材料力學(xué)上課例題

第七章彎曲變形上課例題例題1圖示一抗彎剛度為EI

的懸臂梁，在自由端受一集中力F

作用.試求梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，并確定其最大撓度

W

mx

和

最

大

轉(zhuǎn)

角

θmax解：(1)彎

矩方

程

為M(x)=-F(l-x)

(1)(2)撓曲

線的

近

似

微

分

方

程

為EIw”=M(x)=-Fl+Fx

(2)對

撓曲

線

近

似

微

分

方

程

進

行

積

分(4)

(4)

邊

界

條

件

x=0,

w=0x=0,

w1=0將

邊

界

條

件

代

入(

3

)

(4)兩式中，可得

C?=0

C?=0梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為Omax

和

Wax

都發(fā)生在自由端截面處例題2

圖示一抗彎剛度為EI

的簡支梁，在全梁上受集度為q

的均布荷載作用.試求此梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，并確定其0max和

Wm

ax解：由對稱性可知，梁的兩個支反力為此梁的彎矩方程及撓曲線微分方程分別為邊界

條

件x=0

和x=l

時，w=0梁的

轉(zhuǎn)

角

方

程

和

撓

曲

線

方

程

A分

別

為最

大

轉(zhuǎn)

角

和

最

大

撓

度

分

別

為在x=0

和x=l

處

轉(zhuǎn)

角的

絕

對

值

相

等

且

都

是

最

大

值

，在

梁

跨中

點

處

有

最

大

撓

度

值例題3

圖示一抗彎剛度為EI

的簡支梁，在D點處受一集中力F的作

用.試求此梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，并求其最大撓度和最大轉(zhuǎn)角

.兩段梁的彎矩方程分別為解：梁的兩個支反力為(a≤x≤1)(O≤x≤a)兩段梁的撓曲線方程分別為(a)(O≤x≤a)撓曲線方程轉(zhuǎn)角方程撓度方程轉(zhuǎn)

角

方

程撓

度

方

程(b)

(a≤x≤l)D

點的連續(xù)條

件在x=a

處

wí=w2W?=W?邊界條件在

x=0

處

，W?=0在x=1處

，w?=0代

入

方

程

可

解

得

：D?=D?=0FRB(b)

(a≤x≤l(a)(0≤x≤a))將x=0

和

x=1

分別代入轉(zhuǎn)角方程左右兩支座處截面的轉(zhuǎn)角當(dāng)a>b時，右支座處截面的轉(zhuǎn)角絕對值為最大簡

支

梁的

最

大

撓

度

應(yīng)

在

w'=0

處先研究第一段梁，令

w?′=0

得當(dāng)a>b時，x?<a最

大

撓

度

確

實

在

第

一

段

梁中結(jié)論

：

在簡支梁中

，

不論它受什么荷載作用

，

只要撓曲線上無拐點，

其

最

大

撓

度

值

都

可

用

梁

跨中

點

處

的

撓

度

值

來

代

替

，

其

精

確

度是

能

滿

足

工

程

要

求的

。梁

中

點

C

處

的撓度為例題4

一抗彎剛度為EI的簡支梁受荷載如圖所示.試按疊加原理

求梁跨中點的撓度wc和支座處橫截面的轉(zhuǎn)角0?,0。解：將梁上荷載分為兩項簡單的荷載，如圖所示wc=(wc)

。+(Wc)m,OA=(0A)+(OA)。0g=(0)+(0)(c))(a)(b)例

題

5

試利用疊加法，求圖所

示

抗

彎

剛

度

為EI

的簡支梁

跨

中

點

的

撓

度

wc

和

兩

端截

面

的

轉(zhuǎn)

角

0?

,

θ

g

·解：可視為正對稱荷載與反對稱荷載兩種情況的疊

加

.在跨中C

截面處，撓度

wc

等于零，但轉(zhuǎn)角不等于零且該截面的

彎矩也等于零可

將AC

段

和BC

段分別視為受均布線荷載作用且長度為1

/2的

簡

支

梁(

2

)

反

對

稱

荷

載

作

用

下(

1

)

正

對

稱

荷

載

作

用

下

q/2 q/2AAB

q/2

q/2將

相

應(yīng)

的

位

移

進

行

疊

加

，

即

得

A可

得到

：(|)Wc?))q/2q/2B(例題6

一抗彎剛度為EI

的外伸梁受荷載如圖所示，試按疊加原理

并利用附表，求截面B的轉(zhuǎn)角0以及A端和BC中點D的撓度w?和Wp

.A解：將外伸梁沿B

截

面

截

成

兩

段

，

將AB

段

看

成B

端

固

定

的

懸

臂梁，BC

段看成簡支梁

.

