電子科技大學(xué) 泛函分析(江澤堅(jiān)) 作業(yè)題答案

./P46:第一章習(xí)題：1.驗(yàn)證滿足距離定義。解：設(shè),屬于,是數(shù),<1>對,有,所以,,且,即當(dāng)且僅當(dāng)<2>；<3>設(shè)綜上<1>,<2>,<3>,滿足距離定義。3.試證明：在空間中的收斂等價(jià)于坐標(biāo)收斂。證：設(shè),,若,則必有,否則,,,與正整數(shù)列的子序列,使,因?yàn)槭菃握{(diào)遞增,所以,這與矛盾,故中的收斂可推出坐標(biāo)收斂。若,則對,,,,,,由的任意性得故命題得證。4.證明：空間是可分的。證：令表示所有形如的元素的集合,為任意正整數(shù),是任意的有理數(shù),所以可數(shù)。故要證在收斂序列空間是稠密,只需證明,中序列使。對,為收斂序列,所以對,,時(shí),有當(dāng)時(shí),構(gòu)造使,,時(shí)有,令,則對,,恒有所以在中稠密,即可分。9.證明：是完備的距離空間。證：設(shè)是中的Cauchy序列,則對任意,存在,使得當(dāng)時(shí),<1>于是對每個(gè)固定的,時(shí),這表明對每個(gè)固定的,是Cauchy數(shù)列。因此收斂。設(shè)當(dāng)時(shí)令下面證明并且由<1>式知道,對任意,當(dāng)時(shí),在上式中固定時(shí),先令,再令,得到<2>這表明由于是線性空間,故而且式<2>還表明,當(dāng)時(shí)因此故是完備的。26.設(shè)是從賦線性空間到賦線性空間的有界線性算子,證明證明：由,得,故式中""均可改為等號,命題得證。27.設(shè)是Banach空間上有界線性算子,如果存在上有界線性算子,使,則是有界可逆的,而且反之,如果是有界可逆的,則這里是上恒等算子,即證：<1>記,則是從到的滿射,若,使,則由可得所以,所以是從到得單射,可定義從到中的算子：,當(dāng)則由可得,所以,又是有界線性算子。所以是有界可逆的。<2>若是有界可逆的,則既是單射又是滿射,且是有界線性算子。對,,使且,則,所以,又,所以,即28.設(shè)是距離空間,是映射。如果是壓縮的,求證：對任意自然數(shù),也是壓縮的。如果對某個(gè)自然數(shù),是壓縮映射,也一定是壓縮映射嗎？證：<1>因?yàn)槭菈嚎s映射,所以,使得,從而。假定成立,則有。于是根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理,對成立。又故有。即是壓縮映射。<2>逆命題不一定成立。例如：是壓縮映射,但是不是壓縮映射。第二章習(xí)題：9.設(shè)是Hilbert空間的一個(gè)線性流行。證明：<1>是的子空間；<2>；<3>如果也是的線性流行,使,則。證：<1>如果,是任意兩個(gè)數(shù),則對每個(gè),我們有,從而,因此是的子空間。<2>,對有,；下證對,,故,所以,因此,故有。<3>,。10.試證明按如下數(shù)：,當(dāng)是完備的賦線性空間。證：表示Hilbert空間上全體連續(xù)線性泛函按逐點(diǎn)定義的加法和數(shù)乘形式的線性空間。因?yàn)?所以,當(dāng)且僅當(dāng)；；故,為賦線性空間。下證是完備的：設(shè)是中的Cauchy序列,則對,正整數(shù)使當(dāng)時(shí)有即因?yàn)?有,則,故收斂。設(shè),則上式中令可得當(dāng)所以,一致收斂到,而也是連續(xù)函數(shù),則,,即且,故事完備的。綜上,是完備的賦線性空間。11.證明：對任意的,證：如果,結(jié)論顯然成立。因此考慮的情形。如果,則Cauchy-Schwarz不等式表明因此,我們有至于相反的不等式,令,則,因此因此,,且上確界實(shí)際上是最大值。12.驗(yàn)證定理3.3中的是上有界線性算子。證明：是線性算子。是有界的,則,且又是任意的使是有界的。綜上,是上有界線性算子。第三章習(xí)題：1.設(shè)無窮矩陣滿足由它定義的線性算子為其中,試證明是從到自身的有界線性算子,且證：設(shè),,,,則,其中滿足,所以對,,,所以,其中,因?yàn)?所以。又,取,存在,使,且,所以,綜上所述,原命題得證。5.設(shè)是Banach空間,,若有界可逆,則有界可逆,證：因?yàn)橛薪缈赡?即,對,有,,所以,所以有界,又,,所以可逆,且19.試證明：Banach空間是自反的當(dāng)且僅當(dāng)是自反的。證：假設(shè)自反的。如果,則存在某個(gè)非零的使得,由于是自反的,存在非零使得,特別地,對所有成立,于是,矛盾。因此,必然是自反的Banach空間。25.設(shè)證明：如果,則逐點(diǎn)收斂于,即任給,都有證：因?yàn)?則有界。對每個(gè),令,則因此27.設(shè)是賦線性空間的子空間,,,則證：假設(shè),即,則存在,有<1>,當(dāng)<2>；<3>,。因?yàn)?即對,有又因?yàn)?所以,這與矛盾,所以。28.假設(shè),都是賦線性空間,試證明：如果是Banach空間,則