第三節(jié)：向量的內(nèi)積與施密特正交化過程

二次型

二次型化標(biāo)準(zhǔn)型2021/5/91一.向量的內(nèi)積與施密特正交化過程引言：在幾何空間，我們學(xué)過向量的長兩向量夾角的概念，并由此定義兩向量的數(shù)量積利用坐標(biāo)分別有下面計算公式：設(shè)，，（設(shè)則設(shè)2021/5/92為了今后應(yīng)用的需要，將這些概念及公式推廣到n維向量。

1.向量的內(nèi)積定義1n維向量空間中任兩個向量的內(nèi)積定義為2021/5/93并稱定義了內(nèi)積的向量空間為歐氏空間內(nèi)積具有下列性質(zhì)：

（交換性）;k為數(shù)（性質(zhì)(2)，(3)稱單線性）（當(dāng)且僅當(dāng)。以上證明留給讀者。2021/5/94定義2設(shè)，

稱向量的長度。長度為1的向量稱單位向量。，即為一單位向量。稱將單位化。設(shè)2021/5/95向量的長度有下列性質(zhì)：。當(dāng)且僅當(dāng)；(2).齊次性：；

(3).三角不等式：

以上性質(zhì)證明留給讀者。證略。(1).非負(fù)性：(4).柯西不等式：2021/5/96由柯西不等式得：由此可定義兩非零向量的夾角：；或2021/5/97對于兩非零向量當(dāng)時，稱兩向量正交。這里顯然等價于又零向量與任何向量看作是正交的，且中只要有一個為零向量，必有因此可利用內(nèi)積定義兩向量正交。稱正交，記。定義3若2021/5/98因此可利用內(nèi)積定義兩向量正交。。定義4設(shè)向量組為兩兩正交的非零向量，稱其為正交向量組。2021/5/99如果正交向量組中。每個向量還是單位向量量則稱其為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組或正交規(guī)范向量組。如它們還是向量空間的基底則分別稱其為正交基或標(biāo)準(zhǔn)（規(guī)范）正交基。即正交規(guī)范組（基）滿足2021/5/910定理1設(shè)為正交向量組，則是線性無關(guān)的。例1求與向量都正交的向量集。都正交的向量為由得齊次線性方程組解：設(shè)與2021/5/911即為與解得都正交的向量集2021/5/9122.施密特正交化方法是線性無關(guān)的向量組，尋找一個標(biāo)準(zhǔn)正交向量組使其與等價。，設(shè)其作法分兩步(1).正交化，令2021/5/913，，，……2021/5/914是正交規(guī)范向量組，且等價。上述過程稱Schmidt（施密特）正交化過程。（方法）仍與顯然(2).單位化（規(guī)范化）：取2021/5/915例2設(shè)用Schmidt正交化過程將其化為標(biāo)準(zhǔn)正交組。解：取2021/5/916單位化得2021/5/9173.正交矩陣與正交變換定義5方陣A滿足則稱A為正交矩陣。由定義不難得到：A為正交矩陣。2021/5/918令由上式不難得到：A為正交矩陣即A的行（列）向量是兩兩正交的單位向量的正交規(guī)范基）

即是2021/5/919例3令驗證A為正交矩陣解：因列向量組為兩兩正交的單位向量，故為正交矩陣。2021/5/920定義6設(shè)則稱線性變換是正交變換。是正交變換。例4證明線性變換解：線性變換的矩陣為2021/5/921其行（列）向量是兩兩正交的單位向量故為正交矩陣，故上述線性變換是正交變換。上述線性變換代表平面上的一個坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)，因此平面上的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換是正交變換

下面介紹正交變換的性質(zhì)：1）.設(shè)為一正交變換，則即正交變換保持向量長度不變。2）設(shè)為一正交變換，對任意2021/5/922則有即正交變換下向量內(nèi)積不變。由于正交