高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)1 第1講　空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖和直觀圖

第1講空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖和直觀圖課標(biāo)要求考情分析1.認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)．2．能畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等及其簡(jiǎn)易組合)的三視圖，能識(shí)別上述三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出它們的直觀圖．3．會(huì)用平行投影方法畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、三視圖、直觀圖在高考中幾乎年年考查．主要考查根據(jù)幾何體的三視圖求其體積與表面積．對(duì)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、三視圖、直觀圖的考查，以選擇題和填空題為主.核心素養(yǎng)：直觀想象、數(shù)學(xué)建模1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征2．三視圖(1)幾何體的三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖，分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫(huà)出的輪廓線．(2)三視圖的畫(huà)法①基本要求：長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等．②畫(huà)法規(guī)則：正側(cè)一樣高，正俯一樣長(zhǎng)，側(cè)俯一樣寬；看不到的線畫(huà)虛線．3．直觀圖(1)畫(huà)法：常用斜二測(cè)畫(huà)法．(2)規(guī)則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸和y′軸所在的平面垂直；②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸．平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉?lái)的一半．常用結(jié)論1．常見(jiàn)幾何體的三視圖類(lèi)型及其幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)三視圖為三個(gè)三角形，一般對(duì)應(yīng)三棱錐；(2)三視圖為兩個(gè)三角形，一個(gè)四邊形，一般對(duì)應(yīng)四棱錐；(3)三視圖為兩個(gè)三角形，一個(gè)圓，一般對(duì)應(yīng)圓錐；(4)三視圖為一個(gè)三角形，兩個(gè)四邊形，一般對(duì)應(yīng)三棱柱；(5)三視圖為兩個(gè)四邊形，一個(gè)圓，一般對(duì)應(yīng)圓柱．2．原圖形與直觀圖面積的關(guān)系按照斜二測(cè)畫(huà)法得到的平面圖形的直觀圖與原圖形面積的關(guān)系：S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形；S原圖形＝2eq\r(2)S直觀圖．【小題自測(cè)】1．判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱．()(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．()(3)夾在兩個(gè)平行的平面之間，其余的面都是梯形，這樣的幾何體一定是棱臺(tái)．()(4)正方體、球、圓錐各自的三視圖中，三視圖均相同．()(5)用兩平行平面截圓柱，夾在兩平行平面間的部分仍是圓柱．()(6)菱形的直觀圖仍是菱形．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)×2．(教材改編)在如圖所示的幾何體中，是棱柱的為()解析：選C.由棱柱的結(jié)構(gòu)特征可知C是棱柱．3.(斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則不清致誤)如圖，直觀圖所表示的平面圖形是()A．正三角形 B．銳角三角形C．鈍角三角形 D．直角三角形解析：選D.由直觀圖中A′C′∥y′軸，B′C′∥x′軸，還原后AC∥y軸，BC∥x軸，所以△ABC是直角三角形，故選D.4．下圖是一個(gè)物體的三視圖，則此三視圖所描述物體的直觀圖是()解析：選D.先觀察俯視圖，由俯視圖可知B和D中的一個(gè)正確，由正視圖和側(cè)視圖，可知D正確．考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(自主練透)1．(2021·新高考卷Ⅰ)已知圓錐的底面半徑為eq\r(2)，其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長(zhǎng)為()A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．4eq\r(2)解析：選B.設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，因?yàn)樵搱A錐的底面半徑為eq\r(2)，所以2π×eq\r(2)＝πl(wèi)，解得l＝2eq\r(2)，故選B.2．下列說(shuō)法正確的是()A．各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐B．夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體還是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體C．棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則此棱錐可能是六棱錐D．圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線都是母線解析：選D.由圖知，A不正確．兩個(gè)平行平面與底面不平行時(shí)，截得的幾何體不是旋轉(zhuǎn)體，則B不正確．側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等的棱錐一定不是六棱錐，故C錯(cuò)誤．由定義知，D正確．3．給出下列幾個(gè)命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；②底面為正多邊形，且有相鄰兩個(gè)側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長(zhǎng)一定相等．其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3解析：選B.①不一定正確，只有這兩點(diǎn)的連線平行于旋轉(zhuǎn)軸時(shí)才是母線；②正確；③錯(cuò)誤，棱臺(tái)的上、下底面是相似且對(duì)應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長(zhǎng)不一定相等．空間幾何體概念辨析問(wèn)題的常用方法考點(diǎn)二空間幾何體的三視圖(多維探究)考向1由幾何體識(shí)別三視圖已知棱長(zhǎng)都為2的正三棱柱ABC-A1B1C1的直觀圖如圖．若正三棱柱ABC-A1B1C1可繞著它的一條側(cè)棱所在直線旋轉(zhuǎn)，則它的側(cè)視圖可以為()【解析】由題知，四個(gè)選項(xiàng)的高都是2.若側(cè)視圖為A，則中間應(yīng)該有一條豎直的實(shí)線或虛線；若側(cè)視圖為C，則其中有兩條側(cè)棱重合，不應(yīng)有中間豎線；若側(cè)視圖為D，則底邊長(zhǎng)度應(yīng)為eq\r(3)，而不是1.故選B.【答案】B空間幾何體三視圖的畫(huà)法(1)明確正視、側(cè)視、俯視的方向，同一物體由于放置的方向不同，所畫(huà)出的三視圖可能不同；(2)看清簡(jiǎn)單幾何體是由哪幾個(gè)基本元素組成的；(3)畫(huà)三視圖時(shí)要遵循“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”的原則，還要注意幾何體中與投影面垂直或平行的線段及面的位置關(guān)系；(4)畫(huà)三視圖時(shí)，被遮擋的線使用虛線，不被遮擋的線使用實(shí)線．考向2由三視圖判斷幾何體特征(2020·高考全國(guó)卷Ⅱ)如圖是一個(gè)多面體的三視圖，這個(gè)多面體某條棱的一個(gè)端點(diǎn)在正視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為M，在俯視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為N，則該端點(diǎn)在側(cè)視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為()A．E B．FC．G D．H【解析】由三視圖知，該幾何體是由兩個(gè)長(zhǎng)方體組合而成的，其直觀圖如圖所示，由圖知該端點(diǎn)在側(cè)視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為E，故選A.【答案】A由三視圖確定幾何體的步驟考向3由三視圖中的部分視圖確定剩余視圖(2021·高考全國(guó)卷乙)以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個(gè)三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次為_(kāi)_______(寫(xiě)出符合要求的一組答案即可)．【解析】根據(jù)“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”及圖中數(shù)據(jù)，可知圖②③只能是側(cè)視圖，圖④⑤只能是俯視圖，則組成某個(gè)三棱錐的三視圖，所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次是③④或②⑤.若是③④，則原幾何體如圖1所示；若是②⑤，則原幾何體如圖2所示．【答案】③④(答案不唯一，②⑤也可)由幾何體的部分視圖確定剩余視圖的方法解決此類(lèi)問(wèn)題，可先根據(jù)已知的一部分視圖，還原、推測(cè)直觀圖的可能形式，然后再找其剩下部分視圖的可能形式．如果是選擇題，也可將選項(xiàng)逐項(xiàng)代入檢驗(yàn)．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.(2021·高考全國(guó)卷甲)在一個(gè)正方體中，過(guò)頂點(diǎn)A的三條棱的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G.該正方體截去三棱錐A-EFG后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是()解析：選D.根據(jù)已知條件作出圖形如圖所示，結(jié)合多面體的正視圖可知，該幾何體的側(cè)視圖為D選項(xiàng)中的圖形．2．(巧用結(jié)論1)一個(gè)四棱錐的三視圖如圖所示，一只螞蟻從該四棱錐底面上一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)四棱錐的側(cè)面爬到與其不相鄰的另一個(gè)頂點(diǎn)(同一條棱上的兩個(gè)端點(diǎn)稱(chēng)為相鄰頂點(diǎn))處，則這只螞蟻經(jīng)過(guò)的最短路程為()A．1＋eq\r(2)B.eq\r(3)C.eq\r(2＋\r(3))D.eq\r(3＋\r(6))解析：選B.