高中數(shù)學(xué)同步講義（人教A版必修一）：第20講 函數(shù)的應(yīng)用（一）（教師版）

第06講函數(shù)的應(yīng)用（一）課程標(biāo)準學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解與掌握具體函數(shù)的應(yīng)用的意義，掌握常見函數(shù)的模型，并能解決與常見函數(shù)相關(guān)的問題。②能根據(jù)實際意義，建立函數(shù)模型，并能解決實際問題.。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，能解決常見函數(shù)的具體問題的處理，能根據(jù)實際意義，建立函數(shù)模型解決相關(guān)的問題知識點一：常見幾類函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型(，為常數(shù)，)二次函數(shù)模型(，，為常數(shù)，)分段函數(shù)模型冪函數(shù)模型(，，為常數(shù)，)知識點二：對鉤函數(shù)（耐克函數(shù)）1、對鉤函數(shù)（一般模型）：對勾函數(shù)是一種類似于反比例函數(shù)的一般雙曲函數(shù)，又被稱為“雙勾函數(shù)”、“勾函數(shù)”、“對號函數(shù)”、“雙飛燕函數(shù)”；所謂的對勾函數(shù)，是形如：（，）的函數(shù)；①定義域：；②是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱；③在，上單調(diào)遞減；在，上單調(diào)遞增；④當(dāng)時，；當(dāng)時，；2、（高頻考試模型）特別的，對鉤函數(shù)的簡易形式：（）其圖象如圖：①定義域：；②（）是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱；③在，上單調(diào)遞減；在，上單調(diào)遞增；④當(dāng)時，；當(dāng)時，；題型01一次函數(shù)模型的應(yīng)用【典例1】（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）甲同學(xué)家到乙同學(xué)家的途中有一座公園，甲同學(xué)家到公園的距離與乙同學(xué)家到公園的距離都是2km.如圖所示表示甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家經(jīng)過的路程(km)與時間(min)的關(guān)系，下列結(jié)論正確的是（

）A．甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家走了60minB．甲從家到公園的時間是30minC．甲從家到公園的速度比從公園到乙同學(xué)家的速度快D．當(dāng)時，與的關(guān)系式為【答案】BD【詳解】在A中，甲在公園休息的時間是10min，所以只走了50min，A錯誤；由題中圖象知，B正確；甲從家到公園所用的時間比從公園到乙同學(xué)家所用的時間長，而距離相等，所以甲從家到公園的速度比從公園到乙同學(xué)家的速度慢，C錯誤；當(dāng)0≤x≤30時，設(shè)y＝kx(k≠0)，則2＝30k，解得，D正確.故選：BD【典例2】（2023秋·廣東廣州·高一廣州大學(xué)附屬中學(xué)校聯(lián)考期末）為了保護水資源，提倡節(jié)約用水，某城市對居民實行“階梯水價”，計費方法如下表：每戶每月用水量水價不超過的部分3元/超過但不超過的部分6元/超過的部分9元/若某戶居民本月交納的水費為54元，則此戶居民的用水量為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)此戶居民本月用水量為,繳納的水費為元,則當(dāng)時,元,不符合題意;當(dāng)時,,令,解得,符合題意；當(dāng)時,,不符合題意.綜上所述:此戶居民本月用水量為15.故選：C.【典例3】（2023·廣東汕頭·高一汕頭市第一中學(xué)?？计谥校┰谝淮螖?shù)學(xué)實踐課上，同學(xué)們進行節(jié)能住房設(shè)計，綜合分析后，設(shè)計出房屋的剖面圖（如圖所示），屋頂所在直線方程分別是和，為保證采光，豎直窗戶的高度設(shè)計為1m，那么點的橫坐標(biāo)為__．【答案】6【詳解】設(shè)A的橫坐標(biāo)為m，則A的坐標(biāo)為（m，0），∵屋頂所在直線方程分別是yx+3和yx，為保證采光，豎直窗戶的高度設(shè)計為1m，∴，解得m＝6，故點A的橫坐標(biāo)為6．故答案為：6．【變式1】（2023·高一課時練習(xí)）(多選)某單位準備印制一批證書，現(xiàn)有兩個印刷廠可供選擇，甲廠費用分為制版費和印刷費兩部分，先收取固定的制版費，再按印刷數(shù)量收取印刷費，乙廠直接按印刷數(shù)量收取印刷費，甲廠的總費用(千元)?乙廠的總費用(千元)與印制證書數(shù)量(千個)的函數(shù)關(guān)系圖分別如圖中甲?乙所示，則（

