專題17學(xué)科交匯（教師版）

專題17學(xué)科交匯學(xué)科交匯問題具有非常好的閱讀性、趣味性、交匯性、創(chuàng)新性、應(yīng)用性，是高考考查學(xué)生全面知識(shí)與能力的一個(gè)好場所，具有較好的選拔性與區(qū)分度，是高考數(shù)學(xué)試卷命題者比較青睞的命題方向之一。通過本專題的復(fù)習(xí)要在學(xué)習(xí)過程中學(xué)科交匯問題具有非常好的閱讀性、趣味性、交匯性、創(chuàng)新性、應(yīng)用性，是高考考查學(xué)生全面知識(shí)與能力的一個(gè)好場所，具有較好的選拔性與區(qū)分度，是高考數(shù)學(xué)試卷命題者比較青睞的命題方向之一。通過本專題的復(fù)習(xí)要在學(xué)習(xí)過程中,注意通過材料閱讀,理解題目內(nèi)涵;注意通過數(shù)學(xué)概念、定義、公式的應(yīng)用來建立起與之對應(yīng)的有效的數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而達(dá)到破解問題的目的;注意重視數(shù)學(xué)課本，重視學(xué)科基礎(chǔ)，重視基礎(chǔ)知識(shí);注意強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)基本技能與基本方法的訓(xùn)練;注意通過對所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)有一個(gè)系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，為知識(shí)交匯、學(xué)科融合的應(yīng)用與解決奠定基礎(chǔ)。專題中三個(gè)探究（地理交匯、化學(xué)交匯、物理交匯）巧妙設(shè)置在數(shù)學(xué)與其他相關(guān)學(xué)科的共振點(diǎn)上,進(jìn)行學(xué)科間的交匯與融合.選取的問題借助其他學(xué)科知識(shí)為問題背景，以概念，定義、公式等形式展開,結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)來切入,以實(shí)際間題為場景，合理把數(shù)學(xué)知識(shí)、相關(guān)學(xué)科知識(shí)與生活實(shí)際加以有機(jī)組合,考查相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)能力,是創(chuàng)新意識(shí)與應(yīng)用意識(shí)的重要體現(xiàn)。——大冶一中高級教師陳俊杰探究1：數(shù)學(xué)與地理【典例剖析】例1.(2022·湖南省衡陽市聯(lián)考)“人有悲歡離合，月有陰晴圓缺”，這里的圓缺就是指“月相變化”，即地球上所看到的月球被日光照亮部分的不同形象，隨著月球與太陽的相對位置的不同，便會(huì)呈現(xiàn)出各種形狀，如圖所示，古代中國的天象監(jiān)測人員發(fā)現(xiàn)并記錄了月相變化的一個(gè)數(shù)列，記為{an}，其中1≤n≤15且n∈N*，將滿月分成240部分，從新月開始，每天的月相數(shù)據(jù)如下表所示(部分?jǐn)?shù)據(jù))，a1=5是指每月的第1天可見部分占滿月的5240，a8=128是指每月的第8天可見部分占滿月的128240，a15=240是指每月的第15天(即農(nóng)歷十五)會(huì)出現(xiàn)滿月.已知在月相數(shù)列1234567891011121314155aaaaaa128aaaaaa240A.124 B.112 C.1選題意圖:選題意圖:最新聯(lián)考題.以圓缺為載體,考查數(shù)列的基本性質(zhì).考查學(xué)生的閱讀理解能力,分析問題和解決問題的能力,考查邏輯思維和運(yùn)算求解的核心素養(yǎng).思維引導(dǎo)：根據(jù)等差數(shù)列的基本性質(zhì)及等比中項(xiàng)的性質(zhì)直接求解即可.【解析】由題知，第5項(xiàng)至第15項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，且a8=128，a15=240，故d=16，a5=a15-10d=80．

第1項(xiàng)至第5故選B.【變式訓(xùn)練】練11(2022·山東省德州市模擬)天文學(xué)中為了衡量星星的明暗程度，古希臘天文學(xué)家喜帕恰斯(Hipparchus，又名依巴谷)在公元前二世紀(jì)首先提出了星等這個(gè)概念．星等的數(shù)值越小，星星就越亮；星等的數(shù)值越大它的光就越暗．到了1850年，由于光度計(jì)在天體光度測量中的應(yīng)用，英國天文學(xué)家普森(M.R.Pogson)又提出了衡量天體明暗程度的亮度的概念，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星的星等與亮度滿足m1-m2=2.5(lgE2-lgE1)，其中星等為mk的星的亮度為Ek(k=1,2)已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25A.1.24 B.1.25 C.1.26 D.1.27【解析】設(shè)“心宿二”的星等是m1，“天津四”的星等是m2，“心宿二”的亮度是E1，“天津四”的亮度是E2，

