山東大學(xué)量子力學(xué) 第一章 緒論1

核心問題1.微觀粒子的狀態(tài)描述方法：波函數(shù)2.微觀粒子的運(yùn)動規(guī)律：薛定諤方程3.薛定諤方程的幾種描述形式4.薛定諤方程在不同勢場下的求解方法本章內(nèi)容§1.1量子力學(xué)發(fā)展簡史§1.1§1.2經(jīng)典物理學(xué)的困難§1.2§1.3光的量子性小結(jié)§1.3§1.4玻爾的量子論§1.4§1.5微觀粒子的波粒二象性§1.5§1.1量子力學(xué)開展簡史1896年氣體放電管，發(fā)現(xiàn)陰極射線。1897年J.JThomson通過測定荷質(zhì)比，確定了電子的存在。1900年M.Plank提出了量子化假說， 成功地解釋了黑體輻射問題。1905年A.Einstein將量子化概念明確為光子 的概念，并解釋了光電效應(yīng)。 同年創(chuàng)立了狹義相對論。1924年L.deBr?glie提出了“物質(zhì)波〞思想。1913年N.Bohr提出了原子結(jié)構(gòu)的量子化 理論〔舊量子論〕1911年E.Rutherfold確定了原子核式結(jié)構(gòu)1923年A.H.Compton散射證實(shí)了光子的基本 公式的正確性，并證實(shí)在微觀碰撞過程中能量守恒、動量守恒成立。1925年W.Heisenberg建立了量子力學(xué)的“矩陣形式〞1926年E.Schr?dinger建立了量子力學(xué)的“波動形式〞 并證明了與“矩陣形式〞等價(jià)。1927年Davission,Germer電子衍射實(shí)驗(yàn)。1927年Dirac開展了電磁場的量子理論1928年Dirac建立了相對論量子力學(xué)〔Dirac方程〕從經(jīng)典物理到現(xiàn)代物理概述物理學(xué)的分支及近年來開展的總趨勢物理學(xué)經(jīng)典物理現(xiàn)代物理力學(xué)熱學(xué)電磁學(xué)光學(xué)相對論量子論非線性時(shí)間t關(guān)鍵概念的發(fā)展力學(xué)電磁學(xué)熱學(xué)相對論量子論1600170018001900物理學(xué)開展的總趨向：*學(xué)科之間的大綜合。*相互滲透結(jié)合成邊緣學(xué)科。生物物理、生物化學(xué)、物理化學(xué)、量子化學(xué)量子電子學(xué)、量子統(tǒng)計(jì)力學(xué)、固體量子論。二十世紀(jì)物理學(xué)中兩個(gè)重要的概念：場和對稱性

從經(jīng)典物理學(xué)到量子力學(xué)過渡時(shí)期的三個(gè)重大問題的提出

光電效應(yīng)康普頓效應(yīng)。黑體輻射問題，即所謂“紫外災(zāi)難〞。原子的穩(wěn)定性和大小。§1.2經(jīng)典物理學(xué)的困難一、黑體輻射二、光電效應(yīng)及康普頓效應(yīng)三、原子的線狀光譜與穩(wěn)定性問題一二三返回?zé)彷椛洌阂磺形矬w是以電磁波的形式向外輻射能量，輻射的能量與溫度有關(guān)，稱之為熱輻射。熱平衡：輻射和吸收的能量相等。此時(shí)溫度恒定不變。單色輻出度單位時(shí)間、單位外表積、上所輻射出的、單位波長間隔中的能量。輻射出射度單位時(shí)間、單位外表積上所輻射出的各種波長電磁波的能量。一.黑體輻射普朗克能量子假說吸收比

反射比對于非透明物體基爾霍夫定律：在熱平衡下，任何物體的單色輻出度與吸收比之比，是個(gè)普適函數(shù)。黑體的熱輻射規(guī)律用不透明材料制成一空心容器，壁上開一小孔，可看成絕對黑體黑體黑體〔絕對黑體〕：能全部吸收照射到它上面的各種頻率電磁波而無反射的物體。黑體的吸收比

(λ,T)=1----理想模型

斯忒藩(Stefan)-玻耳茲曼定律

維恩位移定律實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)絕對黑體的溫度升高時(shí)，單色輻出度最大值

m

向短波方向移動。1700k1500k1300k

經(jīng)典物理遇到的困難實(shí)驗(yàn)瑞利-瓊斯維恩理論值T=1646k維恩:經(jīng)典熱力學(xué)得出：瑞利-瓊斯:用能量均分定理電磁理論得出：短波方面與實(shí)驗(yàn)差異較大，在λ0，M∞，即：所謂的“紫外災(zāi)難〞。普朗克能量子假說1.黑體由大量諧振子組成，這些諧振子不斷發(fā)射和吸收電磁波。

