光杠桿放大法測(cè)量微小長(zhǎng)度變化量的誤差分析

光杠桿放大法測(cè)量微小長(zhǎng)度變化量的誤差分析

在北京大學(xué)的實(shí)驗(yàn)中，光棒蓋的放大法主要采用光棒、尺讀顯微鏡和小位移測(cè)量系統(tǒng)。這可以將難以測(cè)量的小位移量轉(zhuǎn)換為更多的直接測(cè)量。這些原則和方法是明確和直觀的。但在實(shí)際測(cè)量過程中,實(shí)驗(yàn)的計(jì)算結(jié)果較之理論值有較大偏差,通過研究發(fā)現(xiàn)光杠桿鏡面法線與望遠(yuǎn)鏡光軸之間的夾角,對(duì)實(shí)驗(yàn)測(cè)量誤差影響較大。本文定量分析了這一夾角對(duì)測(cè)量誤差的影響程度,并且通過改進(jìn)實(shí)驗(yàn)裝置,可以減小實(shí)驗(yàn)誤差,提高測(cè)量精度。1構(gòu)建鏡鑒中的血腫和百分點(diǎn),如通過回射線出現(xiàn),有關(guān)光杠桿的前足和前足中,人光杠桿是測(cè)量長(zhǎng)度微小變化量的儀器,如圖1所示,平面鏡M裝在一個(gè)三腳架上,M能繞平行于前足連線的軸轉(zhuǎn)動(dòng),前足連線與后足間垂直距離為b,測(cè)量時(shí)將光杠桿前足放在平臺(tái)的凹槽中,后足尖置于被測(cè)金屬的上端。在鏡面M的前方距離D處,有一望遠(yuǎn)鏡和標(biāo)尺,鏡面和標(biāo)尺均處于豎直方向,設(shè)望遠(yuǎn)鏡中的十字叉對(duì)準(zhǔn)標(biāo)尺上的讀數(shù)為h0。當(dāng)金屬絲受到拉力時(shí),光杠桿的前足隨著金屬絲的拉伸下移距離ΔL,而前足始終保持位置不動(dòng),此時(shí)M繞過一個(gè)小角度θ,由光的反射定律可知:鏡面轉(zhuǎn)過θ角時(shí),反射線轉(zhuǎn)過2θ,因此,從望遠(yuǎn)鏡中看到十字叉絲對(duì)準(zhǔn)標(biāo)尺上的另一讀數(shù)h,望遠(yuǎn)鏡中標(biāo)尺讀數(shù)變化為Δh=hh0。則有tanθ=ΔLb(1)tanθ=ΔLb(1)tan2θ=ΔhD(2)tan2θ=ΔhD(2)由于ΔL?b,Δh?D,因此,tanθ≈θ,tan2θ≈2θ,從而由式(1)與式(2)得2ΔLb=ΔhD2ΔLb=ΔhD,即ΔL=b?Δh2D(3)ΔL=b?Δh2D(3)因D>b,即Δh>ΔL,從而獲得微小變化量的放大,也提高了ΔL的測(cè)量精度,這就是光杠桿放大法。2金屬絲上角的檢測(cè)根據(jù)實(shí)驗(yàn)方法的設(shè)計(jì),在測(cè)量微小變化量的時(shí)候,應(yīng)按圖1所示,使光杠桿鏡面M與望遠(yuǎn)鏡的光軸垂直,在這樣的實(shí)驗(yàn)條件下,ΔL的誤差來源于Δh,d和D的測(cè)量。但在實(shí)驗(yàn)操作中,金屬絲未受力時(shí),未經(jīng)嚴(yán)格校對(duì)的情況下,很難做到使望遠(yuǎn)鏡光軸與鏡面M嚴(yán)格垂直,即鏡面M的法線與望遠(yuǎn)鏡光軸有一夾角α,如圖2所示。α角度會(huì)給測(cè)量結(jié)果帶來一定的誤差。當(dāng)鏡面和望遠(yuǎn)鏡光軸嚴(yán)格垂直時(shí),由圖1所示,可知當(dāng)金屬絲一端受到拉力F時(shí),鏡面M轉(zhuǎn)過θ角時(shí),其伸長(zhǎng)量為ΔL,這時(shí)在望遠(yuǎn)鏡這端標(biāo)尺讀數(shù)的變化量為,可得出Δh=Dtan2θ(4)當(dāng)存在α角時(shí),如圖2所示,當(dāng)金屬絲一端同樣受到拉力F時(shí),其伸長(zhǎng)量為ΔL,鏡面也轉(zhuǎn)過θ角,這時(shí)標(biāo)尺讀數(shù)的變化量為:AB(AB=AOBO),由ΔAOM和ΔBOM得:AO=D·tan(2θ+α);BO=D·tan(α);AB=AOBO=D·tan(2θ+α)D·tan(α)(5)比較(4)式和(5)式,且從圖1、圖2可看出Δh≠AB,由此給ΔL的測(cè)量引入誤差Δδ,Δδ=ABΔh=D·tan(2θ+α)D·tanαD·tan2θ=D?tan2θ+tanα1tan2θ?tanα=D?tan2θ+tanα1tan2θ?tanαD·tanαDtan2θ=D?(tan2θ+tanα)?tan2θ?tanα1tan2θ?tanα=D?