多主體之間的互知推理研究

多主體之間的互知推理研究

初心時(shí)見多主體的恰當(dāng)決策有人知道下午下雨，下午回家時(shí)應(yīng)該注意一把傘。這是一個(gè)單主體系統(tǒng)。一般地說,單主體系統(tǒng)中主體A的某個(gè)恰當(dāng)決策,取決于他是否知道事實(shí)(或原理)P。曹操敗走華容道岔口,大路并無動(dòng)靜,小路幾處煙起。曹操不走大路,偏走小路華容道,因?yàn)樗乐T葛亮深知“用兵虛則實(shí)之,實(shí)則虛之”,結(jié)果反而中了諸葛亮的埋伏。這里,問題出在曹操光知道諸葛亮知道“用兵虛則實(shí)之,實(shí)則虛之”,但不知道諸葛亮知道曹操知道諸葛亮知道“用兵虛則實(shí)之,實(shí)則虛之”。諸葛亮勝在他的“知道”比曹操的高出了一階。這是一個(gè)二主體系統(tǒng)。一般地說,二主體系統(tǒng)中主體A的恰當(dāng)決策,不光取決于A是否知道事實(shí)P,而且取決于A是否知道另一個(gè)主體B是否知道P,如果答案都是肯定的,那么還要取決于A是否知道B知道A知道B知道P,……,等等。奕棋,商務(wù)談判,都是典型的二主體系統(tǒng)。如果主體超過兩個(gè),是三個(gè),四個(gè),甚至更多,這樣的多主體系統(tǒng)中關(guān)于知道的推理及基于這種推理之上的恰當(dāng)決策,將變得極為復(fù)雜。例如,假設(shè):汽車駕駛員只有在確信別的駕駛員都遵守交通規(guī)則時(shí)自己才遵守規(guī)則,那么,一個(gè)汽車駕駛員光知道“紅燈停,綠燈行”的交通規(guī)則是不會(huì)按該規(guī)則開車的,因?yàn)樗⒉恢浪旭{駛員都知道這條規(guī)則?，F(xiàn)在的問題是,如果一個(gè)駕駛員不光自己知道這一規(guī)則,而且知道所有的駕駛員都知道這條規(guī)則,他是否一定遵守規(guī)則呢?回答是仍然不一定。因?yàn)樗m然知道所有的駕駛員都知道這條規(guī)則,但是并不一定知道所有的駕駛員都知道所有的駕駛員都知道這條規(guī)則。如果事實(shí)上他并不知道所有的駕駛員都知道所有的駕駛員都知道這條規(guī)則,那么,他有理由認(rèn)為,除了他以外的所有駕駛員雖然都知道這條規(guī)則,但可能都不知道別的駕駛員知道這條規(guī)則,因而都不遵守規(guī)則,因而他自己也不遵守規(guī)則。這樣的問題可以類似地問下去,回答都是“不一定”,直到問題中的“知道”重復(fù)的遍數(shù)等于駕駛員的人數(shù)。也就是說,假設(shè)這樣的駕駛員有n個(gè),這n個(gè)駕駛員就組成了一個(gè)n(元)主體系統(tǒng),在這個(gè)系統(tǒng)中,每個(gè)駕駛員都遵守“紅燈停。綠燈行”的交通規(guī)則的必要條件是:所有的駕駛員都知道所有的駕駛員都知道所有的駕駛員都知道……(重復(fù)n遍)這一規(guī)則。(當(dāng)然,這里假設(shè)每個(gè)駕駛員都有完備的推理能力)認(rèn)知邏輯的發(fā)展多主體之間的互知推理的復(fù)雜性在于,這種推理的對(duì)象中,不僅包括對(duì)象世界的知識(shí),而且包含多個(gè)具有推理能力的主體;推理者對(duì)其他主體的思考及其結(jié)果進(jìn)行推理,這些主體同樣對(duì)推理者的思考及其結(jié)果進(jìn)行推理。這使得推理的素材是彈性的,動(dòng)態(tài)的,隨著推理的過程不斷變化的。這種推理,是對(duì)人的日常思維能力的挑戰(zhàn),也是對(duì)邏輯學(xué)的挑戰(zhàn)。對(duì)于知道推理的形式分析,最早可追溯到20世紀(jì)50年代初。