數字信號處理課程設計-等波紋數字FIR低通濾波器

帶入公式ξ1=（）/()，ξ2=中:得ξ1=0.0575，ξ2=0.03548由凱澤逼近n的公式:n=,Δ=求得ωs-ωp=Δ=0.01,；3．在Matlab中利用REMEZ函數計算程序如下：>>Fs=8000;>>f=[976.8,1056.8];>>m=[1,0];>>rp=1;rs=9;>>dat1=(10^(rp/20)-1)/(10^(rp/20)+1);>>dat2=10^(-rs/20);>>[M,fo,mo,w]=remezord(f,m,rip,Fs);???Undefinedfunctionorvariable'rip'.>>rip=[dat1,dat2];>>[M,fo,mo,w]=remezord(f,m,rip,Fs);>>M=M+1;>>hn=remez(M,fo,mo,w);>>figure(1)>>>>freqz(hn);>>基于Matlab的幅頻響應曲線等波紋最佳逼近法設計的數字低通濾波器的幅頻響應曲線4.2使用FDA工具箱設計FIR低通濾波器4.2.1簡要介紹FDA工具箱：FDATool(FilterDesign&AnalysisTool)是MATLAB信號處理工具箱里專用的濾波器設計分析工具，MATLAB6.0以上的版本還專門增加了濾波器設計工具箱(FilterDesignToolbox)。FDATool可以設計幾乎所有的常規(guī)濾波器，包括FIR和IIR的各種設計方法。它操作簡單，方便靈活。FDATool界面總共分兩大部分，一部分是DesignFilter，在界面的下半部，用來設置濾波器的設計參數；另一部分則是特性區(qū)，在界面的上半部分，用來顯示濾波器的各種特性。DesignFilter部分主要分為:FilterType(濾波器類型)選項，包括Lowpass(低通)、Highpass(高通)、Bandpass(帶通)、Bandstop(帶阻)和特殊的FIR濾波器。DesignMethod(設計方法)選項，包括IIR濾波器的Butterworth(巴特沃思)法、ChebyshevTypeⅠ(切比雪夫Ⅰ型)法、ChebyshevTypeⅡ(切比雪夫Ⅱ型)法、Elliptic(橢圓濾波器)法和FIR濾波器的Equiripple法、Least2Squares(最小乘方)法、Window(窗函數)法。FilterOrder(濾波器階數)選項,定義濾波器的階數，包括SpecifyOrder(指定階數)和MinimumOrder(最小階數)。在SpecifyOrder中填入所要設計的濾波器的階數(N階濾波器，SpecifyOrder=N-1)，如果選擇MinimumOrder，則MATLAB根據所選擇的濾波器類型自動使用最小階數。FrenquencySpecifications選項，可以詳細定義頻帶的各參數，包括采樣頻率fs和頻帶的截止頻率。它的具體選項由FilterType選項和DesignMethod選項決定，例如Bandpass(帶通)濾波器需要定義Fstop1(下阻帶截止頻率)、Fpass1(通帶下限截止頻率)、Fpass2(通帶上限截止頻率)、Fstop2(上阻帶截止頻率)，而Lowpass(低通)濾波器只需要定義Fstop1、Fpass1。采用窗函數設計濾波器時，由于過渡帶是由窗函數的類型和階數所決定的，所以只需要定義通帶截止頻率，而不必定義阻帶參數。MagnitudeSpecifications選項，可以定義幅值衰減的情況。例如設計帶通濾波器時,可以定義Wstop1(頻率Fstop1處的幅值衰減)、Wpass(通帶范圍內的幅值衰減)、Wstop2(頻率Fstop2處的幅值衰減)。當采用窗函數設計時，通帶截止頻率處的幅值衰減固定為6db，所以不必定義。WindowSpecifications選項，當選取采用窗函數設計時，該選項可定義，它包含了各種窗函數。4.2.2用FDA工具箱實現要求的濾波功能：調用FDA工具箱程序為：>>FDAtool調用后，據前述FDA工具箱簡介設置，設置完后的界面截圖如下：濾波器量化分析圖調用REMEZ函數進行運算的結果如圖1和圖2圖1Remez函數運算結果圖2hn計算值(傳遞函數中分子各項前系數)由圖1和圖2可得：M為FIR數字濾波器階數，hn長度N=M+1求得M=57，N=M+1=58通帶振蕩波紋幅度ξ1=dat1=0.0575阻帶振蕩波紋幅度ξ2=dat2=0.0354誤差加權函數W=[1,6.1705]傳遞函數中分子各項前系數hn見附錄4．手工計算和利用REMEZ函數計算結果比較通過比較手工計算與運用Matlab中REMEZ函數計算結果可以發(fā)現，由手工計算得出的濾波器階數N、通帶振蕩波紋幅度ξ1、阻帶振蕩波紋幅度ξ2與由REMEZ函數計算得出的N、ξ1與ξ2相等，證明計算無誤。二濾波器的結構不同對性能指標的影響FIR濾波器的基本結構FIR濾波器的單位抽樣響應為有限長度，一般采用非遞歸形式實現。通常的FIR數字濾波器有橫截性和級聯(lián)型兩種。(a)FIR濾波器的橫截型結構表示系統(tǒng)輸入輸出關系的差分方程可寫作：

