固體物理基本概念

固體物理總結(jié)緒論1研究對(duì)象及內(nèi)容研究固體的結(jié)構(gòu)及其組成粒子間相互作用與運(yùn)動(dòng)規(guī)律以闡明固態(tài)物質(zhì)性能和用途的學(xué)科。2固體物理學(xué)發(fā)展的里程碑十八世紀(jì)：阿羽依（R.J.Haüy法）--堅(jiān)實(shí)、相同、平行六面體的“基石”有規(guī)則重復(fù)堆積.十九世紀(jì)：布喇菲(A.Bravais法)--空間點(diǎn)陣學(xué)晶體周期性.二十世紀(jì)初：X-射線衍射揭示晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)量子理論描述晶體內(nèi)部微觀粒子運(yùn)動(dòng)過程近幾十年：固體物理學(xué)凝聚態(tài)物理：無序、尺度、維度、關(guān)聯(lián)；晶體凝聚態(tài)物質(zhì)第一部分晶體結(jié)構(gòu)1布喇菲點(diǎn)陣和初基矢量晶體結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)在于原子排列的周期性質(zhì)。布喇菲點(diǎn)陣是平移操作所聯(lián)系的諸點(diǎn)的列陣。布喇菲點(diǎn)陣是晶體結(jié)構(gòu)周期性的數(shù)學(xué)抽象。點(diǎn)陣矢量，其中，，和均為整數(shù)，，和是不在同一平面內(nèi)的三個(gè)矢量，叫做布喇菲點(diǎn)陣的初基矢量，簡稱基矢。初基矢量所構(gòu)成的平行六面體是布喇菲點(diǎn)陣的最小重復(fù)單元。布喇菲點(diǎn)陣是一個(gè)無限的分立點(diǎn)的列陣，無論從這個(gè)列陣中的哪個(gè)點(diǎn)去觀察，周圍點(diǎn)的分布和排列方位都是完全相同的。對(duì)一個(gè)給定的布喇菲點(diǎn)陣，初級(jí)矢量可以有多種取法。2初基晶胞(原胞)初基晶胞是布喇菲點(diǎn)陣的最小重復(fù)單元。初基晶胞必定正好包含布喇菲點(diǎn)陣的一個(gè)陣點(diǎn)。對(duì)于一個(gè)給定的布喇菲點(diǎn)陣，初基晶胞的選取方式可以不只一種，但不論初基晶胞的形狀如何，初基晶胞的體積是唯一的，。3慣用晶胞(單胞)慣用晶胞是為了反映點(diǎn)陣的對(duì)稱性而選用的晶胞。慣用晶胞可以是初基的或非初基的。慣用晶胞的體積是初基晶胞體積的整數(shù)倍，。其中，n是慣用晶胞所包含的陣點(diǎn)數(shù)。確定慣用晶胞幾何尺寸的數(shù)字叫做點(diǎn)陣常數(shù)。4維格納-賽茲晶胞(W-S晶胞)維格納-賽茲晶胞是另一種能夠反映晶體宏觀對(duì)稱性的晶胞，它是某一陣點(diǎn)與相鄰陣點(diǎn)連線的中垂面(或中垂線)所圍成的最小體積。維格納-賽茲晶胞是初基晶胞。5晶體結(jié)構(gòu)理想的晶體結(jié)構(gòu)是由相同的物理單元放置在布喇菲點(diǎn)陣的陣點(diǎn)上構(gòu)成的。這些物理單元稱為基元，它可以是原子、分子或分子團(tuán)(有時(shí)也可以指一組抽象的幾何點(diǎn))。將基元平移布喇菲點(diǎn)陣的所有點(diǎn)陣矢量，就得到晶體結(jié)構(gòu)，或等價(jià)地表示為基元十點(diǎn)陣＝晶體結(jié)構(gòu)當(dāng)選用非初基的慣用晶胞時(shí),一個(gè)布喇菲點(diǎn)陣可以用帶有基元的點(diǎn)陣去描寫。第二部分倒易點(diǎn)陣和晶體衍射1．倒易點(diǎn)陣和倒易點(diǎn)陣初基矢量和一種晶體結(jié)構(gòu)相聯(lián)系的點(diǎn)陣有兩種：晶體點(diǎn)陣和倒易點(diǎn)陣．前者是真實(shí)空間中的點(diǎn)陣，具有[長度]的量綱．后者是在與真實(shí)空間相聯(lián)系的傅里葉空間中的點(diǎn)陣，具有[長度]-1量綱．一個(gè)具有晶體點(diǎn)陣周期的周期函數(shù)n(r)＝n(r+R)展成傅氏級(jí)數(shù)后，其傅氏級(jí)數(shù)中的波矢在傅里葉空間中表現(xiàn)為一系列規(guī)則排列的點(diǎn)，這些點(diǎn)排列的規(guī)律性只決定于函數(shù)n(r)的周期性而與函數(shù)的具體形式無關(guān)．