）A．甲廠的制版費為1千元，印刷費平均每個為0.5元B．甲廠的總費用與證書數(shù)量之間的函數(shù)關(guān)系式為C．當(dāng)印制證書數(shù)量不超過2千個時，乙廠的印刷費平均每個為1.5元D．當(dāng)印制證書數(shù)量超過2千個時，乙廠的總費用與證書數(shù)量之間的函數(shù)關(guān)系式為【答案】ABCD【詳解】由題圖知甲廠制版費為1千元，印刷費平均每個為0.5元，故A正確；設(shè)甲廠的費用與證書數(shù)量滿足的函數(shù)關(guān)系式為，代入點，可得，解得，所以甲廠的費用與證書數(shù)量滿足的函數(shù)關(guān)系式為，故B正確；當(dāng)印制證書數(shù)量不超過2千個時，乙廠的印刷費平均每個為元，故C正確；設(shè)當(dāng)時，設(shè)與之間的函數(shù)關(guān)系式為代入點，可得，解得，所以當(dāng)時，與之間的函數(shù)關(guān)系式為，故D正確.故選：ABCD.【變式2】（2023·高一課時練習(xí)）若等腰三角形的周長為20，底邊長是關(guān)于腰長的函數(shù)，則它的解析式為__________________.【答案】【詳解】由題意，得2x＋y＝20，∴y＝20－2x.∵y>0，∴20－2x>0，∴x<10.又∵三角形兩邊之和大于第三邊，∴，即，解得x>5，∴5<x<10，故所求函數(shù)的解析式為.故答案為：題型02二次函數(shù)模型的應(yīng)用【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）勞動實踐是大學(xué)生學(xué)習(xí)知識?鍛煉才干的有效途徑，更是大學(xué)生服務(wù)社會?回報社會的一種良好形式某大學(xué)生去一服裝廠參加勞動實踐，了解到當(dāng)該服裝廠生產(chǎn)的一種衣服日產(chǎn)量為件時，售價為元/件，且滿足，每天的成本合計為元，請你幫他計算日產(chǎn)量為___________件時，獲得的日利潤最大，最大利潤為___________萬元.【答案】2007.94【詳解】由題意易得日利潤，故當(dāng)日產(chǎn)量為200件時，獲得的日利潤最大，最大利潤為7.94萬元，故答案為：200，7.94.【典例2】（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）某商店試銷一種成本單價為40元/件的新產(chǎn)品，規(guī)定試銷時的銷售單價不低于成本單價，又不高于80元/件，經(jīng)試銷調(diào)查，發(fā)現(xiàn)銷售量（件）與銷售單價（元/件）可近似看作一次函數(shù)的關(guān)系．設(shè)商店獲得的利潤（利潤銷售總收入總成本）為元．（1）試用銷售單價表示利潤；（2）試問銷售單價定為多少時，該商店可獲得最大利潤？最大利潤是多少？此時的銷售量是多少？【答案】（1）；（2）當(dāng)銷售單價為70元/件時，可獲得最大利潤900元，此時銷售量是30件．【詳解】（1）.（2），∴當(dāng)銷售單價為70元/件時，可獲得最大利潤900元，此時銷售量是30件．【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）某企業(yè)生產(chǎn)，兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖（1）所示；產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖（2）所示（注：利潤和投資的單位均為萬元）．圖（1）

圖（2）（1）分別求，兩種產(chǎn)品的利潤關(guān)于投資的函數(shù)解析式．（2）已知該企業(yè)已籌集到18萬元資金，并將全部投入，兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)．①若平均投入兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，可獲得多少利潤？②如果你是廠長，怎樣分配這18萬元投資，才能使該企業(yè)獲得最大利潤？其最大利潤為多少萬元？【答案】(1)，;(2)當(dāng)，兩種產(chǎn)品分別投入2萬元，16萬元時，可使該企業(yè)獲得最大利潤，最大利潤為萬元．【詳解】（1）設(shè)投資為萬元（），，兩種產(chǎn)品所獲利潤分別為，萬元，由題意可設(shè)，，其中，是不為零的常數(shù)．所以根據(jù)圖象可得，，，，所以，．（2）①由（1）得，，所以總利潤為萬元．②設(shè)產(chǎn)品投入萬元，產(chǎn)品投入萬元，該企業(yè)可獲總利潤為萬元，則，．令，則，且，則，．當(dāng)時，，此時，．當(dāng)，兩種產(chǎn)品分別投入2萬元，16萬元時，可使該企業(yè)獲得最大利潤，最大利潤為萬元．【變式1】（2023秋·遼寧丹東·高一丹東市第四中學(xué)?？计谀┦称钒踩珕栴}越來越引起人們的重視，農(nóng)藥、化肥的濫用對人民群眾的健康帶來一定的危害，為了給消費者帶來放心的蔬菜，某農(nóng)村合作社每年投入200萬元，搭建了甲、乙兩個無公害蔬菜大棚，每個大棚至少要投入20萬元，其中甲大棚種西紅柿，乙大棚種黃瓜，根據(jù)以往的種菜經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)種西紅柿的年收入、種黃瓜的年收入與投(單位：萬元)滿足，．設(shè)甲大棚的投入為(單位：萬元)，每年兩個大棚的總收入為(單位：萬元)．（1）求的值；（2）試問如何安排甲、乙兩個大棚的投入，才能使總收入最大？【答案】（1）277.5；（2）投入甲大棚128萬元，乙大棚72萬元時，總收入最大．【詳解】（1）若投入甲大棚50萬元，則投入乙大棚150萬元，所以f(50)＝80＋4＋×150＋120＝277.5．（2）由題知，f(x)＝80＋4＋(200－x)＋120＝－x＋4＋250，依題意得解得20≤x≤180，故f(x)＝－x＋4＋250(20≤x≤180)．令t＝，則t2＝x，t∈[2，6]，y＝－t2＋4t＋250＝－(t－8)2＋282，當(dāng)t＝8，即x＝128時，y取得最大值282，所以投入甲大棚128萬元，乙大棚72萬元時，總收入最大，且最大收入為282萬元．【變式2】（2023秋·山東濟寧·高一?？计谀┠成虉鲣N售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量（單位：千克）與銷售單價（單位：元/千克）滿足關(guān)系式，其中，為常數(shù)，已知銷售單價為元/千克時，每日可售出該商品千克.（1）求的值；（2）若該商品的進價為元/千克，試確定銷售單價的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大，并求出利潤的最大值.【答案】（1）（2）當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，且最大值等于440.【詳解】（1）因為.且時，.所以解得..（2）由（1）可知，該商品每日的銷售量.