2.諧振子的能量及其發(fā)射和吸收的能量只能取E=h

的整數(shù)倍。能量子E=h

，h=6.62610-34焦耳說明：振子只能一份一份地按不連續(xù)方式輻射或吸收能量從理論上推出：分別是玻爾茲曼常數(shù)和光速。普朗克假說不僅圓滿地解釋了絕對黑體的輻射問題，還解釋了固體的比熱問題等等。它成為現(xiàn)代理論的重要組成局部。瑞利-瓊斯維恩理論值實(shí)驗(yàn)T=1646k瑞利-瓊斯普朗克理論值

普朗克能量子假說普朗克的理論結(jié)果二.光電效應(yīng)一.光電效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)規(guī)律UGU0312UIIS0相同頻率，不同入射光強(qiáng)度1.飽和光電流強(qiáng)度與入射光強(qiáng)度成正比。即：單位時(shí)間內(nèi)從金屬外表逸出的光電子數(shù)目與入射光強(qiáng)成正比U03U02U01312UIIS0相同入射光強(qiáng)度，不同頻率2.光電子的初動能與入射光強(qiáng)度無關(guān)，而與入射光的頻率有關(guān)。截止電壓的大小反映光電子初動能的大小紅限頻率截止電壓與入射光頻率有線性關(guān)系3.光電效應(yīng)的瞬時(shí)性

光電子逸出的弛豫時(shí)間<10-9s

*初動能

經(jīng)典：認(rèn)為光強(qiáng)越大，飽和電流應(yīng)該越大，光電子的初動能也越大。實(shí)驗(yàn)：光電子的初動能僅與頻率有關(guān)而與光強(qiáng)無關(guān)。2.經(jīng)典理論的困難：*截止頻率〔紅限頻率〕經(jīng)典：任何頻率的光均可產(chǎn)生光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)：只要頻率高于紅限，既使光強(qiáng)很弱也有光電流；頻率低于紅限時(shí)，無論光強(qiáng)再大也沒有光電流。

*瞬時(shí)性

經(jīng)典：認(rèn)為光能量分布在波面上，吸收能量要時(shí)間，即需能量的積累過程。3.愛因斯坦光量子論1〕普朗克能量子假說的不協(xié)調(diào)：只涉及諧振子吸收和發(fā)射能量是不連續(xù)的未涉及輻射在空間傳播是連續(xù)還是分立的2〕愛因斯坦光量子假說電磁輻射由光量子組成，其速度為c，每個(gè)光量子的能量E=hγ光量子具有“整體性〞：一個(gè)光子只能整個(gè)地被一個(gè)電子吸收或放出3〕當(dāng)采用了光量子概念后，光電效應(yīng)問題迎刃而解。當(dāng)光量子射到金屬外表時(shí)，一個(gè)光子的能量可能立即被一個(gè)電子吸收。但只當(dāng)入射光頻率足夠大，即每一個(gè)光子的能量足夠大時(shí)，電子才可能克服脫出功而逸出金屬外表。逸出外表后，電子的動能為：A稱為逸出功。只與金屬性質(zhì)有關(guān)。與光的頻率無關(guān)。當(dāng)（臨界頻率）時(shí)，電子無法克服金屬表面的引力而從金屬中逸出，因而沒有光電子發(fā)出。

Einstein還進(jìn)一步把能量不連續(xù)的概念用到固體中原子的振動上去，成功地解決了固體比熱在溫度T→0K是趨于0的現(xiàn)象。這時(shí)，Plank的光量子能量不連續(xù)性概念才引起很多人的注意。三、原子的線狀光譜與穩(wěn)定性問題1896年A.H.Bequerrel發(fā)現(xiàn)天然放射性1895年R?ntgen發(fā)現(xiàn)X射線1898年Curie夫婦發(fā)現(xiàn)了放射性元素钚與鐳

電子與放射性的發(fā)現(xiàn)揭示出：原子不再是物質(zhì)組成的永恒不變的最小單位，它們具有復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，并可相互轉(zhuǎn)化。原子既然可以放出帶負(fù)電的β粒子來，那么原子是怎樣由帶負(fù)電的部分（電子）與帶正電的部分結(jié)合起來的？這樣，原子的內(nèi)部結(jié)構(gòu)及其運(yùn)動規(guī)律的問題就提到日程上來了。1.原子的穩(wěn)定性1904年Thomson提出有關(guān)原子結(jié)構(gòu)的Thomson模型1911年Rutherford通過α粒子散射實(shí)驗(yàn)提出Rutherford模型，即今天眾所周知的“核式結(jié)構(gòu)模型”經(jīng)典理論的困難：由于電子在原子核外做加運(yùn)動，按照經(jīng)典電動力學(xué)，加速運(yùn)動的帶電粒子將不斷輻射而喪失能量。因此，圍繞原子核運(yùn)動的電子，終究會大量喪失能量而“掉到〞原子核中去。這樣，原子也就“崩潰〞了。但現(xiàn)實(shí)世界說明，原子是穩(wěn)定的存在著。