芬蘭哲學(xué)家馮·賴特(G.H.vonWright)在1951年出版的《模態(tài)邏輯》一書,首次提出和論述了認(rèn)知邏輯的思想;芬蘭哲學(xué)家辛提卡(J.Hintikka)繼續(xù)了這方面的研究,他于1962年發(fā)表的《知識(shí)與信念》一書,為認(rèn)知邏輯奠定了理論基礎(chǔ)。但一般地說,認(rèn)知邏輯所研究的有關(guān)知道(以及信念)的性質(zhì)及其推理,還只限制于單主體系統(tǒng)。運(yùn)用現(xiàn)代邏輯的方法,對(duì)多主體系統(tǒng)中的知道特別是互知推理的研究,是近十年的事。推動(dòng)上述研究的主要?jiǎng)恿?直接來自于經(jīng)濟(jì)學(xué)、軍事學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)和人工智能等學(xué)科對(duì)邏輯實(shí)用性的要求。經(jīng)濟(jì)學(xué)中的市場(chǎng)和戰(zhàn)爭(zhēng)學(xué)中的戰(zhàn)場(chǎng),都是典型的多主體系統(tǒng),和中國(guó)做飛機(jī)生意的美國(guó)波音公司,就是一個(gè)站在華容道前的曹操,他不光要知道波音飛機(jī)的實(shí)際價(jià)值,而且要知道中國(guó)是否知道這種實(shí)際價(jià)值,而且要知道中國(guó)是否知道美國(guó)知道中國(guó)知道這種實(shí)際價(jià)值…。關(guān)于知道的推理,特別是多主體系統(tǒng)中關(guān)于互知推理的研究成果,首先受到了上述這些學(xué)科站在實(shí)用立場(chǎng)上的重視和歡迎。反映這方面研究成果的一本代表性論著,是由美國(guó)學(xué)者羅納德·費(fèi)金(Ronald.Fagin)等四人所著的《關(guān)于知道的推理》,(《ReasoningAboutKnowledge》),1995年出版,1996年再版。該書出版后,立即受到了學(xué)術(shù)界的重視和高度評(píng)價(jià),有的經(jīng)濟(jì)學(xué)家甚至認(rèn)為,該書對(duì)于“互知(interactiveknowledge)”的研究,是經(jīng)濟(jì)學(xué)近十年的最重要的成果之一。本文將圍繞典型實(shí)例分析,通過構(gòu)造關(guān)于知道的模型,看看邏輯語(yǔ)義學(xué)的方法,是如何成功地運(yùn)用于分析多主體之間的互知的。根本原因:有兩組孩子額上有現(xiàn)實(shí)的信息一個(gè)教室中有10個(gè)孩子。其中,有7個(gè)孩子額上沾有泥巴。每個(gè)孩子都能看到別的孩子額上是否有泥巴,但無法看到自己的。這時(shí)老師走進(jìn)教室,對(duì)孩子們說:“你們之中至少有一人額上有泥巴”。然后,他問:“誰(shuí)知道自己額上有泥巴?知道的請(qǐng)舉手?！彼缡沁B續(xù)問了六遍,無人舉手,當(dāng)問到第七遍的時(shí)候,所有額上有泥巴的孩子都有舉起了手。假設(shè)所有的孩子都有最佳的邏輯分析能力,那么,他們是如何思考并得出結(jié)論的?先運(yùn)用日常思維的方式來求解。假設(shè)只有一個(gè)孩子額上有泥巴,那么,在老師第一遍提問時(shí),他就會(huì)舉手,因?yàn)樗吹匠馑械暮⒆宇~上都沒有泥巴,既然至少有一個(gè)孩子額上有泥巴,那么這個(gè)有泥巴的孩子自然是自己;假設(shè)有兩個(gè)孩子額上有泥巴,他們都看到并且只看到一個(gè)孩子額上有泥巴,當(dāng)老師第一遍提問時(shí),他們無法確定自己是否有泥巴因而都不舉手,但是當(dāng)老師的第一遍提問結(jié)束后,他們立即都明白自己額上有泥巴,因?yàn)槿绻约侯~上無泥巴,則說明只有一個(gè)孩子有泥巴,在老師第一遍提問后這個(gè)唯一有泥巴的孩子就會(huì)舉手。