所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤：

因為為二次函數(shù)，且開口向上，對稱軸為.所以，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，且最大值等于440.

所以當(dāng)銷售價格定為6元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大，最大利潤為440元.題型03分段函數(shù)模型的應(yīng)用【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號召，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”．經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某珍惜水果樹的單株產(chǎn)量(單位：千克)與施用肥料(單位：千克)滿足如下關(guān)系：，肥料成本投入為元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工費)元．已知這種水果的市場售價大約15元/千克，且銷售暢通供不應(yīng)求，記該水果單株利潤為(單位：元)(1)寫單株利潤(元)關(guān)于施用肥料(千克)的關(guān)系式；(2)當(dāng)施用肥料為多少千克時，該水果單株利潤最大？最大利潤是多少？【答案】(1)；(2)4千克，480元﹒【詳解】（1）依題意，又，∴．（2）當(dāng)時，，開口向上，對稱軸為，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上的最大值為．當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立．∵，∴當(dāng)時，．∴當(dāng)投入的肥料費用為40元時，種植該果樹獲得的最大利潤是480元．【典例2】（2023春·山東聊城·高二山東聊城一中校聯(lián)考階段練習(xí)）某企業(yè)為進一步增加市場競爭力，計劃在2023年利用新技術(shù)生產(chǎn)某款新手機，通過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，生產(chǎn)該產(chǎn)品全年需要投入研發(fā)成本250萬元，每生產(chǎn)（千部）手機，需另外投入成本萬元，其中，已知每部手機的售價為5000元，且生產(chǎn)的手機當(dāng)年全部銷售完.(1)求2023年該款手機的利潤關(guān)于年產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少時，企業(yè)所獲得的利潤最大？最大利潤是多少？【答案】(1)(2)當(dāng)年產(chǎn)量為52（千部）時，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤是5792萬元.【詳解】（1）當(dāng)時，，當(dāng)時,，所以.（2）當(dāng)時，,∴當(dāng)時，，當(dāng)時,,當(dāng)且僅當(dāng)，即時，，因此當(dāng)年產(chǎn)量為52（千部）時，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤是5792萬元.【典例3】（2023春·四川綿陽·高一?？奸_學(xué)考試）對口幫扶是我國一項重要的扶貧開發(fā)政策，在對口扶貧工作中，某生態(tài)基地種植某中藥材的年固定成本為250萬元，每產(chǎn)出噸需另外投入可變成本萬元，已知，通過市場分析，該中藥材可以每頓50萬元的價格全面售完，設(shè)基地種植該中藥材年利潤（利潤銷售額成本）為萬元，當(dāng)基底產(chǎn)出該中藥材40噸時，年利潤為190萬元.(1)年利潤（單位：萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（單位：噸）的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少時（精確到0.1噸），所獲年利潤最大？最大年利潤是多少（精確到0.1噸）？【答案】(1)(2)當(dāng)年產(chǎn)量為84.1噸時，最大年利潤是451.3萬元.【詳解】（1）當(dāng)基底產(chǎn)出該中藥材40噸時，年成本為萬元，利潤為，解得，則.（2）當(dāng)，，，對稱軸為，則函數(shù)在，上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，，當(dāng)，時，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，因為，所以當(dāng)年產(chǎn)量為84.1噸時，所獲年利潤最大，最大年利潤是451.3萬元.【變式1】（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奧會強勢出圈，并衍生出很多不同品類的吉祥物手辦．某企業(yè)承接了“冰墩墩”玩具手辦的生產(chǎn)，已知生產(chǎn)此玩具手辦的固定成本為200萬元．每生產(chǎn)萬盒，需投入成本萬元，當(dāng)產(chǎn)量小于或等于50萬盒時；當(dāng)產(chǎn)量大于50萬盒時，若每盒玩具手辦售價200元，通過市場分析，該企業(yè)生產(chǎn)的玩具手辦可以全部銷售完（利潤＝售價－成本，成本＝固定成本＋生產(chǎn)中投入成本）(1)求“冰墩墩”玩具手辦銷售利潤（萬元）關(guān)于產(chǎn)量（萬盒）的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)產(chǎn)量為多少萬盒時，該企業(yè)在生產(chǎn)中所獲利潤最大？【答案】(1)(2)70萬盒【詳解】（1）當(dāng)產(chǎn)量小于或等于50萬盒時，，當(dāng)產(chǎn)量大于50萬盒時，，故銷售利潤（萬元）關(guān)于產(chǎn)量（萬盒）的函數(shù)關(guān)系式為（2）當(dāng)時，；當(dāng)時，，當(dāng)時，取到最大值，為1200．

