時間序列第三章ARMA模型的特性

第一節(jié)線性差分方程一、后移算子B定義為，從而前面的MA(m)模型、AR(n)模型和ARMA(n,m)模型可分別表示為：

其中：1精品課件后移算子的性質(zhì):2精品課件二、線性差分方程差分方程的通解為：可寫成這里這里，C

(t)是齊次方程通解，I(t)是特解。3精品課件三、

齊次方程解的計算假定G1，G2，…，Gn是互不相同，那么在時刻t的通解：其中Ai為常數(shù)〔可由初始條件確定〕。無重根考慮齊次差分方程

4精品課件重根設有d個相等的根，可驗證通解為對一般情形，

因此，齊次方程解是由衰減指數(shù)項、多項式、衰減正弦項，以及這些函數(shù)的組合混合生成的。齊次方程解便是5精品課件請看例題6精品課件定義：設零均值平穩(wěn)序列

第二節(jié)格林函數(shù)(Green’sfunction)和平穩(wěn)性(Stationarity)一、格林函數(shù)(Green’sfunction)能夠表示為那么稱上式為平穩(wěn)序列的傳遞形式，式中的加權系數(shù)

稱為格林〔Green〕函數(shù)，其中7精品課件格林函數(shù)的含義：格林函數(shù)是描述系統(tǒng)記憶擾動程度的函數(shù)?！?〕式可以記為其中

式〔1〕說明具有傳遞形式的平穩(wěn)序列可以由現(xiàn)在時刻以前的白噪聲通過系統(tǒng)“〞的作用而生成，是j個單位時間以前參加系統(tǒng)的干擾項對現(xiàn)實響應的權，亦即系統(tǒng)對的“記憶〞。8精品課件二、AR〔1〕系統(tǒng)的格林函數(shù)由AR〔1〕模型即：那么AR(1)模型的格林函數(shù)9精品課件例：下面是參數(shù)分別為0.9、0.1和-0.9的AR〔1〕系統(tǒng)對擾動的記憶情況。〔演示試驗〕比較前后三個不同參數(shù)的圖，可以看出：取正值時，響應波動較平坦。取負值時，響應波動較大。越大，系統(tǒng)響應回到均衡位置的速度越慢，時間越長。10精品課件三、格林函數(shù)與AR〔n〕系統(tǒng)的平穩(wěn)性平穩(wěn)性的涵義就是干擾項對系統(tǒng)的影響逐漸減弱，直到消失，對于一個AR〔n〕系統(tǒng)，將其寫成格林函數(shù)的表示形式，如果系統(tǒng)是平穩(wěn)的，那么預示隨著j→∞，擾動的權數(shù)對于AR(1)系統(tǒng)即這要求上述條件等價于AR(1)系統(tǒng)的特征方程的根在單位圓內(nèi)(或方程的根在單位圓外).11精品課件AR（n）模型，即其中：的平穩(wěn)性條件為：

的根在單位圓外（或

的根在單位圓內(nèi)）。AR（n）系統(tǒng)的平穩(wěn)性條件：（請同學們觀察平穩(wěn)性AR(n)與非平穩(wěn)性AR(n)的區(qū)別。）AR(1)的結(jié)論可以推廣到AR(n)12精品課件13精品課件圖示如右圖幾個例題14精品課件ARMA模型格林函數(shù)的通用解法ARMA(n,m)模型且

那么令

那么化為

15精品課件比較等式兩邊B的同次冪的系數(shù)，可得由上式，格林函數(shù)可從開始依次遞推算出。例：求AR(2,1)系統(tǒng)的格林函數(shù)。16精品課件是零均值平穩(wěn)序列，如果白噪聲序列第三節(jié)逆函數(shù)和可逆性〔Invertibility〕能夠表示為一、逆函數(shù)的定義設那么稱上式為平穩(wěn)序列式中的加權系數(shù)稱為逆函數(shù)。