這樣,當(dāng)老師第二遍提問時(shí),兩個(gè)有泥巴的孩子都舉起了雙手;同理,如果有三個(gè)孩子額上有泥巴,他們就會(huì)根據(jù)第二遍提問時(shí)無人舉手而立即判斷出自己額上有泥巴,因而在第三遍提問時(shí)舉手。因此,一般地,額上沾泥巴的孩子的人數(shù),正好等于他們都舉手時(shí)老師提問的次數(shù)。細(xì)心的讀者會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)很有意思的問題。在老師進(jìn)教室之前,事實(shí)上每個(gè)孩子都已經(jīng)知道他們之中至少有一個(gè)人額上有泥巴,因此,老師所說的“你們之中至少有一人額上有泥巴”,似乎是句新信息量為零因而完全可以不說的廢話;但另一方面,沒有老師的這句話,老師的提問即使重復(fù)一萬遍,也不會(huì)有孩子舉手。這是怎么回事呢?事實(shí)上,如果至少有兩個(gè)孩子額上有泥巴,那么,所有孩子都知道至少有一個(gè)孩子額上有泥巴,但是,如果恰有兩個(gè)孩子有泥巴,那么,雖然所有的孩子都知道至少有一個(gè)孩子額上有泥巴,但并非所有的孩子都知道所有的孩子都知道至少有一個(gè)孩子有泥巴(額上有泥巴的孩子A會(huì)認(rèn)為,如果自己額上無泥巴,那么額上有泥巴的孩子B就會(huì)猜測(cè),沒有孩子額上有泥巴,這就是說,A并不知道所有的孩子都知道至少有一個(gè)孩子額上有泥巴);一般地,如果n個(gè)孩子額上有泥巴,那么“所有的孩子都知道…(重復(fù)n-1遍)至少有一個(gè)孩子額上有泥巴”成立,但“所有的孩子都知道…(重復(fù)n遍)至少有一個(gè)孩子額上有泥巴”不成立。而在上例中,“所有的孩子都知道…(重復(fù)n遍)至少有一個(gè)孩子額上有泥巴”,是n個(gè)額上有泥巴的孩子作出正確判斷的必要條件。老師當(dāng)眾說的那句話,使得“所有的孩子都知道…(重復(fù)≥n遍)至少有一個(gè)孩子額上有泥巴”成立。因此,老師的話當(dāng)眾而說,對(duì)于該題的解決是必不可少的。如果說前一段的分析尚在日常思維的能力之內(nèi)的話,那么后一段則有點(diǎn)超出這種能力了。這就需要提供形式的工具。建立“知道”的語(yǔ)義模型,就是這樣一種嘗試。主體i不明知p在形式語(yǔ)言K中:1,2,…,n分別表示系統(tǒng)中n個(gè)不同的主體。p,q,r,s…分別表示如“舊金山正在下雨”、“冰冰額上有泥巴”這樣一些原子命題,它們的集合Φ構(gòu)成作為主體認(rèn)知和推理對(duì)象的外部世界的知識(shí)。讀作并表示“并非”,讀作“合取”,表示“并且”。模態(tài)算子Ki表示“主體i知道…”。因此,Kip讀作“主體i知道p”,如果p表示“舊金山在下雨”,那么Kp就表示“主體i知道舊金山并不在下雨”;而Kip則表示“主體i不知道舊金山在下雨”;原子命題是公式;如果A是公式,則A是公式;如果A和B是公式,則A∧B是公式。如果A是公式,則KiA是公式。A∨B(讀作“A析取B”,表示“A或者B”)定義為(A∧B);A→B(讀作“A蘊(yùn)含B”,表示“如果A,那么B”),定義為A∨B;AB(讀作“A當(dāng)且僅當(dāng)B”),定義為(A→B)∧(B→A)T是p∨p這樣的永真公式(稱為重言式)的縮寫,表示“真”;F定義為T,表示“假”。現(xiàn)在,我們可以把在自然語(yǔ)言中非常復(fù)雜的關(guān)于知道的命題表述得十分簡(jiǎn)明。