我們把在傅里葉空間中規(guī)則排列著的點(diǎn)的列陣稱為倒易點(diǎn)陣．倒易點(diǎn)陣是高布里淵區(qū)：把一個(gè)給定的倒易點(diǎn)陣陣點(diǎn)同其它陣點(diǎn)都連接起來，作這些連線的中垂面，于是波矢空間被這些中垂面(滿足方程)分割成一塊一塊的區(qū)域，這些中垂面就構(gòu)成了布里淵區(qū)的邊界．第一布里淵區(qū)就是這些中垂面所圍成的最小區(qū)域．第二布里淵區(qū)定義為從第一布里淵區(qū)出發(fā)只穿過一個(gè)中垂面所能到達(dá)的區(qū)域．依次類推，第n+1布里淵區(qū)定義為從第n布里淵區(qū)出發(fā)只穿過一個(gè)中垂面所能到達(dá)的但不在第n-1區(qū)內(nèi)的區(qū)域．各級(jí)布里淵區(qū)有相同的體積．布里淵區(qū)邊界是波矢空間中滿足衍射條件()的點(diǎn)的軌跡，所以，布里淵區(qū)是衍射條件的幾何表示法．5.實(shí)驗(yàn)衍射方法常用的實(shí)驗(yàn)衍射方法有勞厄法，轉(zhuǎn)動(dòng)晶體法和粉末法。6.基元的幾何結(jié)構(gòu)因子基元的幾何結(jié)構(gòu)因子是這樣一個(gè)物理量，它標(biāo)志著基元內(nèi)部各個(gè)原子的散射波相互干涉的結(jié)果對(duì)散射波總振幅的貢獻(xiàn)，其決定于散射矢量，及基元中各原子的相對(duì)位置．基元的幾何結(jié)構(gòu)因子定義為(2.11)是第j原子的形狀因子，代表基元中第j原子對(duì)散射波總振幅的貢獻(xiàn)：(2.12)當(dāng)基元的幾何結(jié)構(gòu)因子為零時(shí)，空間點(diǎn)陣所允許的反射消失，而根據(jù)消失了的反射(即消光規(guī)則)又可以幫助我們確定晶體結(jié)構(gòu)．第三部分晶體結(jié)合1內(nèi)聚能相距無限遠(yuǎn)的自由原子(或自由離子)的總能量與它們形成晶體的能量之差，稱為晶體的內(nèi)聚能。換句話說，內(nèi)聚能也就是把晶體分離成它們的組成單元所需要的能量。2范德瓦耳斯互作用范德瓦耳斯互作用是感生偶極矩-偶極矩間的相互作用．這種相互作用按的規(guī)律變化．分子晶體的結(jié)合就是依賴范德瓦耳斯互作用．如果由于泡利原理而產(chǎn)生的排斥作用有負(fù)冪次的形式，則惰性氣體晶體相距為r的原子間的相互作用能具有勒納-瓊斯勢(Lennard-Jonespotential)的形式(3.1)式中和是兩個(gè)經(jīng)驗(yàn)參數(shù)，由氣相數(shù)據(jù)給出。3離子晶體的晶電能(馬德隆能)離子晶體的結(jié)合依靠異號(hào)荷電離子間的靜電吸引．離子晶體內(nèi)聚能的主要部分來自靜電能．電荷為的N個(gè)離子對(duì)組成離子晶體時(shí)的靜電能是(3.2)式中r是最近鄰距離，稱為馬德隆常數(shù)．它決定于晶體結(jié)構(gòu)．是以最近鄰距離r度量的參考離子i到任何一個(gè)離子j的距離．如果以負(fù)離子為參考離子，求和對(duì)正離子取“+”號(hào)，對(duì)負(fù)離子取“”號(hào)．離子間的短程排斥作用通常采取指數(shù)函數(shù)或負(fù)冪次函數(shù)的形式，這兩種形式都表達(dá)了泡利原理所產(chǎn)生的短程排斥作用隨距離增加而急劇下降的特點(diǎn)．4平衡最近鄰距離在平衡態(tài)下，晶體勢能最低．由組成晶體的原子(離子)的總相互作用能對(duì)最近鄰距離r求微商，可以得到平衡時(shí)原子(離子)的最近鄰距離，再代回到晶體的總能量中，就可以求得晶體的內(nèi)聚能．5晶體結(jié)合的基本形式分子晶體，離子晶體，共價(jià)晶體．金屬晶體和氫鍵晶體．其結(jié)合力的主要特點(diǎn)及特征性質(zhì)如下表所示．第四章點(diǎn)陣振動(dòng)（聲子I）1格波與聲子點(diǎn)陣振動(dòng)的簡正模式是具有一定頻率和波矢的平面波，通常稱為格波．值是第一布里淵區(qū)內(nèi)的一系列分立值共有N個(gè)，等于晶體中初基晶胞的數(shù)目．不同的代表格波的不同模式，給定了波矢K，頻率由點(diǎn)陣振動(dòng)的第s支色散關(guān)系相應(yīng)地確定．