一元二次方程的綜合題

一元二次方程的綜合題一．選擇題（共8小題）1．（2015?南充）關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有兩個整數(shù)根且乘積為正，關(guān)于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同樣也有兩個整數(shù)根且乘積為正，給出三個結(jié)論：①這兩個方程的根都負(fù)根；②（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2；③﹣1≤2m﹣2n≤1，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個2．（2015?株洲）有兩個一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a?c≠0，a≠c．下列四個結(jié)論中，錯誤的是（）A．如果方程M有兩個相等的實數(shù)根，那么方程N也有兩個相等的實數(shù)根B．如果方程M的兩根符號相同，那么方程N的兩根符號也相同C．如果5是方程M的一個根，那么是方程N的一個根D．如果方程M和方程N有一個相同的根，那么這個根必是x=13．（2011?荊門）關(guān)于x的方程ax2﹣（3a+1）x+2（a+1）=0有兩個不相等的實根x1、x2，且有x1﹣x1x2+x2=1﹣a，則a的值是（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．24．（2016?煙臺）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的兩個根，則x12﹣x1+x2的值為（）A．﹣1 B．0 C．2 D．35．（2015?江陽區(qū)二模）設(shè)a、b是方程x2+x﹣2014=0的兩個實數(shù)根，則a2+2a+b的值為（）A．2014 B．2015 C．2012 D．20136．（2015?濟南）將一塊正方形鐵皮的四角各剪去一個邊長為3cm的小正方形，做成一個無蓋的盒子，已知盒子的容積為300cm3，則原鐵皮的邊長為（）A．10cm B．13cm C．14cm D．16cm7．（2014?廣元）已知a，b，c是△ABC三邊的長，b＞a=c，且方程ax2﹣bx+c=0的兩根的差的絕對值等于，則△ABC中最大角的度數(shù)是（）A．150° B．120° C．90° D．60°8．（2016?臺灣）如圖的六邊形是由甲、乙兩個長方形和丙、丁兩個等腰直角三角形所組成，其中甲、乙的面積和等于丙、丁的面積和．若丙的一股長為2，且丁的面積比丙的面積小，則丁的一股長為何？（）A． B． C．2﹣ D．4﹣2二．填空題（共4小題）9．（2016?臨夏州）三角形的兩邊長分別是3和4，第三邊長是方程x2﹣13x+40=0的根，則該三角形的周長為______．10．（2007?呼和浩特）關(guān)于x的兩個方程x2﹣x﹣2=0與有一個解相同，則a=______．11．（2013?臨沂）對于實數(shù)a，b，定義運算“﹡”：a﹡b=．例如4﹡2，因為4＞2，所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的兩個根，則x1﹡x2=______．12．（2013?綿陽）已知整數(shù)k＜5，若△ABC的邊長均滿足關(guān)于x的方程x2﹣3x+8=0，則△ABC的周長是______．三．解答題（共12小題）13．（2013?德宏州）如圖，要建造一個直角梯形的花圃．要求AD邊靠墻，CD⊥AD，AB：CD=5：4，另外三邊的和為20米．設(shè)AB的長為5x米．（1）請求出AD的長（用含字母x的式子表示）；（2）若該花圃的面積為50米2，且周長不大于30米，求AB的長．14．（2012?孝感）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0．（1）求證：無論m取何值，原方程總有兩個不相等的實數(shù)根：（2）若x1，x2是原方程的兩根，且|x1﹣x2|=2，求m的值，并求出此時方程的兩根．15．（2013?孝感）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有兩個實數(shù)根x1，x2．（1）求實數(shù)k的取值范圍；（2）是否存在實數(shù)k使得x1?x2﹣x12﹣x22≥0成立？若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由．16．（2004?河南）已知a＞2，b＞2，試判斷關(guān)于x的方程x2﹣（a+b）x+ab=0與x2﹣abx+（a+b）=0有沒有公共根．請說明理由．17．（2013?廈門）若x1，x2是關(guān)于x的方程x2+bx+c=0的兩個實數(shù)根，且|x1|+|x2|=2|k|（k是整數(shù)），則稱方程x2+bx+c=0為“偶系二次方程”．如方程x2﹣6x﹣27=0，x2﹣2x﹣8=0，x2+3x﹣=0，x2+6x﹣27=0，x2+4x+4=0，都是“偶系二次方程”．