機器人技術(shù)基礎(chǔ)課件第七章機器人軌跡規(guī)劃

第七章機器人軌跡規(guī)劃7.3笛卡爾空間軌跡規(guī)劃法

第七章機器人軌跡規(guī)劃7.2關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃7.1機器人的軌跡規(guī)劃第七章機器人軌跡規(guī)劃

第七章機器人軌跡規(guī)劃7.1機器人的軌跡規(guī)劃機器人軌跡規(guī)劃機器人運動學(xué)機器人關(guān)節(jié)變量運動方程機器人位姿機器人軌跡規(guī)劃機器人位姿1軌跡：關(guān)節(jié)變量機器人位姿2機器人運動學(xué)機器人動力學(xué)速度、加速度軌跡：機械手在運動過程中的位移、速度和加速度。軌跡規(guī)劃：根據(jù)作業(yè)任務(wù)的要求，計算出預(yù)期的運動軌跡。分為關(guān)節(jié)空間規(guī)劃和直角坐標(biāo)空間規(guī)劃兩類。運動學(xué)動力學(xué)軌跡規(guī)劃關(guān)節(jié)空間操作空間控制位置控制軌跡控制力控制協(xié)調(diào)控制第七章機器人軌跡規(guī)劃軌跡規(guī)劃既可在關(guān)節(jié)空間中進(jìn)行，也可在直角坐標(biāo)空間中進(jìn)行。在關(guān)節(jié)空間中進(jìn)行軌跡規(guī)劃是指將所有關(guān)節(jié)變量表示為時間的函數(shù)，用這些關(guān)節(jié)函數(shù)及其一階、二階導(dǎo)數(shù)描述機器人預(yù)期的運動。在直角坐標(biāo)空間中進(jìn)行軌跡規(guī)劃，是指將手爪位姿、速度和加速度表示為時間的函數(shù)，而相應(yīng)的關(guān)節(jié)位置、速度和加速度由手爪信息導(dǎo)出。7.1機器人的軌跡規(guī)劃關(guān)節(jié)空間描述與直角坐標(biāo)描述關(guān)節(jié)空間描述：采用關(guān)節(jié)量來描述機器人的運動。優(yōu)點：描述方法簡單缺點：機器人在兩點之間的運動不可預(yù)知直角坐標(biāo)描述：機器人的運動序列首先在直角坐標(biāo)空間中進(jìn)行描述，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)節(jié)空間描述。優(yōu)點：機器人在兩點之間的運動可預(yù)知缺點：計算量大t關(guān)節(jié)空間軌跡θP0P1P2P3P4P5P6直角坐標(biāo)空間軌跡直角坐標(biāo)空間軌跡7.1機器人的軌跡規(guī)劃當(dāng)需要更詳細(xì)地描述運動時，不僅要規(guī)定機器人的起始點和終止點，而且要給出介于起始點和終止點之間的中間點，也稱路徑點。運動軌跡除了位姿約束外，還存在著各路徑點之間的時間分配問題。例如，在規(guī)定路徑的同時，必須給出兩個路徑點之間的運動時間。機器人的運動應(yīng)當(dāng)平穩(wěn)，不平穩(wěn)的運動將加劇機械部件的磨損，并導(dǎo)致機器人的振動和沖擊。一階導(dǎo)數(shù)(速度)，有時甚至二階導(dǎo)數(shù)(加速度)也應(yīng)該連續(xù).7.1機器人的軌跡規(guī)劃機器人從位置A移動到位置B。方式1：每秒每軸轉(zhuǎn)10度。方式2：兩軸同步轉(zhuǎn)動。7.1機器人的軌跡規(guī)劃機器人從位置A移動到位置B。方式3：沿直線等分運動。方式4：沿直線非等分運動。7.1機器人的軌跡規(guī)劃沿期望路徑運動方式5：加速—勻速—減速—停止。方式6：平滑轉(zhuǎn)接小線段。方式7：修正軌跡+平滑轉(zhuǎn)接。7.1機器人的軌跡規(guī)劃第七章機器人軌跡規(guī)劃第七章機器人軌跡規(guī)劃7.2關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃首先需要將每個作業(yè)路徑點向關(guān)節(jié)空間變換，即用逆運動學(xué)方法把路徑點轉(zhuǎn)換成關(guān)節(jié)角度值，或稱關(guān)節(jié)路徑點；然后，為每個關(guān)節(jié)相應(yīng)的關(guān)節(jié)路徑點擬合光滑函數(shù)；這些關(guān)節(jié)函數(shù)分別描述了機器人各關(guān)節(jié)從起始點開始，依次通過路徑點，最后到達(dá)某目標(biāo)點的運動軌跡。由于每個關(guān)節(jié)在相應(yīng)路徑段運行的時間相同，這樣就保證了所有關(guān)節(jié)都將同時到達(dá)路徑點和目標(biāo)點，從而也保證了工具坐標(biāo)系在各路徑點具有預(yù)期的位姿；7.2關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃t某關(guān)節(jié)的反解值（線性化）θ反解關(guān)節(jié)值光滑函數(shù)擬合每個關(guān)節(jié)確定路徑點每個關(guān)節(jié)運動時間相同以關(guān)節(jié)角度（位置）函數(shù)描述機器人軌跡：計算簡單、無奇異性。▼關(guān)鍵要使關(guān)節(jié)軌跡滿足約束條件，如各點上的位姿、速度和加速度要求和連續(xù)性要求等，在滿足約束條件下選取不同的插值函數(shù)。7.2關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃當(dāng)已知末端操作器的起始位姿和終止位姿時，由逆向運動學(xué)，即可求出對應(yīng)于兩位姿的各個關(guān)節(jié)角度。因此，末端操作器實現(xiàn)兩位姿的運動軌跡描述，可在關(guān)節(jié)空間中用通過起始點關(guān)節(jié)角和終止點關(guān)節(jié)角的一個平滑軌跡函數(shù)θ(t)來表示；為了實現(xiàn)關(guān)節(jié)的平穩(wěn)運動，每個關(guān)節(jié)的軌跡函數(shù)θ(t)至少需要滿足四個約束條件：兩端點位置約束和兩端點速度約束。7.2.1三次多項式插值