AB

截

面

兩

側(cè)

的

相

互

作

用

為

：2qaM。=ga'2qMg=qa2

M?=qa2AB2qa由簡支梁BC

求得的Og,Wp就是外伸梁AC的

0gWD簡支梁BC的變形就是Mp和均布荷載q分別引起變形的疊加.簡支梁BC

的受力情況與

外伸梁AC

的BC

段的受力情

況相同Mg=qa2(1)求θ

,WDB

(

2

)

求W懸臂梁AB本

身的

彎曲

變

形，

使A

端產(chǎn)生撓度w2由于簡支

梁

上B截

面

的

轉(zhuǎn)

動

，

帶

動AB

段

一

起

作

剛

體

運

動

，

使A端產(chǎn)生

撓

度w?因此，A端的總撓度應(yīng)

為

WA=W?+W?=-θg·a+W?Mg=ga2例

7

下圖為

一

空心圓桿，內(nèi)外徑分別為：d=40mm,D=80mm,桿的E=210GPa,

工

程

規(guī)

定C

點

的[w/L]=0.00001,B

點的[θ]=0.001弧度，試校

核

此

桿

的

剛

度

.A解

：

(

1

)

結(jié)

構(gòu)

變

換

，

查

表

求

簡單

載

荷

變

形

.D

B

200mm

F?=1kN

l=400mma=0.1m

C2=2kNθ?s=0A圖1

DCF?=1kN

+圖

2BCF?F?=2kN

0?

=-16t+

(2)疊加求復(fù)雜載荷下的變形=188×10-?m?D200mmBF?=1kl=400mm圖

3a=0.1mA(3)校核剛度：+0.423×10?(rad)例題8

梁AC如圖所示，梁的A端用一鋼桿AD與梁AC鉸接，在梁受荷載作用前，桿AD內(nèi)沒有內(nèi)力，已知梁和桿用同樣的鋼材制成，材

料的彈性模量為E,鋼梁橫截面的慣性矩為I,

拉桿橫截面的面積為

A,其余尺寸見圖，試求鋼桿AD內(nèi)的拉力FLA點的

變

形

相

容

條

件

是

拉

桿

和

梁

在

變

形

后

仍

連

結(jié)

于A點

.

即W?=△解：這是

一

次超靜定問題

.

將AD

桿與梁AC

之

間

的

連

結(jié)

絞

看

作

多

余約束

.

拉力Fx

為

多

余

反

力

.

基

本

靜

定

系

如

圖根

據(jù)

疊

加

法A

端

的

撓

度

為WA=(WA)

。+(W?)F變

形

幾

何

方

程

為在

例

題

中

已

求

得可算出：(W?)+(W?)r

、=△拉

桿

AD

的伸長為：補充方程為：由此解得：FN例

題

9

求圖示梁的支反力，并繪梁的剪力圖和彎矩圖

.已

知

EI=5×103kN-m3.A解：這是一次超靜定問題取支座B

截面上的相

對轉(zhuǎn)動約束為多余約束.

A基本靜定系為在B

支

座截面上安置鉸的靜定梁，

如圖所示.多余反力為分別作用于

簡

支

梁AB

和

BC

的

B端

處的一對彎矩

Mg變形相容條件為，簡

A

支梁AB的

B

截面轉(zhuǎn)角和BC

梁

B

截面的轉(zhuǎn)角相等.20kN/m30kNθ4mθ=0;20kN/m91

B3mMg2mD=2+3由

表

中

查

得

：Mg20kN/mFR?=32.05KNFR=66.35KNFRc

=11.6KN在基本靜定系上繪出剪力圖和彎矩圖

.由基本靜定系的平衡方程

可

求

得

其

余

反

力

A11.6447.951.603m30kND3m

2mB4m20kN/m25.6823.2832.0518.40一第八章

：應(yīng)

力

狀

態(tài)

分

析

和強

度

理

論例

題

1

分

析

薄

壁

圓

筒

受

內(nèi)

壓

時

的

應(yīng)

力

狀

態(tài)薄壁圓筒的橫：=πDδ(

1

)

沿

圓

筒

軸

線

作

用

于

筒

底

的

總

壓

力

為F(2)假想用一直徑平面將圓筒截分為二，并取下半環(huán)為研究對象2o”δl

-plD=0解：

把從A點處截取的單元體放大如圖σx=-70,

σy=0,

txy=50例題4

簡支梁如圖所示.已知

m-m

切應(yīng)力分別為σ=-70MPa,x=50MPa.

