有限元發(fā)展歷史

有限元方法歷史簡介數(shù)學(xué)有限元方法（FEM）是用來求偏微分方程式（PDE）的近似解，也求積分方程式，例如熱傳輸方程式。求解方法是基于完全取消微分方程式（穩(wěn)態(tài)問題），或把偏微分方程式（PDE）譯成等效的常微分方程式，然后采用像有限差等標準的技術(shù)求解。在解偏微分方程式時，主要的挑戰(zhàn)是創(chuàng)建近似研究的方程式，但數(shù)字穩(wěn)定，這意味著在輸入數(shù)據(jù)和中間計算都不會聚集錯誤，并造成無意義的輸出結(jié)果。有許多這么做的方法，它們都有各自的優(yōu)缺點。對于求解復(fù)雜域（像汽車和油管道）偏微分方程式，或當(dāng)希望在全部范圍精確變化時，有限元方法是好的選擇。例如，在模擬地球氣候模式時，在土地和完全開放的海域之上有著準確的預(yù)測是非常重要的，采用有限元方法，這個要求是可以做得到的。1

歷史有限元方法起源于需要解決市政工程和航空工程方面復(fù)雜的彈性結(jié)構(gòu)分析問題。它的開發(fā)可以追溯到A.Hrennikoff（1941）和R.Courant（1942）的工作。雖然這些先驅(qū)者使用這些方法，并且引人注目的不同，但他們都共享一個基本的特性：把連續(xù)域的網(wǎng)格離散化進入一組離散的子域里。Hrennikoff的工作是采用格子使域離散，而與之類似，為了求解起源于汽缸扭轉(zhuǎn)的問題的二階橢圓的偏微分方程式（PDEs），\o"RichardCourant"RichardCourant的方法是把域劃分成有限的三角形子域。對于由\o"JohnStrutt,3rdBaronRayleigh"Rayleigh，\o"WalterRitz"Ritz和\o"BorisGrigoryevichGalerkin"Galerkin開發(fā)的偏微分方程式（PDEs），\o"RichardCourant"RichardCourant的貢獻是改進，繪制了大量的早期結(jié)果。針對機身和結(jié)構(gòu)分析的有限元方法的開發(fā)最早開始于1950年代中期，并且用于市政工程的有限元方法許多是1960年代在伯克利開始啟動（見伯克利早期有限元研究）。在1973年\o"GilbertStrang"Strang和Fix出版的《有限元方法的分析》里，提供的方法采用了嚴格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，并且已經(jīng)在廣泛變化的工程學(xué)科，即電磁和流體力學(xué)里，針對物理系統(tǒng)的數(shù)字建模，歸納成為應(yīng)用數(shù)學(xué)的分枝。在結(jié)構(gòu)力學(xué)里，有限元方法的開發(fā)常常是基于能量理論，即虛功原理或最小總潛能原理，對于結(jié)構(gòu)工程師來說，早就強烈要求提供綜合的，直覺的和物理的依據(jù)。2

技術(shù)討論我們將從可以推斷的普通方法里取二個簡單問題來舉例說明有限元方法。我們假設(shè)讀者是熟悉微積分學(xué)和線性代數(shù)。我們將采用一維空間

式中f是假設(shè)的，而u是x的未知函數(shù)，并且u〞是與x有關(guān)的u的二階導(dǎo)數(shù)。二維空間取樣問題是狄利克雷問題式中Ω是在（x，y）平面內(nèi)連接開區(qū)域，那些邊界是“和諧的”（即平滑流形或多邊形），并且uxx和uyy，分別表示與x和y有關(guān)的二階導(dǎo)數(shù)。通過計算不定積分，可以“直接”求解問題P1。然而，只有當(dāng)只有一個維度空間時，才使用這個方法求解邊界值問題，并且不推廣到更高空間的問題，或像u+u”=f問題。出于這個原因，我們將針對P1開發(fā)有限元方法，并且略微敘述它對P2的廣義性。我們的解釋將發(fā)生在二個步驟里，反映出二個本質(zhì)的步驟，第一步必須采用有限元方法（FEM）求助于求解邊界值問題（BVP）。在第一步，在它的弱或變分形式上重新描述初始的邊界值問題（BVP）。通常這一步幾乎不需要作計算，只是在紙上手工進行轉(zhuǎn)換。第二步是離散化，在有限的維度空間里，把弱形式離散化。在這個第二步之后，對于大的，但是有限空間的線性問題，我們有具體的公式，那些解將近似解答初始的邊界值問題（BVP）。然后就在計算機里執(zhí)行這個有限的空間問題。3

