隨機過程在經(jīng)濟學中的應用

/隨機過程在經(jīng)濟學的應用一、隨機過程概述隨機過程是由一組無限多個隨機變量組成的序列，是用來描繪一連串隨機事件動態(tài)關(guān)系的序列。隨機過程論語其他數(shù)學分支如位勢論、微分方程、力學及復變函數(shù)論鄧有密切的關(guān)系，是在自然科學、工程科學及社會科學各領(lǐng)域研究隨機現(xiàn)象的重要工具。隨機過程論目前已得到廣泛的應用，在諸多如天氣預報、統(tǒng)計物理、天體物理、運籌決策、經(jīng)濟數(shù)學、安全科學、人口理論、可靠性及計算機科學等很多領(lǐng)域都要經(jīng)常用到隨機過程的理論來建立數(shù)學模型。隨機過程的概念很廣泛，其研究幾乎包括概率論的全部。在客觀世界中有些隨機現(xiàn)象表示的是事物隨機變化的過程，不能用隨機變量和速記矢量來描繪，需要用一族無限多個隨見變量來描述，這就是隨機過程。定義：設(shè)（Ω，F(xiàn)，P）是一個概率空間，T是一個實數(shù)集。{X（t，w），t∈T，w∈Ω}即為定義在T和Ω上的二元函數(shù)，若此函數(shù)對任意固定的t∈T，X（w，t）是任意（Ω，F(xiàn)，P）上的隨機變量，則稱{X（t，w），t∈T，w∈Ω}是隨機過程（StochasticProcess）。在研究隨機過程是人們透過表面的偶然性描述出必然的內(nèi)在規(guī)律并以概率的形式來描述這些規(guī)律，從偶然中悟出必然正是這一學科的魅力所在。二、隨機過程發(fā)展簡史概率論的起源與博弈問題有關(guān)，而隨機過程這一學科最早是起源于對物理學的研究，如布吉斯、玻爾茲曼、龐加萊等人對統(tǒng)計力學的研究，及后來愛因斯坦、維納、萊維等人對布朗運動的開創(chuàng)性工作。氣體分子運動是，由于相互碰撞等原因而迅速改變自己的位置與速度，其運動的過程是隨機的。人們希望知道，運動的軌道有什么性質(zhì)（能否連續(xù)、可微的等等）；分子從一點出發(fā)能達到某區(qū)域的概率有多大；如果有兩類分子同時運動，由于擴散而互相滲透，那么擴散是如何進行的，要經(jīng)過多久其混合才會變得均勻這些實際問題的數(shù)學抽象為隨機過程論提供了研究的課題。1900年，Bachelier首次將布朗運動用與股票價格的描述。隨后公式化概率論首先使得隨機過程的研究獲得了新的起點，他是作為隨機變化的偶然量的數(shù)學模型，是線代概率論研究的主要論題。1907年前后，A.A.馬爾可夫研究過一列有特定相依性的隨機變量，后人稱之為馬爾可夫鏈。這是一種無后效性隨機過程，即在當前狀態(tài)下，過程未來狀態(tài)與其過去狀態(tài)無關(guān)。1923年，N.維納給出了布朗運動的數(shù)學定義（后人也稱數(shù)學上的布朗運動為維納過程），這種過程至今仍是重要的研究對象。雖然如此，隨機過程一般理論的研究通常認為開始于30年代，維納還在時間序列和濾波理論的建立做出了貢獻。1931年，A.H.柯爾莫哥洛夫發(fā)表了《概率論的解析方法》；三年后，A.R.辛欽發(fā)表了《平穩(wěn)過程的相關(guān)理論》。這兩篇重要論文為馬爾可夫過程與平穩(wěn)過程奠定了理論基礎(chǔ)。稍后，P.Levy從1938年開始創(chuàng)立研究隨機過程的新方法，即著眼于軌道性質(zhì)的概率方法，1948年出版了《隨機過程與布朗運動》，提出了獨立增量的一般理論，并以其為基礎(chǔ)極大地促進了對作為一類特殊的Markov過程的布朗運動的研究。從1942年開始，日本數(shù)學家伊藤清引進了隨機積分和隨機微分方程。1951年，伊藤清建立了關(guān)于布朗運動的隨機微分方程的理論，為研究馬爾可夫過程開辟了新的道路。1953年，J.L杜布的名著《隨機過程論》問世，它系統(tǒng)且嚴格的敘述了隨機過程的基本理論。