考慮機械手末端在一定時間內(nèi)從初始位置和方位移動到目標(biāo)位置和方位的問題。利用逆運動學(xué)計算，可以首先求出一組起始和終點的關(guān)節(jié)位置。現(xiàn)在的問題是求出一組通過起點和終點的光滑函數(shù)。滿足這個條件的光滑函數(shù)可以有許多條，如下圖所示：157.2.1三次多項式插值圖7.3單個關(guān)節(jié)的不同軌跡曲線顯然，這些光滑函數(shù)必須滿足以下條件：同時若要求在起點和終點的速度為零，即：那么可以選擇如下的三次多項式：作為所要求的光滑函數(shù)。式7-3中有4個待定系數(shù)，而該式需滿足式7-1和7-2的4個約束條件，因此可以唯一地解出這些系數(shù)：（7-3）（7-2）（7-1）滿足起點和終點的關(guān)節(jié)角度約束滿足起點和終點的關(guān)節(jié)速度約束16關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃7.2.1三次多項式插值利用約束條件確定三次多項式系數(shù)，有下列方程組：7.2.1三次多項式插值（7-4）關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃求解方程組

由上式確定的三次多項式描述了起始點和終止點具有任意給定位置和速度的運動軌跡。剩下的問題就是如何確定路徑點上的期望關(guān)節(jié)速度。7.2.1三次多項式插值（7-5）例：

設(shè)機械手的某個關(guān)節(jié)的起始關(guān)節(jié)角θ0＝150，并且機械手原來是靜止的。要求在3秒鐘內(nèi)平滑地運動到θf=750時停下來(即要求在終端時速度為零)。規(guī)劃出滿足上述條件的平滑運動的軌跡，并求出關(guān)節(jié)角位置、角速度及角加速度隨時間變化的方程。解：根據(jù)所給約束條件，直接代入式(7-4)，可得：a0=15，a1=0，a2=20，a3=-4.44