變分公式化第一步是把P1和P2轉(zhuǎn)換為它們的變分公式。如果u求解P1，那么對于任何平滑函數(shù)v，我們有反過來，如果對于假設(shè)的u，⑴控制每個平滑函數(shù)v(t)，那么一步就可以顯示這個u將求解P1。（證據(jù)是非平凡的，并且采用Sobolev空間）通過在⑴的右邊采用部分積分法，我們獲得式中我們已經(jīng)做了另外的假設(shè)v(0)=v(1)=0。4.1

存在的證據(jù)概要和解的唯一性我們可以定義是有界變分的(0，1)的函數(shù)，在x=0和x=1是0。這樣的函數(shù)是“一次可微分的”，并且它產(chǎn)生出相對稱的雙線性圖Φ，然后把定義的內(nèi)積轉(zhuǎn)換成為Hibert空間（詳細的證據(jù)是非平凡的）。在另一方面，左側(cè)

也是內(nèi)積，對于問題P1，我們?nèi)￠g隔（0，1），選擇nx值0＜x1＜…＜xn＜1，并且我們定義V為

式中我們定義x0=0，和xn+1=1。依照微積分學(xué)的初步定義，觀察V里的函數(shù)是不可微的。確實，如果

，那么在任何x=xk，k=1，…，n處，通常是不定義導(dǎo)數(shù)的。然而，在x的每個其它數(shù)值里存在著導(dǎo)數(shù)，以及為了部分積分法的目的，同樣可以使用這個導(dǎo)數(shù)。對于問題P2，我們需要V是Ω的一組函數(shù)。在右邊的算式里，我們已經(jīng)在平面里（三維圖的下面）把15邊多邊形區(qū)域Ω劃分成三角形，并且這個多變形的分段線性函數(shù)（上面帶顏色的三維圖）在三角系的每個三角形都是線性的；在選定的三角系的每個三角形上，空間V由線性函數(shù)組成。在文獻里，經(jīng)常用V代替Vh。原因是希望把下面的三角形格柵變得好上加好，離散問題（3）的解將在某種意義上聚集到初始邊界值問題P2的解。那么就由取值很小的，h＞0的真實數(shù)值參數(shù)分成三角系。這個參數(shù)將涉及到最大，或三角系里的平均三角形的空間。正如我們定義的三角系，分段線性函數(shù)的空間V也必須改為h，因此沒有符號Vh。由于我們沒有執(zhí)行這樣的分析，我們將不使用這個符號。4.1

選擇基礎(chǔ)完成離散化，我們必須選擇V的基礎(chǔ)。在一維空間情況里，對于每個控制點xk，我們將選擇分段線性函數(shù)vk，在xk，V里那些數(shù)值是1，在每個，V里那些數(shù)值是O，即

對于k=1，…，n。對于二維情況，我們按照平坦區(qū)域Ω的三角系的最高點的xk，再次選擇一個基本函數(shù)vk。函數(shù)vk是V的唯一函數(shù)，在xk，那些數(shù)值是1，并且在每個，那些數(shù)值是0。根據(jù)作者的意思，在“有限元方法”里的“元”字，既涉及到領(lǐng)域里的三角形，也涉及到分段線性基本函數(shù)，或二者都涉及。作為例子，作者的興趣在于采取舍彎取直，可以把曲線域改為三角形，在哪個情況里，他可以把他的元作為曲線描述。在另一方面，一些作者用“分段二次方程式”，或者甚至“分段多項式”來取代“分段線性”。那時作者可能說，“高次元”代替“更高程度的多項式”。有限元方法是不受三角形限制的（或在三維空間里的四面體，或者在多維空間里的更加高次的單形體），但是可以在四邊形子域上定義（在三維空間里的六面體、棱柱、或者棱椎，如此等等）。可以采用多項式，以及甚至非多項式形狀（即橢圓或圓）來定義更高次形狀（曲線要素）。常常把采用更高程度分段多項式基本函數(shù)的方法稱為光譜元方法，尤其如果多項式的次數(shù)增加，當(dāng)三角系空間h趨于0。更加高級的執(zhí)行（適用有限元方法）利用方法，（基于錯誤估計理論）評估結(jié)果的質(zhì)量，并且在求解期間，根據(jù)連續(xù)問題的“精確”解，在某些限度之內(nèi)，瞄準達到近似解來修改網(wǎng)孔?？梢岳酶鞣N技術(shù)來適應(yīng)網(wǎng)孔，最流行的是：移動節(jié)點（r-自適應(yīng)性）精煉（和非精煉）元（h-自適應(yīng)性）改變基本函數(shù)的次序（p-自適應(yīng)性）上述組合（即hp-自適應(yīng)性）4.2