的方位.截面上A

點的彎曲正應(yīng)力和

確定A

點的主應(yīng)力及主平面因為σ<σ,所以

a?=27.5°

與

σmin對

應(yīng)σ1=26MPa,

G?=0,O3

=-96MPa例題5圖示單元體，已知o=-40MPa,σ=60MPa,ry=-50MPa.試求e-f截面上的應(yīng)力情

況及主應(yīng)力和主單元體的方位。解：(1)求e-f截面上的應(yīng)力=-58.3MPa(-50)cos(-60°)=18.3MPaσ1=80.7MP

O?

=

O3=-

60.7MPa因為σ<σ,所以a?=-22.5°與Gmin對應(yīng)(2)

求主應(yīng)力和主單元體的方位x?=

-

57262例題6求

平

面

純

剪

切

應(yīng)

力

狀

態(tài)的

主

應(yīng)

力

及

主

平

面

方

位

。因

為

o=o

且tx>0

所以a?=-45°解：

(

1)求主

平

面

方

位與

σmax

對

應(yīng)(2

)

求

主

應(yīng)

力σ?=r,O?=0,O?=-r例題7

從水壩體內(nèi)某點處取出的單元體如圖所示，

o=-1MPa,σ=-0.4MPa,y=-0.2MPa,xx=0.2MPa,(1)繪出相應(yīng)的應(yīng)力圓(2)確定此單元體在α=30°和α=-40°兩斜面上的應(yīng)力.

解：

(1)畫應(yīng)力圓量取OA=σ=-1,AD=y=-0.2,定出D點；OB=o=-0.4和，BD=x=0.2,

定出D'點.以DD'為直徑繪出的圓即為應(yīng)力圓.(2)確定α=30°斜截面上的應(yīng)力將半徑

CD逆時針轉(zhuǎn)動2α=60°到半徑

CE,E

點的坐標(biāo)就

代表α=30°斜截面上的應(yīng)力。(3)確定α=-40°斜截面上的應(yīng)力將半徑

CD

順時針轉(zhuǎn)2α=80°到半徑

CF,F

點的坐標(biāo)就代表α=-40°斜截面上的應(yīng)力.O30。=-0.68MPa730。=-0.36MPaO40。=-0.95MPat?0

。=-0.26MPa尺

寸示

于

圖

中

.

試

繪

出

截

面C

上a,b出

這

兩

點

處

的

主

應(yīng)

力

.例題8

兩

端

簡

支

的

焊

接

工

字

鋼

梁

及

其

荷

載

如

圖

所

示

，

梁

的

橫

截

面兩點處的應(yīng)力圓，并用應(yīng)力圓求解：(1)首先計算支反力，并作出梁的剪力圖和彎矩圖Fsmax=Fc

左=200

kNMmax

=Mc=80

kN-m200kN50kN=88×10?mmya=135mm以DD

'為直徑作應(yīng)力圓A?A?兩點的橫坐標(biāo)分別代表a

點的兩個主應(yīng)力σ和σσ?=OA?=150MPaσ?=OA?=-27MPaA?點對應(yīng)于單元體上a

所在的主平面2a?=-45°α?=-22.5°(3)做應(yīng)力圓o=122.5MPa,r=64.6MPa

G=0,ryx=-64.6MPa由σ

,y

定出D點

由σ,rx

定出D'點σ?=150MPa

σ?=0

σ?=-27MPaα?=-22.5°(

4

)

橫

截

面C

上b

點

的

應(yīng)

力y=150mmtp=0b點

的

單

元

體

如

圖

所

示O

Gqbb

點的三個主應(yīng)力為σ?=136.5MPa,σ?=σ3=0o?

所在的主平面就是x

平面，即梁的橫截面C例題9

單元體的應(yīng)力如圖所示，作應(yīng)力圓，并求出主應(yīng)力和最大切應(yīng)力值及其作用面方位。解：該單元體有一個已知主應(yīng)力σ=20MPa因此與該主平面正交的各截面上的應(yīng)力與主應(yīng)力o無關(guān)，依據(jù)x

截面和y

截面上的應(yīng)力畫出應(yīng)力圓.求另外兩個主應(yīng)力σx=40MPaTxy=-20MPa由σ

,ry

定出D

點σy=-20MPaTyx=20MPa由

σ

,xy

定出D'點以DD'為直徑作應(yīng)力圓A?A?兩點的橫坐標(biāo)分別代表另外兩個主應(yīng)力σ,和σ?σ?=46MPa

σ?=-26MPa該單元體的三個主應(yīng)力σ?=46MPaσ?=20MPaσ?=-26MPa力圓根據(jù)上述主應(yīng)力，作出三個應(yīng)tmax=36MPa例

題

1

0

邊

長α

=

0

.