因為，所以當(dāng)產(chǎn)量為70萬盒時，該企業(yè)所獲利潤最大．【變式2】（2023·高一課時練習(xí)）某電子公司生產(chǎn)某種智能手環(huán)，其固定成本為2萬元，每生產(chǎn)一個智能手環(huán)需增加投入100元，已知總收入（單位：元）關(guān)于日產(chǎn)量（單位：個）滿足函數(shù)：.(1)將利潤（單位：元）表示成日產(chǎn)量的函數(shù)；(2)當(dāng)日產(chǎn)量為何值時，該電子公司每天所獲利潤最大，最大利潤是多少？（利潤＋總成本＝總收入）【答案】(1)(2)當(dāng)月產(chǎn)量為300臺時，公司獲得的月利潤最大，其值為25000元【詳解】（1）根據(jù)題意，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以.（2）當(dāng)時，，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，易知是減函數(shù)，所以；綜上：當(dāng)時，，所以，當(dāng)月產(chǎn)量為300臺時，公司獲得的月利潤最大，其值為25000元.【變式3】（2023秋·山東菏澤·高一統(tǒng)考期末）世界范圍內(nèi)新能源汽車的發(fā)展日新月異，電動汽車主要分三類：純電動汽車、混合動力電動汽車和燃料電池電動汽車.這3類電動汽車目前處在不同的發(fā)展階段，并各自具有不同的發(fā)展策略.中國的電動汽車革命也早已展開，以新能源汽車替代汽（柴）油車，中國正在大力實施一項將重新塑造全球汽車行業(yè)的計劃.2022年某企業(yè)計劃引進新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，通過市場分析，全年需投入固定成本2000萬元，每生產(chǎn)（百輛），需另投入成本（萬元），且；已知每輛車售價5萬元，由市場調(diào)研知，全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完.(1)求出2022年的利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；(2)2022年產(chǎn)量為多少百輛時，企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤.【答案】(1);(2)100（百輛），2300萬元.【詳解】（1）由題意知利潤收入-總成本，所以利潤,故2022年的利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（百輛）的函數(shù)關(guān)系式為.（2）當(dāng)時，，故當(dāng)時，；當(dāng)時，,當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得等號；綜上所述，當(dāng)產(chǎn)量為100（百輛）時，取得最大利潤，最大利潤為2300萬元．題型04利用對鉤函數(shù)求最值或值域【典例1】（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二統(tǒng)考期中）喝酒不開車，開車不喝酒.若某人飲酒后，欲從相距的某地聘請代駕司機幫助其返程.假設(shè)當(dāng)?shù)氐缆废匏?油價為每升8元，當(dāng)汽車以的速度行駛時，油耗率為.已知代駕司機按每小時56元收取代駕費，試確定最經(jīng)濟的車速，使得本次行程的總費用最少，并求最小費用.【答案】最經(jīng)濟的車速為時，使得本次行程的總費用最少為元.【詳解】設(shè)汽車以行駛時，開車時間為小時，則代駕費用為，油耗為，則總費用，，由對勾函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為，所以當(dāng)時，取到最小值，最小值為.最經(jīng)濟的車速為時，使得本次行程的總費用最少為元.【典例2】（2023·福建福州·高一校聯(lián)考期中）定義：設(shè)函數(shù)的定義域為，若存在實數(shù)，，對任意的實數(shù)，有，則稱函數(shù)為有上界函數(shù)，是的一個上界；若，則稱函數(shù)為有下界函數(shù)，是的一個下界．(1)寫出一個定義在R上且，的函數(shù)解析式；(2)若函數(shù)在(0，1)上是以為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；(3)某同學(xué)在研究函數(shù)單調(diào)性時發(fā)現(xiàn)該函數(shù)在與具有單調(diào)性，①請直接寫出函數(shù)在與的單調(diào)性；②若函數(shù)定義域為，是函數(shù)的下界，請利用①的結(jié)論，求的最大值.【答案】(1)（答案不唯一，如）(2)(3)①為減函數(shù)，為增函數(shù)；②

【詳解】（1），的值域為，的一個上界為，的一個下界為.答案不唯一，如，的值域為，的一個上界為，的一個下界為.（2）依題得對任意，恒成立，，，令在為單調(diào)遞減，，，實數(shù)的取值范圍為.（3）①由對勾函數(shù)的性質(zhì)知，在為減函數(shù)，為增函數(shù)②，由①知，在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，當(dāng)即時，由①知為減函數(shù)，，m是的一個下界，，

當(dāng)即，由①知為增函數(shù)，，m是的一個下界，

當(dāng)即，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，m是的一個下界，.