例如,以下公式K1K2p∧K2K1K2p表示“主體1知道主體2知道p,但是主體2不知道主體1知道主體2知道p”。我們可以用“知道”來定義主觀模態(tài)“可能”:主體i認(rèn)為A是可能的,當(dāng)且僅當(dāng)主體i不知道A,即K1A。而象“主體i不知道是否p”這樣的斷定,實(shí)際上是說“主體i認(rèn)為P和p都是可能的”,也就是說“主體1既不知道p也不知道p”,即K1p∧K1p?？紤]下面這個(gè)有關(guān)水門事件的斷定:迪恩不知道尼克松是否知道迪恩知道尼克松知道麥卡德偷竊了奧博林在水門的辦公室。令主體1表示迪恩,主體2表示尼克松,p表示“麥卡德偷竊了奧博林在水門的辦公室”,則該斷定可表達(dá)為形式語(yǔ)言K的語(yǔ)義解釋,關(guān)于“知道”的模型以上討論的是形式語(yǔ)言K的語(yǔ)法,下面討論K的語(yǔ)義,即要構(gòu)造模型,用以判定K語(yǔ)言中公式的真假。這樣的模型,記為M,是一個(gè)克瑞普克結(jié)構(gòu)(W,V,R1,…,Rn),其中,W是一可能世界集;V是一個(gè)解釋,它給任一可能世界,指派以一個(gè)確定的真值賦值,即對(duì)任一wi∈W,和任一原子命題p∈Φ,V(p,wi)=T或V(p,wi)=F,但不能二者。如果p表示“舊金山正在下雨”,則V(p,wi)=T表示在可能世界wi中,舊金山正在下雨;Ri是W上的二元關(guān)系。如果wi和wj有關(guān)系Ri,記為wiRiwj,表示主體i依據(jù)在可能世界wi中的信息,認(rèn)為可能世界wj是可能的。(一個(gè)世界,是一個(gè)事件集,只要其中不包括矛盾事件,就是一個(gè)可能世界;但一個(gè)可能世界,對(duì)于某個(gè)主體來說,完全可能是不可能世界,如果這個(gè)主體知道這個(gè)可能世界中某個(gè)事件的矛盾事件)這里,我們進(jìn)一步規(guī)定Ri是同時(shí)滿足自返、對(duì)稱和傳遞關(guān)系的等價(jià)關(guān)系,這樣,如果主體i在可能世界wi中覺得wj是可能的,這說明在可能世界wi和wj中,主體i具有對(duì)外部世界同樣的信息,從而對(duì)他來說,這兩個(gè)世界是無法區(qū)分的。因此,wiRiwj也表述為“主體i無法區(qū)分wi和wj”。一個(gè)公式A在一個(gè)結(jié)構(gòu)(模型)M的一個(gè)給定的可能世界wi中真,記作(M,wi)|=A,讀作(M,wi)滿足A。(M,wi)KA當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任一wj∈W,如果wiRiwj,則(M,wj)KiA。上述模型所表達(dá)的核心意思是:主體i知道p,當(dāng)且僅當(dāng)p在主體i認(rèn)為可能的所有可能世界中都真。我們用一個(gè)實(shí)例的圖示來描述這一點(diǎn),克里普克結(jié)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)之一是可圖示的。上圖所示的模型M=(W,V,R1,R2),其中,W={w1,w2,w3},p在w1和w3中真,而在w2中假。主體1不能區(qū)分w1和w2(即主體1在w1認(rèn)為w2是可能的,由R的對(duì)稱性,自然在w2同樣認(rèn)為w1是可能的,即w1R1w2和w2R1w1成立),主體2不能區(qū)分w1和w3。標(biāo)有1,2的線段在wi(i=1,2,3)從自身指向自身,表示R關(guān)系的自返性,即表示wiRjwi(i=1,2,3;j=1,2),例如表示w3R1w3;標(biāo)有1的線段的兩端指向w1和w2,表示主體1不能區(qū)分w1和w2,并表示R關(guān)系的對(duì)稱性。