(2-3)直接由差分方程得出的實現結構如圖1所示：圖1、橫截型(直接型﹑卷積型)若h(n)呈現對稱特性，即此FIR濾波器具有線性相位，則可以簡化加橫截型結構，下面分情況討論：圖2、N為奇數時線形相位FIR濾波器實現結構圖3、N為偶數時線性相位FIR濾波器實現結構(b)FIR濾波器的級聯(lián)型結構將H(z)分解成實系數二階因子的乘積形式： (2-4)

這時FIR濾波器可用二階節(jié)的級聯(lián)結構來實現，每個二階節(jié)用橫截型結構實現。如下圖所示在設計濾波器時，對于同一個傳遞函數對應著許多種等效結構，然而這些結構能達到的性能效果卻有所不同。在無限參數字長的情況下，所有能實現傳遞函數的結構之間，其表現完全相同。然而，在實際中，由于參數字長有限的限制，各實現結構的表現并不相同。在MATLAB中可以利用FDATool工具箱構建不同類型的數字濾波器。為了使對比效果明顯，將上述初步設計的等波紋數字FIR帶通濾波器的設計參數的字長（即轉移函數中分子各項前的系數）進行保留小數點后10位的縮減。1.利用直接型結構構建數字濾波器FIR網絡結構特點是沒有反饋支路，即沒有環(huán)路，其單位脈沖響應是有限長的。設單位脈沖響應h（n）長度為N，由之前算出的h（n）可得出（系數小數點后保留10位）系統(tǒng)函數為：H（z）=-n=0.012938435023626-0.114399055404857z-1+0.059367227786797z-2+…-0.114399055404857z-52+0.012938435023626z-53表示系統(tǒng)輸入輸出關系的差分方程可寫作:y(n)=直接型的結構流圖如圖3所示：y(n)y(n)x(n)z-1z-1…………z-10.0129384350236260.0129384350236260.0129384350236260.0129384350236260.0129384350236260.0129384350236260.0415812488491030.059367227786797-0.114399055404857圖3直接型網絡構圖選擇filterstructure選項框中的Direct-FormI選項，點擊窗口下方的ImportFilter按鈕，構建直接2型結構的等波紋數字FIR帶通濾波器，結果如圖4所示：圖4Direct-FormI型結構的濾波器幅頻響應圖讀圖可以得濾波器技術指標（ωsl，ωpl，ωpu，ωsu，單位為Hz；,,單位為dB）如表1所示：性能指標初始設計指標仿真后設計參數△ωsl0.12210.24462890.1223289ωpl0.13210.27246090.1403609910.377391.3773910.525000.47500表1Direct-FormI結構濾波器對性能指標的影響可以得Direct-FormI結構的濾波器技術指標（ωsl，ωpl，單位為；,,單位為dB）如表2所示：性能指標初始設計指標Direct-FormI△ωsl0.12210.12139-0.00071ωpl0.13210.136230.00413910.056231.0562310.2418727-0.75812表2Direct-FormI結構濾波器對性能指標的影響由圖4和表1表2可以看出：=1\*GB2⑴濾波器幅頻曲線在通帶和阻帶內波動幅度不太均勻。=2\*GB2⑵阻帶最小衰減比初始設計高1.05623dB，通帶最大衰減比初始設計低0.75812dB。=3\*GB2⑶ωpl比初始設計高0.00413而ωsl卻比初始設計值低0.00071，截止頻率坡度較初始設計更加平緩。由于Direct-FormII和Direct-FormI均屬于直接型結構濾波器，因此均具有直接型所共有的上述誤差。2．