1m

的銅立方塊，無間隙地放入體積較大，變形可略去不計的鋼凹槽中，如圖所示

.

已知銅的彈性模量E=100GPa,泊松比μ=0.34,當(dāng)受到F=300kN

的均布壓力作用時，求該銅塊的主=-30MPa銅

塊

受

力

如圖

所

示變

形

條

件

為應(yīng)力，體積應(yīng)變以及最大切應(yīng)力

.解：銅塊橫截面上的壓應(yīng)力Z,例題11

一直徑d=20mm

的實心圓軸，在軸的的兩端加扭矩M=12

6N-m.

在軸的表面上某一點A處用變形儀測出與軸線成-45°方向的應(yīng)變

s=5.0×10-4,試求此圓軸材料的剪切彈性模量G.例題12

壁厚δ=10mm,

外徑D=60mm

的薄壁圓筒，在表面上K點與其軸線成45°和135°角，即x,y

兩方向分別貼上應(yīng)變片，然后在

圓筒兩端作用矩為M。的扭轉(zhuǎn)力偶，如圖所示，已知圓筒材料的彈性

常數(shù)為E=200GPa

和μ=0.3,若該圓筒的變形在彈性范圍內(nèi)，且Tmax

=100MPa,

試求K

點處的線應(yīng)變。,S,以及變形后的筒壁厚度.解：從圓筒表面K

點處取出單元體，其各面上的應(yīng)力分量如圖

所示可求得Gy=σ?=Tmax

=

80MPaσx=σ?=-tmaxσz=0=-80MPa圓筒表面上K

點處沿徑向(z軸)的應(yīng)變和圓筒中任一點

(該點到圓筒橫

截

面中心的

距離

為p)處的徑向應(yīng)變?yōu)橐?/p>

此

，

該

圓

筒

變

形

后

的

厚

度

并

無

變

化

，

仍

然

為δ

=

1

0mm.(壓

應(yīng)

變

)(拉應(yīng)變)K點處的線應(yīng)變ξ,s

為E?=-E=5.2×10-例題13

已知矩形外伸梁受力F?

,F2

作用.彈性模量E=200GPa,泊松比μ=0.3,F?=100KN,F?=100KN.求：(1)A

點處的主應(yīng)變s,62,6(2)A

點處

的線

應(yīng)

變

k,5,z(

拉

伸

)(負

)(1)

A

點處的主應(yīng)變e,

62,解：梁為拉伸與彎曲的組合變形.A

點有拉伸引起的正應(yīng)力和彎曲

引起的切應(yīng)力。

o1=41.4

O?O3=—21.4(2)A

點處的

線

應(yīng)

變6,5

,σx=20

Gy=σ=0例題14

簡支梁由18號工字鋼制成.其上作用有力F=15kN,

已知

E=200GPa,μ=0.3.求：A

點沿0°,45°,90°方向的線應(yīng)變

Eos>≠4ss>∈go°Fy?,J?,d

查表得出Sz?

為圖示面積對中性軸z的靜矩σ=σA=50.8σ9o=σy=0解：4s=2+

2cos90°-r:sin90°=94.2MPa;50

2+2

cos270°-r,sin270°=-43.3MPaT(a)

(b)例題15

一蒸汽鍋爐承受最大壓強為p,圓筒部分的內(nèi)徑為D,厚度為8且

δ遠小于D.試

用

第

四

強

度

理

論

校

核

圓

筒

部

分

內(nèi)

壁

的

強

度

。

已知p=3.6MPa,δ=10mm,D=1m,[o]=160MPa.=155MPa<[σ]所以

圓

筒內(nèi)

壁

的

強

度

合

適

.內(nèi)

壁的

強

度

校

核σ?=σ”=180MPaσ2=σ”=90MPa用

第四

強

度

理

論

校

核圓

筒內(nèi)

壁

的

強

度碳

鋼

類

塑

性

材

料

在

純

剪

切

應(yīng)

力

狀

態(tài)

下的[z].解：純剪切應(yīng)力狀態(tài)下C?=r,O?=0,O?=-r按第三強度理論得強度條件為

：σ?-σ?=r-(-t)=2r≤[o]另

一

方面，剪切的強度條件是：

t≤[t]例

題1

6

根

據(jù)

