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文檔簡(jiǎn)介

4.4關(guān)系的閉包閉包的構(gòu)造方法集合表示矩陣表示圖表示閉包的性質(zhì)2021/5/91一、閉包定義

定義設(shè)R是非空集合A上的關(guān)系,R的自反(對(duì)稱或傳遞)閉包是A上的關(guān)系R

,使得R

滿足以下條件:

(1)R

是自反的(對(duì)稱的或傳遞的)

(2)R

R

(3)對(duì)A上任何包含R的自反(對(duì)稱或傳遞)關(guān)系R

有R

R

.

一般將R的自反閉包記作r(R),對(duì)稱閉包記作s(R),傳遞閉包記作t(R).2021/5/92由閉包的定義可知,R的自反(對(duì)稱,傳遞)閉包是含有R并且具有自反(對(duì)稱,傳遞)性質(zhì)的“最小”的關(guān)系。

如果R已是自反的二元關(guān)系,顯然有:R=r(R)。同樣,當(dāng)R是對(duì)稱的二元關(guān)系時(shí)R=s(R);當(dāng)R是傳遞的二元關(guān)系時(shí),R=t(R),且反之亦然。2021/5/93二、關(guān)系的閉包運(yùn)算

(1)已知一個(gè)集合中的二元關(guān)系R,則

r(R),s(R),t(R)是唯一的,它是包含R的最小的自反(對(duì)稱,傳遞)關(guān)系;(2)若R是自反(對(duì)稱,傳遞)的,則

r(R),s(R),t(R)就是R本身。(3)若R不是自反(對(duì)稱,傳遞)的,則可以補(bǔ)上最少序偶,使之變?yōu)樽苑?、?duì)稱、傳遞關(guān)系,從而得到r(R),s(R),t(R);2021/5/94例:設(shè)A={a,b,c},R={<a,b>,<b,c>,<c,a>},求r(R),s(R),t(R)。解:r(R)=s(R)=t(R)={<a,b>,<b,c>,<c,a>,<a,c>,<b,a>,<c,b>,<a,a>,<b,b>,<c,c>}例:設(shè)A={a,b},R={<a,a><a,b>},則r(R)={<a,a><a,b><b,b>},s(R)={<a,a><a,b><b,a>},t(R)={<a,a><a,b>}=R2021/5/95

設(shè)R是A上的二元關(guān)系,x∈A,將所有(x,x)

R的有序?qū)拥絉上去,使其擴(kuò)充成自反的二元關(guān)系,擴(kuò)充后的自反關(guān)系就是R的自反閉包r(R)。

例如,A={a,b,c,d},R={(a,a),(b,d),(c,c)}。R的自反閉包r(R)={(a,a),(b,d),(c,c),(b,b),(d,d)}。

于是可得:定理:R是A上的二元關(guān)系,則R的自反閉包r(R)=R∪IA。1.構(gòu)造R的自反閉包的方法。

三、閉包的構(gòu)造方法2021/5/962.構(gòu)造R的對(duì)稱閉包的方法。

每當(dāng)(a,b)∈R,而(b,a)

R時(shí),將有序?qū)?b,a)加到R上去,使其擴(kuò)充成對(duì)稱的二元關(guān)系,擴(kuò)充后的對(duì)稱關(guān)系就是R的對(duì)稱閉包s(R)。

例如,A={a,b,c,d,e},R={(a,a),(a,b),(b,a),(b,c),(d,e)}。R的對(duì)稱閉包s(R)={(a,a),(a,b),(b,a),(b,c),(c,b),(d,e),(e,d)}。

定理:R是A上二元關(guān)系,是其逆關(guān)系,則R的對(duì)稱閉包s(R)=R∪

。

由逆關(guān)系的定義可知:2021/5/973.構(gòu)造R的傳遞閉包的方法。

設(shè)R是A上的二元關(guān)系,每當(dāng)(a,b)∈R和(b,c)∈R而(a,c)

R時(shí),將有序?qū)?a,c)加到R上使其擴(kuò)充成R1,并稱R1

為R的傳遞擴(kuò)張,R1

如果是傳遞關(guān)系,則R1是R的傳遞閉包;如果R1不是傳遞關(guān)系,繼續(xù)求R1的的傳遞擴(kuò)張R2,如果R2是傳遞關(guān)系時(shí),則R2是R的傳遞閉包;如果R2不是傳遞關(guān)系時(shí),繼續(xù)求R2的的傳遞擴(kuò)張R3…,如果A是有限集,R經(jīng)過有限次擴(kuò)張后,定能得到R的傳遞閉包。擴(kuò)張后的傳遞關(guān)系就是R的傳遞閉包t(R)。

定理:設(shè)R為A上的關(guān)系,則有t(R)=R∪R2∪R3∪…

說明:對(duì)于有窮集合A(|A|=n)上的關(guān)系,上式中的并最多不超過Rn.2021/5/98思考:設(shè)A={a,b,c,d},R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>},求r(R),s(R),t(R).解:r(R)=R∪R0={<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,b>,<b,c>,<c,c>,<c,d>,<d,d>},s(R)=R∪R

1={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,b>,<c,d>,<d,c>},

t(R)=R∪R2∪R3∪R4

R2={<a,a>,<a,c>,<b,b>,<b,d>}R3={<a,b>,<a,d>,<b,a>,<b,c>}R4={<a,b>,<a,c>,<b,b>,<b,d>}=R2于是t(R)=R∪R2∪R3=