利用級聯(lián)型結構構建數字濾波器將H（z）進行因式分解，并將共軛成對的零點放在一起，形成一個系數為實數的二階形式，這樣級聯(lián)型網絡結構就是由一階或二階因子構成的級聯(lián)結構，其中每一個因式都用直接型實現。+9.3764將直接型結構系統(tǒng)函數轉變?yōu)榧壜?lián)型結構的系統(tǒng)函數，運用Matlab中的tf2sos進行運算（程序及運算結果見附錄），可得級聯(lián)結構的系統(tǒng)函數為：H（z）=0.0129(1-9.3748z-1+9.3764)(1-0.9998z-1+0.1067z-2)……（1-1.5953z-1+0.7779z-2）（1-1.7151z-1+0.7728z-2）x(n)x(n)β21-9.37480.01290.1067-0.999810.7728-1.715119.3764、、、、、、、、……y(n)圖5級聯(lián)型網絡構圖選擇Edit下拉菜單中點擊ConverttoSecond-orderSections選項，將構建好的Direct-FormI結構的等波紋數字FIR帶通濾波器轉換為級聯(lián)濾波器，結果如圖6所示:圖6級聯(lián)型結構的濾波器幅頻響應圖讀圖可以得級聯(lián)型結構的濾波器技術指標（ωsl，ωpl，單位為；,,單位為dB）如表2所示：性能指標初始設計指標級聯(lián)型△ωsl0.12210.23071290.1086129ωpl0.13210.27246090.1423609910.066051.0660510.4283456-0.5716544表2級聯(lián)結構濾波器對性能指標的影響由圖6和表2中可以看出：=1\*GB2⑴濾波器幅頻曲線在通帶和阻帶內波動比直接型結構濾波器幅頻曲線更均勻。=2\*GB2⑵阻帶最小衰減比初始設計值低1.06605dB，通帶最大衰減比初始設計0.5716544dB。=3\*GB2⑶ωsl、ωpl分別比初始設計低了0.1086129、0.1423609和，濾波器的截止頻率坡度較初始設計更加平緩。3、兩種濾波器結構對性能指標影響的比較與總結比較表1和表2發(fā)現：在參數字長保留了小數點后10位的情況下，兩種結構的濾波器較初始設計在性能指標方面均有誤差。由于直接型濾波器的系數不是直接決定單個零極點，不能很好的進行濾波器性能的控制，且直接型濾波器的極點對參數的變化過于敏感，從而使得系統(tǒng)的頻率響應對參數的變化也特別敏感，容易出現不穩(wěn)定或產生較大誤差；而級聯(lián)型濾波器每個二階系數單獨控制一對零、極點，有利于控制頻率響應。因此直接型誤差比級聯(lián)型更大，受有限參數字長影響更大，主要表現在直接型的ωsl、ωpl、和與設計要求的相應性能間的差的絕對值普遍大于級聯(lián)型。此外，級聯(lián)型的的幅頻響應曲線的通帶的波動穩(wěn)定性要稍好于直接型。所以，參數字長有限的情況下，級聯(lián)結構型濾波器對參數變化的反應要比直接結構型的更小，性能指標誤差更小，濾波效果更好，更能符合設計指標的要求。三參數字長對性能指標的影響在實際的數字濾波器的設計中，由于計算機或DSP芯片等的字長和存儲空間有限，所以也只能對設計參數取有限的字長進行設計。然而，如果字長太短，則設計的濾波器誤差就會太大，造成濾波效果不佳。下面研究不同參數字長對性能指標的影響。將計算獲得的等波紋帶通FIR數字濾波器的系數輸入FDAtool中的filtercoefficients工具中，并點擊ImportFilter按鈕，生成數字濾波器。運用Setquantizationparameters按鈕，在filterarithmetic下拉菜單下選擇FixedPoint選項，進入如圖7所示的界面。圖7Setquantizationparameters工作界面通過改變coefficientwordlength的值便可以改變參與構建濾波器的參數字長。圖中虛線為供參考的理想字長下生成的濾波器的幅頻響應曲線，圖中實線為改變參數字長后的濾波器幅頻響應曲線。1．參數字長取2位對性能指標的影響將coefficientwordlength的值改為2，點擊下方的Apply按鈕，此時設計的濾波器幅頻響應曲線和性能指標如圖8所示：圖8參數字長取2位時的濾波器幅頻響應曲線圖從圖中可以看出：字長為2位時，濾波器的各項性能指標離設計指標偏差很大，濾波器失真明顯，幾乎達不到濾波效果，遠遠不能滿足設計指標的要求。2.