（1）判斷方程x2+x﹣12=0是否是“偶系二次方程”，并說明理由；（2）對于任意一個整數(shù)b，是否存在實數(shù)c，使得關(guān)于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”，并說明理由．18．（2010?東莞）已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．（1）若方程有兩個實數(shù)根，求m的范圍；（2）若方程的兩個實數(shù)根為x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．19．（2014?亳州一模）端午節(jié)期間，某食品店平均每天可賣出300只粽子，賣出1只粽子的利潤是1元．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，零售單價每降0.1元，每天可多賣出100只粽子．為了使每天獲取的利潤更多，該店決定把零售單價下降m（0＜m＜1）元．（1）零售單價下降m元后，該店平均每天可賣出______只粽子，利潤為______元．（2）在不考慮其他因素的條件下，當(dāng)m定為多少時，才能使該店每天獲取的利潤是420元并且賣出的粽子更多？20．（2012?重慶模擬）已知：如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動．（1）如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)，那么幾秒后，△PBQ的面積等于6cm2？（2）如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)，那么幾秒后，PQ的長度等于5cm？（3）在（1）中，△PQB的面積能否等于8cm2？說明理由．21．（2016?濉溪縣三模）如圖，四邊形ACDE是證明勾股定理時用到的一個圖形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED邊長，易知，這時我們把關(guān)于x的形如的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”．請解決下列問題：（1）寫出一個“勾系一元二次方程”；（2）求證：關(guān)于x的“勾系一元二次方程”必有實數(shù)根；（3）若x=﹣1是“勾系一元二次方程”的一個根，且四邊形ACDE的周長是6，求△ABC面積．22．（2015?黃岡中學(xué)自主招生）已知關(guān)于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有兩個正整數(shù)根（m是正整數(shù)）．△ABC的三邊a、b、c滿足，m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．求：（1）m的值；（2）△ABC的面積．23．（2014?江西模擬）等腰△ABC的直角邊AB=BC=10cm，點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā)，均以1cm/秒的相同速度作直線運動，已知P沿射線AB運動，Q沿邊BC的延長線運動，PQ與直線AC相交于點D．設(shè)P點運動時間為t，△PCQ的面積為S．（1）求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)點P運動幾秒時，S△PCQ=S△ABC？（3）作PE⊥AC于點E，當(dāng)點P、Q運動時，線段DE的長度是否改變？證明你的結(jié)論．24．（2014?杭州模擬）閱讀下列材料：求函數(shù)的最大值．解：將原函數(shù)轉(zhuǎn)化成x的一元二次方程，得．∵x為實數(shù)，∴△==﹣y+4≥0，∴y≤4．因此，y的最大值為4．根據(jù)材料給你的啟示，求函數(shù)的最小值．

一元二次方程的綜合題參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．（2015?南充）關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有兩個整數(shù)根且乘積為正，關(guān)于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同樣也有兩個整數(shù)根且乘積為正，給出三個結(jié)論：①這兩個方程的根都負(fù)根；②（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2；③﹣1≤2m﹣2n≤1，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【考點】根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式．【專題】壓軸題．【分析】①根據(jù)題意，以及根與系數(shù)的關(guān)系，可知兩個整數(shù)根都是負(fù)數(shù)；②根據(jù)根的判別式，以及題意可以得出m2﹣2n≥0以及n2﹣2m≥0，進而得解；③可以采用根與系數(shù)關(guān)系進行解答，據(jù)此即可得解．