基礎(chǔ)的小支撐這個基礎(chǔ)的選擇的主要優(yōu)點是內(nèi)積

并且

幾乎所有的j，k都將是0。在一維情況里，vk的支撐是間隔[xk?1，xk+1]。因此，只要|j?k|＞1，和φ(vj，vk)的被積函數(shù)同樣是0。同樣，在平面情況里，如果xj和xk，不共享三角系的邊緣，那么積分

和

二個都為04.3

問題的矩陣形式和，那么問題（3）變成。(4)

對于j=1，…，n。如果我們用u和f表示列向量(u1，…，un)t，和(f1，…，fn)t，并且如果讓L=(Lij)和M=(Mij)是那些輸入為Lij=φ(vi，vj)和

的矩陣，那么我們就可以改寫（4）為。(5)

.正如我們之前已經(jīng)討論的，因為基礎(chǔ)函數(shù)vk有小支撐，所以大多數(shù)L和M的輸入都是0。所以我們必須在未知u里求解線性系統(tǒng)，哪兒大多數(shù)矩陣L的輸入都需要我們改為0。這樣的矩陣就是著名的稀疏矩陣，并且針對這樣的問題，有不同的解（比實際轉(zhuǎn)化矩陣更加非常有效）。另外，L是相對稱的，所以共軛梯度方法這樣的技術(shù)就有用武之地了。對于不太大的問題，稀少的承載單元分解和\o"Choleskydecomposition"Cholesky分解仍然工作良好。例如，對于帶有成百上千頂點的網(wǎng)格，\o"Matlab"Matlab的反斜杠算子（基于稀少的承載單元）就足夠了。矩陣L通常是涉及到勁度矩陣，而矩陣M稱為質(zhì)量矩陣。5

比較有限差方法對于求解偏微分方程（PDEs），是可以選擇有限差方法（FDM）的。在有限元法（FEM）和有限差分法（FDM）之間的差異是：n

有限差分法（FDM）是近似于微分方程式；有限元法是近似于它的解。n

有限元法（FEM）最吸引人的特色是它能夠相當(dāng)容易的處理復(fù)雜的幾何參數(shù)（和邊界條件）。而在它的基本格式里的有限差分法（FDM）處理矩形形狀是受限制的，并且簡單的把它改造一下，在有限元法（FEM）里，幾何參數(shù)的處理是理論上簡單明了的。n

有限差分法（FDM）最吸引人的特色是它能夠很容易的執(zhí)行。n

有幾種方法，一種可以把有限差方法（FDM）考慮為有限元法（FEM）的子集。一種可以選擇基本函數(shù)作為分段持續(xù)函數(shù)或迪拉克三角函數(shù)。在二種方法里，在整個域定義近似值，但是必須不是連續(xù)的。作為選擇，一種可以在離散域定義函數(shù)，結(jié)果連續(xù)的微分算子不再有意義，然而，這個方法不是有限元法（FEM）。n

有理由認為有限元近似值的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是更加合理的，例如，在有限差方法（FDM）里，因為在格子點之間的近似值的質(zhì)量是差的。n

有限元法（FEM）近似值的質(zhì)量常常是比相應(yīng)的有限差方法（FDM）高的，但是，這個是極端的問題，并且可以提供相反的個別例子。通常，有限元法（FEM）是在結(jié)