綜上所述：,【典例3】（2023秋·上海徐匯·高一上海中學(xué)校考期末）設(shè)，是的兩個非空子集，如果函數(shù)滿足：①；②對任意，，當(dāng)時，恒有，那么稱函數(shù)為集合到集合的“保序同構(gòu)函數(shù)”.(1)寫出集合到集合且的一個保序同構(gòu)函數(shù)（不需要證明）；(2)求證：不存在從整數(shù)集的到有理數(shù)集的保序同構(gòu)函數(shù)；(3)已知存在正實數(shù)和使得函數(shù)是集合到集合的保序同構(gòu)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍和的最大值（用表示）.【答案】(1)(2)見解析(3)，的最大值為【詳解】（1）（2）假設(shè)存在一個從集合到集合的“保序同構(gòu)函數(shù)”，由“保序同構(gòu)函數(shù)”的定義可知，集合和集合中的元素必須是一一對應(yīng)的，不妨設(shè)整數(shù)0和1在中的像分別為和，根據(jù)保序性，因為，所以，又也是有理數(shù)，但是沒有確定的原像，因為0和1之間沒有另外的整數(shù)了，故假設(shè)不成立，故不存在從集合到集合的“保序同構(gòu)函數(shù)”；（3），若是集合到集合的保序同構(gòu)函數(shù)，則在單調(diào)遞增，且當(dāng)時，即，函數(shù)單調(diào)遞增，且，則單調(diào)遞減，這與均為單調(diào)遞增函數(shù)，則單調(diào)遞增相矛盾，故不成立，舍去，當(dāng)時，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知：當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，且當(dāng)時，取最小值，因此在單調(diào)遞增，所以是到集合的保序同構(gòu)函數(shù)，則，此時當(dāng)時，，不滿足是到集合的保序同構(gòu)函數(shù)，綜上，，的最大值為【變式1】（2023·高一課時練習(xí)）現(xiàn)在網(wǎng)絡(luò)購物方便快捷，得益于快遞行業(yè)的快速發(fā)展，根據(jù)大數(shù)據(jù)統(tǒng)計，某條快遞線路運行時，發(fā)車時間間隔t（單位：分鐘）滿足：，平均每趟快遞車輛的載件個數(shù)（單位：個）與發(fā)車時間間隔t近似地滿足，其中．(1)若平均每趟快遞車輛的載件個數(shù)不超過1500個，試求發(fā)車時間間隔t的值；(2)若平均每趟快遞車輛每分鐘的凈收益（單位：元），問當(dāng)發(fā)車時間間隔t為多少時，平均每趟快遞車輛每分鐘的凈收益最大？并求出最大凈收益．【答案】(1)4(2)7分鐘時，280（元）【詳解】（1）當(dāng)時，，不滿足題意，舍去，當(dāng)時，，即．解得（舍）或．且，．所以發(fā)車時間間隔為4分鐘．（2）由題意可得當(dāng)時，（元）當(dāng)時，（元）所以發(fā)車時間間隔為7分鐘時，凈收益最大為280（元）．【變式2】（2022秋·廣東深圳·高一深圳市龍崗區(qū)龍城高級中學(xué)?？计谥校┠彻S為提升品牌知名度進行促銷活動，需促銷費用為常數(shù)萬元，計劃生產(chǎn)并銷售某種文化產(chǎn)品萬件生產(chǎn)量與銷售量相等已知生產(chǎn)該產(chǎn)品需投入成本費用萬元不含促銷費用，產(chǎn)品的促銷價格定為元/件.(1)將該產(chǎn)品的利潤萬元表示為促銷費用萬元的函數(shù)；（注：利潤銷售額投入成本促銷費用）(2)當(dāng)促銷費用投入多少萬元時，此工廠所獲得的利潤最大？最大利潤為多少？【答案】(1)，(2)當(dāng)時，當(dāng)促銷費用投入萬元時，此工廠所獲得的利潤最大，最大利潤為萬元；當(dāng)時，當(dāng)促銷費用投入萬元時，此工廠所獲得的利潤最大，最大利潤為萬元.【詳解】（1）由題意得，；（2）由（1）得，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，綜上所述，當(dāng)時，當(dāng)促銷費用投入萬元時，此工廠所獲得的利潤最大，最大利潤為萬元；當(dāng)時，當(dāng)促銷費用投入萬元時，此工廠所獲得的利潤最大，最大利潤為萬元.題型05利用對鉤函數(shù)解決恒成立（能成立）問題【典例1】（2023·高一單元測試）已知函數(shù)．(1)寫出函數(shù)的定義域及奇偶性；(2)請判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義證明在上的單調(diào)性；(3)當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)定義域為，奇函數(shù)(2)單調(diào)遞減，證明見解析(3)(1)函數(shù)的定義域為，因為，所以為奇函數(shù)；(2)在內(nèi)單調(diào)遞減．下面證明：任取且，，因為，所以，所以因為，即．因此，函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)；(3)由得恒成立．由知，函數(shù)在為減函數(shù)