同樣,標(biāo)有2的線段表示主體2不能區(qū)分w1和w3。令p表示“北京天晴”,則依據(jù)上圖,可得出以下結(jié)論:結(jié)論1:在可能世界w1,北京天晴,但主體1并不知道這一點(diǎn),因?yàn)樗趙1中認(rèn)為w1和w2都是可能的(或者說依據(jù)他在w1的知識(shí),他無法確定w1和w2究竟哪個(gè)是真實(shí)世界,即無法區(qū)分w1和w2),而p在w1中真,但在w2中假。結(jié)論2:主體2在可能世界w1知道北京天晴,因?yàn)樵诳赡苁澜鐆1,主體2認(rèn)為可能的世界是w1和w2,在這兩個(gè)可能世界中,p都是真的。結(jié)論3:主體2在可能世界w2知道并非北京天晴,因?yàn)橹黧w2在w2中認(rèn)為可能的世界只有w2自身,而在w2中,p真。同理,主體1在可能世界w3中知道北京天晴。結(jié)論4:在可能世界W1,主體1知道主體2知道北京是否天晴,因?yàn)樵诳赡苁澜鐆1,主體1認(rèn)為可能的兩個(gè)世界是w1和w2,在這兩個(gè)世界中,主體2都知道北京的天氣(見結(jié)論2和結(jié)論3)。也就是說,雖然在可能世界w1,主體1并不知道北京是否天晴,但是他知道主體2知道這一點(diǎn)。結(jié)論5:和結(jié)論4成為對(duì)比的是,在可能世界w1,雖然主體2知道北京天晴(結(jié)論2),但是他不知道主體1不知道這一點(diǎn)。因?yàn)樵诳赡苁澜鐆1,主體2認(rèn)為可能的兩個(gè)世界是w1和w3,在w1中,主體1不知道北京天晴(結(jié)論1),但在w3中,主體1知道北京天晴(結(jié)論3)。以上結(jié)論,可以用一個(gè)邏輯表達(dá)式概括:前面已經(jīng)指出,一個(gè)可能世界是一個(gè)事件集,相應(yīng)的命題在其中真或假。在以上的討論中,構(gòu)成w和w的事件都是“北京天晴”,因此,似乎是兩個(gè)相同的世界因而可以略去一個(gè)。但事實(shí)上卻不能這樣。因?yàn)橐粋€(gè)可能世界的規(guī)定,不光基于構(gòu)成它的事件,而且基于主體認(rèn)為它是否可能。例如,在可能世界w,主體1認(rèn)為可能世界w是可能的,但在可能世界w3,他卻不這么認(rèn)為,這樣,他在w1不知道北京天晴,而在w3則知道這一點(diǎn)。作為下標(biāo)的的g在n主體系統(tǒng)中,如果所有的主體都知道所有的主體都知道…(重復(fù)≥n遍)A,則稱這n個(gè)主體掌握了關(guān)于A的共同知識(shí)(CommonKnowledge),或稱A是這n個(gè)主體的共同知識(shí)。在上文的實(shí)例分析中,可以看到共同知識(shí)在多主體系統(tǒng)的知道推理中的重要作用。這一多主體認(rèn)知系統(tǒng)中的重要概念,最早是由路易斯在討論“協(xié)約”時(shí)提出的,他認(rèn)為,某種東西要成為多方的“協(xié)約”,必須成為締約各方的共同知識(shí),也就是說,締約各方不但都要知道協(xié)約的內(nèi)容,而且要知道各方都知道協(xié)約的內(nèi)容,等等。為了對(duì)共同知識(shí)進(jìn)行形式刻劃,需要在語(yǔ)言K中增加新的算子EG和CG,滿足:如果A是公式,則EG、CG都是公式。G表示主體集{1,2,…,n}。EGA表示“G中每個(gè)主體都知道A”;CGA表示“A是G中所有主體的共同知識(shí)”。在不引起歧義的情況下,作為下標(biāo)的G可以省略,即EGA和CGA分別記為EA和CA。如果{1,2,…,i}是G的一個(gè)真子集(即i<n),則E{1.2,…i}A表示在{1,2,…,i}中每個(gè)主體都知道A。這種寫法同樣用于C。