則m1=1.00，m2=1.25，E1=rE2，

∵兩顆星的星等與亮度滿足m1-m2=2.5(lgE練12(2022·湖北省七市聯(lián)考·多選)盡管目前人類還無法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)地震，但科學(xué)家經(jīng)過研究，已經(jīng)對地震有所了解，例如，地震時(shí)釋放的能量E(單位：焦耳)與地震里氏震級M之間的關(guān)系為lgE=4.8+1.5M，則下列說法正確的是(

)A.地震釋放的能量為1015.3焦耳時(shí)，地震里氏震級約為七級

B.八級地震釋放的能量約為七級地震釋放的能量的6.3倍

C.八級地震釋放的能量約為六級地震釋放的能量的1000倍

D.記地震里氏震級為nn=1,2,?,9,10，地震釋放的能量為an【解析】由題，lgE=4.8+1.5M，所以E=104.8+1.5M，

對A，當(dāng)E=1015.3時(shí)，有E=104.8+1.5M，解得M=7，A正確；

對B，記八級地震釋放的能量為E8=104.8+1.5×8，七級地震釋放的能量為E7=104.8+1.5×7，

則E8E7=104.8+1.5×8104.8+1.5×7=101.5≈31.6練13(2022·山東省菏澤市模擬)大氣壓強(qiáng)p=壓力受力面積，它的單位是“帕斯卡”(Pa,1Pa=1N/m2)，大氣壓強(qiáng)p(Pa)隨海拔高度h(m)的變化規(guī)律是p=p0e-kh(k=0.000126m-1)，p0是海平面大氣壓強(qiáng).已知在某高山A.550m B.1818m C.5500m D.8732m【解析】依題意p1p2=12，p1=p0e-kh1，p練14(2022·重慶市期末)假設(shè)地球是半徑為r的球體，現(xiàn)將空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)置于球心，赤道位于xOy平面上，z軸的正方向?yàn)榍蛐闹赶蛘睒O方向，本初子午線(弧ASB)是0度經(jīng)線，位于xOz平面上，且交x軸于點(diǎn)Sr,0,0，如圖所示，已知赤道上一點(diǎn)E12r,32r,0位于東經(jīng)60度，則地球上位于東經(jīng)30度、北緯60A.34r,14r,3【解析】設(shè)點(diǎn)P投影到xOy平面上的點(diǎn)P'，則OP=r,OP'=r2,P'P=32r,又OP'與x軸正向的夾角為30°，

由P'在x軸與【規(guī)律方法】學(xué)科的發(fā)展日益壯大，學(xué)科之間可以相互借鑒、相互促進(jìn).探究2：數(shù)學(xué)與化學(xué)【典例剖析】例2.(2022·湖南省益陽市聯(lián)考)六氟化硫，化學(xué)式為SF6，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)(正八面體是每個(gè)面都是正三角形的八面體)，如圖所示.若此正八面體的內(nèi)切球的半徑為6，則該正八面體的表面積為

．選題意圖選題意圖：聯(lián)考題,以化學(xué)氣體為載體考查正八面體的表面積的求法.考查數(shù)形結(jié)合思想.考查學(xué)生閱讀理解能力、空間想象能力和綜合分析問題、解決問題的能力.思維引導(dǎo)：結(jié)合空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征直接求解表面積即可.【解析】如圖，連接AC，BD相交于O，連接OP，取BC的中點(diǎn)E，連接OE，PE，設(shè)AB=2a，可得OA=OB=OC=OD=2a，OP=AP2-OA2可得BC⊥平面POE，過點(diǎn)O作OH⊥PE，可得OH⊥平面PBC，可得OH的長為內(nèi)切球半徑．

又由OE=a，PE=2a2可得63a=6，解得a=3，∴該正八面體故答案為723【變式訓(xùn)練】練21(2022·山東省青島市模擬)放射性核元素鍶89的質(zhì)量M會(huì)按某個(gè)衰減率衰減，設(shè)初始質(zhì)量為M0，質(zhì)量M與時(shí)間t(單位：天)的函數(shù)關(guān)系為M=M012th(其中h為常數(shù))，若鍶89的半衰期(質(zhì)量衰減一半所用的時(shí)間)約為50天，那么鍶89的質(zhì)量從M0A.10 B.20 C.30 D.40【解析】由題意，得12M0=M0?1250h?h=50，故M=練22(2022·湖北省聯(lián)考)在某溶液中，A粒子的濃度cA(單位：mol/L)隨H+c10101010101c0.110.130.280.490.580.60則A粒子的濃度y與溶液的pH值x的函數(shù)關(guān)系式(不考慮定義域)可能是(