波矢為、頻率為的格波，其能量是量子化的，(4.1)函數(shù)又稱為聲子的色散關(guān)系或聲子能譜，一個(gè)波矢為K的第s支振動(dòng)模式處于它的第個(gè)激發(fā)態(tài)，我們就說，在晶體中存在有個(gè)波矢為K的第s種聲子．2點(diǎn)陣振動(dòng)的色散關(guān)系簡諧近似是處理點(diǎn)陣振動(dòng)問題的理論基礎(chǔ)．簡諧近似下，如果只計(jì)入最近鄰原子間的互作用，一維單原子點(diǎn)陣簡正模式的色散關(guān)系是(4.2)初基晶胞含有兩個(gè)原子的一維點(diǎn)陣，簡正模式的色散關(guān)系分為聲學(xué)支和光學(xué)支．在布里淵區(qū)邊界上聲學(xué)支和光學(xué)支之間有一頻率間隙(聲子的能隙)．三維點(diǎn)陣簡正模式的色散關(guān)系是一維情況的推廣．波矢K是三維矢量，頻率是波矢大小的函數(shù)，又是波矢方向的函數(shù)．單原子點(diǎn)陣的色散關(guān)系有三個(gè)聲學(xué)支，其中兩個(gè)代表橫偏振，一個(gè)代表縱偏振．對(duì)帶有基元的點(diǎn)陣，色散關(guān)系有3p支，這里p是基元中所包含的原子數(shù)．其中有3個(gè)聲學(xué)支(晶體中有N個(gè)初基晶胞，共有3N個(gè)聲學(xué)模式)，有3p-3個(gè)光學(xué)支(共有(3p-3)N個(gè)光學(xué)模式)?？偟哪Ｊ綌?shù)為，等于晶體中原子的總自由度數(shù)。簡正模式的色散關(guān)系在波矢空間具有平移對(duì)稱性質(zhì)：(4.4)同時(shí)也具有中心反演的對(duì)稱性(4.5)3第一布里淵區(qū)的振動(dòng)模式對(duì)于點(diǎn)陣振動(dòng)色散關(guān)系的同一支而言，K和K+G代表同一振動(dòng)模式，因而格波的波矢是限制在第一布里淵區(qū)內(nèi)的．第一布里淵區(qū)外的波矢所代表的振動(dòng)模式只不過是第一布里淵區(qū)內(nèi)的波矢所代表的模式的重復(fù)或再現(xiàn)而已．當(dāng)格波的波矢超出第一布里淵區(qū)時(shí)，必須平移一個(gè)適當(dāng)?shù)牡挂c(diǎn)陣矢量，用第一布里淵區(qū)內(nèi)的波矢來描寫．點(diǎn)陣振動(dòng)的最大波矢是布里淵區(qū)邊界所對(duì)應(yīng)的波矢，相應(yīng)的波長也就是點(diǎn)陣振動(dòng)的最短波長．4聲學(xué)支和光學(xué)支對(duì)初基晶胞含有不只一個(gè)原子的點(diǎn)陣，色散關(guān)系分為聲學(xué)支和光學(xué)支．長聲學(xué)波描寫同一初基晶胞中原子(連同它們的質(zhì)心)的整體運(yùn)動(dòng)，色散關(guān)系近似為直線(4.6)其性質(zhì)類似聲波，具有恒定的聲速v。長光學(xué)波描寫同一初基晶胞中原子的相對(duì)運(yùn)動(dòng)(質(zhì)心固定不動(dòng))．離子晶體的長光學(xué)波可以用光波激發(fā)，如果它們具有相同的頻率和波矢，可以發(fā)生共振，這決定了離子晶體的紅外光學(xué)性質(zhì)．5中子的非彈性散射聲子對(duì)中子的非彈性散射可以用來測量聲子能譜．該實(shí)驗(yàn)方法所依據(jù)的基本原理是散射過程遵守能量守恒和波矢守恒定律．能量守恒定律要求：(4.16)式中和是散射前后中子的能量，是吸收或發(fā)射的聲子的頻率．波矢守恒定律要求：(4.17)和是散射前后中子的波矢，K是吸收或發(fā)射的聲子的波矢，G是一個(gè)倒易點(diǎn)陣矢量，G的選取必須使聲子波矢不超出第一布里淵區(qū)。以上二式中“+”號(hào)對(duì)應(yīng)發(fā)射聲子的過程，“”號(hào)對(duì)應(yīng)吸收聲子的過程。第五部分熱學(xué)性質(zhì)（聲子II）1簡正模式密度(聲子能級(jí)密度)每單位體積的簡正模式密度定義為在頻率附近單位頻率間隔內(nèi)的簡正模式數(shù)除以該晶體的體積．或者說，表示單位體積的晶體在到無窮小頻率間隔內(nèi)的簡正模式數(shù)．由于一個(gè)簡正模式對(duì)應(yīng)于單個(gè)聲子的一個(gè)可能的能級(jí)，所以，模式密度又稱為聲子的能級(jí)密度．引入模式密度概念，在計(jì)算點(diǎn)陣的平衡態(tài)性質(zhì)時(shí)，可以將對(duì)模式K的求和化為對(duì)頻率的積分．