【解答】解：①兩個整數(shù)根且乘積為正，兩個根同號，由韋達定理有，x1?x2=2n＞0，y1?y2=2m＞0，y1+y2=﹣2n＜0，x1+x2=﹣2m＜0，這兩個方程的根都為負(fù)根，①正確；②由根判別式有：△=b2﹣4ac=4m2﹣8n≥0，△=b2﹣4ac=4n2﹣8m≥0，∵4m2﹣8n≥0，4n2﹣8m≥0，∴m2﹣2n≥0，n2﹣2m≥0，m2﹣2m+1+n2﹣2n+1=m2﹣2n+n2﹣2m+2≥2，（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2，②正確；③由根與系數(shù)關(guān)系可得2m﹣2n=y1y2+y1+y2=（y1+1）（y2+1）﹣1，由y1、y2均為負(fù)整數(shù)，故（y1+1）?（y2+1）≥0，故2m﹣2n≥﹣1，同理可得：2n﹣2m=x1x2+x1+x2=（x1+1）（x2+1）﹣1，得2n﹣2m≥﹣1，即2m﹣2n≤1，故③正確．故選：D．【點評】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，以及一元二次方程的根的判別式，有一定的難度，注意總結(jié)．2．（2015?株洲）有兩個一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a?c≠0，a≠c．下列四個結(jié)論中，錯誤的是（）A．如果方程M有兩個相等的實數(shù)根，那么方程N也有兩個相等的實數(shù)根B．如果方程M的兩根符號相同，那么方程N的兩根符號也相同C．如果5是方程M的一個根，那么是方程N的一個根D．如果方程M和方程N有一個相同的根，那么這個根必是x=1【考點】根的判別式；一元二次方程的解；根與系數(shù)的關(guān)系．【專題】壓軸題．【分析】利用根的判別式判斷A；利用根與系數(shù)的關(guān)系判斷B；利用一元二次方程的解的定義判斷C與D．【解答】解：A、如果方程M有兩個相等的實數(shù)根，那么△=b2﹣4ac=0，所以方程N也有兩個相等的實數(shù)根，結(jié)論正確，不符合題意；B、如果方程M的兩根符號相同，那么方程N的兩根符號也相同，那么△=b2﹣4ac≥0，＞0，所以a與c符號相同，＞0，所以方程N的兩根符號也相同，結(jié)論正確，不符合題意；C、如果5是方程M的一個根，那么25a+5b+c=0，兩邊同時除以25，得c+b+a=0，所以是方程N的一個根，結(jié)論正確，不符合題意；D、如果方程M和方程N有一個相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（a﹣c）x2=a﹣c，由a≠c，得x2=1，x=±1，結(jié)論錯誤，符合題意；故選：D．【點評】本題考查了一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；△＜0?方程沒有實數(shù)根．也考查了根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程的解的定義．3．（2011?荊門）關(guān)于x的方程ax2﹣（3a+1）x+2（a+1）=0有兩個不相等的實根x1、x2，且有x1﹣x1x2+x2=1﹣a，則a的值是（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．2【考點】根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式．【專題】計算題；壓軸題．【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x2=﹣，x1x2=，整理原式即可得出關(guān)于a的方程求出即可．【解答】解：依題意△＞0，即（3a+1）2﹣8a（a+1）＞0，即a2﹣2a+1＞0，（a﹣1）2＞0，a≠1，∵關(guān)于x的方程ax2﹣（3a+1）x+2（a+1）=0有兩個不相等的實根x1、x2，且有x1﹣x1x2+x2=1﹣a，∴x1﹣x1x2+x2=1﹣a，∴x1+x2﹣x1x2=1﹣a，∴﹣=1﹣a，解得：a=±1，又a≠1，∴a=﹣1．故選：B．【點評】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，由x1﹣x1x2+x2=1﹣a，得出x1+x2﹣x1x2=1﹣a是解決問題的關(guān)鍵．4．（2016?煙臺）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的兩個根，則x12﹣x1+x2的值為（）A．﹣1 B．0 C．2 D．3【考點】根與系數(shù)的關(guān)系．【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系得出“x1+x2=2，x1?x2=﹣1”，將代數(shù)式x12﹣x1+x2變形為x12﹣2x1﹣1+x1+1+x2，套入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的兩個根，∴x1+x2=﹣=2，x1?x2==﹣1．x12﹣x1+x2=x12﹣2x1﹣1+x1+1+x2=1+x1+x2=1+2=3．故選D．