{<a,a>,<a,b>,<a,c>,<a,d>,<b,a>,<b,b>,<b,c>,<b,d>,<c,d>}.2021/5/99閉包的構(gòu)造方法(續(xù))設(shè)關(guān)系R,r(R),s(R),t(R)的關(guān)系矩陣分別為M,Mr,Ms和Mt,則

Mr=M+EMs=M+M’

Mt=M+M2+M3+…E是和M同階的單位矩陣,M’是M的轉(zhuǎn)置矩陣.注意在上述等式中矩陣的元素相加時(shí)使用邏輯加.2021/5/910閉包的構(gòu)造方法(續(xù))設(shè)關(guān)系R,r(R),s(R),t(R)的關(guān)系圖分別記為G,Gr,Gs,Gt,則Gr,Gs,Gt的頂點(diǎn)集與G的頂點(diǎn)集相等.除了G的邊以外,以下述方法添加新邊:

考察G的每個(gè)頂點(diǎn),如果沒有環(huán)就加上一個(gè)環(huán),最終得到Gr.考察G的每條邊,如果有一條xi到xj的單向邊,i≠j,則在G中加一條xj到xi的反方向邊,最終得到Gs.考察G的每個(gè)頂點(diǎn)xi,找從xi出發(fā)的每一條路徑,如果從xi到路徑中任何結(jié)點(diǎn)xj沒有邊,就加上這條邊.當(dāng)檢查完所有的頂點(diǎn)后就得到圖Gt.2021/5/911實(shí)例例1設(shè)A={a,b,c,d},R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>,<d,b>},R和r(R),s(R),t(R)的關(guān)系圖如下圖所示.Rr(R)s(R)t(R)2021/5/912南寧空調(diào)回收

南寧空調(diào)出租仧莒彾MicrosoftOfficePowerPoint,是微軟公司的演示文稿軟件。用戶可以在投影儀或者計(jì)算機(jī)上進(jìn)行演示,也可以將演示文稿打印出來,制作成膠片,以便應(yīng)用到更廣泛的領(lǐng)域中。利用MicrosoftOfficePowerPoint不僅可以創(chuàng)建演示文稿,還可以在互聯(lián)網(wǎng)上召開面對(duì)面會(huì)議、遠(yuǎn)程會(huì)議或在網(wǎng)上給觀眾展示演示文稿。MicrosoftOfficePowerPoint做出來的東西叫演示文稿,其格式后綴名為:ppt、pptx;或者也可以保存為:pdf、圖片格式等2021/5/913定理

R是A上關(guān)系,則⑴R是自反的,當(dāng)且僅當(dāng)r(R)=R.⑵R是對(duì)稱的,當(dāng)且僅當(dāng)s(R)=R.⑶R是傳遞的,當(dāng)且僅當(dāng)t(R)=R.證明略,因?yàn)橛砷]包定義即可得。定理

R是A上關(guān)系,則⑴R是自反的,則s(R)和t(R)也自反。⑵R是對(duì)稱的,則r(R)和t(R)也對(duì)稱。⑶R是傳遞的,則r(R)也傳遞。證明:⑴因?yàn)镽自反,得r(R)=R,即R∪IA=R,r(s(R))=s(R)∪IA=(R∪R-1)∪IA=(R∪IA)∪R-1=r(R)∪R-1=R∪R-1=s(R)∴s(R)自反

2021/5/914類似可以證明t(R)也自反。證明⑵.證明t(R)對(duì)稱:(t(R))-1=(R∪R2∪...∪Rn∪...)-1

=R-1∪(R2)-1∪...∪(Rn)-1∪...

=R-1∪(R-1)2∪...∪(R-1)n∪...=R∪R2∪...∪Rn∪...(∵R對(duì)稱,∴R-1=R)=t(R)所以t(R)也對(duì)稱。類似可以證明r(R)也對(duì)稱。證明⑶.證明r(R)傳遞:先用歸納法證明下面結(jié)論:(R∪IA)i=IA∪R∪R2∪...∪Ri①i=1時(shí)R∪IA=IA∪R結(jié)論成立。②假設(shè)i≤k時(shí)結(jié)論成立,即(R∪IA)k=IA∪R∪R2∪...∪Rk(R2)-1=(RR)-1=R-1R-1=(R-1)22021/5/915③當(dāng)i=k+1時(shí)(R∪IA)k+1=(R∪IA)k(R∪IA)

=(IA∪R∪R2∪...∪Rk)(IA∪R)

=(IA∪R∪R2∪...∪Rk)∪(R∪R2∪...∪Rk+1)=IA∪R∪R2∪...∪Rk∪Rk+1所以結(jié)論成立.t(r(R))=t(R∪IA)=(R∪IA)∪(R∪IA)2∪(R∪IA)3∪...=(IA∪R)∪(IA∪R∪R2)∪(IA∪R∪R2∪R3)∪...=IA∪R∪R2∪R3∪...=IA∪t(R)=IA∪R(R傳遞t(R)=R)=r(R)所以r(R)也傳遞。

。。2021/5/916定理設(shè)R1、R2是A上關(guān)系,如果R1

R2

,則

r(R1)

r(R2)⑵s(R1)

s(R2)⑶

t(R1)

t(R2)

證明⑴r(R1)=IA∪R1

IA∪R2=

r(R2)⑵,⑶類似可證。定理設(shè)R是A上

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