2.原子的線狀光譜及其規(guī)律6562.8?4861.3?4340.5?4101.7?HαHβHδHγH∞圖1.2氫原子光譜（Balmer系）最早的光譜分析始于牛頓〔17世紀(jì)〕，但直到19世紀(jì)中葉，人們把它應(yīng)用與生產(chǎn)后才得到迅速開展。由于光譜分析積累了相當(dāng)豐富的資料，不少人對它們進(jìn)行了整理與分析。1885年，Balmer發(fā)現(xiàn)，氫原子光譜線的波數(shù)具有以下規(guī)律Balmer公式與觀測結(jié)果的驚人符合，引起了光譜學(xué)家的注意。緊接著就有不少人對光譜線波長〔數(shù)〕的規(guī)律進(jìn)行了大量分析，發(fā)現(xiàn)，每一種原子都有它特有的一系列光譜項(xiàng)T(n)，而原子發(fā)出的光譜線的波數(shù)，總可以表成兩個(gè)光譜項(xiàng)之差其中m,n是某些整數(shù)?！?.3光的量子性小結(jié)返回一、光的量子性二、Plank-Einstein關(guān)系三、ComptonScattering一、光的量子性干預(yù)、衍射現(xiàn)象：光是波赫茲：光是電磁波黑體輻射、光電效應(yīng)：光的量子性:電磁輻射的能量是被一份一份地發(fā)射和吸收的。二、Plank-Einstein關(guān)系Einstein在光子能量量子化的根底上提出光子概念：即認(rèn)為輻射場由光量子組成，每一個(gè)光量子的能量與輻射場的頻率的關(guān)系是：并根據(jù)狹義相對論以及光子以光速C運(yùn)動的事實(shí)，得出光子的動量P波長λ的關(guān)系：三、光的粒子性：Compton散射

Compton散射曾經(jīng)被認(rèn)為是光子概念以及Plank-Einstein關(guān)系的判定性實(shí)驗(yàn)。

早在1912年，C.Sadler和A.Meshan就發(fā)現(xiàn)X射線被輕原子量的物質(zhì)散射后，波長有變長的現(xiàn)象，Compton把這種現(xiàn)象看成X射線的光子與電子碰撞而產(chǎn)生的。成功地解釋了實(shí)驗(yàn)結(jié)果?？灯疹D散射的實(shí)驗(yàn)規(guī)律：

入射X光

散射X光散射角1、散射線波長的改變量

隨散射角

增加而增加。2、在同一散射角下

相同,與散射物質(zhì)和入射光波長無關(guān)。3、原子量較小的物質(zhì),康普頓散射較強(qiáng)。Compton認(rèn)為X射線的光子與電子碰撞而發(fā)生散射。假設(shè)在碰撞過程中能量與動量是守恒的，由于反沖，電子帶走一局部能量與動量，因而散射出去的光子的能量與動量都相應(yīng)減小，即X射線頻率變小而波長增大。相對于X射線束中的光子能量，電子在輕原子中的束縛能很小，在碰撞前電子可視為靜止?？紤]到能量守恒定律，光子與電子的碰撞只能發(fā)生在一個(gè)平面中。假設(shè)碰撞過程中能量與動量守恒，即：（5）（6）并利用相對論中能量動量關(guān)系式

入射X光

散射X光散射角可得〔7〕對于光子，則代入式〔7〕，可解出（8）或利用上式改寫成（9）令（電子的Compton波長）（10）（11）由式（9）可清楚地看出，散射光的波長隨角度增大而增加。理論計(jì)算所得公式與實(shí)驗(yàn)結(jié)果完全符合。從式〔9〕可以看出，散射的X射線波長與角度的依賴關(guān)系中包含了Plank常數(shù)h。因此，它是經(jīng)典物理學(xué)無法解釋的。