這樣,K3C1,2p就表示主體3知道p不是主體1和主體2的共同知識(shí)。在模型M中作如下定義:(M,wi)EA,當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任一i∈G,(M,viKiA,即在可能世界wi中,EA真,當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)主體都知道A。令E1A表示EA,Ek+1A表示EEkA,則(M,wi)CA,當(dāng)且僅當(dāng)(M,wi)EkA(k≥n),即在可能世界wi中,CA真(A是所有主體的共同知識(shí)),當(dāng)且僅當(dāng)所有的主體都知道所有的主體都知道…(重復(fù)≥n遍)A。(注意,事實(shí)上,對(duì)于任意k>1和任意wi∈W,如果(M,wi)EkA,則(M,wi)Ek-1A)對(duì)共同知識(shí)可以作出一種有意思的直觀圖示,為此,先來定義何為從一個(gè)可能世界到另一個(gè)可能世界可通達(dá)。(1)對(duì)任意可能世界wj1和wj2,如果存在主體i,wj1Riwj2,則稱從wj1至wj2可通達(dá),并稱這種通達(dá)為一步可通達(dá);(2)對(duì)任意可能世界wj1、wj2和wj3,如果從wj1至wj2可通達(dá),并且從wj2至wj3可通達(dá),則從wj1至wj3可通達(dá)。并且,如果從wj1至wj2是k步可通達(dá),從wj2至wj3是1步可通達(dá),則從wj1至wj3是k+1步可通達(dá)。雖然一般模態(tài)邏輯都把結(jié)構(gòu)中的R關(guān)系稱為可通達(dá)關(guān)系,但這里定義的可通達(dá)關(guān)系不同于Ri關(guān)系。第一,Ri關(guān)系是相對(duì)于某個(gè)主體i而言的,可通達(dá)關(guān)系不是相對(duì)于某個(gè)主體而言的,第二,存在可通達(dá)關(guān)系的可能世界之間,不一定有R關(guān)系成立。例如,圖1中從w2至w3可通達(dá),但w2R1w3和w2R2w3都不成立。關(guān)于可通達(dá)關(guān)系,有兩條重要推論。推論1(M,wi)EkA,當(dāng)且僅當(dāng)(M,wi)A并且對(duì)所有wj,如果從wi至wjk步可通達(dá),則(M,wj)A推論2(M,wi)CA,當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)所有wj,如果從wi至Wj可通達(dá),則(M,wj)A對(duì)k施歸納,易證推論1;推論2是推論1的直接推論。可以設(shè)想這樣一個(gè)示圖,其中,每個(gè)可能世界表示為一個(gè)點(diǎn),任意兩個(gè)一步可通達(dá)的可能世界之間用線段聯(lián)接。以上兩個(gè)結(jié)論的意義在于,判定A是否為可能世界wi上的共同知識(shí),只須看A是否在從wi可通達(dá)的點(diǎn)(可能世界)上都真;判定EkA在wi上是否為真,只須看A是否在從wik步可通達(dá)的點(diǎn)上都真。“雙側(cè)頭”的模型現(xiàn)在,嘗試構(gòu)造語(yǔ)義模型,對(duì)“額上沾泥巴的孩子”作形式分析。假設(shè)孩子有n個(gè),要證明的是,沾泥巴的孩子的人數(shù),正好等于他們都舉手時(shí)老師提問的次數(shù)。自然需要假設(shè),題目陳述的條件,例如,所有的孩子都足夠聰明,對(duì)所有孩子都是共同知識(shí)。令1,2,…,n分別表示n個(gè)不同的孩子。(xl,…,xn)表示可能世界,其中任一xi,xi=1,或者xi=0。