模式密度依賴于色散關(guān)系，不同的物理模型，就在于假定了不同的色散關(guān)系，相應(yīng)也有不同的模式密度．模式密度的一般表達(dá)式是(5.1)s表示色散關(guān)系的第s支.積分對(duì)第一布里淵區(qū)進(jìn)行.式(5.1)又可寫為(5.2)積分沿第一布里淵區(qū)中的頻率等值面進(jìn)行.是波矢為K的第s支格波的群速度.對(duì)于一維情況，模式密度為2愛因斯坦模型和德拜模型愛因斯坦模型假定晶體中所有簡正模式都具有相同的頻率：．于是愛因斯坦模型的模式密度為(5.4)式中n是單原子點(diǎn)陣的原子密度.德拜模型把晶體看作連續(xù)介質(zhì)，色散關(guān)系為直線，聲速v為常數(shù)．另外，假定波矢K取在波矢空間中半徑為的球(稱為德拜球)內(nèi)，而不是取第一布里淵區(qū)中的所有K值．于是三維晶體的德拜模式密度為(5.5)其中稱為德拜截止頻率，也就是晶體中可能存在的簡正模式的最高振動(dòng)頻率．由單原子點(diǎn)陣中N個(gè)原子的3N個(gè)自由度決定，(5.6)對(duì)初基晶胞含有兩個(gè)原子的點(diǎn)陣而言，色散關(guān)系的光學(xué)支在長波極限下近似有為常數(shù)，適于用愛因斯坦模型；而對(duì)色散關(guān)系的聲學(xué)支，長波極限下近似有直線型色放關(guān)系，，適于用德拜模型.3點(diǎn)陣熱容經(jīng)典模型把原子看作一組獨(dú)立的經(jīng)典諧振子．從而得到點(diǎn)陣熱容的杜隆珀替定律；(5.7)熱容與溫度T無關(guān).這個(gè)結(jié)論只在高溫情況下才和實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符.用量子統(tǒng)計(jì)方法得到的點(diǎn)陣熱能為(5.8)用愛因斯坦模型得到的點(diǎn)陣熱容為(5.9)式中，稱為愛因斯坦溫度.用德拜模型得到的點(diǎn)陣熱容為(5.10)式中，稱為德拜溫度，它是表征固體熱學(xué)性質(zhì)的特征溫度．在德拜溫度以上，幾乎所有模式都被激發(fā)，而在德拜溫度以下，有的模式開始轉(zhuǎn)入“凍結(jié)”．愛因斯坦熱容和德拜熱容在高溫下都趨近于經(jīng)典值3NkB，，在低溫下，愛因斯坦熱容按規(guī)律變化，德拜熱容按T3規(guī)律變化．后者與實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合甚好．4非簡諧效應(yīng)簡諧近似下，點(diǎn)陣振動(dòng)的簡正模式是獨(dú)立的，聲子氣體是理想氣休．考慮到非簡諧效應(yīng)，各格波可以有相互作用，聲子氣體是非理想氣體，但在勢能的非簡諧項(xiàng)比簡諧項(xiàng)小得多的情況下，聲子氣體仍可近似地當(dāng)作理想氣體處理，不過這時(shí)要考慮聲子與聲子的碰撞．這是因?yàn)闆]有聲子與聲子之間的碰撞，點(diǎn)陣就不可能過渡到熱平衡分布，同時(shí)也沒有點(diǎn)陣熱阻．5熱膨脹熱膨脹是由于非簡諧效應(yīng)所引起的一種重要的熱現(xiàn)象．它可以用原子勢能曲線的不對(duì)稱性得到解釋．6點(diǎn)陣熱導(dǎo)率將氣體分子運(yùn)動(dòng)論用于聲子氣體，可以導(dǎo)出點(diǎn)陣熱導(dǎo)率為(5.11)式中c是每單位體積的點(diǎn)陣熱容，v是聲速，l是聲子的平均自由程，它取決于聲子與聲子的碰撞、聲子與雜質(zhì)缺陷的碰撞和聲子與樣品邊界的碰撞．7倒逆過程聲子與聲子的碰撞過程分為正規(guī)過程(或N過程)即G=0的碰撞過程和倒逆過程(U過程)．倒逆過程是如下形式的三聲子碰撞過程：(5.12)其中G是不為零的倒易點(diǎn)陣矢量．由于倒逆過程可以大幅度地改變聲子團(tuán)的總動(dòng)量，因而可以建立起聲子的熱平衡分布，并決定在高溫下的點(diǎn)陣熱阻．第六部分自由電子費(fèi)米氣體1金屬自由電子論的物理模型金屬自由電子論對(duì)于解釋金屬，特別是簡單金屬的許多重要物理性質(zhì)非常成功．其基本假定是(a)自由電子近似：當(dāng)金屬原子聚集成為金屬晶體時(shí)，原子的價(jià)電子脫離了母體原子而在金屬晶體中自由運(yùn)動(dòng)．