Compton散射實(shí)驗(yàn)是對光量子概念的一個(gè)直接的強(qiáng)有力支持，因?yàn)樵谏鲜鐾茖?dǎo)中，假設(shè)了整個(gè)光子（而不是它的一部分）被散射（粒子性）。此外，Compton散射實(shí)驗(yàn)還證實(shí)：Plank-Einstein關(guān)系在定量上是正確的在微觀的單個(gè)碰撞事件中，動量及能量守恒定律仍然是成立的（不僅是平均值守恒）§1.4玻爾的量子論一、原子的線狀光譜和穩(wěn)定性二、Bohr的量子論返回一、原子的線狀光譜和穩(wěn)定性組合原理：氫原子：（頻率條件）2、躍遷假設(shè)：原子在兩個(gè)定態(tài)之間躍遷時(shí)，吸收或發(fā)射的輻射的頻率ν是二、Bohr的量子論〔1913〕Bohr量子論的三個(gè)重要假設(shè)：1、定態(tài)假設(shè)：原子能夠，而且只能夠存在于分立的能量相應(yīng)的一系列狀態(tài)中。一個(gè)硬性的規(guī)定常常是在建立一個(gè)新理論開始時(shí)所必須的。(3)角動量量子化假設(shè)為保證定態(tài)假設(shè)中能量取不連續(xù)值，必須取不連續(xù)值，如何做到？

玻爾認(rèn)為：符合經(jīng)典力學(xué)的一切可能軌道中，只有那些角動量為的整數(shù)倍的軌道才能實(shí)際存在。三、量子化條件的推廣由理論力學(xué)知，假設(shè)將角動量L選為廣義動量，那么θ為廣義坐標(biāo)。考慮積分并利用Bohr提出的量子化條件，有索末菲將Bohr量子化條件推廣為推廣后的量子化條件可用于多自由度情況，這樣索末菲量子化條件不僅能解釋氫原子光譜，而且對于只有一個(gè)電子〔Li，Na，K等〕的一些類氫離子的原子光譜也能很好的解釋。四、波爾量子論的局限性1.不能證明較復(fù)雜的原子甚至比氫稍微復(fù)雜的氦原子的光譜2.不能給出光譜的譜線強(qiáng)度〔相對強(qiáng)度〕3.Bohr只能處理周期運(yùn)動，不能處理非束縛態(tài)問題，如散射問題；4.從理論上講，能量量子化概念與經(jīng)典力學(xué)不相容。多少帶有人為的性質(zhì)，其物理本質(zhì)還不清楚。波爾量子論首次翻開了認(rèn)識原子結(jié)構(gòu)的大門，取得了很大的成功。但是它的局限性和存在的問題也逐漸為人們所認(rèn)識§1.5微觀粒子的波粒二象性返回一、德布羅意的物質(zhì)波二、電子衍射實(shí)驗(yàn)三、微觀粒子的波粒二象性一、德布羅意的物質(zhì)波德布羅意(duedeBroglie,1892-1960)

德布羅意原來學(xué)習(xí)歷史，后來改學(xué)理論物理學(xué)。他善于用歷史的觀點(diǎn)，用比照的方法分析問題。1923年，德布羅意試圖把粒子性和波動性統(tǒng)一起來。1924年，在博士論文?關(guān)于量子理論的研究?中提出德布羅意波,同時(shí)提出用電子在晶體上作衍射實(shí)驗(yàn)的想法。愛因斯坦覺察到德布羅意物質(zhì)波思想的重大意義，譽(yù)之為“揭開一幅大幕的一角〞。法國物理學(xué)家，1929年諾貝爾物理學(xué)獎獲得者，波動力學(xué)的創(chuàng)始人，量子力學(xué)的奠基人之一。一個(gè)質(zhì)量為m的實(shí)物粒子以速率v運(yùn)動時(shí)，即具有以能量E和動量P所描述的粒子性，同時(shí)也具有以頻率v和波長l所描述的波動性。德布羅意關(guān)系如速度v=5.0102m/s飛行的子彈，質(zhì)量為m=10-2Kg，對應(yīng)的德布羅意波長為：如電子m=9.1

10-31Kg，速度v=5.0107m/s,對應(yīng)的德布羅意波長為：太小測不到！X射線波段二、電子衍射實(shí)驗(yàn)1、戴維遜-革末實(shí)驗(yàn)GM戴維遜和革末的實(shí)驗(yàn)是用電子束垂直投射到鎳單晶，電子束被散射。其強(qiáng)度分布可用德布羅意關(guān)系和衍射理論給以解釋，從而驗(yàn)證了物質(zhì)波的存在。1937年他們與G.P.湯姆孫一起獲得Nobel物理學(xué)獎。實(shí)驗(yàn)裝置：電子從燈絲K飛出，經(jīng)電勢差為U的加速電場，通過狹縫后成為很細(xì)的