當(dāng)取得最小值因此，實數(shù)a的取值范圍是．【典例2】（2023·浙江杭州·高一杭師大附中校考期中）對于函數(shù),存在實數(shù),使,成立,則稱為關(guān)于參數(shù)的不動點.(1)當(dāng),時,求關(guān)于參數(shù)1的不動點;(2)當(dāng),時,函數(shù)在上存在兩個關(guān)于參數(shù)的相異的不動點,試求參數(shù)的取值范圍;【答案】(1)和3(2)(3)【詳解】（1）當(dāng)時,令,可得即解得或當(dāng)時,關(guān)于參數(shù)1的不動點為和3（2）由已知得在,上有兩個不同解,即在,上有兩個不同解,令,所以,解得:．【典例3】（2023·廣西玉林·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)，且.(1)求函數(shù)的解析式；(2)對任意的實數(shù)，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)(1)由，∴，∴.(2)由，即：，又因為：，∴，令，則：，又在為減函數(shù)，在為增函數(shù).∴，∴，即：.【變式1】（2023·浙江·高一浙江省龍游中學(xué)校聯(lián)考期中）設(shè)函數(shù).(1)若的解集與不等式的解集相同，求函數(shù)的解析式；(2)令，當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)若不等式在區(qū)間上無解，試求?均為整數(shù)的所有的實數(shù)對.【答案】(1)(2)(3)，(1)解：的解集是的兩個根為2和3，則解得，故(2)解：令，則當(dāng)時，恒成立，即恒成立，由故，因為對勾函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，，所以.(3)解：若不等式在區(qū)間上無解，則必須滿足即得，函數(shù)圖象的對稱軸在區(qū)間上還需滿足，即于是，又，當(dāng)時，不存在；當(dāng)時，同理得或4；當(dāng)時，c不存在綜上可知：滿足條件的實數(shù)對有，.【變式2】（2023·遼寧鐵嶺·高一昌圖縣第一高級中學(xué)校考期中）1.已知．(1)如果方程在有兩個根，求實數(shù)的取值范圍；(2)如果，成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)(1)的對稱軸為要想方程在有兩個根，需要滿足解得：(2)，成立，即在上有解，只需大于的最小值，其中為對勾函數(shù)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，所以最小值為故，解得：，實數(shù)的取值范圍為【變式3】（2023·江蘇連云港·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)(1)當(dāng)時，求函數(shù)的值域；(2)解關(guān)于的不等式(3)若對于任意的，均成立，求的取值范圍．【答案】(1)；(2)具體見解析；(3).【詳解】（1），所以函數(shù)的值域為.（2）由題意，，若a=0，則不等式的解集為；若a>0，則不等式的解集為；若a<0，則不等式的解集為.（3）問題等價于對x∈[2，+∞)恒成立，即對x∈[2，+∞)恒成立.設(shè)，圖象如圖：所以，的最小值為.于是，.A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）某企業(yè)一個月生產(chǎn)某種商品萬件時的生產(chǎn)成本為（萬元），每件商品售價為元，假設(shè)每月所生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部售完．當(dāng)月所獲得的總利潤用（萬元）表示，用表示當(dāng)月生產(chǎn)商品的單件平均利潤，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)生產(chǎn)萬件時，當(dāng)月能獲得最大總利潤萬元B．當(dāng)生產(chǎn)萬件時，當(dāng)月能獲得最大總利潤萬元C．當(dāng)生產(chǎn)萬件時，當(dāng)月能獲得單件平均利潤最大為元D．當(dāng)生產(chǎn)萬件時，當(dāng)月能獲得單件平均利潤最大為元【答案】D【詳解】由題意可得，故當(dāng)時，取得最大值，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因此，當(dāng)生產(chǎn)萬件時，當(dāng)月能獲得最大總利潤萬元，當(dāng)生產(chǎn)萬件時，當(dāng)月能獲得單件平均利潤最大為元.故選：D.2．（2023秋·四川資陽·高一四川省安岳實驗中學(xué)?？计谀┠彻S近期要生產(chǎn)一批化工試劑，經(jīng)市場調(diào)查得知，生產(chǎn)這批試劑的成本分為以下三個部分：①生產(chǎn)1單位試劑需要原料費50元；②支付所有職工的工資總額由7500元的基本工資和每生產(chǎn)1單位試劑補貼20元組成；③后續(xù)保養(yǎng)的費用是每單位元（試劑的總產(chǎn)量為單位，），則要使生產(chǎn)每單位試劑的成本最低，試劑總產(chǎn)量應(yīng)為（

）A．60單位 B．70單位 C．80單位 D．90單位【答案】D【詳解】解：設(shè)每生產(chǎn)單位試劑的成本為，因為試劑總產(chǎn)量為單位，則由題意可知，原料總費用為元，職工的工資總額為元，后續(xù)保養(yǎng)總費用為元，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，滿足，所以要使生產(chǎn)每單位試劑的成本最低，試劑總產(chǎn)量應(yīng)為90單位．故選：D．3．（2023秋·河南周口·高一統(tǒng)考期末）某公司招聘員工，面試人數(shù)按擬錄用人數(shù)分段計算，計算公式為．其中代表擬錄用人數(shù)，代表面試人數(shù)．若面試人數(shù)為60，則該公司擬錄用人數(shù)為A．15 B．25 C．40 D．130【答案】B【詳解】由題意，函數(shù)，令，若，則，不合題意；若，則，滿足題意；若，則，不合題意．故該公司擬錄用25人．故選B4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某種商品進貨價為每件200元，售價為進貨價的125%，因庫存積壓，若按9折出售，每件還可獲利A．元 B．元 C．元 D．元【答案】C【詳解】無折扣的售價為：200125%=250（元），打折后售價為：2500.9=225(元)，獲利;225-200=25(元)，所以若按9折出售，每件還可獲利25元．故選C.5．（2023·高一課時練習(xí)）某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料，如圖，為降低消耗，開源節(jié)流，現(xiàn)要從這些邊角料上截取矩形鐵片(如圖中陰影部分)備用，當(dāng)截取的矩形面積最大時，矩形兩邊長x、y應(yīng)為()．A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14【答案】A【詳解】由三角形相似得,得,由0<x≤20得,8≤y<24,∴,∴當(dāng)y=12時,S有最大值,此時x=15.選A6．（2022秋·浙江·高一舟山中學(xué)校聯(lián)考期中）某商場在國慶期間舉辦促銷活動，規(guī)定：顧客購物總金額不超過400元，不享受折扣；若顧客的購物總金額超過400元，則超過400元部分分兩檔享受折扣優(yōu)惠，折扣率如下表所示：可享受折扣優(yōu)惠的金額折扣率不超過400元部分超過400元部分若某顧客獲得65元折扣優(yōu)惠，則此顧客實際所付金額為（

