材料力學(xué)上課例題

第七章彎曲變形上課例題例題1圖示一抗彎剛度為EI

的懸臂梁，在自由端受一集中力F

作用.試求梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，并確定其最大撓度

W

mx

和

最

大

轉(zhuǎn)

角

θmax解：(1)彎

矩方

程

為M(x)=-F(l-x)

(1)(2)撓曲

線的

近

似

微

分

方

程

為EIw”=M(x)=-Fl+Fx

(2)對(duì)

撓曲

線

近

似

微

分

方

程

進(jìn)

行

積

分(4)

(4)

邊

界

條

件

x=0,

w=0x=0,

w1=0將

邊

界

條

件

代

入(

3

)

(4)兩式中，可得

C?=0

C?=0梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為Omax

和

Wax

都發(fā)生在自由端截面處例題2

圖示一抗彎剛度為EI

的簡(jiǎn)支梁，在全梁上受集度為q

的均布荷載作用.試求此梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，并確定其0max和

Wm

ax解：由對(duì)稱性可知，梁的兩個(gè)支反力為此梁的彎矩方程及撓曲線微分方程分別為邊界

條

件x=0

和x=l

時(shí)，w=0梁的

轉(zhuǎn)

角

方

程

和

撓

曲

線

方

程

A分

別

為最

大

轉(zhuǎn)

角

和

最

大

撓

度

分

別

為在x=0

和x=l

處

轉(zhuǎn)

角的

絕

對(duì)

值

相

等

且

都

是

最

大

值

，在

梁

跨中

點(diǎn)

處

有

最

大

撓

度

值例題3

圖示一抗彎剛度為EI

的簡(jiǎn)支梁，在D點(diǎn)處受一集中力F的作

用.試求此梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，并求其最大撓度和最大轉(zhuǎn)角

.兩段梁的彎矩方程分別為解：梁的兩個(gè)支反力為(a≤x≤1)(O≤x≤a)兩段梁的撓曲線方程分別為(a)(O≤x≤a)撓曲線方程轉(zhuǎn)角方程撓度方程轉(zhuǎn)

角

方

程撓

度

方

程(b)

(a≤x≤l)D

點(diǎn)的連續(xù)條

件在x=a

處

wí=w2W?=W?邊界條件在

x=0

處

，W?=0在x=1處

，w?=0代

入

方

程

可

解

得

：D?=D?=0FRB(b)

(a≤x≤l(a)(0≤x≤a))將x=0

和

x=1

分別代入轉(zhuǎn)角方程左右兩支座處截面的轉(zhuǎn)角當(dāng)a>b時(shí)，右支座處截面的轉(zhuǎn)角絕對(duì)值為最大簡(jiǎn)

支

梁的

最

大

撓

度

應(yīng)

在

w'=0

處先研究第一段梁，令

w?′=0

得當(dāng)a>b時(shí)，x?<a最

大

撓

度

確

實(shí)

在

第

一

段

梁中結(jié)論

：

在簡(jiǎn)支梁中

，

不論它受什么荷載作用

，

只要撓曲線上無(wú)拐點(diǎn)，

其

最

大

撓

度

值

都

可

用

梁

跨中

點(diǎn)

處

的

撓

度

值

來(lái)

代

替

，

其

精

確

度是

能

滿

足

工

程

要

求的

。梁

中

點(diǎn)

C

處

的撓度為例題4

一抗彎剛度為EI的簡(jiǎn)支梁受荷載如圖所示.試按疊加原理

求梁跨中點(diǎn)的撓度wc和支座處橫截面的轉(zhuǎn)角0?,0。解：將梁上荷載分為兩項(xiàng)簡(jiǎn)單的荷載，如圖所示wc=(wc)

。+(Wc)m,OA=(0A)+(OA)。0g=(0)+(0)(c))(a)(b)例

題

5

試?yán)茂B加法，求圖所

示

抗

彎

剛

度

為EI

的簡(jiǎn)支梁

跨

中

點(diǎn)

的

撓

度

wc

和

兩

端截

面

的

轉(zhuǎn)

角

0?

,

θ

g

·解：可視為正對(duì)稱荷載與反對(duì)稱荷載兩種情況的疊

加

.在跨中C

截面處，撓度

wc

等于零，但轉(zhuǎn)角不等于零且該截面的

彎矩也等于零可

將AC

段

和BC

段分別視為受均布線荷載作用且長(zhǎng)度為1

/2的

簡(jiǎn)

支

梁(

2

)

反

對(duì)

稱

荷

載

作

用

下(

1

)

正

對(duì)

稱

荷

載

作

用

下

q/2 q/2AAB

q/2

q/2將

相

應(yīng)

的

位

移

進(jìn)

行

疊

加

，

即

得

A可

得到

：(|)Wc?))q/2q/2B(例題6

一抗彎剛度為EI

的外伸梁受荷載如圖所示，試按疊加原理

并利用附表，求截面B的轉(zhuǎn)角0以及A端和BC中點(diǎn)D的撓度w?和Wp

.A解：將外伸梁沿B

截

面

截

成

兩

段

，

將AB

段

看

成B

端

固

定

的

懸

臂梁，BC

段看成簡(jiǎn)支梁

.