可逆。17精品課件ARMA〔n,m〕模型逆函數(shù)通用解法對于ARMA〔n,m〕模型的逆函數(shù)求解模型格林函數(shù)求解方法相同。令

二、ARMA模型的逆函數(shù)的逆轉(zhuǎn)形式那么平穩(wěn)序列可表示為由ARMA(n,m)模型可得18精品課件仍由先前定義的和

，那么上式可化為比較上式兩邊B的同次冪的系數(shù)，得到即可從由此開始推算出。19精品課件對于MA〔m〕模型的可逆性討論與AR〔n〕模型平穩(wěn)性的討論是類似的，即：MA〔m〕模型的可逆性條件為其特征方程的特征根滿足ARMA(n,m)系統(tǒng)格林函數(shù)與逆函數(shù)的關系在格林函數(shù)的表達式中，用代替，代替代替，，即可得到相對應的逆函數(shù)。20精品課件理論自協(xié)方差函數(shù)和自相關函數(shù)對于ARMA系統(tǒng)來說，設序列的均值為零，那么自協(xié)方差函數(shù)第四節(jié)自相關函數(shù)與偏自相關函數(shù)自相關函數(shù)樣本自相關函數(shù)的計算在擬合模型之前，我們所有的只是序列的一個有限樣本數(shù)據(jù)，無法求得理論自相關函數(shù)，只能求樣本的自協(xié)方差函數(shù)和自相關函數(shù)。樣本自協(xié)方差有兩種形式：一、自相關函數(shù)21精品課件那么相應的自相關函數(shù)為

在通常情況下，我們采用第一種算法。22精品課件

1、AR(n)過程自相關函數(shù)ACF1階自回歸模型AR(1)

Xt=Xt-1+at

的k階滯后自協(xié)方差為：011))((gjjgajgkkttktkXXE==+=---

=1,2,…因此，AR(1)模型的自相關函數(shù)為

=1,2,…由AR(1)的穩(wěn)定性知||<1，因此，k時，呈指數(shù)形衰減，直到零。這種現(xiàn)象稱為拖尾或稱AR(1)有無窮記憶〔infinitememory〕。注意，<0時，呈振蕩衰減狀。23精品課件

Xt=

1Xt-1+2Xt-2+at該模型的方差0以及滯后1期與2期的自協(xié)方差1,2分別為２階自回歸模型AR(2)

222110asgjgjg++=類似地,可寫出一般的k期滯后自協(xié)方差：

22112211))((-----+=++=kktttktkrXXXEjgjajjg(K=2,3,…)于是,AR(2)的k階自相關函數(shù)為：

(K=2,3,…)其中

:

1=1/(1-2),0=1如果AR(2)平穩(wěn)，那么由1+2<1知|k|衰減趨于零，呈拖尾狀。至于衰減的形式，要看AR(2)特征根的實虛性，假設為實根，那么呈單調(diào)或振蕩型衰減，假設為虛根，那么呈正弦波型衰減。24精品課件一般地，n階自回歸模型AR(n)

Xt=

1Xt-1+2Xt-2+…nXt-n+

atk期滯后協(xié)方差為:

nknkktntnttKtkXXXXE-------+++=++++=gjgjgjajjjgLL22112211))((從而有自相關函數(shù)

:可見，無論k有多大，k的計算均與其１到n階滯后的自相關函數(shù)有關，因此呈拖尾狀。如果AR(n)是平穩(wěn)的，那么|k|遞減且趨于零。25精品課件其中：zi是AR(n)特征方程(z)=0的特征根，由AR(n)平穩(wěn)的條件知，|zi|<1;因此，當zi均為實數(shù)根時，k呈幾何型衰減〔單調(diào)或振蕩〕；當存在虛數(shù)根時，那么一對共扼復根構成通解中的一個阻尼正弦波項，k呈正弦波衰減。事實上，自相關函數(shù)是一n階差分方程，其通解為26精品課件

對MA(1)過程

2、MA(m)過程

1--=tttXqaa可容易地寫出它的自協(xié)方差系數(shù)：

0)1(3221220===-=+=Lggqsgsqgaa于是，MA(1)過程的自相關函數(shù)為：可見，當k>1時，

k>0，即Xt與Xt-k不相關，MA(1)自相關函數(shù)是截尾的。

27精品課件其自協(xié)方差系數(shù)為

一般地，m階移動平均過程MA(m)

