遼寧省鳳城市2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

遼寧省鳳城市2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)，直線，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件2．若正整數(shù)N除以正整數(shù)m后的余數(shù)為n，則記為，如.如圖所示的程序框圖的算法源于我國(guó)古代聞名中外的“中國(guó)剩余定理”.執(zhí)行該程序框圖，則輸出的i等于（）A.7 B.10C.13 D.163．已知圓，圓，則兩圓的公切線的條數(shù)為（）A.1 B.2C.3 D.44．方程有兩個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）A. B.C. D.5．已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的極大值為，無極小值 B.函數(shù)的極小值為，無極大值C.函數(shù)的極大值為0，無極小值 D.函數(shù)的極小值為0，無極大值6．若直線a，b是異面直線，點(diǎn)O是空間中不在直線a，b上的任意一點(diǎn)，則（）A.不存在過點(diǎn)O且與直線a，b都相交的直線B.過點(diǎn)O一定可以作一條直線與直線a，b都相交C.過點(diǎn)O可以作無數(shù)多條直線與直線a，b都相交D.過點(diǎn)O至多可以作一條直線與直線a，b都相交7．已知命題p：，，則命題p的否定為（）A.， B.，C， D.，8．某校去年有1100名同學(xué)參加高考，從中隨機(jī)抽取50名同學(xué)總成績(jī)進(jìn)行分析，在這個(gè)調(diào)查中，下列敘述錯(cuò)誤的是A.總體是：1100名同學(xué)的總成績(jī) B.個(gè)體是：每一名同學(xué)C.樣本是：50名同學(xué)的總成績(jī) D.樣本容量是：509．過兩點(diǎn)和的直線的斜率為（）A. B.C. D.10．已知等差數(shù)列的公差，是與的等比中項(xiàng)，則（）A. B.C. D.11．已知等比數(shù)列中，，，則首項(xiàng)（）A. B.C. D.012．已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線圍成的圖形的面積是__________14．方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是___________.15．已知、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線右支上一點(diǎn)，滿足，直線與圓有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍是___________.16．若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，則實(shí)數(shù)m的值為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖所示等腰梯形ABCD中，，，，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，沿AE將折起，使得點(diǎn)D到達(dá)F位置.（1）當(dāng)時(shí)，求證：平面AFC；（2）當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值.18．（12分）已知過拋物線的焦點(diǎn)F且斜率為1的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，且（1）求拋物線C的方程；（2）求以C的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)D為圓心且與直線l相切的圓的方程19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面四邊形為角梯形，，，，O為的中點(diǎn)，，.（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面所成夾角的余弦值.20．（12分）已知雙曲線的一條漸近線方程為，且雙曲線C過點(diǎn).（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)M的直線與雙曲線C的左右支分別交于A、B兩點(diǎn)，是否存在直線AB，使得成立，若存在，求出直線AB的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.21．（12分）【閱讀材料1】我們?cè)谘芯績(jī)蓚€(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系時(shí)，往往先選取若干個(gè)樣本點(diǎn)（），（），……，（），將樣本點(diǎn)畫在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，就得到樣本的散點(diǎn)圖.觀察散點(diǎn)圖，如果所有樣本點(diǎn)都落在某一條直線附近，變量之間就具有線性相關(guān)關(guān)系，如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一非線性函數(shù)圖象附近，變量之間就有非線性相關(guān)關(guān)系.在統(tǒng)計(jì)學(xué)中經(jīng)常選擇線性或非線性（函數(shù)）回歸模型來刻畫相關(guān)關(guān)系，并且可以用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蟪龌貧w模型的方程，還常用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，相關(guān)指數(shù)R2的計(jì)算公式為：當(dāng)R2越大時(shí)，回歸方程的擬合效果越好；當(dāng)R2越小時(shí)，回歸方程的擬合效果越差，R2是常用的選擇模型的指標(biāo)之一，在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)該盡量選擇R2較大的回歸模型.