AB

截

面

兩

側(cè)

的

相

互

作

用

為

：2qaM。=ga'2qMg=qa2

M?=qa2AB2qa由簡(jiǎn)支梁BC

求得的Og,Wp就是外伸梁AC的

0gWD簡(jiǎn)支梁BC的變形就是Mp和均布荷載q分別引起變形的疊加.簡(jiǎn)支梁BC

的受力情況與

外伸梁AC

的BC

段的受力情

況相同Mg=qa2(1)求θ

,WDB

(

2

)

求W懸臂梁AB本

身的

彎曲

變

形，

使A

端產(chǎn)生撓度w2由于簡(jiǎn)支

梁

上B截

面

的

轉(zhuǎn)

動(dòng)

，

帶

動(dòng)AB

段

一

起

作

剛

體

運(yùn)

動(dòng)

，

使A端產(chǎn)生

撓

度w?因此，A端的總撓度應(yīng)

為

WA=W?+W?=-θg·a+W?Mg=ga2例

7

下圖為

一

空心圓桿，內(nèi)外徑分別為：d=40mm,D=80mm,桿的E=210GPa,

工

程

規(guī)

定C

點(diǎn)

的[w/L]=0.00001,B

點(diǎn)的[θ]=0.001弧度，試校

核

此

桿

的

剛

度

.A解

：

(

1

)

結(jié)

構(gòu)

變

換

，

查

表

求

簡(jiǎn)單

載

荷

變

形

.D

B

200mm

F?=1kN

l=400mma=0.1m

C2=2kNθ?s=0A圖1

DCF?=1kN

+圖

2BCF?F?=2kN

0?

=-16t+

(2)疊加求復(fù)雜載荷下的變形=188×10-?m?D200mmBF?=1kl=400mm圖

3a=0.1mA(3)校核剛度：+0.423×10?(rad)例題8

梁AC如圖所示，梁的A端用一鋼桿AD與梁AC鉸接，在梁受荷載作用前，桿AD內(nèi)沒(méi)有內(nèi)力，已知梁和桿用同樣的鋼材制成，材

料的彈性模量為E,鋼梁橫截面的慣性矩為I,

拉桿橫截面的面積為

A,其余尺寸見(jiàn)圖，試求鋼桿AD內(nèi)的拉力FLA點(diǎn)的

變

形

相

容

條

件

是

拉

桿

和

梁

在

變

形

后

仍

連

結(jié)

于A點(diǎn)

.

即W?=△解：這是

一

次超靜定問(wèn)題

.

將AD

桿與梁AC

之

間

的

連

結(jié)

絞

看

作

多

余約束

.

拉力Fx

為

多

余

反

力

.

基

本

靜

定

系

如

圖根

據(jù)

疊

加

法A

端

的

撓

度

為WA=(WA)

。+(W?)F變

形

幾

何

方

程

為在

例

題

中

已

求

得可算出：(W?)+(W?)r

、=△拉

桿

AD

的伸長(zhǎng)為：補(bǔ)充方程為：由此解得：FN例

題

9

求圖示梁的支反力，并繪梁的剪力圖和彎矩圖

.已

知

EI=5×103kN-m3.A解：這是一次超靜定問(wèn)題取支座B

截面上的相

對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)約束為多余約束.

A基本靜定系為在B

支

座截面上安置鉸的靜定梁，

如圖所示.多余反力為分別作用于

簡(jiǎn)

支

梁AB

和

BC

的

B端

處的一對(duì)彎矩

Mg變形相容條件為，簡(jiǎn)

A

支梁AB的

B

截面轉(zhuǎn)角和BC

梁

B

截面的轉(zhuǎn)角相等.20kN/m30kNθ4mθ=0;20kN/m91

B3mMg2mD=2+3由

表

中

查

得

：Mg20kN/mFR?=32.05KNFR=66.35KNFRc

=11.6KN在基本靜定系上繪出剪力圖和彎矩圖

.由基本靜定系的平衡方程

可

求

得

其

余

反

力

A11.6447.951.603m30kND3m

2mB4m20kN/m25.6823.2832.0518.40一第八章

：應(yīng)

力

狀

態(tài)

分

析

和強(qiáng)

度

理

論例

題

1

分

析

薄

壁

圓

筒

受

內(nèi)

壓

時(shí)

的

應(yīng)

力

狀

態(tài)薄壁圓筒的橫：=πDδ(

1

)

沿

圓

筒

軸

線

作

用

于

筒

底

的

總

壓

力

為F(2)假想用一直徑平面將圓筒截分為二，并取下半環(huán)為研究對(duì)象2o”δl

-plD=0解：

把從A點(diǎn)處截取的單元體放大如圖σx=-70,

σy=0,

txy=50例題4

簡(jiǎn)支梁如圖所示.已知

m-m

切應(yīng)力分別為σ=-70MPa,x=50MPa.

