專題24多面體的外接球半徑常見求法（學(xué)生版）

專題24：多面體的外接球半徑常見求法<<<專題綜述>>><<<專題綜述>>>球作為特殊的旋轉(zhuǎn)體，不僅在數(shù)學(xué)中，而且在物理學(xué)地理學(xué)中都是經(jīng)常研究的對(duì)象，如果一個(gè)多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,那么稱這個(gè)多面體是球的內(nèi)接多面體,這個(gè)球?yàn)槎嗝骟w的外接球.有關(guān)多面體外接球的問題，多面體的與外接球直接的關(guān)系如何，球心的位置如何尋求呢？<<<專題探究>>><<<專題探究>>>題型一：題型一：尋求軸截面圓半徑法該方法的實(shí)質(zhì)就是通過尋找外接球的一個(gè)軸截面圓，從而把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來研究.例1(2021·全國甲卷理科)已知A,B,C是半徑為1的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn),且AC⊥BC,AC=BC=1，則三棱錐O-ABC的體積為(

)A.212 B.312 C.24【思路點(diǎn)撥】先確定△ABC所在的截面圓的圓心O1為斜邊AB的中點(diǎn)，然后在Rt△ABC和Rt△AOO1練1(2022·湖南省湘潭市模擬·多選)如圖，已知圓錐頂點(diǎn)為P，其軸截面△PAB是邊長為6的為正三角形，O1為底面的圓心，EF為圓O1的一條直徑，球O內(nèi)切于圓錐(與圓錐底面和側(cè)面均相切)，點(diǎn)Q是球O與圓錐側(cè)面的交線上一動(dòng)點(diǎn)，則(

)A.圓錐的表面積是45π

B.球O的體積是43π

C.四棱錐Q-AEBF體積的最大值為93

D.【思路點(diǎn)撥】設(shè)截面圓圓心為O2，根據(jù)題意得出球O的半徑|OO1|=3，

|題型二：題型二：確定球心位置法此類題一般考慮球心、截面圓圓心的連線與截面垂直，再借助等式R=r2+例2(2022·湖南省長沙市模擬)已知點(diǎn)A是以BC為直徑的圓O上異于B，C的動(dòng)點(diǎn)，P為平面ABC外一點(diǎn),且平面PBC⊥平面ABC，BC=3,PB=22,PC=5,則三棱錐P-ABC【思路點(diǎn)撥】由O為△ABC外接圓的圓心，且平面PBC⊥平面ABC，過O作面ABC的垂線l，則垂線l一定在面PBC內(nèi)，可得球心O1一定在面PBC內(nèi)，即球心O1也是△PBC外接圓的圓心，在△PBC中，由余弦定理、正弦定理即可得外接球半徑練2(2022·廣東省中山市模擬)已知四棱錐P-ABCD的頂點(diǎn)都在球O上,AB=3,BC=4,CD=1，AD=26，AC=5，平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥PD，則球O的體積為

．【思路點(diǎn)撥】由題意畫出圖形，取AC的中點(diǎn)O，證明O為四棱錐P-ABCD的外接球的球心，求出半徑，再由球的體積公式求解．練3(2022·湖北省武漢市聯(lián)考)一邊長為4的正方形ABCD，M為AB的中點(diǎn)，將△AMD,△BMC分別沿MD,MC折起，使MA,MB重合，得到一個(gè)四面體，則該四面體外接球的表面積為__________．【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)已知圖象定出外接球的球心位置，然后通過勾股定理求解出四面體的外接球的半徑，從而可求球的表面積．題型三：題型三：補(bǔ)形法此類題多數(shù)補(bǔ)成長方體，再利用長方體的對(duì)角線等于外接球的直徑求出；若補(bǔ)成三棱柱，可利用等式R=r2+例3(2022·湖北省武漢市模擬)在上、下底面均為正方形的四棱臺(tái)ABCD-A1已知AA1=BB1=CC1=DD該四棱臺(tái)外接球的體積為

．【思路點(diǎn)撥】先求出側(cè)面等腰梯形的面積即可求出棱臺(tái)的表面積；設(shè)AC∩BD=O，A1C1練4(2023·浙江省溫州市模擬)已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，PA⊥平面ABC，PA=2AB=23，則該球的表面積為(