【閱讀材料2】2021年6月17日9時(shí)22分，我國(guó)酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心用長(zhǎng)征二號(hào)F遙十二運(yùn)載火箭，成功將神舟十二號(hào)載人飛船送入預(yù)定軌道，順利將聶海勝、劉伯明、湯洪胺3名航天員送入太空，發(fā)射取得圓滿成功，這標(biāo)志著中國(guó)人首次進(jìn)入自己的空間站.某公司負(fù)責(zé)生產(chǎn)的A型材料是神舟十二號(hào)的重要零件，該材料應(yīng)用前景十分廣泛，該公司為了將A型材料更好地投入商用，擬對(duì)A型材料進(jìn)行應(yīng)用改造，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研與模擬，得到應(yīng)用改造投入x（億元）與產(chǎn)品的直接收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：序號(hào)123456789101112x2346810132122232425y1522274048546068.56867.56665當(dāng)0<x≤13時(shí)，建立了與的兩個(gè)回歸模型：模型①:；模型②:；當(dāng)x>13時(shí)，確定y與x滿足的線性回歸直線方程為.根據(jù)以上閱讀材料，解答以下問題：（1）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當(dāng)0<x≤13時(shí)模型①，②的相關(guān)指數(shù)R2的大小，并選擇擬合效果更好的模型.回歸模型模型①模型②回歸方程79.1320.2（2）當(dāng)應(yīng)用改造的投入為20億元時(shí)，以回歸直線方程為預(yù)測(cè)依據(jù)，計(jì)算公司的收益約為多少.附：①若最小二乘法求得回歸直線方程為，則；②③，當(dāng)時(shí)，.22．（10分）已知橢圓的左頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為，且的面積為，橢圓上的動(dòng)點(diǎn)到的最小距離是（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓的左頂點(diǎn)作兩條互相垂直的直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)（異于點(diǎn)）.①證明：動(dòng)直線恒過軸上一定點(diǎn)；②設(shè)線段中點(diǎn)為，坐標(biāo)原點(diǎn)為，求的面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由可求得實(shí)數(shù)的值，再利用充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】若，則，解得或，因此，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.2、C【解析】根據(jù)“中國(guó)剩余定理”，進(jìn)而依次執(zhí)行循環(huán)體，最后求得答案.【詳解】由題意，第一步：，余數(shù)不為1；第二步：，余數(shù)不為1；第三步：，余數(shù)為1，執(zhí)行第二個(gè)判斷框，余數(shù)不為2；第四步：，執(zhí)行第一個(gè)判斷框，余數(shù)為1，執(zhí)行第二個(gè)判斷框，余數(shù)為2.輸出的i值為13.故選：C.3、B【解析】根據(jù)圓的方程，求得圓心距和兩圓的半徑之和，之差，判斷兩圓的位置關(guān)系求解.【詳解】因?yàn)閳A，圓，所以，，所以，所以兩圓相交，所以兩圓的公切線的條數(shù)為2，故選：B4、C【解析】轉(zhuǎn)化為圓心在原點(diǎn)半徑為1的上半圓和表示恒過定點(diǎn)的直線始終有兩個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合圖形可得答案.【詳解】令，平方得表示圓心在原點(diǎn)半徑為1的上半圓，表示恒過定點(diǎn)的直線，方程有兩個(gè)不同的解即半圓和直線要始終有兩個(gè)公共點(diǎn)，如圖圓心到直線的距離為，解得，當(dāng)直線經(jīng)過時(shí)由得，當(dāng)直線經(jīng)過時(shí)由得，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為.故選：C.5、A【解析】利用導(dǎo)數(shù)來求得的極值.【詳解】的定義域?yàn)椋?，在遞增；在遞減，所以的極大值為，沒有極小值.故選：A6、D【解析】設(shè)直線與點(diǎn)確定平面，由題意可得直線與平面相交或平行.分兩種情形，畫圖說明即可.【詳解】點(diǎn)是空間中不在直線，上的任意一點(diǎn)，設(shè)直線與點(diǎn)確定平面，由題意可得，故直線與平面相交或平行.(1)若直線與平面相交（如圖1），記，①若，則不存在過點(diǎn)且與直線，都相交的直線；②若與不平行，則直線即為過點(diǎn)且與直線，都相交的直線.（2）若直線與平面平行（如圖2），則不存在過點(diǎn)且與直線，都相交的直線.綜上所述，過點(diǎn)至多有一條直線與直線，都相交.故選：D.7、A【解析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題，結(jié)合已知條件，即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槊}p：，，故命題p的否定為：，.故選：A.8、B【解析】采用逐一驗(yàn)證法，根據(jù)總體，個(gè)體，樣本的概念，可得結(jié)果.【詳解】據(jù)題意：總體是1100名同學(xué)的總成績(jī)，故A正確個(gè)體是每名同學(xué)的總成績(jī)，故B錯(cuò)樣本是50名同學(xué)的總成績(jī)，故C正確樣本容量是：50，故D正確故選：B【點(diǎn)睛】本題考查總體，個(gè)體，樣本的概念，屬基礎(chǔ)題.9、D【解析】應(yīng)用兩點(diǎn)式求直線斜率即可.【詳解】由已知坐標(biāo)，直線的斜率為.故選：D10、C【解析】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)及等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得即可求.【詳解】由，則，可得.故選：C.11、B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，列出方程組，即可求得，進(jìn)而可求得答案.