的方位.截面上A

點(diǎn)的彎曲正應(yīng)力和

確定A

點(diǎn)的主應(yīng)力及主平面因?yàn)棣?lt;σ,所以

a?=27.5°

與

σmin對(duì)

應(yīng)σ1=26MPa,

G?=0,O3

=-96MPa例題5圖示單元體，已知o=-40MPa,σ=60MPa,ry=-50MPa.試求e-f截面上的應(yīng)力情

況及主應(yīng)力和主單元體的方位。解：(1)求e-f截面上的應(yīng)力=-58.3MPa(-50)cos(-60°)=18.3MPaσ1=80.7MP

O?

=

O3=-

60.7MPa因?yàn)棣?lt;σ,所以a?=-22.5°與Gmin對(duì)應(yīng)(2)

求主應(yīng)力和主單元體的方位x?=

-

57262例題6求

平

面

純

剪

切

應(yīng)

力

狀

態(tài)的

主

應(yīng)

力

及

主

平

面

方

位

。因

為

o=o

且tx>0

所以a?=-45°解：

(

1)求主

平

面

方

位與

σmax

對(duì)

應(yīng)(2

)

求

主

應(yīng)

力σ?=r,O?=0,O?=-r例題7

從水壩體內(nèi)某點(diǎn)處取出的單元體如圖所示，

o=-1MPa,σ=-0.4MPa,y=-0.2MPa,xx=0.2MPa,(1)繪出相應(yīng)的應(yīng)力圓(2)確定此單元體在α=30°和α=-40°兩斜面上的應(yīng)力.

解：

(1)畫(huà)應(yīng)力圓量取OA=σ=-1,AD=y=-0.2,定出D點(diǎn)；OB=o=-0.4和，BD=x=0.2,

定出D'點(diǎn).以DD'為直徑繪出的圓即為應(yīng)力圓.(2)確定α=30°斜截面上的應(yīng)力將半徑

CD逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)2α=60°到半徑

CE,E

點(diǎn)的坐標(biāo)就

代表α=30°斜截面上的應(yīng)力。(3)確定α=-40°斜截面上的應(yīng)力將半徑

CD

順時(shí)針轉(zhuǎn)2α=80°到半徑

CF,F

點(diǎn)的坐標(biāo)就代表α=-40°斜截面上的應(yīng)力.O30。=-0.68MPa730。=-0.36MPaO40。=-0.95MPat?0

。=-0.26MPa尺

寸示

于

圖

中

.

試

繪

出

截

面C

上a,b出

這

兩

點(diǎn)

處

的

主

應(yīng)

力

.例題8

兩

端

簡(jiǎn)

支

的

焊

接

工

字

鋼

梁

及

其

荷

載

如

圖

所

示

，

梁

的

橫

截

面兩點(diǎn)處的應(yīng)力圓，并用應(yīng)力圓求解：(1)首先計(jì)算支反力，并作出梁的剪力圖和彎矩圖Fsmax=Fc

左=200

kNMmax

=Mc=80

kN-m200kN50kN=88×10?mmya=135mm以DD

'為直徑作應(yīng)力圓A?A?兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別代表a

點(diǎn)的兩個(gè)主應(yīng)力σ和σσ?=OA?=150MPaσ?=OA?=-27MPaA?點(diǎn)對(duì)應(yīng)于單元體上a

所在的主平面2a?=-45°α?=-22.5°(3)做應(yīng)力圓o=122.5MPa,r=64.6MPa

G=0,ryx=-64.6MPa由σ

,y

定出D點(diǎn)

由σ,rx

定出D'點(diǎn)σ?=150MPa

σ?=0

σ?=-27MPaα?=-22.5°(

4

)

橫

截

面C

上b

點(diǎn)

的

應(yīng)

力y=150mmtp=0b點(diǎn)

的

單

元

體

如

圖

所

示O

Gqbb

點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力為σ?=136.5MPa,σ?=σ3=0o?

所在的主平面就是x

平面，即梁的橫截面C例題9

單元體的應(yīng)力如圖所示，作應(yīng)力圓，并求出主應(yīng)力和最大切應(yīng)力值及其作用面方位。解：該單元體有一個(gè)已知主應(yīng)力σ=20MPa因此與該主平面正交的各截面上的應(yīng)力與主應(yīng)力o無(wú)關(guān)，依據(jù)x

截面和y

截面上的應(yīng)力畫(huà)出應(yīng)力圓.求另外兩個(gè)主應(yīng)力σx=40MPaTxy=-20MPa由σ

,ry

定出D

點(diǎn)σy=-20MPaTyx=20MPa由

σ

,xy

定出D'點(diǎn)以DD'為直徑作應(yīng)力圓A?A?兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別代表另外兩個(gè)主應(yīng)力σ,和σ?σ?=46MPa

σ?=-26MPa該單元體的三個(gè)主應(yīng)力σ?=46MPaσ?=20MPaσ?=-26MPa力圓根據(jù)上述主應(yīng)力，作出三個(gè)應(yīng)tmax=36MPa例

題

1

0

邊

長(zhǎng)α

=

0

.