)A.8π B.16π C.32π D.36π【思路點(diǎn)撥】由題意把P-ABC擴(kuò)展為三棱柱，求出上下底面中心連線的中點(diǎn)與A的距離為球的半徑，然后求出球的表面積．題型四：題型四：坐標(biāo)法由球心與多面體所有頂點(diǎn)的距離都是球半徑，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系進(jìn)而求出外接球半徑R.例4(2022·四川省廣安二中四模)直角△ABC中，AB=2，BC=1，D是斜邊AC上的一動(dòng)點(diǎn)，沿BD將△ABD翻折到△A'BD，使二面角A'-BD-C為直二面角，當(dāng)線段A'C的長度最小時(shí)，四面體A'BCD的外接球的表面積為(

)A.13π4 B.21π5 C.13π【思路點(diǎn)撥】過點(diǎn)A'作A'H⊥BD交BD延長線于H，過點(diǎn)C作CM⊥BD交BD于M，再作NH//CM，CN//MH，使得CN與HN交于點(diǎn)N，得到A'C=5-2sin2θ≥3，當(dāng)且僅當(dāng)θ=π4時(shí)等號(hào)成立，再根據(jù)題意，以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，以HB，HN練5(2022·山西省太原市一模)如圖①，在Rt△ABC中，C=π2，AC=BC=2，D,E分別為AC,AB的中點(diǎn)，將△ADE沿DE折起到△A1DEA．2π B．23π C．26【思路點(diǎn)撥】由題意可知CD、DA、DE兩兩垂直,以D進(jìn)而利用坐標(biāo)法求球心坐標(biāo).<<<專題訓(xùn)練>>><<<專題訓(xùn)練>>>1.(2022·湖北省高三開學(xué)考試)在三棱錐P-ABC中,∠PAC=∠PAB,AC=2AB=4,PA=PB=2，BC=23，則三棱錐P-A．22π B．26π C．64π3 D．2.(2022·浙江省金華市模擬)設(shè)三棱柱ABC-A1∠BAC=120°,AA1A.46π B.35π C.43π D.39π3.(2023·湖北省咸寧市聯(lián)考)已知三棱錐A-BCD的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，且AB⊥平面BCD，AB=23，AC=AD=4，CD=2，則球O的表面積為(

)A.3π B.13π3 C.13134.(2022·山東省濰坊市模擬)《九章算術(shù)》中記載：將底面為直角三角形的直三棱柱稱為塹堵，將一塹堵沿其一頂點(diǎn)與相對(duì)的棱剖開，得到一個(gè)陽馬(底面是長方形，且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐)和一個(gè)鱉臑(四個(gè)面均為直角三角形的四面體).在如圖所示的塹堵ABC-A1B1C1中，BB1=BC=23，AB=2，AC=4，且有鱉臑C1-ABB1和鱉臑C1-ABC，現(xiàn)將鱉臑C15.(2022·廣東省湛江市聯(lián)考)在邊長為2的菱形ABCD中，BD=23，將菱形ABCD沿對(duì)角線AC對(duì)折，使二面角B-AC-D的余弦值為13，則所得三棱錐A-BCD的外接球的表面積為

．6.(2021·廣東省湛江市模擬)已知三棱錐P-ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,PB=PC,PA=14，O1為△ABC的外接圓的圓心,cos∠PAO7.(2022·廣東省茂名市模擬)如圖所示，三棱錐P-ABC的頂點(diǎn)P、A、B、C都在球O的球面上，且△ABC所在平面截球O于圓O1，AB為圓O1的直徑，點(diǎn)P在底面ABC上的射影為點(diǎn)O1，點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D為棱BC的中點(diǎn)．若cos∠PDO1=23，點(diǎn)P到底面ABC的距離為78.(2022·河北省邯鄲市模擬)在四面體ABCD中，∠ACB=60?°，∠DCA=90二面角D-AC-B的大小為120°，則此四面體的外接球的表面積是

．9.(2022·浙江省寧波市