如果xi=1,則表示孩子i額上有泥巴,否則表示沒有。顯然,對(duì)于n個(gè)孩子,這樣的不同可能世界共2個(gè)。例如,如果只有3個(gè)孩子,則可能世界{1,0,1}表示孩子1和孩子3有泥巴。假設(shè)這個(gè)可能世界就是真實(shí)世界。在這個(gè)世界中,在老師說話之前,孩子1能看到孩子2沒有泥巴而孩子3有泥巴,他唯一不能確定的是自己額上是否有泥巴,因此,他認(rèn)為(1,0,1)(即真實(shí)世界)和(0,0,1)都是可能的。也就是說,孩子i在可能世界(a1,…,an)認(rèn)為可能世界(b1,…,bn)是可能的,即(a1,…,an)Ri(b1,…,bn),當(dāng)且僅當(dāng)除了ai≠bi以外,(a1,…,an)和(b1,…,bn)完全相同。令Φ={p1,…,pn,p},其中pi表示“孩子i有泥巴”(i=1,…,n),p表示“至少有一個(gè)孩子有泥巴”。(M,(x1,…,xn))pi當(dāng)且僅當(dāng)x1=1。(M,(x1,…,xn))p當(dāng)全僅當(dāng)存在xj,xj=1。這樣,完成了對(duì)模型M=(W,V,R1,…,Rn)的定義。這一模型的優(yōu)點(diǎn)之一是基于之上可以作出清晰直觀的圖示解析。令2n個(gè)點(diǎn)表示上述2n個(gè)不同的可能世界,并在任意兩個(gè)一步可通達(dá)的點(diǎn)之間用標(biāo)有數(shù)字i的線段聯(lián)接(即如果孩子i在wi認(rèn)為wj可能,則用標(biāo)有i的線段聯(lián)接表示這兩個(gè)可能世界的點(diǎn)),這樣,長(zhǎng)于空想想象的讀者可以知道,我們因此得到了一個(gè)n維立方體。下圖表示的就是當(dāng)n=3(即假設(shè)只有3個(gè)孩子)時(shí)這樣的一個(gè)三維立方體。圖2中共有8個(gè)點(diǎn),表示所有的8個(gè)可能世界。每?jī)蓚€(gè)可能世界之間都有標(biāo)有數(shù)字的線段聯(lián)接,例如,標(biāo)有1的線段聯(lián)接(1,1,1)和(0,1,1),表示孩子1在這兩個(gè)世界的任何一個(gè)中都認(rèn)為另一個(gè)世界是可能的。圖中也說明,從任何一個(gè)可能世界出發(fā),其余的可能世界都是可通達(dá)的。從圖2立即可以得出(證明)許多結(jié)論,例如:結(jié)論1:每個(gè)孩子都知道除自己外哪個(gè)孩子額上有泥巴。不妨設(shè)可能世界(1,0,1)是現(xiàn)實(shí)世界,在這一世界中,孩子1認(rèn)為可能的世界是(1,0,1)和(0,0,1),在這兩個(gè)可能世界中,孩子3都有泥巴,因此,孩子1知道孩子3有泥巴;同理,孩子2知道孩子1和孩子3有泥巴;孩子3知道孩子1有泥巴。結(jié)論2:“每個(gè)孩子都知道除自己外哪個(gè)孩子額上有泥巴”是所有孩子的共同知識(shí)。結(jié)論1的證明所選擇的可能世界帶有任意性,因此,“每個(gè)孩子都知道除自己外哪個(gè)孩子額上有泥巴”在所有可能世界中真,即在從任意一個(gè)可能世界可通達(dá)的所有可能世界中真,因此,是共同知識(shí)。結(jié)論3:(M,(1,0,1))Ep,即在可能世界(1,0,1)中,所有的孩子都知道至少有一個(gè)孩子額上有泥巴。自(1,0,1)一步可通達(dá)的可能世界有(1,1,1)、(1,0,0)和(0,0,1),在這四個(gè)可能世界中,p即“至少有一個(gè)孩子有泥巴”都真。結(jié)論4:(M,(1,0,1))E2p,即在可能世界(1,0,1)中,并非所有的孩子都知道所有的孩子都知道至少有一個(gè)孩子額上有泥巴。因?yàn)榇嬖谧?1,0,1)兩步可通達(dá)的可