1m

的銅立方塊，無(wú)間隙地放入體積較大，變形可略去不計(jì)的鋼凹槽中，如圖所示

.

已知銅的彈性模量E=100GPa,泊松比μ=0.34,當(dāng)受到F=300kN

的均布?jí)毫ψ饔脮r(shí)，求該銅塊的主=-30MPa銅

塊

受

力

如圖

所

示變

形

條

件

為應(yīng)力，體積應(yīng)變以及最大切應(yīng)力

.解：銅塊橫截面上的壓應(yīng)力Z,例題11

一直徑d=20mm

的實(shí)心圓軸，在軸的的兩端加扭矩M=12

6N-m.

在軸的表面上某一點(diǎn)A處用變形儀測(cè)出與軸線成-45°方向的應(yīng)變

s=5.0×10-4,試求此圓軸材料的剪切彈性模量G.例題12

壁厚δ=10mm,

外徑D=60mm

的薄壁圓筒，在表面上K點(diǎn)與其軸線成45°和135°角，即x,y

兩方向分別貼上應(yīng)變片，然后在

圓筒兩端作用矩為M。的扭轉(zhuǎn)力偶，如圖所示，已知圓筒材料的彈性

常數(shù)為E=200GPa

和μ=0.3,若該圓筒的變形在彈性范圍內(nèi)，且Tmax

=100MPa,

試求K

點(diǎn)處的線應(yīng)變。,S,以及變形后的筒壁厚度.解：從圓筒表面K

點(diǎn)處取出單元體，其各面上的應(yīng)力分量如圖

所示可求得Gy=σ?=Tmax

=

80MPaσx=σ?=-tmaxσz=0=-80MPa圓筒表面上K

點(diǎn)處沿徑向(z軸)的應(yīng)變和圓筒中任一點(diǎn)

(該點(diǎn)到圓筒橫

截

面中心的

距離

為p)處的徑向應(yīng)變?yōu)橐?/p>

此

，

該

圓

筒

變

形

后

的

厚

度

并

無(wú)

變

化

，

仍

然

為δ

=

1

0mm.(壓

應(yīng)

變

)(拉應(yīng)變)K點(diǎn)處的線應(yīng)變?chǔ)?s

為E?=-E=5.2×10-例題13

已知矩形外伸梁受力F?

,F2

作用.彈性模量E=200GPa,泊松比μ=0.3,F?=100KN,F?=100KN.求：(1)A

點(diǎn)處的主應(yīng)變s,62,6(2)A

點(diǎn)處

的線

應(yīng)

變

k,5,z(

拉

伸

)(負(fù)

)(1)

A

點(diǎn)處的主應(yīng)變e,

62,解：梁為拉伸與彎曲的組合變形.A

點(diǎn)有拉伸引起的正應(yīng)力和彎曲

引起的切應(yīng)力。

o1=41.4

O?O3=—21.4(2)A

點(diǎn)處的

線

應(yīng)

變6,5

,σx=20

Gy=σ=0例題14

簡(jiǎn)支梁由18號(hào)工字鋼制成.其上作用有力F=15kN,

已知

E=200GPa,μ=0.3.求：A

點(diǎn)沿0°,45°,90°方向的線應(yīng)變

Eos>≠4ss>∈go°Fy?,J?,d

查表得出Sz?

為圖示面積對(duì)中性軸z的靜矩σ=σA=50.8σ9o=σy=0解：4s=2+

2cos90°-r:sin90°=94.2MPa;50

2+2

cos270°-r,sin270°=-43.3MPaT(a)

(b)例題15

一蒸汽鍋爐承受最大壓強(qiáng)為p,圓筒部分的內(nèi)徑為D,厚度為8且

δ遠(yuǎn)小于D.試

用

第

四

強(qiáng)

度

理

論

校

核

圓

筒

部

分

內(nèi)

壁

的

強(qiáng)

度

。

已知p=3.6MPa,δ=10mm,D=1m,[o]=160MPa.=155MPa<[σ]所以

圓

筒內(nèi)

壁

的

強(qiáng)

度

合

適

.內(nèi)

壁的

強(qiáng)

度

校

核σ?=σ”=180MPaσ2=σ”=90MPa用

第四

強(qiáng)

度

理

論

校

核圓

筒內(nèi)

壁

的

強(qiáng)

度碳

鋼

類

塑

性

材

料

在

純

剪

切

應(yīng)

力

狀

態(tài)

下的[z].解：純剪切應(yīng)力狀態(tài)下C?=r,O?=0,O?=-r按第三強(qiáng)度理論得強(qiáng)度條件為

：σ?-σ?=r-(-t)=2r≤[o]另

一

方面，剪切的強(qiáng)度條件是：

t≤[t]例

題1

6

根

據(jù)

強(qiáng)