所求關(guān)節(jié)角的位置函數(shù)為：對上式求導(dǎo)，可以得到角速度和角加速度197.2.1三次多項式插值

三次多項式插值的關(guān)節(jié)運動軌跡曲線如圖所示。由圖可知，其速度曲線為拋物線，相應(yīng)的加速度曲線為直線。圖

三次多項式插值的關(guān)節(jié)運動軌跡7.2.1三次多項式插值

過路徑點的三次多項式方法：把所有路徑點都看成是“起點”或“終點”，求解逆運動學(xué)，得到相應(yīng)的關(guān)節(jié)矢量值。然后確定所要求的三次多項式插值函數(shù)，把路徑點平滑的連接起來。不同的是，這些“起點”和“終點”的關(guān)節(jié)速度不再是零。21圖7.4過路徑點的三次多項式7.2.1三次多項式插值

把每個關(guān)節(jié)上相鄰的兩個路徑點分別看做起始點和終止點，再確定相應(yīng)的三次多項式插值函數(shù)，把路徑點平滑連接起來。一般情況下，這些起始點和終止點的關(guān)節(jié)運動速度不再為零。速度約束條件7.2.1三次多項式插值其約束條件是：聯(lián)接處不僅速度連續(xù)，而且加速度也連續(xù)。

如果對于運動軌跡的要求更為嚴(yán)格，約束條件增多，那么三次多項式就不能滿足需要，必須用更高階的多項式對運動軌跡的路徑段進(jìn)行插值。例如，對某段路徑的起點和終點都規(guī)定了關(guān)節(jié)的位置、速度和加速度（有六個未知的系數(shù)），則要用一個五次多項式進(jìn)行插值。多項式的系數(shù)必須滿足6個約束條件。237.2.2高級多項式插值（7-6）247.2.2高級多項式插值257.2.2高級多項式插值可畫出它們隨時間的變化曲線如圖所示，（a）、（b）、（c）分別表示該機器人手臂關(guān)節(jié)的位移、速度、加速度運動軌跡曲線?？梢钥闯?，角速度曲線為一拋物線。將約束條件帶入，可得：

前面介紹了利用三次多項式函數(shù)插值的規(guī)劃方法。另外一種常用方法是線性函數(shù)插值法，即用一條直線將起點與終點連接起來。但是，簡單的線性函數(shù)插值將使得關(guān)節(jié)的運動速度在起點和終點處不連續(xù)，它也意味著需要產(chǎn)生無窮大的加速度，這顯然是不希望的。因此可以考慮在起點和終點處，用拋物線與直線連接起來，在拋物線段內(nèi)，使用恒定的加速度來平滑地改變速度，從而使得整個運動軌跡的位置和速度是連續(xù)的。7.2.3用拋物線過渡的線性插值圖7.6利用拋物線過渡的線性函數(shù)插值圖27圖7.5線性函數(shù)插值圖7.2.3用拋物線過渡的線性插值28圖

多段帶有拋物線過渡的線性插值軌跡在實際應(yīng)用中，雖然各路徑段采用拋物線過渡域的線性函數(shù)，但是機器人的運動關(guān)節(jié)并不能真正到達(dá)那些路徑點。即使選取的加速度充分大，實際路徑也只是十分接近理想路徑點。7.2.3用拋物線過渡的線性插值線性函數(shù)+兩段拋物線函數(shù)平滑地銜接在一起，形成帶有拋物線過渡域的線性軌跡。7.2.3用拋物線過渡的線性插值綜合上述式子，可得：（7.7）（7.8）（7.9）7.2.3用拋物線過渡的線性插值

