C.點睛：本題主要考查將參數(shù)方程化為普通方程，直線與圓相交時，弦長的計算，屬于中檔題。4.已知方程在有兩個不同的解(),則下面結(jié)論正確的是（

）A．

B.

C． D．

參考答案：C略5.已知函數(shù)，則f(x)的最小正周期和最大值分別為A.π，

B.π，

C.2π，

D.2π，參考答案：B6.在區(qū)間和分別取一個數(shù),記為,則方程表示焦點在軸上且離心率小于的橢圓的概率為

▲

.參考答案：略7.（5分）記等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3=2，S6=18，則等于（）A．﹣3B．5C．﹣31D．33參考答案：D【考點】：等比數(shù)列的性質(zhì)．【專題】：計算題．【分析】：先由題設(shè)條件結(jié)合等比數(shù)列的前n項和公式，可以求出公比q，然后再利用等比數(shù)列前n項和公式求．解：根據(jù)題意，S3=2，S6=18，易得q≠1；∵S3=2，S6=18，∴，∴q=2．∴==故選D．【點評】：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，注意公式的靈活運(yùn)用．8.若存在過點(1,0)的直線與曲線和都相切,則

()A

或

B或

C

或

D

或

參考答案：A略9.已知等差數(shù)列{an}中，a2+a4=6，則前5項和S5為（）A．5 B．6 C．15 D．30參考答案：C【考點】8F：等差數(shù)列的性質(zhì)．【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求得a3，再由等差數(shù)列的前n項和公式得答案．【解答】解：在等差數(shù)列{an}中，由a2+a4=6，得2a3=6，a3=3．∴前5項和S5=5a3=5×3=15．故選：C．【點評】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，關(guān)鍵是對性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．10.四面體A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2，AD=BC=2，則四面體A﹣BCD外接球的表面積為（）A．50π B．100π C．200π D．300π參考答案：C【考點】LE：棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積．【分析】由題意可采用割補(bǔ)法，考慮到四面體ABCD的四個面為全等的三角形，所以可在其每個面補(bǔ)上一個以10，2，2為三邊的三角形作為底面，且以分別為x，y，z，長、兩兩垂直的側(cè)棱的三棱錐，從而可得到一個長、寬、高分別為x，y，z的長方體，由此能求出球的半徑，進(jìn)而求出球的表面積．【解答】解：由題意可采用割補(bǔ)法，考慮到四面體ABCD的四個面為全等的三角形，所以可在其每個面補(bǔ)上一個以10，2，2為三邊的三角形作為底面，且以分別為x，y，z，長、兩兩垂直的側(cè)棱的三棱錐，從而可得到一個長、寬、高分別為x，y，z的長方體，并且x2+y2=100，x2+z2=136，y2+z2=164，設(shè)球半徑為R，則有（2R）2=x2+y2+z2=200，∴4R2=200，∴球的表面積為S=4πR2=200π．故選C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)，則=

．參考答案：012.已知向量，，且，，則向量=

。參考答案：答案：

13.已知梯形ABCD是直角梯形，按照斜二測畫法畫出它的直觀圖如圖所示，其中,,，則直角梯形以BC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積為

。參考答案：14.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若滿足2bcosA=2c﹣a，則角B的大小為．參考答案：

【考點】正弦定理．【分析】由已知及余弦定理可得c2+a2﹣b2=，進(jìn)而利用余弦定理可求cosB=，結(jié)合范圍B∈（0，π），即可得解B的值．【解答】解：∵2bcosA=2c﹣a，∴cosA==，整理可得：c2+a2﹣b2=，∴cosB===，∵B∈（0，π），∴B=．故答案為：．15.二項式的展開式中常數(shù)項是第

項。參考答案：9略16.如右圖，是⊙的直徑，是延長線上的一點，過作⊙的切線，切點為，，若，則⊙的直徑

．參考答案：4因為根據(jù)已知條件可知，連接AC，，，根據(jù)切線定理可知,,可以解得為4.17.已知橢圓E的短軸長為6，焦點F到長軸端點的距離為9，則橢圓E的離心率等于