度

理

論

，

可以

從

材

料

在

單

軸

拉

伸

時(shí)

的[o]

可

推

知

低所

以

[x]=0.5

[o][o]

為

材

料

在單向

拉

伸時(shí)的

許

用

拉

應(yīng)

力

.材料在純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的許用切應(yīng)力為[x].按第

三

強(qiáng)

度

理

論得

到

：按

第四強(qiáng)度理論得到

：按第四強(qiáng)

度

理

論

得

強(qiáng)

度

條

件

為

：[x]=0.5[x]≈0.6[o][o]例

題

1

7

對(duì)于圖示各單元體，試分別按第三強(qiáng)度理論及第四強(qiáng)度理

論

求

相

當(dāng)

應(yīng)

力

.70MPa(d)(c)解

：

(

1)

單

元

體

(a)G?=0σ?=σ?=-120MPaσr?=G?-σ?=0-(-120)=120MPa(2)

單

元

體

(b)σ?=140MPa

σ?=110MPaσ?=0σr?=σ1-G?=140MPa(

3

)

單

元

體

(c)σ?=80MPaσ?=-70MPa

σ?=-140MPaσr?=220MPa

Gr4=195MPa(

4

)

單

元

體

(d)140

MPa30MPaσ?=94.72MPaσ?=5.28MPaσr?=89.44MPaσ?=σz=50MPaσr?=77.5MPa(c)80MPa70MPa70MPa50MPa例

題

1

8

直徑為d=0.1m的

圓

桿

受

力

如

圖

，M=7kN-m,F=50kN,

材料為鑄鐵，[o]=40MPa,試用第

一

強(qiáng)度理論校核桿的強(qiáng)度。解：危險(xiǎn)點(diǎn)A的

應(yīng)

力

狀

態(tài)

如

圖σ?=39MPa,σ?=0,σ?=-32MPa

O?<[o]故

安

全

.A①FT例

題

1

9

薄壁圓筒受最大內(nèi)壓時(shí)，測(cè)得=1.88×10?,ξ=7.37×104,已

知

鋼的E=210GPa,[o]=170MPa,泊松比μ=0.3,試用第三強(qiáng)度理論校y-X解：由廣義胡克定律核其強(qiáng)度。主應(yīng)力

σ?=183.1MPa,

σ?=94.4MPa,相當(dāng)應(yīng)力σr?=G?-σ?=183.1MPa>[σ]1-03(737+0.3×1.88)×10?=183.1MPa所以，此容器不滿足第三強(qiáng)度理論，不安全。G?=0例題20

兩端簡(jiǎn)支的工字鋼梁承受載荷如圖所示已知其材料Q235

鋼的許用應(yīng)力為[o]=170MPa,[z]=100MPa.

試按強(qiáng)度條件選擇

工字鋼的型號(hào).解：作鋼梁的內(nèi)力圖.C,D

為危險(xiǎn)截面(1)按正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇

截面取

C

截面計(jì)算Fsc

左

=Fsmax=200kNMc=Mmax=84kN-m十選用28a工字鋼，其截面的W=508cm3200kN84kN-mM

圖Fs

圖(2)按切應(yīng)力強(qiáng)度條件進(jìn)行校核對(duì)于28a

工字鋼的截面，查表得I?=7114×10-?m?d=0.85×10-2m選用28a

工字典鋼能滿足切應(yīng)力的強(qiáng)度要求.最大切應(yīng)力為(3)腹板與翼緣交界處的的強(qiáng)度校核取

A

點(diǎn)

分

析A

點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)如圖所示=223×10-?m3(+)若

選

用

2

8b號(hào)工字鋼，算得σ?=173

.

2

MPa,比[o]

大

1

.

8

8

%

可

選用

2

8b

號(hào)

工

字

鋼

.由

于

材

料

是

Q235

鋼，所以在平面應(yīng)力狀態(tài)下，應(yīng)按第四強(qiáng)度理

論

來(lái)

進(jìn)

行

強(qiáng)

度

校

核

.應(yīng)另選較大的工字鋼。A點(diǎn)的

三

個(gè)

主

應(yīng)

力

為σ?=0解

：

(1)

分

析AB

的

受

力

情

況ZM?=0

Fsin

30°×2.4-1.2F=0FNc=FZF=0

FR?x

=0.866FZF,=0FR=0.5FAB

桿

為

平

面

彎曲

與

軸向

壓

縮

組

合

變

形中

間

截

面

為

危

險(xiǎn)

截

面

.

最

大

壓

應(yīng)

力發(fā)

生

在

該

截

面的

上

邊

緣第九章：組合變形例

題1

懸臂吊車如圖所示，橫梁用20a

工

字

鋼

制

成

.

其

抗

彎

剛

度W,≤

=237cm3,橫

截

面

面

積A=35.5cm2,總荷載F=34kN,橫

梁

材

料

的

許用應(yīng)力

為[o]=125MPa.校

核

橫

梁AB

的

強(qiáng)

度

。(3)

最大彎曲正應(yīng)力(4)危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力(2)

壓縮正應(yīng)力例

題

2

小型壓力機(jī)的鑄鐵框架如圖所示

.