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是利用根與系數(shù)的關(guān)系找出兩根之積與兩根之和．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，找出兩根之和與兩根之積是關(guān)鍵．5．（2015?江陽區(qū)二模）設(shè)a、b是方程x2+x﹣2014=0的兩個實數(shù)根，則a2+2a+b的值為（）A．2014 B．2015 C．2012 D．2013【考點】根與系數(shù)的關(guān)系；一元二次方程的解．【分析】首先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，求出a+b=﹣1；然后根據(jù)a是方程x2+x﹣2014=0的實數(shù)根，可得a2+a﹣2014=0，據(jù)此求出a2+2a+b的值為多少即可．【解答】解：∵a、b是方程x2+x﹣2014=0的兩個實數(shù)根，∴a+b=﹣1；又∵a2+a﹣2014=0，∴a2+a=2014，∴a2+2a+b=（a2+a）+（a+b）=2014+（﹣1）=2013即a2+2a+b的值為2013．故選：D．【點評】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：若二次項系數(shù)不為1，則常用以下關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x1+x2=，x1x2=，反過來也成立，即=﹣（x1+x2），=x1x2．6．（2015?濟南）將一塊正方形鐵皮的四角各剪去一個邊長為3cm的小正方形，做成一個無蓋的盒子，已知盒子的容積為300cm3，則原鐵皮的邊長為（）A．10cm B．13cm C．14cm D．16cm【考點】一元二次方程的應(yīng)用．【專題】幾何圖形問題．【分析】設(shè)正方形鐵皮的邊長應(yīng)是x厘米，則做成沒有蓋的長方體盒子的長、寬為（x﹣3×2）厘米，高為3厘米，根據(jù)長方體的體積計算公式列方程解答即可．【解答】解：正方形鐵皮的邊長應(yīng)是x厘米，則沒有蓋的長方體盒子的長、寬為（x﹣3×2）厘米，高為3厘米，根據(jù)題意列方程得，（x﹣3×2）（x﹣3×2）×3=300，解得x1=16，x2=﹣4（不合題意，舍去）；答：正方形鐵皮的邊長應(yīng)是16厘米．故選：D．【點評】此題主要考查長方體的體積計算公式：長方體的體積=長×寬×高，以及平面圖形折成立體圖形后各部分之間的關(guān)系．7．（2014?廣元）已知a，b，c是△ABC三邊的長，b＞a=c，且方程ax2﹣bx+c=0的兩根的差的絕對值等于，則△ABC中最大角的度數(shù)是（）A．150° B．120° C．90° D．60°【考點】一元二次方程的應(yīng)用．【分析】首先利用根與系數(shù)的關(guān)系得到兩根與系數(shù)的式子，然后根據(jù)方程ax2﹣bx+c=0的兩根的差的絕對值等于得到（x1+x2）2﹣4x1x2=2，代入得到a和b的關(guān)系，從而確定∠B的度數(shù)．【解答】解：設(shè)x1、x2是ax2﹣bx+c=0的兩根，則x1+x2=x1x2==1，∵x1﹣x2的絕對值等于，∴|x1﹣x2|=，解以上方程組：（x1+x2）2﹣4x1x2=2，解得：b=a，∵b＞a=c，∴是等腰三角形b為底，∴∠A=∠C=30°，∴∠B=120度，故選B．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用及根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系列出式子并對已知條件進行變形，難度中等．8．（2016?臺灣）如圖的六邊形是由甲、乙兩個長方形和丙、丁兩個等腰直角三角形所組成，其中甲、乙的面積和等于丙、丁的面積和．若丙的一股長為2，且丁的面積比丙的面積小，則丁的一股長為何？（）A． B． C．2﹣ D．4﹣2【考點】一元二次方程的應(yīng)用．【分析】設(shè)出丁的一股為a，表示出其它，再用面積建立方程即可．【解答】解：設(shè)丁的一股長為a，且a＜2，∵甲面積+乙面積=丙面積+丁面積，∴2a+2a=×22+×a2，∴4a=2+a2，∴a2﹣8a+4=0，∴a===4±2，∵4+2＞2，不合題意舍，4﹣2＜2，合題意，∴a=4﹣2．故選D．【點評】此題是一元二次方程的應(yīng)用題，主要考查了一元二次方程的解，解本題的關(guān)鍵是列出一元二次方程．二．填空題（共4小題）9．（2016?臨夏州）三角形的兩邊長分別是3和4，第三邊長是方程x2﹣13x+40=0的根，則該三角形的周長為12．【考點】一元二次方程的解；三角形三邊關(guān)系．【專題】計算題．【分析】先利用因式分解法解方程得到x1=5，x2=8，再根據(jù)三角形三邊的關(guān)系確定三角形第三邊的長為5，然后計算三角形的周長．【解答】解：x2﹣13x+40=0，（x﹣5）（x﹣8）=0，所以x1=5，x2=8，而三角形的兩邊長分別是3和4，所以三角形第三邊的長為5，所以三角形的周長為3+4+5=12．故答案為12．【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．