。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（選修4—1：幾何證明選講）如圖，已知點為的斜邊的延長線上一點，且與的外接圓相切，過點作的垂線，垂足為，若，，求線段的長.參考答案：由切割線定理，得，解得，所以，即的外接圓半徑，……5分記外接圓的圓心為，連，則，在中，由面積法得，解得.………………10分19.已知a＞0，函數(shù)f（x）=a2x3﹣3ax2+2，g（x）=﹣3ax+3．（1）若a=1，求函數(shù)f（x）的圖象在點x=1處的切線方程；（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣1，1]上的極值；（3）若?x0∈（0，]，使不等式f（x0）＞g（x0）成立，求a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)值即曲線上過該點的切線的斜率求出斜率，后由點斜式寫出切線方程；（2）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)的兩個零點，由零點對定義域分段，得到在各區(qū)間段內(nèi)導(dǎo)函數(shù)的符號，判斷出原函數(shù)的單調(diào)性，從而求出原函數(shù)在[﹣1，1]上的極值點，進(jìn)一步求得函數(shù)的極值．（3）設(shè)F（x）=f（x）﹣g（x），求導(dǎo)，由F（x）為增函數(shù)，根據(jù)閉區(qū)間x的范圍，求出F（x）的最大值，只要F（x）max＞0即可，列出不等式求得a的范圍．【解答】解：由f（x）=a2x3﹣3ax2+2，求導(dǎo)，f′（x）=3a2x2﹣6ax，（Ⅰ）當(dāng)a=1時，f′（x）=3x2﹣6x，f′（1）=﹣3，f（1）=0，∴f（x）在點（1，f（1））的切線方程的斜率k=﹣3，直線方程y=﹣3（x﹣1），即y+3x﹣3=0，函數(shù)f（x）的圖象在點x=1處的切線方程y+3x﹣3=0；（Ⅱ）令f′（x）=0，得：x1=0，x2=，（1）當(dāng)0＜＜1，即a＞2時，x∈（﹣∞，0），（，+∞）時，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（0，）時f′（x）＜0，∴當(dāng)x在區(qū)間（﹣1，1）上，x，f′（x），f（x）變化，x（﹣1，0）0（0，）（，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）↑極大值↓極小值↑∴函數(shù)f（x）在[﹣1，1]上有極大值f（0）=2，極小值f（）=；當(dāng)=1，即a=2時，x∈（﹣∞，0），（1，+∞）時，f′（x）＞0，x∈（0，1）時f′（x）＜0，∴函數(shù)f（x）在[﹣1，1]上有極大值f（0）=2，極小值f（1）=a2﹣3a+2；當(dāng)＜1，即0＜a＜2時，x∈（﹣∞，0），（，+∞）時f′（x）＞0，x∈（0，）時f′（x）＜0，∴函數(shù)f（x）在[﹣1，1]上有極大值f（0）=2．綜上，當(dāng)a＞2時，函數(shù)f（x）在[﹣1，1]上有極大值f（0）=2，極小值f（）=；當(dāng)a=2時，函數(shù)f（x）在[﹣1，1]上有極大值f（0）=2，極小值f（1）=a2﹣3a+2；當(dāng)0＜a＜2時，函數(shù)f（x）在[﹣1，1]上有極大值f（0）=2；（3）設(shè)F（x）=f（x）﹣g（x）=a2x3﹣3ax2+3ax﹣1，（x∈（0，]），對F（x）求導(dǎo)，得F′（x）=3a2x2﹣6ax+3a=3a2x2+3a（1﹣2x）＞0（a＞0），∴F（x）在（0，]上為增函數(shù)，則F（x）max=F（）．依題意，只需F（x）max＞0，即a2×﹣3a×+3a×﹣1＞0，∴a2+6a﹣8＞0，解得a＞﹣3+或a＜﹣3﹣（舍去）．于是，所求實數(shù)a的取值范圍是（﹣3+，+∞）．20.已知，，且直線與曲線相切．（1）若對內(nèi)的一切實數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）（?。┊?dāng)時，求最大的正整數(shù)，使得任意個實數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)）都有成立；（ⅱ）求證：．參考答案：（1）設(shè)點為直線與曲線的切點，則有．

（*），．

（**）

由（*）、（**）兩式，解得，．

1分由整理，得，，要使不等式恒成立，必須恒成立．

2分設(shè)，，，當(dāng)時，，則是增函數(shù)，，是增函數(shù)，，．因此，實數(shù)的取值范圍是．

4分（2）當(dāng)時，，，在上是增函數(shù)，在上的最大值為．要對內(nèi)的任意個實數(shù)都有成立，必須使得不等式左邊的最大值小于或等于右邊的最小值，當(dāng)時不等式左邊取得最大值，時不等式右邊取得最小值．，解得．因此，的最大值為．

8分（3）證明：當(dāng)時，根據(jù)（1）的推導(dǎo)有，時，，即．令，得，

化簡得，

．

13分21.如圖，在三棱錐中，平面．已知，點，分別為，的中點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若在線段上，滿足平面，求的值．參考答案：（Ⅰ）略；（Ⅱ）.【知識點】線面垂直線面平行

G4

G5（Ⅰ）證明：平面PAB

，D為PB中點平面（Ⅱ）連接交于連接，平面，平面平面又為重心【思路點撥】證明，即可證明平面，連接交于連接，平面，平面平面，，即可得為三角形重心.22.如圖，已知長方形ABCD中，AB=2，AD=，M為DC的中點，將△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．（1）求證：AD⊥BM；（2）若點E是線段DB上的一動點，問點E在何位置時，二面角E﹣AM﹣D的余弦值為．參考答案：【考點】MT：二面角的平面角及求法．【分析】（1）在長方形ABCD中，AB=2，AD=，M為DC的中點，可得AM=BM=2，則AM⊥BM，由線面垂直的判定可得BM⊥平面ADM，則AD⊥BM；（2）取M中點O，連接DO，則DO⊥平面ABCM，以O(shè)為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則平面ADM的一個法向量為，設(shè)，則，，求出平面AME的一個法向量為，利用二面角E﹣AM﹣D的余弦值為求得λ值可得E的位置．【解答】（1）證明：∵長方形ABCD中，AB=2，AD=，M為DC的中點，∴AM=BM=2，則AM⊥BM，∵平