）A．935元 B．1000元 C．1035元 D．1100元【答案】C【詳解】當(dāng)顧客的購物總金額超過400元不超過800元時，享受折扣優(yōu)惠的金額做多為元，故該顧客購物總金額一定超過了800元，設(shè)為x元，則，解得（元），則此顧客實際所付金額為元，故選：C.7．（2022秋·江蘇連云港·高一?？计谥校┠耻囬g分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準備費用為900元，若每批生產(chǎn)件，則平均倉儲時間為天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲費用為1元，為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品（

）A．30件 B．60件 C．80件 D．100件【答案】B【詳解】根據(jù)題意，該生產(chǎn)件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和是這樣平均每件的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和為（為正整數(shù)）由基本不等式，得當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取得最小值，時，每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和最小故選：B8．（2022秋·重慶南岸·高一重慶市第十一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，?已知函數(shù)，則函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】顯然，.當(dāng)時，，令，當(dāng)x>0時，，，當(dāng)且僅當(dāng)，x=1時，等號成立；當(dāng)x<0時，，，且.當(dāng)且僅當(dāng)，x=-1時，等號成立.綜上所述，的值域為所以，根據(jù)高斯函數(shù)的定義，函數(shù)的值域是故選：C.二、多選題9．（2022·高一單元測試）某部影片的盈利額(即影片的票房收入與固定成本之差)記為，觀影人數(shù)記為，關(guān)于的函數(shù)圖像如圖（1）所示．由于目前該片盈利未達到預(yù)期，相關(guān)人員提出了兩種調(diào)整方案，圖（2）、圖（3）中的實線分別為調(diào)整后關(guān)于的函數(shù)圖像．給出下列四種說法，其中正確的說法是（

）A．圖（2）對應(yīng)的方案是：提高票價，并提高固定成本B．圖（2）對應(yīng)的方案是：保持票價不變，并降低固定成本C．圖（3）對應(yīng)的方案是：提高票價，并保持固定成本不變D．圖（3）對應(yīng)的方案是：提高票價，并降低固定成本【答案】BC【詳解】由圖（1）可設(shè)關(guān)于的函數(shù)為，，，為票價，當(dāng)時，，則為固定成本；由圖（2）知，直線向上平移，不變，即票價不變，變大，則變小，固定成本減小，故A錯誤，B正確；由圖（3）知，直線與軸的交點不變，直線斜率變大，即變大，票價提高，不變，即不變，固定成本不變，故C正確，D錯誤；故選：BC．10．（2022秋·浙江舟山·高一舟山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）記實數(shù)中的最大數(shù)為，最小數(shù)為，則關(guān)于函數(shù)的說法中正確的是（