【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為q，則，解得，所以.故選：B12、A【解析】分離參數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)可知函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】由題意得有兩個(gè)零點(diǎn)令,則且所以，在上為增函數(shù)，可得，當(dāng)，在上單調(diào)遞減，可得，即要有兩個(gè)零點(diǎn)有兩個(gè)零點(diǎn)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】當(dāng)，時(shí)，已知方程是，即．它對(duì)應(yīng)的曲線是第一象限內(nèi)半圓弧（包括端點(diǎn)），它的圓心為，半徑為.同理，當(dāng)，；，；，時(shí)對(duì)應(yīng)的曲線都是半圓?。ㄈ鐖D）．它所圍成的面積是.故答案為14、【解析】由題可得，即求.【詳解】∵方程表示雙曲線，∴，∴.故答案為：.15、【解析】過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，利用雙曲線的定義以及勾股定理可求得，由已知可得，可得出關(guān)于、的齊次不等式，結(jié)合可求得的取值范圍.【詳解】過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?，故，又因?yàn)椋?，所以，因此，所以，又因?yàn)橹本€與圓有公共點(diǎn)，所以，故，即，則，所以，又因?yàn)殡p曲線的離心率，所以.故答案為：.16、【解析】分別求出橢圓和拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)即可出值.【詳解】由橢圓方程可知，，，則，即橢圓的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，∵拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，∴，即，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）結(jié)合線面垂直的判定定理來證得結(jié)論成立.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法來求得二面角的大小.【小問1詳解】設(shè)，由于四邊形是等腰梯形，是的中點(diǎn)，，所以，所以四邊形是平行四邊形，由于，所以四邊形是菱形，所以，由于，是的中點(diǎn)，所以，由于，所以平面.【小問2詳解】由于，所以三角形、三角形、三角形是等邊三角形，設(shè)是的中點(diǎn)，設(shè)，則，所以，所以，由于兩兩垂直.以為空間坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，,平面的法向量為，設(shè)平面法向量為，則，故可設(shè)，由圖可知，二面角為鈍角，設(shè)二面角為，，則.18、（1）；（2）【解析】（1）首先表示出直線l的方程，再聯(lián)立直線與拋物線方程，消去，列出韋達(dá)定理，再根據(jù)焦點(diǎn)弦公式計(jì)算可得；（2）由（1）可得，再利用點(diǎn)到直線的距離求出半徑，即可求出圓的方程；【詳解】解析：（1）由已知得點(diǎn)，∴直線l的方程為，聯(lián)立去，消去整理得設(shè)，，則，，∴拋物線C的方程為（2）由（1）可得，直線l的方程為，∴圓D的半徑，∴圓D的方程為【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于中檔題.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）連接，可通過證明，得平面；（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量和平面的法向量，通過向量的夾角公式可得答案.【小問1詳解】如圖，連接，在中，由可得.因?yàn)?，，所以，，因?yàn)椋?，，所以，所?又因?yàn)?，平面，，所以平?【小問2詳解】由（1）可知，，，兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.由，有，則，設(shè)平面的法向量為，由，，有，取，則，，可得平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面的法向量為，由，，有，取，則，，可得平面的一個(gè)法向量為.由，，，可得平面與平面所成夾角的余弦值為.20、（1）；（2）存在，直線AB的方程為：或.【解析】(1)根據(jù)給定的漸近線方程及所過的點(diǎn)列式計(jì)算作答.(2)假定存在符合條件的直線AB，設(shè)出其方程，借助弦長(zhǎng)公式計(jì)算判斷作答.【小問1詳解】依題意，，解得：，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是.【小問2詳解】假定存在直線AB，使得成立，顯然不垂直于y軸，否則，設(shè)直線：，由消去x并整理得：，因直線與雙曲線C的左右支分別交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)，于是得，則有，即或，因此，，解得，所以存在直線AB，使得成立，此時(shí)，直線AB的方程為：或.21、（1）模型②擬合效果更好（2）69.1（億元）【解析】（1）分別求出兩個(gè)模型的相關(guān)指數(shù)，在進(jìn)行比較即可，（2）利用最小二乘法求出回歸方程，再求收益即可【小問1詳解】對(duì)于模型①，因?yàn)?，故?duì)應(yīng)的，故對(duì)應(yīng)的相關(guān)指數(shù)，對(duì)于模型②，同理對(duì)應(yīng)的相關(guān)指數(shù)，故模型②擬合效果更好【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，后五組的，由最小二乘法可得，所以當(dāng)時(shí)，確定y與x滿足的線性回歸直線方程為故當(dāng)投入20億元時(shí)，預(yù)測(cè)公司的收益約為：（億元）22、（1）（2）①證明見解析；②【解析】（1）根據(jù)題意得，，解方程即可；（2）①設(shè)直線：，直線：，聯(lián)立曲線分別求出點(diǎn)和的坐標(biāo)，求直線方程判斷定點(diǎn)即可；②根據(jù)題意得，代入求最值即可.【小問1