金屬自由電子論認(rèn)為，離子實(shí)對(duì)電子的作用是可以忽略不計(jì)的，離子實(shí)的作用僅僅是維持整個(gè)金屬晶體的電中性．(b)獨(dú)立電子近似:金屬自由電子論忽略了電子與電子間的相互作用．(c)弛豫時(shí)間近似：假定電子在單位時(shí)間內(nèi)受到一次碰撞的幾率為，稱為弛豫時(shí)間．電子通過碰撞和周圍環(huán)境達(dá)到熱平衡，電子經(jīng)過每次碰撞后，其速度的方向是隨機(jī)的，速率的大小由碰撞處的局部溫度決定．碰撞的后果和碰撞時(shí)電子的狀態(tài)無關(guān)．早期的金屬自由電子論[特魯?shù)?Drude)模型]把金屬中的傳導(dǎo)電子看作自由電子經(jīng)典氣體，服從麥克斯韋-玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)；近代自由電子論[索末菲(Sommerfeld)模型]把金屬中的傳導(dǎo)電子看作自由電子費(fèi)密氣體，服從費(fèi)密-狄喇克統(tǒng)計(jì)．2費(fèi)密-狄喇克統(tǒng)計(jì)在溫度T下，能量為的狀態(tài)被電子占據(jù)的幾率為(6.1)式中是電子氣體的化學(xué)勢，它是溫度的函數(shù)。在絕對(duì)零度時(shí)，，是電子氣體的費(fèi)米能.3三維自由電子氣體的能級(jí)和狀態(tài)密度自由電子波函數(shù)滿足單電子薛定諤方程(6.2)在周期性邊界條件下，波函數(shù)具有行波形式(6.3)式中V是晶體體積，波矢k取一系列分立值(6.4)自由電子的能量為(6.5)動(dòng)量為(6.6)速度為(6.7)自由電子在波矢空間中的等能面是球面．波矢空間中的一個(gè)點(diǎn)[平均占體積]代表自旋相反的兩個(gè)狀態(tài)，可容納自旋相反的兩個(gè)電子．自由電子的狀態(tài)密度定義為單位體積的晶體在單位能量間隔中的狀態(tài)數(shù)，故[在能量范圍中的狀態(tài)數(shù)](6.8)三維自由電子的狀態(tài)密度為(6.9)4自由電子在基態(tài)下的性質(zhì)對(duì)于由N個(gè)自由電子組成的系統(tǒng)，基態(tài)(絕對(duì)零度)下被電子占據(jù)的狀態(tài)可以用波矢空間中一個(gè)球內(nèi)的點(diǎn)來表示，這個(gè)球稱為費(fèi)米球．費(fèi)密球的半徑稱為費(fèi)米波矢量，(6.10)僅決定于電于濃度n．通常我們用無量綱量表示電子濃度，定義為體積等于每個(gè)自由電子平均所占體積的球體的半徑，即(6.11)是玻爾半徑，.于是,式(6.10)又可寫為?-1(6.12)費(fèi)密面是基態(tài)下電子所填充到的最高等能面．自由電子費(fèi)密面是球面．費(fèi)密面把基態(tài)下波矢空間中已被電子占據(jù)的狀態(tài)和未被電子占據(jù)的狀態(tài)分開．由于泡利原理的限制，遠(yuǎn)離費(fèi)密面的電子被凍結(jié)，只有費(fèi)密面附近的電子才在低能激發(fā)中是活躍的．所以，只有費(fèi)密面附近的電子才決定金屬的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)．費(fèi)密面上電子的能量稱為費(fèi)密能，(6.13)(6.14)費(fèi)密面上電子的速度稱為費(fèi)密速度，(6.15)(6.16)費(fèi)密溫度由費(fèi)密能定義(6.17)費(fèi)密面附近電子的狀態(tài)密度為(6.18)(6.19)用自由電子的狀態(tài)密度和分布函數(shù)，很容易計(jì)算出基態(tài)下三維自由電子氣體的能量密度，(6.20)自由電子氣的壓強(qiáng)為(6.21)體彈性模量為(6.22)5自由電子氣體的熱學(xué)性質(zhì)引用自由電子的狀態(tài)密度和費(fèi)密分布函數(shù)，自由電子的能量密度為(6.23)電子濃度為(6.24)通常可以借助索末菲展開式(見例題6.3中的附注)計(jì)算以上的積分.由u和n的積分，計(jì)算出自由電子的熱容為(6.25)約為經(jīng)典值的0.01倍.式中N是自由電子數(shù)，.低溫下金屬的熱容可以寫為電子熱容和點(diǎn)陣熱容之和，(6.26)其中和A是兩個(gè)常量.6電導(dǎo)和歐姆定律在外加恒定電場下，波矢空間中的自由電子費(fèi)密球以均勻的速率漂移．