相應的自相關函數(shù)為

可見，當k>m時，Xt與Xt-k不相關，即存在截尾現(xiàn)象，因此，當k>m時，

k=0是MA(m)的一個特征。于是：可以根據(jù)自相關系數(shù)是否從某一點開始一直為0來判斷MA(m)模型的階。28精品課件二、偏自相關函數(shù)

自相關函數(shù)ACF(k)給出了Xt與Xt-1的總體相關性，但總體相關性可能掩蓋了變量間完全不同的隱含關系。例如，在AR(1)隨機過程中，Xt與Xt-2間有相關性可能主要是由于它們各自與Xt-1間的相關性帶來的:即自相關函數(shù)中包含了這種所有的“間接〞相關。與之相反，Xt與Xt-k間的偏自相關函數(shù)(partialautocorrelation，簡記為PACF)那么是消除了中間變量Xt-1，…，Xt-k+1帶來的間接相關后的直接相關性，它是在序列值Xt-1，…，Xt-k+1的條件下，Xt與Xt-k間關系的度量。29精品課件從Xt中去掉Xt-1的影響，那么只剩下隨機擾動項at，顯然它與Xt-2無關，因此我們說Xt與Xt-2的偏自相關系數(shù)為零，記為

在AR(1)中，0),(2*2==-ttXCorrar

同樣地，在AR(n)過程中，對所有的k>n，Xt與Xt-k間的偏自相關系數(shù)為零。

AR(n)的一個主要特征是:k>n時，

k*=Corr(Xt,Xt-k)=0

即

k*在n以后是截尾的。一隨機時間序列的識別原那么：假設Xt的偏自相關函數(shù)在n以后截尾，即k>n時，k*=0，而它的自相關函數(shù)k是拖尾的，那么此序列是自回歸AR(n)序列。30精品課件對于一個k階AR模型，有：由此得到Y(jié)ule-Walker

方程，記為：時，由該方程組可以解出。遺憾的是，用該方程組求解時，需要知道自回歸過程的階數(shù)。因此，我們可以對連續(xù)的k值求解Yule-Walker方程。31精品課件對k=1，2，3，…依次求解方程，得

上述……

序列為AR模型的偏自相關函數(shù)。32精品課件偏自相關性是條件相關，是在給定

的條件下，

和

的條件相關。換名話說，偏自相關函數(shù)是對

和

所解釋的相關的度量。

之間未被由最小二乘原理易得，

是作為

關于線性回歸的回歸系數(shù)。如果自回歸過程的階數(shù)為n，那么對于k>n應該有kk=0。33精品課件MA(1)過程可以等價地寫成at關于無窮序列Xt，Xt-1，…的線性組合的形式：L+++=--221ttttXXXqqa或ttttXXXaqq+---=--L221

這是一個AR()過程，它的偏自相關函數(shù)非截尾但卻趨于零，因此MA(1)的偏自相關函數(shù)是非截尾但卻趨于零的。

注意:上式只有當||<1時才有意義，否那么意味著距Xt越遠的X值，對Xt的影響越大，顯然不符合常理。因此，我們把||<1稱為MA(1)的可逆性條件〔invertibilitycondition〕或可逆域。34精品課件

與MA(1)相仿，可以驗證MA(m)過程的偏自相關函數(shù)是非截尾但趨于零的。MA(m)模型的識別規(guī)那么：假設隨機序列的自相關函數(shù)截尾，即自m以后，k=0〔k>m〕；而它的偏自相關函數(shù)是拖尾的，那么此序列是移動平均MA(m)序列。

同樣需要注意的是：在實際識別時，由于樣本自相關函數(shù)rk是總體自相關函數(shù)

k的一個估計，由于樣本的隨機性，當k>m時，rk不會全為0，而是在0的上下波動。但可以證明，當k>m時，rk服從如下漸近正態(tài)分布:rk~N(0,1/n)式中n表示樣本容量。因此，如果計算的rk滿足：我們就有95.5%的把握判斷原時間序列在m之后截尾。35