高中數(shù)學(xué)人教A版（2023）選修二5.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義同步練習(xí)（答案＋解析）

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5.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義

一、單選題

1．（2022高二上·岳陽(yáng)期中）函數(shù)在處切線的斜率為（）

A．1B．2C．3D．4

2．（2023高二下·武漢期中）①若直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線一定是曲線的切線；②若直線與曲線相切于點(diǎn)，且直線與曲線除點(diǎn)外再?zèng)]有其他的公共點(diǎn)，則在點(diǎn)附近，直線不可能穿過曲線；③若不存在，則曲線在點(diǎn)處就沒有切線；④若曲線在點(diǎn)處有切線，則必存在.

則以上論斷正確的個(gè)數(shù)是（）

A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)

3．（2023高二下·集寧月考）函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線的傾斜角為（）

A．B．C．D．

4．（2023高二下·佛山月考）下列說法正確的是：（）

①設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，則；②過曲線外一定點(diǎn)做該曲線的切線有且只有一條；③已知做勻加速運(yùn)動(dòng)的物體的運(yùn)動(dòng)方程是米，則該物體在時(shí)刻秒的瞬時(shí)速度是米秒；④一物體以速度（米/秒）做直線運(yùn)動(dòng)，則它在到秒時(shí)間段內(nèi)的位移為米；⑤已知可導(dǎo)函數(shù)，對(duì)于任意時(shí)，是函數(shù)在上單調(diào)遞增的充要條件．

A．①③B．③④C．②③⑤D．③⑤

5．（2023高二下·南山期末）已知函數(shù)的圖象如圖，設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，則（）

A．B．

C．D．

6．（2023高二下·孝感期中）.函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為（）

A．2B．C．3D．

7．（2022高二下·湖北期中）函數(shù)的圖像如圖所示，下列數(shù)值排序正確的是（）

A．

B．

C．

D．

8．（2023高二下·簡(jiǎn)陽(yáng)月考）若經(jīng)過點(diǎn)P(2，8)作曲線的切線，則切線方程為（）

A．B．

C．或D．或

9．（2023高三上·荔灣月考）已知函數(shù)，，曲線上總存在兩點(diǎn)，，使得曲線在M，N兩點(diǎn)處的切線互相平行，則的取值范圍為（）

A．B．C．D．

10．（2023高三上·福州月考）飛輪在制動(dòng)后的秒鐘時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角的大小（弧度）可由函數(shù)來模擬，則飛輪在完全停止轉(zhuǎn)動(dòng)前2秒鐘時(shí)間內(nèi)的平均角速度（弧度/秒）為（）（注：瞬時(shí)角速度，平均角速度）

A．1B．1.5C．2D．2.5

11．（2023高二下·靜安期末）已知物體的位移（單位：m）與時(shí)間（單位：s）滿足函數(shù)關(guān)系，則物體在時(shí)的瞬時(shí)速度為（）

A．B．C．D．

12．（2022·淮安模擬）已知函數(shù)在處的切線斜率為，則（）

A．B．C．D．

13．（2023·河南模擬）已知函數(shù)的圖象與直線恰有三個(gè)公共點(diǎn)，這三個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大依次為，則（）

A．-2B．C．0D．1

14．（2022高二下·安康期末）已知直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)a的值為（）

A．B．1C．2D．e

15．（2023高二下·黃山期末）若函數(shù)在處的切線的傾斜角為，則的值為（）

A．B．C．D．

16．（2022·宜春模擬）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且，則函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為（）

A．-21B．-27C．-24D．-25

17．（2023高二上·張家口期中）函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，則的最小值是（）

A．10B．9C．8D．

18．（2023高三上·安徽月考）已知函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，與的圖象可能是（）

A．B．

C．D．

19．（2023高三上·江漢開學(xué)考）若函數(shù)在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率為1，則的最小值為（）

A．B．C．D．

20．（2023高三上·沈陽(yáng)期中）已知曲線，P為曲線C上任意一點(diǎn)，設(shè)曲線C在點(diǎn)P處的切線的傾斜角為α，則α的取值范圍是（）

A．B．C．D．

二、填空題

21．（2023高二下·臨海期中）已知函數(shù)，則函數(shù)在點(diǎn)處切線的斜率的最小值是．

22．（2023高三上·德州期中）函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為．

23．（2023高二下·湖北期中）設(shè)曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,令，則的值為.

24．（2023高二下·鶴崗月考）已知函數(shù).若曲線在點(diǎn)處的切線方程為y=x，則a+b=.

25．（2023·東莞模擬）已知在的切線方程為，則．

26．（2023高三上·荊門月考）已知定義在上的奇函數(shù)滿足當(dāng)時(shí)，，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.

27．（2023高二下·靜安期末）過點(diǎn)的直線與圓相切，則直線的斜率為.

28．（2023高二下·房山期中）設(shè)某質(zhì)點(diǎn)的位移xm與時(shí)間ts的關(guān)系是，則質(zhì)點(diǎn)在第3s時(shí)的瞬時(shí)速度等于.