考慮到電子所遭遇的碰撞，穩(wěn)態(tài)下費(fèi)密球的位移為(6.27)其中為弛豫時(shí)間.決定電子的漂移速度（平均速度）v(6.28)由此可以導(dǎo)出自由電子的電導(dǎo)率為(6.29)其中弛豫時(shí)間主要由電子-聲子和電子-雜質(zhì)缺陷間的碰撞決定。根據(jù)馬提生(Matthiessen)定則，在雜志缺陷濃度不太高時(shí)，各種碰撞機(jī)制可以獨(dú)立處理，(6.30)其中和分別是電子-聲子，電子-雜質(zhì)缺陷的碰撞幾率.于是對(duì)含有少量雜志缺陷的金屬，電阻率可以寫為兩部分之和(6.31)其中是熱聲子所引起的電阻率，是剩余電阻率，由靜態(tài)缺陷決定．7電子在外加磁場中的運(yùn)動(dòng)經(jīng)典近似下，電子在外加電磁場中的漂移動(dòng)量p滿足如下方程式(6.32)其中是電子的漂移速度，是弛豫時(shí)間，是外力.相當(dāng)于電子遭受碰撞而引入的摩擦阻力.在外加電磁場下(6.33)自由電子漂移速度所滿足的方程式為(6.34)由此方程可以導(dǎo)出金屬的霍爾系數(shù)，(6.35)用電子的漂移速度方程，聯(lián)同麥克斯韋方程組，可以導(dǎo)出自由電子氣體的等離子振蕩頻率，并討論金屬的光學(xué)性質(zhì)．8金屬熱導(dǎo)率用自由電子模型，可以導(dǎo)出自由電子的熱導(dǎo)率(6.36)并求出洛倫茲數(shù)L，(6.37)第七部分能帶1．布洛赫(Bloch)定理周期勢場中，單電子哈密頓量(對(duì)布喇菲點(diǎn)陣的所有R，有)的本征因數(shù)可以這樣選取，使得和每個(gè)相聯(lián)系的有一個(gè)波矢，對(duì)于布喇菲點(diǎn)陣的所有R有(7.1)此即布洛赫定理。布洛赫定理要求本征函數(shù)具有如下的特殊形式(7.2)這里，是具有布喇菲點(diǎn)陣周期性的函數(shù)，對(duì)布喇菲點(diǎn)陣的所有點(diǎn)陣矢量R有(7.3)稱為布洛赫函數(shù)，它具有調(diào)幅波的特性。布洛赫定理是由晶體的平移對(duì)稱性導(dǎo)出的，凡屬周期結(jié)構(gòu)中的波都應(yīng)具有布洛赫函數(shù)的形式。2．周期場中電子的波動(dòng)方程周期場中單電子薛定諤方程為(7.4)在周期性邊界條件下，將波函數(shù)展成平面波的線性組合(7.5)K取周期性邊界條件所容許的值(7.6)其中mi為整數(shù)，Ni是數(shù)量級(jí)為N1/3的整數(shù)，N=N1N2N3是晶體中初基晶胞的數(shù)目。將周期勢U(r)用倒易點(diǎn)陣矢量G展開，(7.7)適當(dāng)選擇勢的零點(diǎn)，使U0=0，對(duì)中心反演對(duì)稱的晶體，由于U(r)是實(shí)函數(shù)，應(yīng)有。將上式代入式(7.4)得到單電子薛定諤方程在動(dòng)量空間的形式：(7.8)用第一布里淵區(qū)內(nèi)的波矢，式(7.8)又可寫為(7.9)對(duì)于第一布里淵區(qū)內(nèi)指定的波矢k，式(7.9)對(duì)所有倒易點(diǎn)陣矢量G代表一組方程式，這組方程式把那些波矢和k相差一個(gè)倒易點(diǎn)陣矢量的系數(shù)，，，…聯(lián)系起來，于是求解周期勢場中單電子薛定諤方程(7.4)的問題化為對(duì)第一布里淵區(qū)內(nèi)的N個(gè)k值獨(dú)立求解方程(7.9)的問題。對(duì)每一個(gè)k值，解的形式都是波矢和k只相差一個(gè)倒易點(diǎn)陣矢量的一組平面波的迭加，即(7.10)如果我們把上式寫作(7.11)令周期函數(shù)u(r)為(7.12)則式(7.10)就具有布洛赫形式(7.2)。3．弱周期勢場中的電子[1]對(duì)弱周期勢場中的電子(近自由電子)，我們可以從索末菲的自由電子論出發(fā)，加上弱周期勢的修正來處理。分以下兩種情況來討論。(a)非簡并情況固定一個(gè)波矢k，考慮一個(gè)特定的倒易點(diǎn)陣矢量G1，使得相應(yīng)的自由電子能量滿足，對(duì)固定的k和所有這里，表示波矢為K的自由電子能量。U表示勢的典型傅里葉分量。由此(7.9)可以得到修正到U2的電子能量為(7.13)弱周期勢對(duì)非簡并自由電子能級(jí)的影響是U的二級(jí)小量。