已知材料的許用拉應(yīng)力

[]=30MPa,

許

用

壓

應(yīng)

力[o]=160MPa.

試按立柱的強(qiáng)度確定壓力機(jī)的許可壓力F。解

：

(

1

)

確

定

形

心

位

置

A=15×10-3m2

zo=7.5

cm計(jì)

算

截

面

對(duì)

中

性

軸y

的

慣

性

矩

I?=5310cm?(2)

分

析

立

柱

橫

截

面

上

的

內(nèi)

力

和

應(yīng)

力在

n-n

截面上有軸力F

及彎矩M,FN=FM,=[(35+7.5)×10-21F=42.5×10-2F由

軸

力F產(chǎn)生的拉伸正應(yīng)力為由彎矩M?產(chǎn)生的最大彎曲正應(yīng)力為(

3

)

疊

加

在

截

面

內(nèi)

側(cè)

有

最

大

拉

應(yīng)

力→

[F]≤45.1kN[F]≤171.3

kN所

以

取

[F]≤45.1

kN在截面外側(cè)有最大壓應(yīng)力例

題

3

正方形截面立柱的中間處開(kāi)

一

個(gè)槽，使截面面積為原來(lái)截面面積的

一

半

.

求開(kāi)槽后立柱的的最大壓應(yīng)力是原來(lái)不開(kāi)槽的幾FF倍

.a

ad

a開(kāi)

槽

后

1

-

1

是

危

險(xiǎn)

截

面危

險(xiǎn)

截

面

為

偏

心

壓

縮

將

力F

向

1

-

1

形

心

簡(jiǎn)

化解：

未

開(kāi)

槽

前

立

柱

為

軸向

壓

縮例題4

矩形截面柱如圖所示，F(xiàn)?

的作用線與桿軸線重合，F(xiàn)2

作用

在y

軸上.已知：F?=F?=80kN,b=24cm,h=30cm.如要使柱的m-m

截

面只出現(xiàn)壓應(yīng)力，求F2的偏心距e.y軸向壓力

F=F?+F?力偶矩

M?=F?·e(2)m-m

橫

截

面

上

的

內(nèi)

力

有軸力

F=F?+F?彎矩

M?=F?·e解

：(1)外力分析將力F?

向截面形心簡(jiǎn)化后，

梁上的外力有軸力產(chǎn)生壓應(yīng)力，彎矩產(chǎn)生的最大正應(yīng)力(

3

)

依

題

的

要

求

，

整

個(gè)

截

面

只

有

壓

應(yīng)

力得例

5

求圓

形

截

面的

截

面

核

心解

：(1

)

作

切

線□

為中

性

軸，

在

兩

個(gè)

形心

主

慣

性

軸

上的

截

距

分

別

為(2)

由于圓截面對(duì)于

圓心O

是對(duì)稱的，因而，截面核心的邊界對(duì)

于

圓

也

應(yīng)

是

對(duì)

稱

的

，

從

而

可

知

，

截

面

核

心

邊

界

是

一

個(gè)以O(shè)為圓

心

，以d/8

為

半

徑的圓例

6

求

矩

形

截

面

的

截

面

核

心解

：

作

切

線

□

為

中

性

軸

，

得

兩

截

距

分

別

為矩

形

截

面

的y可求得對(duì)應(yīng)的核心邊界上點(diǎn)的坐標(biāo)依次：

(0,

,0)(3)矩形截面核心形狀分析直線口繞頂點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到直線口時(shí)，將得到一系列通過(guò)B點(diǎn)但斜

率不同的中性軸，而B(niǎo)

點(diǎn)坐標(biāo)

yg,z是這一系列中性軸上所共有的

.(2)同理，分別作切線□、

□、

□

,上式

可以

看

作是

表

示

外

力

作

用

點(diǎn)

坐

標(biāo)間

關(guān)

系的

直

線

方

程

.故外

力

作

用

點(diǎn)

移

動(dòng)的

軌

跡

是

直

線

。這些中性

軸

方

程

為例題7

空心圓桿AB

和CD

桿焊接成整體結(jié)構(gòu)，受力如圖.AB

桿的外

徑D=140mm,

內(nèi)外徑之比α=d/D=0.8,材料的許用應(yīng)力[o]=160MPa.

試用第三強(qiáng)度理論校核AB

桿的強(qiáng)度解：(1)外力分析

10kN將力向AB

桿的B

截面形心簡(jiǎn)化得F=25kNM?=15×1.4-10×0.6=15kN·mAB桿為扭轉(zhuǎn)和平面彎曲的組合變形(2)內(nèi)力分析一畫(huà)扭矩圖和彎矩圖固定端截面為危險(xiǎn)截面T

=15kN·mMmax=20kN·m20kN·m15kN·m帶

輪

直

徑D=300mm,

皮帶輪緊邊拉力為F?,

松

邊

拉

力

為F?