強

度

理

論

，

可以

從

材

料

在

單

軸

拉

伸

時

的[o]

可

推

知

低所

以

[x]=0.5

[o][o]

為

材

料

在單向

拉

伸時的

許

用

拉

應(yīng)

力

.材料在純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的許用切應(yīng)力為[x].按第

三

強

度

理

論得

到

：按

第四強度理論得到

：按第四強

度

理

論

得

強

度

條

件

為

：[x]=0.5[x]≈0.6[o][o]例

題

1

7

對于圖示各單元體，試分別按第三強度理論及第四強度理

論

求

相

當(dāng)

應(yīng)

力

.70MPa(d)(c)解

：

(

1)

單

元

體

(a)G?=0σ?=σ?=-120MPaσr?=G?-σ?=0-(-120)=120MPa(2)

單

元

體

(b)σ?=140MPa

σ?=110MPaσ?=0σr?=σ1-G?=140MPa(

3

)

單

元

體

(c)σ?=80MPaσ?=-70MPa

σ?=-140MPaσr?=220MPa

Gr4=195MPa(

4

)

單

元

體

(d)140

MPa30MPaσ?=94.72MPaσ?=5.28MPaσr?=89.44MPaσ?=σz=50MPaσr?=77.5MPa(c)80MPa70MPa70MPa50MPa例

題

1

8

直徑為d=0.1m的

圓

桿

受

力

如

圖

，M=7kN-m,F=50kN,

材料為鑄鐵，[o]=40MPa,試用第

一

強度理論校核桿的強度。解：危險點A的

應(yīng)

力

狀

態(tài)

如

圖σ?=39MPa,σ?=0,σ?=-32MPa

O?<[o]故

安

全

.A①FT例

題

1

9

薄壁圓筒受最大內(nèi)壓時，測得=1.88×10?,ξ=7.37×104,已

知

鋼的E=210GPa,[o]=170MPa,泊松比μ=0.3,試用第三強度理論校y-X解：由廣義胡克定律核其強度。主應(yīng)力

σ?=183.1MPa,

σ?=94.4MPa,相當(dāng)應(yīng)力σr?=G?-σ?=183.1MPa>[σ]1-03(737+0.3×1.88)×10?=183.1MPa所以，此容器不滿足第三強度理論，不安全。G?=0例題20

兩端簡支的工字鋼梁承受載荷如圖所示已知其材料Q235

鋼的許用應(yīng)力為[o]=170MPa,[z]=100MPa.

試按強度條件選擇

工字鋼的型號.解：作鋼梁的內(nèi)力圖.C,D

為危險截面(1)按正應(yīng)力強度條件選擇

截面取

C

截面計算Fsc

左

=Fsmax=200kNMc=Mmax=84kN-m十選用28a工字鋼，其截面的W=508cm3200kN84kN-mM

圖Fs

圖(2)按切應(yīng)力強度條件進行校核對于28a

工字鋼的截面，查表得I?=7114×10-?m?d=0.85×10-2m選用28a

工字典鋼能滿足切應(yīng)力的強度要求.最大切應(yīng)力為(3)腹板與翼緣交界處的的強度校核取

A

點

分

析A

點的應(yīng)力狀態(tài)如圖所示=223×10-?m3(+)若

選

用

2

8b號工字鋼，算得σ?=173

.

2

MPa,比[o]

大

1

.

8

8

%

可

選用

2

8b

號

工

字

鋼

.由

于

材

料

是

Q235

鋼，所以在平面應(yīng)力狀態(tài)下，應(yīng)按第四強度理

論

來

進

行

強

度

校

核

.應(yīng)另選較大的工字鋼。A點的

三

個

主

應(yīng)

力

為σ?=0解

：

(1)

分

析AB

的

受

力

情

況ZM?=0

Fsin

30°×2.4-1.2F=0FNc=FZF=0

FR?x

=0.866FZF,=0FR=0.5FAB

桿

為

平

面

彎曲

與

軸向

壓

縮

組

合

變

形中

間

截

面

為

危

險

截

面

.

最

大

壓

應(yīng)

力發(fā)

生

在

該

截

面的

上

邊

緣第九章：組合變形例

題1

懸臂吊車如圖所示，橫梁用20a

工

字

鋼

制

成

.

其

抗

彎

剛

度W,≤

=237cm3,橫

截

面

面

積A=35.5cm2,總荷載F=34kN,橫

梁

材

料

的

許用應(yīng)力

為[o]=125MPa.校

核

橫

梁AB

的

強

度

。(3)

最大彎曲正應(yīng)力(4)危險點的應(yīng)力(2)

壓縮正應(yīng)力例

題

2

小型壓力機的鑄鐵框架如圖所示

.