）A．方程有三個根 B．的單調(diào)減區(qū)間為和C．的最大值為 D．的最小值為【答案】AC【詳解】由的含義可得圖象如下圖所示，由圖象可知：對于A，與有且僅有三個不同交點，即有三個根，A正確；對于B，的單調(diào)遞減區(qū)間為和，B錯誤；對于C，，C正確；對于D，無最小值，D錯誤.故選：AC.三、填空題11．（2023春·河北承德·高一承德市雙灤區(qū)實驗中學(xué)?？奸_學(xué)考試）某在校大學(xué)生提前創(chuàng)業(yè)，想開一家服裝專賣店，經(jīng)過預(yù)算，店面裝修費為10000元，每天需要房租水電等費用100元，受營銷方法、經(jīng)營信譽度等因素的影響，專賣店銷售總收入與店面經(jīng)營天數(shù)的關(guān)系是，則總利潤最大時店面經(jīng)營天數(shù)是___.【答案】200【詳解】解：由題意，時，，時，；時，，天時，總利潤最大為10000元故答案為：200．12．（2023·高一課時練習(xí)）某同學(xué)設(shè)想用“高個子系數(shù)k”來刻畫成年男子的高個子的程度，他認為，成年男子身高160及其以下不算高個子，其高個子系數(shù)k應(yīng)為0；身高190及其以上的是理所當(dāng)然的高個子，其高個子系數(shù)k應(yīng)為1，請給出一個符合該同學(xué)想法?合理的成年男子高個子系數(shù)k關(guān)于身高的函數(shù)關(guān)系式___________.【答案】，(只要寫出的函數(shù)滿足在區(qū)間上單調(diào)遞增，且過點和即可.答案不唯一)【詳解】由題意函數(shù)是上的增函數(shù)，設(shè)，，由，解得，所以，所以故答案為：注：在上設(shè)其他函數(shù)式也可以，只要是增函數(shù)，只有兩個參數(shù)．如，等等．四、解答題13．（2023秋·上海徐匯·高一上海市西南位育中學(xué)校考期末）某品牌手機公司的年固定成本為50萬元，每生產(chǎn)1萬部手機需增加投入20萬元，該公司一年內(nèi)生產(chǎn)萬部手機并全部銷售完當(dāng)年銷售量x低于40萬部時，每銷售1萬部手機的收入萬元；當(dāng)年銷售量x不低于40萬部時，每銷售1萬部手機的收入萬元(1)寫出年利潤y萬元關(guān)于年銷售量x萬部的函數(shù)解析式；(2)年銷售量為多少萬部時，利潤最大，并求出最大利潤．【答案】(1)(2)38萬部時，最大利潤為7170萬元.【詳解】（1）依題意，生產(chǎn)萬部手機，成本是（萬元），故利潤，而，故，整理得，；（2）時，，開口向下的拋物線，在時，利潤最大值為；時，，其中，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為，故時，取得最小值故在時，y取得最大值而，故年銷售量為38萬部時，利潤最大，最大利潤為7170萬元.14．（2023秋·廣東肇慶·高一廣東肇慶中學(xué)校考期中）某運輸公司今年初用49萬元購進一臺大型運輸車用于運輸.若該公司預(yù)計從第1年到第年花在該臺運輸車上的維護費用總計為萬元，該車每年運輸收入為25萬元.(1)該車運輸幾年開始盈利？（即總收入減去成本及所有費用之差為正值）(2)若該車運輸若干年后，處理方案有兩種：①當(dāng)年平均盈利達到最大值時，以17萬元的價格賣出；②當(dāng)盈利總額達到最大值時，以8萬元的價格賣出.哪一種方案較為合算？請說明理由.【答案】(1)3年(2)方案①較為合算【詳解】（1）由題意可得，即，解得，，該車運輸3年開始盈利.；（2）該車運輸若干年后，處理方案有兩種：①當(dāng)年平均盈利達到最大值時，以17萬元的價格賣出，，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，方案①最后的利潤為：（萬；②當(dāng)盈利總額達到最大值時，以8萬元的價格賣出，，時，利潤最大，方案②的利潤為（萬，兩個方案的利潤都是59萬，按照時間成本來看，第一個方案更好，因為用時更短，方案①較為合算.B能力提升1．（2023秋·廣東廣州·高一廣東番禺中學(xué)?？计谀?013年9月7日，習(xí)近平總書記在哈薩克斯坦納扎爾巴耶夫大學(xué)發(fā)表演講并回答學(xué)生們提出的問題，在談到環(huán)境保護問題時，他指出：“我們既要綠水青山，也要金山銀山．寧要綠水青山，不要金山銀山，而且綠水青山就是金山銀山．”“綠水青山就是金山銀山”這一科學(xué)論斷，成為樹立生態(tài)文明觀、引領(lǐng)中國走向綠色發(fā)展之路的理論之基．新能源汽車環(huán)保、節(jié)能，以電代油，減少排放，既符合我國的國情，也代表了世界汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展的方向．某新能源公司投資280萬元用于新能源汽車充電樁項目，n（且）年內(nèi)的總維修保養(yǎng)費用為萬元，該項目每年可給公司帶來200萬元的收入.設(shè)到第n（且）年年底，該項目的純利潤（純利潤＝累計收入－累計維修保養(yǎng)費－投資成本）為萬元．已知到第3年年底，該項目的純利潤為128萬元．(1)求實數(shù)k的值．并求該項目到第幾年年底純利潤第一次能達到232萬元；(2)到第幾年年底，該項目年平均利潤（平均利潤＝純利潤÷年數(shù)）最大？并求出最大值．【答案】(1)8，第4年；(2)到第6年年底，該項目年平均利潤最大，最大為萬元.【詳解】（1）依題意可得，，∵已知，∴，∴（且）．令，解得．∵，∴該項目到第4年年底純利潤第一次能達到232萬元．（2）年平均利潤為，令（且），則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又∵，，∴．∴到第6年年底，該項目年平均利潤最大，最大為萬元．2．（2023·高一課時練習(xí)）如圖，，，三地有直道相通，千米，千米，千米.現(xiàn)甲、乙兩警員同時從地出發(fā)勻速前往地，經(jīng)過小時，他們之間的距離為（單位：千米）.甲的路線是，速度為千米/小時，乙的路線是，速度為千米/小時.乙到達地后原地等待.設(shè)時乙到達地.（1）求與的值；（2）已知警員的對講機的有效通話距離是千米.當(dāng)時，求的表達式，并判斷在上得最大值是否超過？說明理由.【答案】（1），（2），不超過.【詳解】解：（1）．記乙到時甲所在地為，則千米．