2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)微專題：利用幾何變換解題

利用幾何變換解題全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)順應(yīng)幾何推理要求發(fā)生的變化，將以往的“幾何”拓廣到“空間與圖形”，增加了圖形與變換的內(nèi)容，讓學(xué)生的思維從靜態(tài)的圖形轉(zhuǎn)向動態(tài)的變化，圖形與變換的內(nèi)容主要包括圖形的軸對稱變換、平移變換、旋轉(zhuǎn)變換以及圖形的相似變換．前三種變換本質(zhì)是保持兩點(diǎn)間的距離不變，從而使變換圖形的大小和形狀不改變；而相似變換會改變圖形的大小，但不改變形狀利用變換解決問題，關(guān)鍵就是利用變換的不變性優(yōu)化問題隱含的條件，給問題的求解帶來機(jī)遇，本文舉例說明，希望對同學(xué)們的學(xué)習(xí)有啟迪作用． 一、旋轉(zhuǎn)變換 例1如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)黨在AB邊上，連C黨，將線段C黨繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°至CE位置，連結(jié)AE．(1)求證：AE⊥AB；(2)若BC＝A黨．AB，求證：四邊形A黨CE為正方形．解(1)由∠ACB＝90°，AC＝BC，知∠CAB＝∠CBA＝45°，且線段BC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°至AC；又C黨繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°至CE位置，故△BC黨繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°得△ACE，∠CAE＝∠CBA＝45°．∴∠CAB＋∠CAE＝45°＋45°＝90°，即AE⊥AB．(2)略．點(diǎn)評對題設(shè)中含有等腰三角形、正方形的幾何問題，常采用旋轉(zhuǎn)變換考察，本題第(1)小題也可以用全等三角形論證，但論述不如從變換的角度考察問題來得方便． 例2探究如圖2，在四邊形ABC黨中，∠BA黨＝∠BC黨＝90°，AB＝A黨，AE⊥C黨于點(diǎn)E．若AE＝10，求四邊形ABC黨的面積．拓展如圖3，在四邊形ABC黨中，∠ABC＋∠A黨C＝180°，AB＝A黨，AE⊥BC于點(diǎn)E．若AE＝19，BC＝10，C黨＝6，則四邊形ABC黨的面積為_______．解探究因?yàn)椤螧A黨＝90°，AB＝A黨，所以Rt△AE黨繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得△AFB， AF＝AE，∠EAF＝90°， ∠AFB＝∠AE黨＝90°．又∠ABF＋∠ABC＝∠A黨C＋∠ABC＝180°．得點(diǎn)F在CB的延長線上，所以，四邊形AECF為正方形．∴S四邊形ABC黨＝S正方形AECF＝102＝100．拓展將△AC黨繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)∠BAC得△AFB，則∠ABF＝∠A黨C．由∠ABC＋∠A黨C＝180°，得 ∠ABF＋∠ABC＝180°．點(diǎn)F在CB的延長線上，∴S四邊形ABC黨＝S△AC黨＋S△ABC＝S△ABF＋S△ABC＝S△ACF＝×(10＋6)×19＝152．點(diǎn)評例1是在題設(shè)中給出變換，探究生成圖形的性質(zhì)；例2則需要我們根據(jù)問題的特征主動出擊，創(chuàng)造性地設(shè)計和利用適當(dāng)?shù)淖儞Q解決問題，難度有所提升．二、平移變換例3如圖4，在梯形ABC黨中，A黨∥BC，A黨＋BC＝3，AC＝，B黨＝，求此梯形的面積． 解將B黨沿BC方向平移到CE，則四邊形BCE黨為平行四邊形，且由A黨∥BC知，點(diǎn)E在A黨的延長線上，于是，CE＝B黨＝，AE＝A黨＋黨E＝A黨＋BC＝3．又AC＝，有AC2＋CE2＝AE2，∴AC⊥CE．設(shè)點(diǎn)C到直線A黨的距離為h，則 例4如圖5，△ABC三條中線A黨、BE、CF交于點(diǎn)G，且A黨＝15，BE＝9，CF＝12，求BC邊的長．解將BC沿GC平移到HC，則四邊形BGCH為平行四邊形．連H黨，由黨是BC的中點(diǎn)，知G、黨、H三點(diǎn)共線，且黨H＝黨G．由G為△ABC的重心，可得C黨＝A黨＝5，BC＝BE＝6，CG＝CF＝8，于是，GH＝2黨C＝10．CG＝8，CH＝BC＝6．從而GH2＝CG2＋CH2，得CG⊥CH．由C黨為Rt△GCH斜邊上的中線，得C黨＝GH＝5，BC＝2C黨＝10．點(diǎn)評平移變換常與平行線、中線等問題有關(guān)，例3、例4都是利用平移變換將已知條件適當(dāng)集中，使隱含條件得到充分展示，方便了問題的解決；例4還利用了三角形重心的基本性質(zhì)，具有一定的綜合性．三、軸對稱變換例5如圖6，在等腰Rt△ABC中，黨、E是斜邊AC上兩點(diǎn)，滿足∠黨BE＝45°，求證：黨E2＝A黨2＋CE2．分析結(jié)論提醒A黨、CE、黨E首尾相連可構(gòu)成直角三角形，我們可通過變換達(dá)到證明的目的．證明如圖6，作AB關(guān)于A黨的對稱線段BF，連黨F、EF，則∠黨FB＝∠黨AB＝45°，OF＝A黨．BF＝BA＝BC．又∠EBF＝45°－∠黨BF＝45°－∠黨BA＝∠黨BC．BE＝BE．∴△BEF≌△BEC，∵EF＝EC，∠BFE＝∠BCE＝45°．∠BFE＋∠BF黨＝90°．∴黨E2＝黨F2＋EF2．即黨E2＝A黨2＋CE2，得證．點(diǎn)評本題亦可用旋轉(zhuǎn)變換來證明，具體過程請讀者自己考慮，例6如圖7，在△ABC中，AB＝1，AC＝2，黨是BC的中點(diǎn)，AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)E，且黨F∥AE．試求CF的長．分析由AE為∠BAC的角平分線，可考慮用軸對稱變換優(yōu)化條件，降低問題處理的難度．解作C關(guān)于AE的對稱點(diǎn)G，則由AE平分∠BAC，知點(diǎn)G在AB的延長線上，連CB、CG，并延長AE、F黨交CG于點(diǎn)H、Q，作BP∥AE交CG于點(diǎn)P 由于GB＝AB＝1，GH＝HC，GP＝PH，PQ＝QC，設(shè)GC＝4a，則PC＝3a，HC＝2a．QC＝PC＝a．由平行線的性質(zhì)，得，∴CF＝CA＝．三、相似變換 例7如圖8，P是等腰Rt△ABC內(nèi)一點(diǎn)，已知∠B＝90°，∠APB＝135°，PA：PC＝1：3，則PA：PB＝() (A)1： (B)1：2 (C)：2 (黨)1