已知材料的許用拉應(yīng)力

[]=30MPa,

許

用

壓

應(yīng)

力[o]=160MPa.

試按立柱的強度確定壓力機的許可壓力F。解

：

(

1

)

確

定

形

心

位

置

A=15×10-3m2

zo=7.5

cm計

算

截

面

對

中

性

軸y

的

慣

性

矩

I?=5310cm?(2)

分

析

立

柱

橫

截

面

上

的

內(nèi)

力

和

應(yīng)

力在

n-n

截面上有軸力F

及彎矩M,FN=FM,=[(35+7.5)×10-21F=42.5×10-2F由

軸

力F產(chǎn)生的拉伸正應(yīng)力為由彎矩M?產(chǎn)生的最大彎曲正應(yīng)力為(

3

)

疊

加

在

截

面

內(nèi)

側(cè)

有

最

大

拉

應(yīng)

力→

[F]≤45.1kN[F]≤171.3

kN所

以

取

[F]≤45.1

kN在截面外側(cè)有最大壓應(yīng)力例

題

3

正方形截面立柱的中間處開

一

個槽，使截面面積為原來截面面積的

一

半

.

求開槽后立柱的的最大壓應(yīng)力是原來不開槽的幾FF倍

.a

ad

a開

槽

后

1

-

1

是

危

險

截

面危

險

截

面

為

偏

心

壓

縮

將

力F

向

1

-

1

形

心

簡

化解：

未

開

槽

前

立

柱

為

軸向

壓

縮例題4

矩形截面柱如圖所示，F(xiàn)?

的作用線與桿軸線重合，F(xiàn)2

作用

在y

軸上.已知：F?=F?=80kN,b=24cm,h=30cm.如要使柱的m-m

截

面只出現(xiàn)壓應(yīng)力，求F2的偏心距e.y軸向壓力

F=F?+F?力偶矩

M?=F?·e(2)m-m

橫

截

面

上

的

內(nèi)

力

有軸力

F=F?+F?彎矩

M?=F?·e解

：(1)外力分析將力F?

向截面形心簡化后，

梁上的外力有軸力產(chǎn)生壓應(yīng)力，彎矩產(chǎn)生的最大正應(yīng)力(

3

)

依

題

的

要

求

，

整

個

截

面

只

有

壓

應(yīng)

力得例

5

求圓

形

截

面的

截

面

核

心解

：(1

)

作

切

線□

為中

性

軸，

在

兩

個

形心

主

慣

性

軸

上的

截

距

分

別

為(2)

由于圓截面對于

圓心O

是對稱的，因而，截面核心的邊界對

于

圓

也

應(yīng)

是

對

稱

的

，

從

而

可

知

，

截

面

核

心

邊

界

是

一

個以O(shè)為圓

心

，以d/8

為

半

徑的圓例

6

求

矩

形

截

面

的

截

面

核

心解

：

作

切

線

□

為

中

性

軸

，

得

兩

截

距

分

別

為矩

形

截

面

的y可求得對應(yīng)的核心邊界上點的坐標(biāo)依次：

(0,

,0)(3)矩形截面核心形狀分析直線口繞頂點B旋轉(zhuǎn)到直線口時，將得到一系列通過B點但斜

率不同的中性軸，而B

點坐標(biāo)

yg,z是這一系列中性軸上所共有的

.(2)同理，分別作切線□、

□、

□

,上式

可以

看

作是

表

示

外

力

作

用

點

坐

標(biāo)間

關(guān)

系的

直

線

方

程

.故外

力

作

用

點

移

動的

軌

跡

是

直

線

。這些中性

軸

方

程

為例題7

空心圓桿AB

和CD

桿焊接成整體結(jié)構(gòu)，受力如圖.AB

桿的外

徑D=140mm,

內(nèi)外徑之比α=d/D=0.8,材料的許用應(yīng)力[o]=160MPa.

試用第三強度理論校核AB

桿的強度解：(1)外力分析

10kN將力向AB

桿的B

截面形心簡化得F=25kNM?=15×1.4-10×0.6=15kN·mAB桿為扭轉(zhuǎn)和平面彎曲的組合變形(2)內(nèi)力分析一畫扭矩圖和彎矩圖固定端截面為危險截面T

=15kN·mMmax=20kN·m20kN·m15kN·m帶

輪

直

徑D=300mm,

皮帶輪緊邊拉力為F?,

松

邊

拉

力

為F?