.且F?=2F?

,I=200mm,軸

的

許

用

應(yīng)

力[o]=160MPa.試用第三強(qiáng)度理論設(shè)計(jì)軸的直徑解：將力向軸的形心簡(jiǎn)化例

題

8

傳動(dòng)軸如圖所示

.

在A處作用

一

個(gè)外力偶矩M

。=1kN·m,

皮軸產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)和垂直縱向?qū)?/p>

稱面內(nèi)的平面彎曲=20kNF中間截面為危險(xiǎn)截面T

=1kN·mMmax

=1kN·md≥44.83mmT=1kN·m例題9

圖示一鋼制實(shí)心圓軸，軸上的齒輪C

上作用有鉛垂切向力5

kN,徑向力1.82

kN;

齒輪D

上作用有水平切向力10

kN,

徑向力3.64

kN.齒輪

C

的節(jié)圓直徑d?=400

mm,齒輪D

的節(jié)圓直徑d?=200mm.

設(shè)許用應(yīng)力[o]=100

MPa,試按第四強(qiáng)度理論求軸的直徑

.(2)軸的變形分析5kN,3.64kN

使軸在xz

縱對(duì)稱面內(nèi)產(chǎn)生彎曲1.82kN,10kN

使軸在xy縱對(duì)稱面內(nèi)產(chǎn)生彎曲1kN-m使軸產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)y解：(1)外力的簡(jiǎn)化將每個(gè)齒輪上的外力向該軸的截面形心簡(jiǎn)化3.64kN1kN·mBD

X5kN1kN·mCZA1.82kN10kN,(3)繪制軸的內(nèi)力圖Myc=0.57kN·mMg=0.36kN·mM?c=0.227kN·mM?=1kN·mT=1kN-m圓桿發(fā)生的是斜彎曲與扭

轉(zhuǎn)的組合變形由于通過(guò)圓軸軸線的任一

平面都是縱向?qū)ΨQ平面，故軸在

xz

和xy兩平面內(nèi)彎曲的合成結(jié)

果仍為平面彎曲，從而可用總彎

矩來(lái)計(jì)算該截面正應(yīng)力1

T

圖M,

圖(4)危險(xiǎn)截面上的內(nèi)力計(jì)算Myc=0.57kN·mM?c=0.227kN·mMyg=0.36kN·m

M?g=1kN·mB和C截面的總彎矩為Mc=√M3c+M2=0.36kN·m

Tg=Tc=1kN·mB

截面是危險(xiǎn)截面1kN-MT圖M?

圖C0.36kN

·

mM?

圖(5)由強(qiáng)度條件求軸的直徑軸需要的直徑為例題10

F?=0.5kN,F?=1kN,[o]=160MPa。(1)用第三強(qiáng)度理論計(jì)算AB

的直徑(2)

若AB

桿

的

直

徑d=40mm,

并

在B

端

加

一

水

平

力F?=20kN,校核AB桿的強(qiáng)度.解：將F?

向AB

桿的軸線簡(jiǎn)化得F?=1kNM?=0.4kN·mAB為彎扭組合變形固定端截面是危險(xiǎn)截面Mmax

=0.8F?+0.4F?=0.8kN·md

=38.5mmTmax=0.4kN·m(

2

)

在B

端

加

拉

力F?AB為彎，扭與拉伸組合變形固定端截面是危險(xiǎn)截面Mmax=0.8F?+0.4F?=0.8kN·mTmax

=0.4kN·mFN=F?=20kN由

第

三

強(qiáng)

度

理

論σ?=√o2+4r2=157MPa≤[o]固

定

端

截

面

最

大

的

正

應(yīng)

力

為最

大

切

應(yīng)

力

為第九章：

組合變形2.其它支座條件下的歐拉公式(Euler's

Formula

forOtherEndl—

相當(dāng)長(zhǎng)度μ—長(zhǎng)度因數(shù)歐拉公式

一Conditions)支承情況臨

界

力

的

歐

拉

公

式長(zhǎng)

度

因

數(shù)

μ兩端鉸支L=1一

端

固

定

，

另

一

端

鉸

支μ=0.7兩

端

固

定μ=0.5一

端

固

定

，

另

一

端

自

由μ=2表9-1各種支承約束條件下等截面細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界力的歐拉公式歐拉公式的統(tǒng)一形式(General

Euler

Buckling

Load

Formula)(μ為壓桿的長(zhǎng)度因數(shù))例題1

已知一內(nèi)燃機(jī)、空氣壓縮機(jī)的連桿為細(xì)長(zhǎng)壓桿.截面形狀

為工字鋼形，慣性矩I?=6.5×10?mm?,I,=3.8×10?mm?,

彈性模量E=210GPa.試計(jì)算臨界力F分析思路：(1)桿件在兩個(gè)方向的約束情況不同；(2)計(jì)算出兩個(gè)臨界壓力.最后取小的一個(gè)作為壓桿