)注：溶液的pH值定義為-lgcH+；aA.y=1a+b?ex B.y=【解析】A.10mｌ0.10mol/L的HClO溶液中加入5mL0.01mol/LNaOH，發(fā)生反應(yīng)

NaOH+HClO=NaClO+H2O，溶液中一定存在電荷守恒，c(Na+)+c(H+)=c(OH-K=c(H+)c(Clo-)c(HClO)=溶解后銨根離子水解顯酸性抑制次氯酸的電離，c(HClO)c(ClO-)比值增大，故C錯(cuò)誤;

D所得溶液中離子濃度的大小順序?yàn)椋篶(ClO-)>c(H+【規(guī)律方法】化學(xué)是自然科學(xué)的一種,主要在分子、原子層面,研究物質(zhì)的組成、性質(zhì)、結(jié)構(gòu)與變化規(guī)律,創(chuàng)造新物質(zhì)（實(shí)質(zhì)是自然界中原來不存在的分子），當(dāng)然研究的工具離不開數(shù)學(xué)，如模型構(gòu)建、數(shù)據(jù)的計(jì)算與處理等.探究3：數(shù)學(xué)與物理【典例剖析】例3.(2022·安徽省合肥市聯(lián)考)牛頓曾經(jīng)提出了常溫環(huán)境下的溫度冷卻模型：θ=(θ1-θ0)e-kt+θ0，其中t為時(shí)間(單位：min)，θ0為環(huán)境溫度，θ1為物體初始溫度，θ為冷卻后溫度.假設(shè)在室內(nèi)溫度為20℃A.10min B.20min C.40選題意圖選題意圖：最新聯(lián)考題,以實(shí)際生活中的物理知識(shí)為載體，考查指對運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用,考查了指數(shù)函數(shù)模型,考查學(xué)生的閱讀理解能力,分析問題和解決問題能力.思維引導(dǎo)：根據(jù)題意確定已知的四個(gè)量代入,求出參數(shù)k即可.【解析】∵θ=θ0+(θ1-θ0)e-kt，

又∵當(dāng)空氣溫度為20°C時(shí)，某物體的溫度從100°C下降到60°C用時(shí)20分鐘，

∴60=20+(100-20)e-20k，解得e-20k=12，∴-20k=ln12，∴k=ln故選B．【變式訓(xùn)練】練31(2022·福建省龍巖市期末)如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn)．若雙曲線E：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，從F2發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的A，B兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)C和D，且A.52 B.102 C.142【解析】連接F1B,F1A，則F1，A,C，和F1，B,D三點(diǎn)共線，得F2B=x，F(xiàn)1B=x+2a，

由cos?∠F1AB=cos?(∠π-∠BAC)=45，

得tan∠F1AB=34，又AB⊥BD練32(2022·江蘇省淮安市模擬)2019年7月，中國良渚古城遺址獲準(zhǔn)列入世界遺產(chǎn)名錄，標(biāo)志著中華五千年文明史得到國際社會(huì)認(rèn)可．良渚古城遺址是人類早期城市文明的范例，實(shí)證了中華五千年文明史．考古科學(xué)家在測定遺址年齡的過程中利用了“放射性物質(zhì)因衰變而減少”這一規(guī)律．已知樣本中碳14的質(zhì)量N隨時(shí)間T(單位：年)的衰變規(guī)律滿足N=N0?2-T5730(N0表示碳14原有的質(zhì)量)，經(jīng)過測定，良渚古城遺址文物樣本中碳14的質(zhì)量約是原來的37，據(jù)此推測良渚古城存在的時(shí)期距今約

【解析】碳14的質(zhì)量是原來的37，由題意可知2-T5730=37，

兩邊同時(shí)取以2為底的對數(shù)得log22-T5730=log237，練33(2022·廣東省四校聯(lián)考·多選)聲音是由物體振動(dòng)產(chǎn)生的聲波，其中包含著正弦函數(shù)．純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)y=Asin?ωt，我們聽到的聲音是由純音合成的，稱之為復(fù)合音．若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)f(x)=sin?x+1A.f(x)的圖象關(guān)于直線x=π對稱

B.f(x)在[-π4?,?π4]上是增函數(shù)

C.f(x)的最大值為【解析】對于A，因?yàn)閒(2π-x)=-sinx-12sin2x=-f(x)，

所以f(x)的圖象關(guān)于(π,0)對稱，不關(guān)于x=π對稱，故A錯(cuò)誤；

對于B，因?yàn)閥=sinx與y=12sin2x在[-π4,π4]上都是增函數(shù)，

所以f(x)在[-π4,π4]上是增函數(shù)，故B正確；

對于C，因?yàn)閒(-x)=-sinx-12sin2x=-f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)；

又y=sinx與y=12sin2x的最小正周期分別為2π與π，

所以f(x)的最小正周期為2π，

當(dāng)x∈[0,π