.且F?=2F?

,I=200mm,軸

的

許

用

應(yīng)

力[o]=160MPa.試用第三強度理論設(shè)計軸的直徑解：將力向軸的形心簡化例

題

8

傳動軸如圖所示

.

在A處作用

一

個外力偶矩M

。=1kN·m,

皮軸產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)和垂直縱向?qū)?/p>

稱面內(nèi)的平面彎曲=20kNF中間截面為危險截面T

=1kN·mMmax

=1kN·md≥44.83mmT=1kN·m例題9

圖示一鋼制實心圓軸，軸上的齒輪C

上作用有鉛垂切向力5

kN,徑向力1.82

kN;

齒輪D

上作用有水平切向力10

kN,

徑向力3.64

kN.齒輪

C

的節(jié)圓直徑d?=400

mm,齒輪D

的節(jié)圓直徑d?=200mm.

設(shè)許用應(yīng)力[o]=100

MPa,試按第四強度理論求軸的直徑

.(2)軸的變形分析5kN,3.64kN

使軸在xz

縱對稱面內(nèi)產(chǎn)生彎曲1.82kN,10kN

使軸在xy縱對稱面內(nèi)產(chǎn)生彎曲1kN-m使軸產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)y解：(1)外力的簡化將每個齒輪上的外力向該軸的截面形心簡化3.64kN1kN·mBD

X5kN1kN·mCZA1.82kN10kN,(3)繪制軸的內(nèi)力圖Myc=0.57kN·mMg=0.36kN·mM?c=0.227kN·mM?=1kN·mT=1kN-m圓桿發(fā)生的是斜彎曲與扭

轉(zhuǎn)的組合變形由于通過圓軸軸線的任一

平面都是縱向?qū)ΨQ平面，故軸在

xz

和xy兩平面內(nèi)彎曲的合成結(jié)

果仍為平面彎曲，從而可用總彎

矩來計算該截面正應(yīng)力1

T

圖M,

圖(4)危險截面上的內(nèi)力計算Myc=0.57kN·mM?c=0.227kN·mMyg=0.36kN·m

M?g=1kN·mB和C截面的總彎矩為Mc=√M3c+M2=0.36kN·m

Tg=Tc=1kN·mB

截面是危險截面1kN-MT圖M?

圖C0.36kN

·

mM?

圖(5)由強度條件求軸的直徑軸需要的直徑為例題10

F?=0.5kN,F?=1kN,[o]=160MPa。(1)用第三強度理論計算AB

的直徑(2)

若AB

桿

的

直

徑d=40mm,

并

在B

端

加

一

水

平

力F?=20kN,校核AB桿的強度.解：將F?

向AB

桿的軸線簡化得F?=1kNM?=0.4kN·mAB為彎扭組合變形固定端截面是危險截面Mmax

=0.8F?+0.4F?=0.8kN·md

=38.5mmTmax=0.4kN·m(

2

)

在B

端

加

拉

力F?AB為彎，扭與拉伸組合變形固定端截面是危險截面Mmax=0.8F?+0.4F?=0.8kN·mTmax

=0.4kN·mFN=F?=20kN由

第

三

強

度

理

論σ?=√o2+4r2=157MPa≤[o]固

定

端

截

面

最

大

的

正

應(yīng)

力

為最

大

切

應(yīng)

力

為第九章：

組合變形2.其它支座條件下的歐拉公式(Euler's

Formula

forOtherEndl—

相當(dāng)長度μ—長度因數(shù)歐拉公式

一Conditions)支承情況臨

界

力

的

歐

拉

公

式長

度

因

數(shù)

μ兩端鉸支L=1一

端

固

定

，

另

一

端

鉸

支μ=0.7兩

端

固

定μ=0.5一

端

固

定

，

另

一

端

自

由μ=2表9-1各種支承約束條件下等截面細長壓桿臨界力的歐拉公式歐拉公式的統(tǒng)一形式(General

Euler

Buckling

Load

Formula)(μ為壓桿的長度因數(shù))例題1

已知一內(nèi)燃機、空氣壓縮機的連桿為細長壓桿.截面形狀

為工字鋼形，慣性矩I?=6.5×10?mm?,I,=3.8×10?mm?,

彈性模量E=210GPa.試計算臨界力F分析思路：(1)桿件在兩個方向的約束情況不同；(2)計算出兩個臨界壓力.最后取小的一個作為壓桿

的臨界壓力.yxOz面：約束情況為兩端固定μ=0.5,I=I,l=0.88m=406.4kN所以連桿的臨界壓力為134.6kN.解：xOy面：約束情況為兩端鉸支μ=1,I=I?,l=1m=134.6kN