由三視圖還原四棱錐P-ABCD，直觀圖如圖(1)所示，連接BD，PD⊥平面ABCD，BD⊥DC，底面為平行四邊形，且PD＝DC＝1，AD＝eq\r(2)，PC＝eq\r(2)，PA＝eq\r(3).①沿側(cè)面從A到C，若沿著側(cè)面PAD與側(cè)面PDC爬行，則最短路程為1＋eq\r(2)；若沿著側(cè)面PAB與側(cè)面PBC爬行，則展開(kāi)側(cè)面PAB與PBC，使兩者在同一個(gè)平面上，連接AC，如圖(2)所示，易得最短路程為AC＝eq\r(3＋\r(6)).②沿側(cè)面從B到D，若沿著側(cè)面PAB與側(cè)面PAD爬行，則最短路程為eq\r(3)；若沿著側(cè)面PBC與側(cè)面PDC爬行，則最短路程為eq\r(2＋\r(3)).綜上，最短路程為eq\r(3).考點(diǎn)三空間幾何體的直觀圖(師生共研)(巧用結(jié)論2)已知等腰梯形ABCD，CD＝1，AD＝CB＝eq\r(2)，AB＝3，以AB所在直線為x軸，則由斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的直觀圖A′B′C′D′的面積為_(kāi)_______．【解析】方法一：如圖，取AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，y軸交DC于點(diǎn)E，O，E在斜二測(cè)畫(huà)法中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為O′，E′，過(guò)E′作E′F′⊥x′軸，垂足為F′，因?yàn)镺E＝eq\r(（\r(2)）2－12)＝1，所以O(shè)′E′＝eq\f(1,2)，E′F′＝eq\f(\r(2),4).所以直觀圖A′B′C′D′的面積為S′＝eq\f(1,2)×(1＋3)×eq\f(\r(2),4)＝eq\f(\r(2),2).方法二：由題中數(shù)據(jù)得等腰梯形ABCD的面積S＝eq\f(1,2)×(1＋3)×1＝2.由S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形的關(guān)系，得S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)×2＝eq\f(\r(2),2).【答案】eq\f(\r(2),2)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)直觀圖的技巧(1)原圖形中與x軸或y軸平行的線段在直觀圖中與x′軸或y′軸平行；(2)原圖形中不與坐標(biāo)軸平行的直線段可以先畫(huà)出線段的端點(diǎn)，再連線；(3)原圖形中的曲線段可以通過(guò)取一些關(guān)鍵點(diǎn)，作出在直觀圖中的相應(yīng)點(diǎn)后，用平滑的曲線連接而畫(huà)出．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6，O′C′＝2，則原圖形是()A．正方形 B．矩形C．菱形 D．一般的平行四邊形解析：選C.如圖，在原圖形OABC中，應(yīng)有OD＝2O′D′＝2×2eq\r(2)＝4eq\r(2)，CD＝C′D′＝2，OA＝O′A′＝6.所以O(shè)C＝eq\r(OD2＋CD2)＝eq\r(（4\r(2)）2＋22)＝6，所以O(shè)A＝OC，故四邊形OABC是菱形．[A級(jí)基礎(chǔ)練]1．下列命題是真命題的是()A．有兩個(gè)側(cè)面是矩形的四棱柱是直四棱柱B．正四面體是特殊的正四棱柱C．有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的多面體叫做棱錐D．正四棱柱是平行六面體解析：選D.A項(xiàng)，當(dāng)兩個(gè)側(cè)面是矩形且相鄰時(shí)，四棱柱是直四棱柱，當(dāng)兩個(gè)側(cè)面是矩形且不相鄰時(shí)，四棱柱不是直四棱柱，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；B項(xiàng)，正四面體是三棱錐，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；C項(xiàng)，棱錐是有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形的幾何體，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；D項(xiàng)，正四棱柱是平行六面體，故D項(xiàng)正確．故選D.2．將一個(gè)等腰梯形繞它的較長(zhǎng)的底邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體包括()A．一個(gè)圓臺(tái)、兩個(gè)圓錐 B．兩個(gè)圓臺(tái)、一個(gè)圓柱C．兩個(gè)圓柱、一個(gè)圓臺(tái) D．一個(gè)圓柱、兩個(gè)圓錐解析：選D.從較短的底邊的端點(diǎn)向另一底邊作垂線，兩條垂線把等腰梯形分成了兩個(gè)直角三角形，一個(gè)矩形，所以一個(gè)等腰梯形繞它的較長(zhǎng)的底邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的是由一個(gè)圓柱、兩個(gè)圓錐所組成的幾何體，如圖所示．3．如圖是一個(gè)空間幾何體的正視圖和俯視圖，則它的側(cè)視圖為()解析：選A.由正視圖和俯視圖可知，該幾何體是由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)圓錐構(gòu)成的，結(jié)合正視圖的寬及俯視圖的直徑可知側(cè)視圖應(yīng)為A.4．如圖，一個(gè)三棱柱的正視圖和側(cè)視圖分別是矩形和正三角形，則這個(gè)三棱柱的俯視圖為()解析：選D.由正視圖和側(cè)視圖可知，這是一個(gè)水平放置的正三棱柱，故選D.5.如圖所示的直觀圖中，O′A′＝O′B′＝2，則其平面圖形的面積是()A．4 B．4eq\r(2)C．2eq\r(2) D．