(b)近簡并情況如果所選取的k值使得有幾個(gè)倒易點(diǎn)陣矢量G1，……，Gm滿足，……彼此都相差在U的數(shù)量級(jí)內(nèi)，而和其它之差則遠(yuǎn)大于U，即，由式(7.9)可以得到(7.14)于是求解U的二級(jí)近似下m個(gè)簡并能級(jí)的能量修正問題化為求解m個(gè)的聯(lián)立方程(7.14)的問題。如果僅僅修正到U的首項(xiàng)，則方程(7.14)簡化為(7.15)這正是m個(gè)量子能級(jí)體系的一般方程式。用式(7.14)、(7.15)可以求解幾個(gè)布喇格平面(G的中垂面)交點(diǎn)附近的電子能級(jí)。對(duì)于近簡并的二能級(jí)體系，式(7.15)簡化為(7.16)引用符號(hào)K=k-G1，G=G2-G1，式(7.16)又可寫為(7.17)這里有，對(duì)，由式(1.17)可得能量的兩個(gè)根為(7.17′)用式(7.17′)可以求解一級(jí)近似下單個(gè)布喇格平面附近的電子能級(jí)。由于近簡并情況下一級(jí)能量修正和U有線性關(guān)系，和非簡并情況相比較，我們看到，只有近簡并能級(jí)才受到弱周期勢最強(qiáng)烈的影響。也就是說，弱周期勢的主要影響只表現(xiàn)在對(duì)那些波矢靠近布喇格平面的自由電子能級(jí)上。4．能隙在某些能量范圍內(nèi)，波動(dòng)方程不存在布洛赫解，這些能量值構(gòu)成所謂能量禁區(qū)，即能隙。在此區(qū)內(nèi)，波函數(shù)在空間被阻尼，波矢k為復(fù)值。絕緣體的出現(xiàn)正是由于能隙所引起。在近自由電子模型下，單個(gè)布喇格平面上的能隙近似為2|UG|。只有在同一能帶內(nèi)，能量隨波矢的變化才是準(zhǔn)連續(xù)的。當(dāng)電子的波矢穿過布喇格平面時(shí)，從一個(gè)能帶到另一個(gè)能帶，能量要發(fā)生突變。5．能帶的簡約區(qū)、擴(kuò)展區(qū)和周期(重復(fù))區(qū)圖描寫固體的能帶結(jié)構(gòu)有三種圖示法：(a)簡約區(qū)圖將不同能帶平移一個(gè)適當(dāng)?shù)腉，平移到第一布里淵區(qū)來表示，即在第一布里淵區(qū)畫出所有能帶。(b)擴(kuò)展區(qū)圖在不同的布里淵區(qū)畫出相應(yīng)的能帶。(c)周期區(qū)圖在每一個(gè)布里淵區(qū)周期性地畫出所有能帶，強(qiáng)調(diào)任一特定的波矢k可以用和它相差一個(gè)G的波矢來描寫。6．狀態(tài)密度和自由電子的狀態(tài)密度類似，第n能帶中的電子，單位體積的狀態(tài)密度為,(7.19)或?qū)憺?(7.20)積分沿第n能帶能量為的等能斷進(jìn)行。總的狀態(tài)密度為各能帶狀態(tài)密度之和，(7.21)當(dāng)=0時(shí)，一維狀態(tài)密度中的積分發(fā)散，但在三維空間中這樣的奇點(diǎn)仍是可積的，可以得到有限的，但導(dǎo)數(shù)發(fā)散。這些奇點(diǎn)稱為范·霍夫奇點(diǎn)。7．金屬和絕緣體如果價(jià)電子剛好填滿一個(gè)或幾個(gè)能帶，其余的能帶仍然全空，由于能隙的隔開，外加電場不會(huì)引起電流(如果電場不致引起能帶結(jié)構(gòu)的破壞)，這樣的晶體將是絕緣體。由于一個(gè)能帶有2N個(gè)狀態(tài)(N是初基晶胞數(shù))，僅當(dāng)初基晶胞中的價(jià)電子數(shù)是偶數(shù)時(shí)，方可形成絕緣體。絕緣體的能帶隙遠(yuǎn)大于kBT，本征半導(dǎo)體(絕對(duì)零度時(shí)是絕緣體)的能帶隙則可以和kBT相比較。如果初基晶胞中的價(jià)電子數(shù)為偶數(shù)，但有能帶重迭發(fā)生，則將得到部分填充的能帶，于是形成導(dǎo)電性能不好的金屬(例如堿土金屬)。堿金屬和貴金屬的初基晶胞各含有一個(gè)價(jià)電子，能帶的填充是半滿的，在外加電場下有良好導(dǎo)電性。8、費(fèi)密面能帶中的費(fèi)密面是自由電子費(fèi)密面對(duì)布洛赫電子的推廣。當(dāng)能帶是部分填充時(shí)，被占據(jù)的最高能級(jí)的能量(即費(fèi)密能量)可以處于一個(gè)或幾個(gè)能帶中，對(duì)每個(gè)部分填充的能帶，波矢空間有一個(gè)面把已占據(jù)的狀態(tài)和未被占據(jù)的狀態(tài)隔開，所有這些面都稱為費(fèi)密面，并屬于費(fèi)密面的各支。