Z易ZZ.1000880X例題2圖示各桿均為圓形截面細長壓桿.已知各桿的材料及直徑相等.問哪個桿先失穩(wěn)?d解

：

桿A

μ=2

μl

=2a桿B

μ=1

μl=1.3a桿C

μ=0.7l=0.7×1.6a=1.12aA

桿

先

失

穩(wěn)

.d例題3

壓桿截面如圖所示.兩端為柱形鉸鏈約束，若繞y

軸失

穩(wěn)可視為兩端固定，若繞z

軸失穩(wěn)可視為兩端鉸支.已知，桿長l=1m,材料的彈性模量E=200GPa,op=200MPa.求壓桿的臨界應(yīng)力.解

：因為λ>λ,所以壓桿繞

z

軸先失穩(wěn)，且λ=115>a,用歐拉公式計算臨界力.μy=0.5

L?=1例題3

外

徑D=50mm,

內(nèi)

徑d=40

mm

的

鋼

管

，

兩

端

鉸

支

，材料為

Q235

鋼，承受軸向壓力F.試求(1)能用歐拉公式時壓桿的最小長度；(2)當(dāng)壓桿長度為上述最小長度的3/4時，壓桿的臨界應(yīng)力.已知：

E=200GPa,σ,=200MPa,σ=240MPa,用直線

公

式

時

，a=304

MPa,

b=1.12

MPa.解：

(1)能用歐拉公式時壓桿的最小長度壓

桿

μ

=

1(

2

)

當(dāng)l=3/4lmm

時

，F(xiàn)c=?用

直

線

公

式

計

算(1)計算最大的柔度系數(shù)Amax;(

2

)

根

據(jù)λnax選擇公式計算臨界應(yīng)力；(3)根據(jù)

穩(wěn)定

性

條

件，判斷

壓

桿的穩(wěn)定

性

或

確

定

許

可

載

荷.§9

-

5壓桿的穩(wěn)定校核(Check

the

stability

of

columns)1.

穩(wěn)定性

條

件(The

stability

condition)2.計

算

步

驟(Calculationprocedure)例題4

活

塞

桿由

45

號

鋼

制

成，

σ

=

3

5

0MPa,σp=280MPaE=210GPa.長

度l=703mm,

直徑d=45mm.最大

壓

力Fmax=41.6kN.

規(guī)定穩(wěn)定安全系數(shù)為ns=8-10.試校核其穩(wěn)定性

.活塞

桿

兩

端

簡

化

成

鉸

支截面為圓形不能

用

歐

拉

公

式

計

算臨

界

壓

力

.解

：μ=1可由直

線公

式

計

算

臨

界

應(yīng)

力

.σc=a-bλ=301MPaF=0·A=478MPa如

用

直線

公

式，需

查

表

得

：a=461MPab=2.568MPaλ?

<λ<λ?臨界壓力

是所以滿

足

穩(wěn)

定

性

要

求

?；钊?/p>

工

作安

全因

數(shù)例題5油缸活塞直經(jīng)D=65mm,

油

壓

p=1.2MPa.活塞桿長度l=1250mm,

材料為35鋼，σ,=220MPa,E=210GPa,[nst]=6.試確定活塞桿的直經(jīng).D活塞活塞桿d活塞桿Dd活塞活塞桿承受的臨界壓力應(yīng)為F=ns·F=23900N把活塞的兩端簡化為鉸支座。解：活塞桿承受的軸向壓力應(yīng)為(1)

先由歐拉

：求

得d=24.6mm.

取

d=25mm(2

)用

求

得

直

徑

計

算

活

塞

桿

柔

度由

于

λ

>a,

所以前面

用歐

拉

公

式

進

行

試

算

是

正

確的

.用

試算

法

求

直

徑例題6

AB的直徑d=40mm,長

l=800mm,兩端可視為鉸支。材

料為Q235

鋼，彈性模量E=200GPa.比例極限σp=200MPa,屈

服極限

o=240MPa,

由AB桿的穩(wěn)定條件求[F].(若用直線式a

=304

MPa,

b=1.12MPa)解：取

BC

研究ZMc=00.9F-Fsina·0.6=0Fv=2.27Fλ?

<λ<λ?用

直線公

式σr=a-bλ=214MPaF=A·σ=268kN=[FN][F]=118kN不能

用歐

拉

公

式Fy=2.27F第十

二

章：交變