第44講 數(shù)列的求和高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 導(dǎo)學(xué)案 精講專研（新高考）

第44講數(shù)列的求和1．公式法(1)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝＝.推導(dǎo)方法：倒序相加法．(2)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝推導(dǎo)方法：乘公比，錯位相減法．(3)一些常見的數(shù)列的前n項(xiàng)和：①1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2)；②2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；③1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.2．幾種數(shù)列求和的常用方法(1)分組轉(zhuǎn)化求和法：一個數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減．(2)裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得前n項(xiàng)和．(3)錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項(xiàng)是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么求這個數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用錯位相減法求解．(4)倒序相加法：如果一個數(shù)列{an}與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法求解．3、常見的裂項(xiàng)技巧①eq\f(1,nn＋1)＝.②eq\f(1,nn＋2)＝.③eq\f(1,2n－12n＋1)＝.④eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝⑤eq\f(1,nn＋1n＋2)＝1、（2023?甲卷（理））已知等比數(shù)列中，，為前項(xiàng)和，，則A．7 B．9 C．15 D．302、（2023?新高考Ⅱ）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則A．120 B．85 C． D．3、（2021?甲卷（文））記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則A．7 B．8 C．9 D．104、（2021?上海）已知為無窮等比數(shù)列，，的各項(xiàng)和為9，，則數(shù)列的各項(xiàng)和為．5、（2021?新高考Ⅰ）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折．規(guī)格為的長方形紙，對折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推．則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為，如果對折次，那么6、（2023?甲卷（理））已知數(shù)列中，，設(shè)為前項(xiàng)和，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．7、（2021?新高考Ⅰ）已知數(shù)列滿足，（1）記，寫出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的前20項(xiàng)和．8、（2023年全國新高考Ⅱ卷）.為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）證明：當(dāng)時，．9、（2022?甲卷（文））記為數(shù)列的前項(xiàng)和．已知．（1）證明：是等差數(shù)列；（2）若，，成等比數(shù)列，求的最小值．1、數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝(－1)n(2n－1)，則該數(shù)列的前100項(xiàng)之和為()A．－200 B．－100C．200 D．1002、數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則等于（）A．1 B． C． D．3、設(shè)，則()A． B． C． D．4、已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))，若前n項(xiàng)和為10，則項(xiàng)數(shù)n為________．5、已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an＝n·2n，則Sn＝____________．考向一公式法例1、（山東師范大學(xué)附中高三月考）設(shè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和為．若，，則________，的最大值為________．變式1、（2023·河北唐山·統(tǒng)考三模）設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則__________.變式2、（2023·安徽合肥·校聯(lián)考三模）是公差不為零的等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，若，，，成等比數(shù)列，則________．方法總結(jié)：若一個數(shù)列為等差數(shù)列或者等比數(shù)列則運(yùn)用求和公式：①等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.②等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(Ⅰ)當(dāng)q＝1時，Sn＝na1；(Ⅱ)當(dāng)q≠1時，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).考向二利用“分組求和法”求和例2、已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(n2＋n,2)，n∈N*.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝2an＋(－1)nan，求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和．變式1、（2023·黑龍江·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┮阎獢?shù)列，前n項(xiàng)和為，且滿足，，，，，等比數(shù)列中，，且，成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)記為區(qū)間中的整數(shù)個數(shù)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．變式2、（2023·重慶·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．變式3、（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列滿足．(1)證明：是一個等差數(shù)列；(2)已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和．方法總結(jié)：數(shù)列求和應(yīng)從通項(xiàng)入手，若無通項(xiàng)，則先求通項(xiàng)，然后通過對通項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求前n項(xiàng)和的數(shù)列求和．考向三裂項(xiàng)相消法求和例3、（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考一模）設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列，，是，的等比中項(xiàng).(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.變式1、設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝1，Sn＝nan－n(n－1)(n＝1，2，3，…).(1)求證：數(shù)列{an}為等差數(shù)列，并寫出an關(guān)于n的表達(dá)式；(2)若數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,anan＋1)))的前n項(xiàng)和為Tn，求滿足Tn>eq\f(100,209)的最小正整數(shù)n的值．變式2、（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考一模）在①成等比數(shù)列，②，③這三個條件中任選兩個，補(bǔ)充在下面問題中，并完成解答.已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且滿足__________，__________.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求.注：如果選擇多個方案分別解答，按第一個方案計分.變式3、（2023·江蘇南京·?？家荒＃┮阎缺葦?shù)列的前項(xiàng)和為,,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)令,求數(shù)列的前項(xiàng)和.方法總結(jié)：常見題型有（1）數(shù)列的通項(xiàng)公式形如an＝eq\f(1,nn＋k)時，可轉(zhuǎn)化為an＝eq\f(1,k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋k)))，此類數(shù)列適合使用裂項(xiàng)相消法求和．（2）數(shù)列的通項(xiàng)公式形如an＝eq\f(1,\r(n＋k)＋\r(n))時，可轉(zhuǎn)化為an＝eq\f(1,k)(eq\r(n＋k)－eq\r(n))，此類數(shù)列適合使用裂項(xiàng)相消法求和．考向四錯位相減法求和例4、（2023·江蘇南京·南京市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．正項(xiàng)等比數(shù)列中，，．(1)求與的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．變式1、已知{an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，{bn}是等比數(shù)列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10.(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式；(2)求Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，n∈N*.變式2、（2023·湖南長沙·長沙市明德中學(xué)?？既＃┮阎炔顢?shù)列前項(xiàng)和為，，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求和：.方法總結(jié)：主要用于一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列的求和，即等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣.。特別注意錯位相減法的步驟。1、（2023·湖南·鉛山縣第一中學(xué)校聯(lián)考三模）從午夜零時算起，在鐘表盤面上分針與時針第次重合時，分針走了，則24小時內(nèi)（包括第24時）所有這樣的之和（

）A．24 B．300 C．16560 D．180002、（2023·湖南郴州·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．3、（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的前n項(xiàng)和______.4、（2023·江蘇南京·南京市秦淮中學(xué)?？寄M預(yù)測）在①，②，③這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并解答.已知等差數(shù)列的公差為，等差數(shù)列的公差為.設(shè)分別是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.5、（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考三模）已