參數字長取8位對性能指標的影響將coefficientwordlength的值改為8，點擊下方的Apply按鈕，此時設計的濾波器幅頻響應曲線和性能指標如圖10和表4所示：圖10參數字長取6位時的濾波器幅頻響應曲線圖表4參數保留小數點后6位時的性能指標一覽表性能指標初始設計指標實際指標△ωsl976.8978.54561.7456ωpl1056.81203.516146.716942.4332133.433211-1.618435-0.618435由圖10和表4可以看出，當參數字長取為8位時，幅頻曲線失真進一步減小，但仍可以看出。性能指標與設計要求的差值繼續(xù)減小，也已不明顯；通帶最大衰減頻率和阻帶最小衰減頻率與設計指間標誤差還是有一定的差距，距離設計要求仍可以進一步接近。3.參數字長取12位對性能指標的影響將coefficientwordlength的值改為12，點擊下方的Apply按鈕，此時設計的濾波器幅頻響應曲線和性能指標如圖12所示：圖12參數字長取12位時的濾波器幅頻響應曲線圖表6參數保留小數點后12位時的性能指標一覽表性能指標）初始設計指標實際指標△ωsl976.8971.7773-5.0227ωpl1056.81191.797134.997941.6555132.6555111.2014370.201437由圖11和表5可以看出，當參數字長取為12位時，幅頻曲線失真進一步減小，但程度已經很小，失真幾乎可以忽略。截止頻率已與設計要求相差無幾，通帶最大衰減仍然和設計要求有不小的差距，還不可以忽略。4.參數字長取14位對性能指標的影響將coefficientwordlength的值改為14，點擊下方的Apply按鈕，此時設計的濾波器幅頻響應曲線和性能指標如圖12所示：圖12參數字長取14位時的濾波器幅頻響應曲線圖表6參數保留小數點后14位時的性能指標一覽表性能指標）初始設計指標實際指標△ωsl976.8933.1055-43.6945ωpl1056.81089.84433.044910.234631.2346310.4239894-0.5760106由圖12和表6可以看出，當參數字長取為14位及以上時，幅頻曲線失真幾乎為零，設計的曲線與要求的曲線幾乎完全重合，截止頻率與實際要求幾乎完全相同，通帶最大衰減頻率和阻帶最小衰減頻率與設計指間相差也很小，設計的濾波器的各項性能指標達到了設計要求。6．結論總結發(fā)現：參數字長越長，設計出的濾波器就越符合設計指標要求，誤差越小，穩(wěn)定性越好，濾波性能越好。當參數字長達到14及位及以上時，設計的濾波器便可達到設計性能指標。參考文獻[1]高息全丁美玉.《數字信號處理》[M].西安：西安電子科技大學出版社，2008.8[2]陳懷琛.《數字信號處理教程——MATLAB釋義與實現》[M].北京：電子工業(yè)出版社，2004.12[3]張德豐.《詳解MATLAB數字信號處理》[M].北京：電子工業(yè)出版社，2010.6[4]飛思科技產品研發(fā)中心.《MATLAB7輔助信號處理技術與應用》[M].北京：電子工業(yè)出版社，2005.3附錄1.傳遞函數中分子各項前系數hn值傳遞函數中分子各項前系數hn=[0.012938435023626-0.1143990554048570.0593672277867970.0415812488491030.008841603754351-0.014057380912040-0.022815373404645-0.018157775744515-0.0045330357270710.0108186539181350.0199353489444220.0177358521328140.004801891411290-0.012129807978883-0.023278059803632-0.021130709466477-0.0052108137427730.0167541788044970.0318552566433860.0288338154661570.005447338957195-0.028173949617822-0.052901218396566-0.048933328203234-0.0056405026611970.0710009216869230.1590839329019640.2291147971505610.2556582863896810.2291147971505610.1590839329019