29．（2022高二下·廣東月考）函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線斜率為．

30．（2022·福州模擬）某地在20年間經(jīng)濟(jì)高質(zhì)量增長(zhǎng)，GDP的值（單位，億元）與時(shí)間（單位：年）之間的關(guān)系為，其中為時(shí)的值.假定，那么在時(shí)，GDP增長(zhǎng)的速度大約是.（單位：億元/年，精確到0.01億元/年）注：，當(dāng)取很小的正數(shù)時(shí)，

答案解析部分

1．【答案】B

【解析】【解答】因?yàn)楹瘮?shù)，

則，

所以，也即函數(shù)在處切線的斜率，

故答案為：B.

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算，即可得解.

2．【答案】B

【解析】【解答】對(duì)于①中，根據(jù)函數(shù)在點(diǎn)A處的切線定義：在曲線的某點(diǎn)A附近取點(diǎn)B，并使B沿曲線不斷接近A，這樣直線AB的極限位置就是曲線在點(diǎn)A的切線.直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，但直線不是切線．注：曲線的切線與曲線的公共點(diǎn)不一定只有一個(gè)，例是正弦曲線的切線，但切線與曲線有無數(shù)多個(gè)公共點(diǎn)，所以不正確；

對(duì)于②中，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義：

⑴導(dǎo)數(shù)：，

⑵左導(dǎo)數(shù)：，

⑶右導(dǎo)數(shù)：，

函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)處的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在，且相等.例如三次函數(shù)在處的切線，所以不正確；

對(duì)于③中，切線與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：

⑴函數(shù)在處可導(dǎo)，則函數(shù)在處切線一定存在，切線方程為

⑵函數(shù)在處不可導(dǎo)，函數(shù)在處切線可能存在，可能不存在，所以不正確；

對(duì)于④中，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得曲線在點(diǎn)處有切線，則必存在，所以是正確的.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，瞬時(shí)變化率的概念，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，逐項(xiàng)判定，即可求解.

3．【答案】C

【解析】【解答】，

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，切線的斜率，

設(shè)切線的傾斜角為，即，所以.

故答案為：C.

【分析】求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出導(dǎo)函數(shù)的值，得到切線的斜率，即可求出切線的傾斜角.

4．【答案】B

【解析】【解答】對(duì)于選項(xiàng)①，設(shè)函數(shù)則，故①錯(cuò)．

對(duì)于選項(xiàng)②，過曲線外一定點(diǎn)做該曲線的切線可以有多條，故②錯(cuò)．

對(duì)于選項(xiàng)③，已知做勻速運(yùn)動(dòng)的物體的運(yùn)動(dòng)方程為，則，所以，故③正確．

對(duì)于選項(xiàng)④，一物體以速度做直線運(yùn)動(dòng)，則它在到時(shí)間段內(nèi)的位移為，故④正確．

對(duì)于選項(xiàng)⑤，已知可導(dǎo)函數(shù)，對(duì)于任意時(shí)，是函數(shù)在上單調(diào)遞增的充分不必要條件，例如，故⑤錯(cuò)．

故答案為：B．

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，分別研究計(jì)算各選項(xiàng)，即可判斷得到正確的結(jié)論.

5．【答案】D

【解析】【解答】根據(jù)題意，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義：

表示函數(shù)在處切線的斜率，

表示函數(shù)在處切線的斜率，

，為點(diǎn)和點(diǎn)連線的斜率，

結(jié)合圖象可得：，

故答案為：D．

【分析】由題意，分析、、所表示的幾何意義，結(jié)合圖形分析可得答案．

6．【答案】C

【解析】【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)，

則，，即，

則函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率；

故答案為：C．

【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式結(jié)合平均變化率的計(jì)算公式，計(jì)算可得答案.

7．【答案】B

【解析】【解答】由圖可知，在x＝1和x＝2在f(x)的增區(qū)間內(nèi)，故，且在x＝1處切線斜率大于在x＝2處切線斜率，即；

x＝3和x＝4在f(x)的減區(qū)間內(nèi)，故，且在x＝3出切線斜率比在x＝4處切線斜率大，即；

綜上，.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的增減性判斷四個(gè)導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)，根據(jù)在四個(gè)點(diǎn)的函數(shù)圖象切線斜率判斷導(dǎo)數(shù)值的大小.

8．【答案】D

【解析】【解答】解：①易知P點(diǎn)在曲線上，當(dāng)P點(diǎn)為切點(diǎn)時(shí)，y=3x2，k=12，12x-y-16=0.

②當(dāng)P點(diǎn)不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為A(x0，y0)，由定義可求得切線的斜率為.

∵A在曲線上，

∴，

∴，

∴，

∴，

解得x0=-1或x0=2(舍去)，

∴y0=-1，k=3，

此時(shí)切線方程為y+1=3(x+1)，

即3x-y+2=0.

故經(jīng)過點(diǎn)P的曲線的切線有兩條，方程為12x-y-16=0或3x-y+2=0.