當(dāng)上式中的等號成立時，軌跡線性段的長度縮減為零，整個軌跡由兩個過渡域組成，這兩個過渡域在銜接處的斜率(關(guān)節(jié)速度)相等；

加速度

的取值愈大，過渡域的長度會變得愈短，若加速度趨于無窮大，軌跡又復(fù)歸到簡單的線性插值情況。用拋物線過渡的線性函數(shù)插值進(jìn)行軌跡規(guī)劃的物理概念非常清楚，即如果機器人每一關(guān)節(jié)電動機采用等加速、等速和等減速運動規(guī)律。7.2.3用拋物線過渡的線性插值7.2.3用拋物線過渡的線性插值7.2.3用拋物線過渡的線性插值7.2.3用拋物線過渡的線性插值目前，在機器人運動分析中，面向關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃方法被廣泛采用，它還可以把笛卡爾路徑點變換為相應(yīng)的關(guān)節(jié)坐標(biāo)，并用低次多項式內(nèi)插這些關(guān)節(jié)點。這種方法的優(yōu)點是計算較快，而且易于處理機器人手臂關(guān)節(jié)的動力學(xué)約束。但當(dāng)取樣點落在擬合的光滑多項式曲線上時，面向關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃方法沿笛卡爾路徑的準(zhǔn)確性會有所損失。t關(guān)節(jié)角軌跡光滑θ▼關(guān)節(jié)空間函數(shù)的光滑性并不表示操作空間運動的光滑性7.2關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃第七章機器人軌跡規(guī)劃7.3笛卡爾空間軌跡規(guī)劃法第七章機器人軌跡規(guī)劃

在關(guān)節(jié)空間內(nèi)的規(guī)劃，可以保證運動軌跡經(jīng)過給定的路徑點。但是在直角坐標(biāo)空間，路徑點之間的軌跡形狀往往是十分復(fù)雜的，它取決于機械手的運動學(xué)機構(gòu)特性。在有些情況下，對機械手末端的軌跡形狀也有一定要求，如要求它在兩點之間走一條直線，或者沿著一個圓弧運動以繞過障礙物等。這時便需要在直角坐標(biāo)空間內(nèi)規(guī)劃機械手的運動軌跡。

直角坐標(biāo)空間的路徑點，指的是機械手末端的工具坐標(biāo)相對于基坐標(biāo)的位置和姿態(tài)。每一個點由6個量組成，其中3個量描述位置，另外3個量描述姿態(tài)。

在直角坐標(biāo)空間內(nèi)規(guī)劃的方法主要有：線性函數(shù)插值法和圓弧插值法。377.3笛卡兒空間規(guī)劃法例一個兩自由度機器人要求從起點(3,10)沿直線運動到終點(8,14)。假設(shè)路徑分為10段，求出機器人的關(guān)節(jié)變量。每一根桿的長度為9英寸。解：直角空間坐標(biāo)系中直線方程為：7.3.1空間直線插補坐標(biāo)和關(guān)節(jié)角插補：關(guān)節(jié)空間：已知初始和終止關(guān)節(jié)角通常采用三次多項式作為平滑函數(shù)操作空間：已知初始和終止末端位姿分直線插補和圓弧插補操作空間的直線軌跡插補方法如下：1）設(shè)定末端運動的速度v，加速度a，及插補的時間t，即機器人的伺服周期，通常為20ms。2）計算兩點之間的直線的距離7.3.1空間直線插補3）計算插補次數(shù)4）求得各插補點坐標(biāo)值。5）應(yīng)用運動學(xué)逆解算法求解各插補點的關(guān)節(jié)變量。7.3.1空間直線插補2023/11/11-41-平面圓弧插補平面圓弧是指圓弧平面與基坐標(biāo)系的三大平面之一重合，以XOY平面圓弧為例。已知不在一條直線上的三點P1、P2、P3及這三點對應(yīng)的機器人手端的姿態(tài)，如圖所示。

7.3.2圓弧插補

圖

由已知的三點P1、P2、P3決定的圓弧圖

圓弧插補2023/11/11-42-平面圓弧插補

圖

由已知的三點P1、P2、P3決定的圓弧7.3.2圓弧插補2023/11/11-43-平面圓弧插補

圖

由已知的三點P1、P2、P3決定的圓弧7.3.2圓弧插補2023/11/11-44-

平面圓弧插補

圖

由已知的三點P1、P2、P3決定的圓弧7.3.2圓弧插補2023/11/11-45-

空間圓弧插補

7.3.2圓弧插補

空間圓弧是指三維空間任一平面內(nèi)的圓