640.071000921686923-0.005640502661197-0.048933328203234-0.052901218396566-0.0281739496178220.0054473389571950.0288338154661570.0318552566433860.016754178804497-0.005210813742773-0.021130709466477-0.023278059803632-0.0121298079788830.0048018914112900.0177358521328140.0199353489444220.010818653918135-0.004533035727071-0.018157775744515-0.022815373404645-0.0140573809120400.0088416037543510.0415812488491030.059367227786797-0.1143990554048570.012938435023626]2.求解級聯(lián)型系統(tǒng)函數程序及結果將直接型結構系統(tǒng)函數轉變?yōu)榧壜?lián)型結構的系統(tǒng)函數，運用Matlab中的tf2sos函數的程序如下：B=[0.012938435023626-0.1143990554048570.0593672277867970.0415812488491030.008841603754351-0.014057380912040-0.022815373404645-0.018157775744515-0.0045330357270710.0108186539181350.0199353489444220.0177358521328140.004801891411290-0.012129807978883-0.023278059803632-0.021130709466477-0.0052108137427730.0167541788044970.0318552566433860.0288338154661570.005447338957195-0.028173949617822-0.052901218396566-0.048933328203234-0.0056405026611970.0710009216869230.1590839329019640.2291147971505610.2556582863896810.2291147971505610.1590839329019640.071000921686923-0.005640502661197-0.048933328203234-0.052901218396566-0.0281739496178220.0054473389571950.0288338154661570.0318552566433860.016754178804497-0.005210813742773-0.021130709466477-0.023278059803632-0.0121298079788830.0048018914112900.0177358521328140.0199353489444220.010818653918135-0.004533035727071-0.018157775744515-0.022815373404645-0.0140573809120400.0088416037543510.0415812488491030.059367227786797-0.1143990554048570.012938435023626]A=1;[S,G]=tf2sos(B,A)運算結果為：S=Columns1through51.0000-9.37489.37641.000001.0000-0.99980.10671.000001.0000-2.21931.29391.000001.0000-2.05081.28551.000001.0000-1.78091.25521.000001.0000-0.48251.00001.000001.0000-0.24901.00001.000001.00000.22281.00001.000001.00000.89471.00001.000001.00001.28471.00001.000001.00000.67931.00001.000001.00001.99661.0