8解析：選A.S原△ABC＝2eq\r(2)S△A′O′B′＝2eq\r(2)×eq\f(1,2)×2×2×sin45°＝4.6.如圖所示，在三棱臺(tái)A′B′C′-ABC中，沿A′BC截去三棱錐A′-ABC，則剩余的部分是()A．三棱錐 B．四棱錐C．三棱柱 D．組合體解析：選B.如圖所示，由題意及圖可知剩余部分是四棱錐A′-BCC′B′.7．若棱臺(tái)的上、下底面面積分別為4和9，則這個(gè)棱臺(tái)的高和截得棱臺(tái)的原棱錐的高的比是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)解析：選B.不妨設(shè)該棱臺(tái)為三棱臺(tái)ABC-A1B1C1，原棱錐為P-A1B1C1，棱臺(tái)和棱錐對(duì)應(yīng)的高分別為OO1和PO1.由題意知eq\f(PO,PO1)＝eq\f(AO,A1O1)＝eq\f(AB,A1B1)＝eq\r(\f(4,9))＝eq\f(2,3)，所以eq\f(OO1,PO1)＝eq\f(1,3).故選B.8.某三棱錐的三視圖如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，三棱錐表面上的點(diǎn)M在俯視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，點(diǎn)N在側(cè)視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，則線段MN的長(zhǎng)度的最大值為()A．2eq\r(3) B．3eq\r(2)C．4eq\r(2) D．3eq\r(3)解析：選D.由三視圖可知，該三棱錐的底面是直角三角形，一條側(cè)棱與底面垂直(AD⊥平面ABC)，幾何體的直觀圖如圖，點(diǎn)M在AD上，點(diǎn)N與點(diǎn)B重合．當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)D重合時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度最大，為BD＝eq\r(32＋（3\r(2)）2)＝3eq\r(3).故選D.9．有一個(gè)長(zhǎng)為5cm，寬為4cm的矩形，則其直觀圖的面積為_(kāi)_______．解析：由于該矩形的面積S＝5×4＝20(cm2)，所以其直觀圖的面積S′＝eq\f(\r(2),4)S＝5eq\r(2)(cm2)．答案：5eq\r(2)cm210．一個(gè)圓臺(tái)上、下底面的半徑分別為3cm和8cm，若兩底面圓心的連線長(zhǎng)為12cm，則這個(gè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為_(kāi)_____cm.解析：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥OB，交OB于點(diǎn)C.在Rt△ABC中，AC＝12cm，BC＝8－3＝5(cm)．所以AB＝eq\r(122＋52)＝13(cm)．答案：1311．已知一個(gè)正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均等于2，它的俯視圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正三角形，那么它的側(cè)視圖的面積的最小值是________．解析：如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，當(dāng)CD⊥AB，C1D1⊥A1B1時(shí)，側(cè)視圖的面積最小，此時(shí)D，D1分別是AB，A1B1的中點(diǎn)．易得CD＝eq\r(3)，則側(cè)視圖面積的最小值為2×eq\r(3)＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)[B級(jí)綜合練]12．(2022·貴陽(yáng)市四校聯(lián)考)如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線條表示的是某三棱錐的三視圖，則該三棱錐的四個(gè)面中面積最小是()A．2eq\r(3) B．2eq\r(2)C．2 D.eq\r(3)解析：選C.根據(jù)該三棱錐的三視圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中作出該三棱錐A-BCD，如圖，從直觀圖中可以看出該三棱錐中面積最小的面為△BCD，其面積為S△BCD＝eq\f(1,2)×2×2＝2，故選C.13.(2022·綿陽(yáng)市第二次診斷性考試)一個(gè)正六棱柱的正視圖(由兩個(gè)邊長(zhǎng)等于4的正方形組成)如圖所示，則該六棱柱的側(cè)視圖的面積為()A．16 B．16eq\r(3)C.eq\f(64\r(3),3) D．32eq\r(3)解析：選C.由正視圖可得，正六棱柱的直觀圖如圖中ABCDEF-A1B1C1D1E1F1所示，設(shè)底面正六邊形的邊長(zhǎng)為a，則eq\r(3)a＝8，解得a＝eq\f(8\r(3),3)，連接A1D1，則A1D1＝2a＝eq\f(16\r(3),3)，所以該棱柱的側(cè)視圖是兩鄰邊長(zhǎng)分別為eq\f(16\r(3),3)與4的矩形(三個(gè)小矩形組成)，面積為eq\f(16\r(3),3)×4＝eq\f(64\r(3),3)，故選C.14．已知正四棱錐的高為eq\r(3)，側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r(7)，求過(guò)該正四棱錐的斜高和高的截面面積．解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，延長(zhǎng)EO交CD于點(diǎn)F，則E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，連接SE，SF，則SE，SF為斜高，△SEF為所求截面．在正四棱錐S-ABCD中，高SO＝eq\r(3)，側(cè)棱SA＝