60年代，法國學派基于馬爾可夫過程和位勢理論中的一些思想與結(jié)果，在相當大的程度上發(fā)展了隨機過程的一般理論，包括截口定理與過程的投影理論等。隨機過程的發(fā)展歷史當中，中國學者如江澤培、王梓坤、馬志明、李文博等人在平穩(wěn)過程、馬爾可夫過程、極限定理、隨機微分方程鄧方面也做出了較大的貢獻。研究隨機過程的方法多種多樣，主要可以分為兩大類：一類是概率方法，其中用到軌道性質(zhì)、停時和隨機微分方程鄧；另一類是分析的方法，其中用到測度論、微分方程、半群理論、函數(shù)堆和希爾伯特空間等。另外組合方法和袋鼠方法在某些特殊隨機過程的研究中也有一定的作用。研究的主要內(nèi)容有：多指標隨機過程、無窮質(zhì)點與馬爾可夫過程、概率與位勢及各種特殊過程的專題討論等。三、隨機過程在經(jīng)濟學中的應用在進行經(jīng)濟管理決策之前，往往存在不確定的一些東西，導致所作出的決策存在一定的風險，只有在做出科學的、正確的決策才能使我們獲益最大。因此在做決策之前我們應該充分考慮所要投資的東西所帶來的風險程度，才能正確的做出投資決策，才能使我們把風險降到最低。利用隨機過程知識就可以為我們做出好的決策，下面將從兩個方面來進行說明隨機過程論在經(jīng)濟決策中的作用。3.1最大利潤與投資風險（數(shù)學期望與方差的應用）在隨機過程中有這樣兩個我們很熟悉的字眼“數(shù)學期望”和“方差”，通過“數(shù)學期望”和“方差”可以解決人們在經(jīng)濟中的決策問題，幫助人們選擇合適的投資方案降低投資風險，盡可能的獲得更高的效益?！皵?shù)學期望”可以表示收益的大小，“數(shù)學期望”越大收益就越大，“方差”代表的是波動性的大小，方差越大波動性越大,人們要獲得利益最大，風險最小，就只需求出投資方案的期望與方差，選擇期望最大，方差最小的方案，就是最優(yōu)方案。求“數(shù)學期望“的公式為：若離散型隨機變量可能取值為a（i=1,2,3,4）,其分布列為p（i=1,2,3…..）則當時，稱存在數(shù)學期望，并且數(shù)學期望為E=；計算方差的公式是D=E(-E)下面將以實例來進行說明：例3.1:現(xiàn)有A、B、C、D四種證券，它們的收益與概率如下表表3.1類型收益（元）概率證券證券證券證券（1）某人要投資以上四種證券中的一種問如何選擇最好？解：我們先考慮數(shù)學期望可見選擇中證券的平均收益最大，但還要考慮投資風險，其次再來考慮它的方差：可見若要單獨投資一種我們要選擇效益高而且是風險最低的一種，那就選擇是最合適的了。（2）若某人選擇投資兩種證券，問按什么樣的比例來投資他的收益是最大的，而且風險也最??？解：要投資兩種證券，則我們應該構(gòu)造一個投資組合,其中指一份中占的比例。此時我們要選擇適當?shù)?，使最小，由簡單的?shù)學知識我們可算得a=9/17時，達到最小值為，則當與按的比例構(gòu)造時，平均收益仍為元，但投資風險比單獨投資時減少了將近一半故采用上述投資最好?？梢娎秒S機過程論中的數(shù)學期望與方差可以很好的解決一些經(jīng)濟中的決策問題。當面臨幾種經(jīng)濟決策時，就可以利用期望和方差做出最優(yōu)的決策。3.2隨機過程論知識在彩票問題中的應用前幾年，“彩票颶風”席卷中華大地，在我國的各個地方流行著各種彩票，花幾塊錢就可以中百萬元大獎，這是多少人夢寐以求的事情。以某省“選”福利彩票為例可得出人們中獎的概率平均為幾萬分之一。可見中獎的幾率太小了，但仍有人很多人抱著“早中，晚中，早晚要中”的僥幸心理，就會一直堅持著買彩票，在這個過程中我們是賺了還是賠了呢？現(xiàn)在我們就用隨機過程論中的獨立性來分析一下：我們不妨假設(shè)某彩票每周開一次，每次提供一千萬分之一的中頭獎的機會，并且每周開獎是獨立的，你堅持十年買彩票（每年按52周算）你中頭獎的概率會是多少呢？對任意事件，如果有四個等式同時成立，則稱事件相互獨立。解：我們計為“第次開獎中獎”,則十年未中獎的概率為==這個結(jié)果表明，十年以后未中獎是件再正常不過的事了通過以上分析你