的臨界壓力.yxOz面：約束情況為兩端固定μ=0.5,I=I,l=0.88m=406.4kN所以連桿的臨界壓力為134.6kN.解：xOy面：約束情況為兩端鉸支μ=1,I=I?,l=1m=134.6kN

Z易ZZ.1000880X例題2圖示各桿均為圓形截面細(xì)長(zhǎng)壓桿.已知各桿的材料及直徑相等.問(wèn)哪個(gè)桿先失穩(wěn)?d解

：

桿A

μ=2

μl

=2a桿B

μ=1

μl=1.3a桿C

μ=0.7l=0.7×1.6a=1.12aA

桿

先

失

穩(wěn)

.d例題3

壓桿截面如圖所示.兩端為柱形鉸鏈約束，若繞y

軸失

穩(wěn)可視為兩端固定，若繞z

軸失穩(wěn)可視為兩端鉸支.已知，桿長(zhǎng)l=1m,材料的彈性模量E=200GPa,op=200MPa.求壓桿的臨界應(yīng)力.解

：因?yàn)棣?gt;λ,所以壓桿繞

z

軸先失穩(wěn)，且λ=115>a,用歐拉公式計(jì)算臨界力.μy=0.5

L?=1例題3

外

徑D=50mm,

內(nèi)

徑d=40

mm

的

鋼

管

，

兩

端

鉸

支

，材料為

Q235

鋼，承受軸向壓力F.試求(1)能用歐拉公式時(shí)壓桿的最小長(zhǎng)度；(2)當(dāng)壓桿長(zhǎng)度為上述最小長(zhǎng)度的3/4時(shí)，壓桿的臨界應(yīng)力.已知：

E=200GPa,σ,=200MPa,σ=240MPa,用直線

公

式

時(shí)

，a=304

MPa,

b=1.12

MPa.解：

(1)能用歐拉公式時(shí)壓桿的最小長(zhǎng)度壓

桿

μ

=

1(

2

)

當(dāng)l=3/4lmm

時(shí)

，F(xiàn)c=?用

直

線

公

式

計(jì)

算(1)計(jì)算最大的柔度系數(shù)Amax;(

2

)

根

據(jù)λnax選擇公式計(jì)算臨界應(yīng)力；(3)根據(jù)

穩(wěn)定

性

條

件，判斷

壓

桿的穩(wěn)定

性

或

確

定

許

可

載

荷.§9

-

5壓桿的穩(wěn)定校核(Check

the

stability

of

columns)1.

穩(wěn)定性

條

件(The

stability

condition)2.計(jì)

算

步

驟(Calculationprocedure)例題4

活

塞

桿由

45

號(hào)

鋼

制

成，

σ

=

3

5

0MPa,σp=280MPaE=210GPa.長(zhǎng)

度l=703mm,

直徑d=45mm.最大

壓

力Fmax=41.6kN.

規(guī)定穩(wěn)定安全系數(shù)為ns=8-10.試校核其穩(wěn)定性

.活塞

桿

兩

端

簡(jiǎn)

化

成

鉸

支截面為圓形不能

用

歐

拉

公

式

計(jì)

算臨

界

壓

力

.解

：μ=1可由直

線公

式

計(jì)

算

臨

界

應(yīng)

力

.σc=a-bλ=301MPaF=0·A=478MPa如

用

直線

公

式，需

查

表

得

：a=461MPab=2.568MPaλ?

<λ<λ?臨界壓力

是所以滿

足

穩(wěn)

定

性

要

求

。活塞的

工

作安

全因

數(shù)例題5油缸活塞直經(jīng)D=65mm,

油

壓

p=1.2MPa.活塞桿長(zhǎng)度l=1250mm,

材料為35鋼，σ,=220MPa,E=210GPa,[nst]=6.試確定活塞桿的直經(jīng).D活塞活塞桿d活塞桿Dd活塞活塞桿承受的臨界壓力應(yīng)為F=ns·F=23900N把活塞的兩端簡(jiǎn)化為鉸支座。解：活塞桿承受的軸向壓力應(yīng)為(1)

先由歐拉

：求

得d=24.6mm.

取

d=25mm(2

)用

求

得

直

徑

計(jì)

算

活

塞

桿

柔

度由

于

λ

>a,

所以前面

用歐

拉

公

式

進(jìn)

行

試

算

是

正

確的

.用

試算

法

求

直

徑例題6

AB的直徑d=40mm,長(zhǎng)

l=800mm,兩端可視為鉸支。材

料為Q235

鋼，彈性模量E=200GPa.比例極限σp=200MPa,屈

服極限

o=240MPa,

由AB桿的穩(wěn)定條件求[F].(若用直線式a

=304

MPa,

b=1.12MPa)解：取

BC

研究ZMc=00.9F-Fsina·0.6=0Fv=2.27Fλ?

<λ<λ?用

直線公

式σr=a-bλ=214MPaF=A·σ=268kN=[FN][F]=118kN不能

用歐

拉

公

式Fy=2.27F第十

二

章：交變