(tan2θ+tanα)?tan2θ?tanα1tan2θ?tanα從而鏡面與望遠(yuǎn)鏡光軸成α角度時(shí),引起標(biāo)尺讀數(shù)變化的相對(duì)誤差為:Τ=ΔδΔh100%=(tanα+2θ)?tanα12θ?tanα×100%T=ΔδΔh100%=(tanα+2θ)?tanα12θ?tanα×100%下面計(jì)算由存在角度而引起的相對(duì)誤差。實(shí)驗(yàn)中,鏡面與標(biāo)尺間的距離D長(zhǎng)度為1m,所掛砝碼質(zhì)量為1kg,即拉力F為9.8N,當(dāng)掛上這個(gè)砝碼時(shí),從望遠(yuǎn)鏡中測(cè)得標(biāo)尺讀數(shù)的變化量為5mm。由表1可以看出:隨著α角度的增加,OB值增大,相對(duì)誤差逐漸增大。當(dāng)α≥5°時(shí),OB的值已經(jīng)超過8cm,這對(duì)于長(zhǎng)度只有40cm的標(biāo)尺,已經(jīng)是很大的數(shù)值了,相對(duì)誤差已經(jīng)超過0.7%。當(dāng)α≥8°時(shí),OB值已經(jīng)超過14cm,相對(duì)誤差已經(jīng)超過2%,不符合實(shí)驗(yàn)精度要求。3減少誤差方案3.1小角度測(cè)量器利用旋轉(zhuǎn)角度與光的折射原理,安裝量角器,用于調(diào)節(jié)望遠(yuǎn)鏡光軸與平面鏡法線的偏轉(zhuǎn)角。方法:(1)在光杠桿的鏡面旋轉(zhuǎn)軸上安裝一個(gè)小角度測(cè)量器,用于測(cè)量鏡面與豎直方向存在的夾角θ1,如圖3所示;(2)在望遠(yuǎn)鏡上安裝一個(gè)同光杠桿上一樣的量角器,用于測(cè)量望遠(yuǎn)鏡光軸與水平底座之間的夾角θ2,如圖4所示。3.2不左右調(diào)節(jié)工程測(cè)量數(shù)據(jù)前,若望遠(yuǎn)鏡與光杠桿鏡面光軸不在同一水平面上,觀察光杠桿鏡面上角度測(cè)量器的值θ1,根據(jù)此值,調(diào)節(jié)望遠(yuǎn)鏡的上下偏轉(zhuǎn)角度θ2,使兩儀器上的角度測(cè)量器上顯示的值相同,即:θ1=θ2。再左右調(diào)節(jié)望遠(yuǎn)鏡找到反射的像,即完成了調(diào)節(jié)步驟。這種方法顯著降低了調(diào)節(jié)望遠(yuǎn)鏡光軸與鏡面垂直的工作量。如圖5所示,當(dāng)鏡面豎直,望遠(yuǎn)鏡光軸與光杠桿鏡面不在同一水平面,即存在角α?xí)r,會(huì)給測(cè)量結(jié)果帶來誤差。將存在的夾角進(jìn)行轉(zhuǎn)換,如圖5所示,根據(jù)幾何關(guān)系得出:α1=α2=α3。當(dāng)望遠(yuǎn)鏡與水平底座的夾角等于光杠桿鏡面與豎直方向的夾角時(shí)(θ1=θ2),即光杠桿鏡面與望遠(yuǎn)鏡光軸垂直,則導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)誤差的望遠(yuǎn)鏡光軸與光杠桿鏡面垂直軸之間的夾角α將予以糾正,使得測(cè)量結(jié)果更精確。3.3實(shí)驗(yàn)結(jié)果和改進(jìn)結(jié)果實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)測(cè)量結(jié)果如表2所示,利用逐差法計(jì)算楊氏模量Y值:Y=8ˉDFˉLπd2kˉΝY=8DˉˉˉFLˉˉˉπd2kNˉˉˉ,并與理論值進(jìn)行比較計(jì)算相對(duì)誤差。測(cè)量得到金屬絲直徑d=0.74mm,鏡面到標(biāo)尺的距離D=140.00cm,小鏡后足到前足連線的垂直距離k=8.08cm,金屬絲長(zhǎng)度L=106.30cm,實(shí)驗(yàn)室中鐵絲的楊氏模量理論值為1.81×1011N/m2。改進(jìn)前計(jì)算結(jié)果為Y測(cè)前=8ˉDFˉLπd2kˉΝ前=1.71×1011Ν/m2,相對(duì)誤差為E1=Y測(cè)前Y理Y理×100%=5.4%。而改進(jìn)后計(jì)算結(jié)果為Y測(cè)后=8ˉDFˉLπd2kˉn后=1.79×1011Ν/m2,相對(duì)誤差為E2=Y測(cè)后Y理Y理×100%=1.1%。由以上數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn),改進(jìn)實(shí)驗(yàn)裝置后測(cè)得的實(shí)驗(yàn)值更接近理論值,實(shí)驗(yàn)誤差更小,驗(yàn)證了本文的設(shè)