具有費(fèi)密面的固體表現(xiàn)金屬性質(zhì)。在許多重要情況下，費(fèi)密面就在一個(gè)或少數(shù)幾個(gè)能帶中。第n個(gè)能帶的費(fèi)密面就是波矢空間中(7.22)所決定的等能面。9．緊束縛近似當(dāng)自由原子相互接近時(shí)，原子實(shí)和電子之間的庫侖互作用使自由原子每一給定量子數(shù)的能級(jí)在晶體內(nèi)擴(kuò)展為一個(gè)能帶，帶寬正比于相鄰原子之間交迭相互作用的強(qiáng)度。緊束縛近似是以自由原子波函數(shù)為出發(fā)點(diǎn)，考慮到原子間的相互作用而加以修正。對(duì)s態(tài)電子能級(jí)，計(jì)算得最近鄰近似下的緊束縛能帶為,(7.23)其中，是自由原子s能級(jí)的能量，和是兩個(gè)積分：，(7.24)。(7.25)其中，，H是晶體哈密頓量，是原子哈密頓量，是自由原子的s電子波函數(shù)。式(7.23)中的求和僅對(duì)最近鄰陣點(diǎn)進(jìn)行。10能帶中電子的半經(jīng)典運(yùn)動(dòng)半經(jīng)典模型描述沒有碰撞時(shí)布洛赫電子在外加電場或磁場下的運(yùn)動(dòng)。一個(gè)能帶指數(shù)為n的電子其位置和波矢隨時(shí)間的變化由下述方程決定，(7.26)。(7.27)這里，半經(jīng)典電子的速度式(7.26)就是波的群速度。由半經(jīng)典模型可以得到，一個(gè)填滿的能帶在外加電場或磁場下對(duì)電流沒有貢獻(xiàn)。一個(gè)幾乎填滿的能帶中的電流可以看作由一種假想的帶正電的粒子所攜帶，這些粒子填充了能帶中那些未被電子占據(jù)的所有狀態(tài)，這種假想的粒子稱為空穴?？昭ㄊ菐缀醭錆M的能帶中未被電子占據(jù)的空狀態(tài)，是描述近滿能帶中電子集體運(yùn)動(dòng)的等效方法。11有效質(zhì)量有效質(zhì)量倒數(shù)張量(m)-1的分量由下式定義。(7.28)引入有效質(zhì)量張量后，電子的運(yùn)動(dòng)方程為。(7.29)其中Fj是外力。有效質(zhì)量決定于能帶結(jié)構(gòu)，在能帶極值附近，如果能帶結(jié)構(gòu)近似可以看作是各向同性的，則有效質(zhì)量是標(biāo)量，電子(空穴)對(duì)外加電場或磁場的響應(yīng)就有如它是具有有效質(zhì)量的自由粒子一樣。12均勻磁場下電子的半經(jīng)典運(yùn)動(dòng)均勻磁場下電子的運(yùn)動(dòng)方程(7.26)和(7.27)簡化為，(7.30)。(7.31)電子在波矢空間運(yùn)動(dòng)所沿的曲線決定于等能面和垂直于磁場的平面的交線(圖7.7)。電子在波矢空間運(yùn)動(dòng)的軌道分為空穴軌道(閉合軌道所包圍的狀態(tài)比軌道上的狀態(tài)有更高的能量)、電子軌道(閉合軌道所包圍的狀態(tài)比軌道上的狀態(tài)有更低的能量)和開放軌道。后者介于前兩者之間(圖7.8)。這三種類型的軌道在強(qiáng)磁場下貢獻(xiàn)的電流很不相同。13德·哈斯-范·阿耳芬(deHaas-vanAlphen)效應(yīng)費(fèi)密面的形狀直接和金屬的輸運(yùn)性質(zhì)有關(guān)，并直接決定金屬的平衡態(tài)性質(zhì)和光學(xué)性質(zhì)。德·哈斯-范·阿耳芬效應(yīng)是測量金屬費(fèi)密面的有力工具。在恒定磁場下，電子沿閉合軌道的迴旋頻率是完全確定的，電子氣的能量是量子化的，。(7.33)其中，n是不為負(fù)值的整數(shù)，是相常數(shù)。波矢空間中，狀態(tài)密度聚集在橫截面積為常數(shù)的“管子”上，這些“管子”相應(yīng)的能級(jí)稱為磁能級(jí)。由于能量為的軌道所包圍的面積為，(7.34)磁場愈強(qiáng)，面積An愈大。即隨著磁場的增強(qiáng)，磁能級(jí)將向外擴(kuò)展，它將不時(shí)地在最大截面積處脫離費(fèi)密面。每當(dāng)磁能級(jí)和費(fèi)密面上的極值軌道接觸時(shí)，狀態(tài)密度就出現(xiàn)尖銳的峰值，于是引起系統(tǒng)能量隨磁場周期性的振蕩。振蕩周期為。(7.35)這里是費(fèi)密面上垂直于磁場的平