故選：D

【分析】因?yàn)镻點(diǎn)在曲線上，所以需要分兩種情況討論，P點(diǎn)為切點(diǎn)和P點(diǎn)不為切點(diǎn)，分別根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線方程即可.

9．【答案】A

【解析】【解答】解：函數(shù)，導(dǎo)數(shù)．

由題意可得，，且．

即有，

化為，

而，

，

化為對(duì)，都成立，

令，在，單調(diào)遞增，

，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號(hào)，

，

，即的取值范圍是．

故答案為：A．

【分析】求得f(x)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由兩直線平行的條件：斜率相等，結(jié)合基本不等式和對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，可得所求范圍.

10．【答案】A

【解析】【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)，則，

若，即，解可得，

飛輪停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，瞬時(shí)角速度為0，則6秒時(shí)，飛輪完全停止轉(zhuǎn)動(dòng)，

此時(shí)，

則飛輪在完全停止轉(zhuǎn)動(dòng)前2秒鐘時(shí)間內(nèi)的平均角速度，

故答案為：A.

【分析】根據(jù)題意，求出φ(t)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算φ'(t)=0的t的值，即可得飛輪停止轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)刻，由平均變化率公式計(jì)算可得答案.

11．【答案】A

【解析】【解答】∵，

∴

∴物體在時(shí)的瞬時(shí)速度為，

故選：A.

【分析】求出導(dǎo)數(shù)，把代入求導(dǎo)jike.

12．【答案】D

【解析】【解答】由題意得，則，

，而，故，

，

故答案為：D

【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值，由已知可得，求出的值，再由可求出答案.

13．【答案】B

【解析】【解答】由題意得直線過定點(diǎn)，且斜率k>0，由對(duì)稱性可知，直線與三角函數(shù)圖象切于另外兩個(gè)點(diǎn)，所以，，則切線方程過點(diǎn)，所以，

而=。

故答案為：B.

【分析】求導(dǎo)數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線斜率，得到切線方程，即可求出相應(yīng)式子的值.

14．【答案】B

【解析】【解答】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以①，②，③，

由①②③可知，，．

故答案為：B

【分析】先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)切點(diǎn)既在曲線的圖象上又在直線上，從而求出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，即可求出a的值.

15．【答案】B

【解析】【解答】依題意，，所以，所以，

所以。

故答案為：B.

【分析】利用已知條件結(jié)合求導(dǎo)的方法求出函數(shù)在切點(diǎn)處的切線的斜率，再利用直線的斜率與傾斜角的關(guān)系式，從而求出直線的傾斜角，再利用誘導(dǎo)公式求出的值。

16．【答案】A

【解析】【解答】是奇函數(shù)，

恒成立，所以，

，，

所以，，即，

．

故答案為：A．

【分析】利用函數(shù)的奇偶性求解函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后求解切線的斜率.

17．【答案】B

【解析】【解答】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，，即

==()·)=+5≥2+5=4+5=9，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取等號(hào).所以的最小值是9.

故答案為：B.

【分析】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求分式的最值結(jié)合了重要不等式，“1”的巧用，注意取等條件

18．【答案】D

【解析】【解答】由題意得，函數(shù)，均為偶函數(shù)，故排除A選項(xiàng)；

當(dāng)時(shí)，，，

當(dāng)時(shí)，，

∴與的圖象在上有一個(gè)交點(diǎn)，

故選：D

【分析】根據(jù)函數(shù)、的性質(zhì)，利用排除法即可得出選項(xiàng).

19．【答案】A

【解析】【解答】由已知，所以，

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．

故答案為：A．

【分析】由導(dǎo)數(shù)幾何意義得，然后由基本不等式求得的最小值.

20．【答案】D

【解析】【解答】解：由題意可知，，

曲線C在點(diǎn)處的切線斜率為，

當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)，等號(hào)成立，

∴，即，∴，

故答案為：D．

【分析】利用求導(dǎo)的方法求出曲線C在點(diǎn)處的切線斜率，再利用均值不等式變形求最值的方法，從而求出曲線C在點(diǎn)處的切線斜率的取值范圍，再利用直線的斜率與直線的傾斜角的關(guān)系式，從而求出直線的傾斜角的取值范圍。

21．【答案】2

【解析】【解答】因?yàn)椋?/p>

所以．

又因?yàn)?，?/p>

所以，

所以斜率的最小值是2．

故答案是：2．

【分析】根據(jù)已知條件得到的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)限制性條件，和基本不等式即可進(jìn)行解答．

22．【答案】

【解析】【解答】∵，∴，又，

∴切線方程為，即．

故答案為：．

【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，即切線斜率，然后可得切線方程．

23．【答案】-2

【解析】【解答】由于y′＝n＋1，∴曲線在點(diǎn)(1，1)處的切線為y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得x＝xn＝，∴an＝lg，∴原式＝lg＋lg＋…＋lg＝lg＝lg＝－2.

答案：－2

【分析】求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線方程，結(jié)合直線方程，求出an，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，即可求出相應(yīng)式子的值.

24．【答案】3

【解析】【解答】由題意，函數(shù)，得，

曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y=x，即f'(0)=1,f(0