10．（2007?呼和浩特）關(guān)于x的兩個方程x2﹣x﹣2=0與有一個解相同，則a=﹣5．【考點】一元二次方程的解；分式方程的解．【專題】計算題；壓軸題．【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，即用這個數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立；先解方程x2﹣x﹣2=0，將它的根分別代入方程，去掉不符合題意的根，求出a的值．【解答】解：解方程x2﹣x﹣2=0得：x=2或﹣1；把x=2或﹣1分別代入方程，當(dāng)x=2時x﹣2=0，方程不成立；當(dāng)x=﹣1時，得到，解得a=﹣5．【點評】本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義；本題注意分式方程中分母不為0．11．（2013?臨沂）對于實數(shù)a，b，定義運算“﹡”：a﹡b=．例如4﹡2，因為4＞2，所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的兩個根，則x1﹡x2=3或﹣3．【考點】解一元二次方程-因式分解法．【專題】壓軸題；新定義．【分析】首先解方程x2﹣5x+6=0，再根據(jù)a﹡b=，求出x1﹡x2的值即可．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的兩個根，∴（x﹣3）（x﹣2）=0，解得：x=3或2，①當(dāng)x1=3，x2=2時，x1﹡x2=32﹣3×2=3；②當(dāng)x1=2，x2=3時，x1﹡x2=3×2﹣32=﹣3．故答案為：3或﹣3．【點評】此題主要考查了因式分解法解一元二次方程以及利用材料分析解決新問題，根據(jù)已知進行分類討論是解題關(guān)鍵．12．（2013?綿陽）已知整數(shù)k＜5，若△ABC的邊長均滿足關(guān)于x的方程x2﹣3x+8=0，則△ABC的周長是6或12或10．【考點】根的判別式；解一元二次方程-因式分解法；三角形三邊關(guān)系．【專題】計算題；壓軸題．【分析】根據(jù)題意得k≥0且（3）2﹣4×8≥0，而整數(shù)k＜5，則k=4，方程變形為x2﹣6x+8=0，解得x1=2，x2=4，由于△ABC的邊長均滿足關(guān)于x的方程x2﹣6x+8=0，所以△ABC的邊長可以為2、2、2或4、4、4或4、4、2，然后分別計算三角形周長．【解答】解：根據(jù)題意得k≥0且（3）2﹣4×8≥0，解得k≥，∵整數(shù)k＜5，∴k=4，∴方程變形為x2﹣6x+8=0，解得x1=2，x2=4，∵△ABC的邊長均滿足關(guān)于x的方程x2﹣6x+8=0，∴△ABC的邊長為2、2、2或4、4、4或4、4、2．∴△ABC的周長為6或12或10．故答案為：6或12或10．．【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2﹣4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實數(shù)根．也考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形三邊的關(guān)系．三．解答題（共12小題）13．（2013?德宏州）如圖，要建造一個直角梯形的花圃．要求AD邊靠墻，CD⊥AD，AB：CD=5：4，另外三邊的和為20米．設(shè)AB的長為5x米．（1）請求出AD的長（用含字母x的式子表示）；（2）若該花圃的面積為50米2，且周長不大于30米，求AB的長．【考點】一元二次方程的應(yīng)用；勾股定理的應(yīng)用．【專題】壓軸題．【分析】（1）作BE⊥AD于E，就可以得出BE=CD，在Rt△ABE中由勾股定理就可以求出AE，由BC=DE就可以表示出AD而得出結(jié)論；（2）由（1）的結(jié)論根據(jù)梯形的面積公式求出x的值，建立不等式求出x的取值范圍就可以得出結(jié)論．【解答】解：（1）作BE⊥AD于E，∴∠AEB=∠DEB=90°．∵CD⊥AD，∴∠ADC=90°．∵BC∥AD，∴∠EBC=90°，∴四邊形BCDE是矩形，∴BE=CD，BC=DE．∵AB：CD=5：4，AB的長為5x米，∴CD=4x米，∴BE=4x，在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE=3x．∵BC=20﹣5x﹣4x=20﹣9x，∴DE=20﹣9x，∴AD=20﹣9x+3x=20﹣6x（2）由題意，得，由①，得x1=，x2=1，由②，得x≥，∴x=，AB=5×=．【點評】本題考查了勾股定理的運用，梯形的面積公式的運用，梯形的周長公式的運用，一元二次方程的解法的運用，一元一次不等式的運用，解答時根據(jù)條件建立方程及不等式是關(guān)鍵．14．（2012?孝感）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0．（1）求證：無論m取何值，原方程總有兩個不相等的實數(shù)根：（2）若x1，x2是原方程的兩根，且|x1﹣x2|=2，求m的值，并求出此時方程的兩根．【考點】根的判別式；根與系數(shù)的關(guān)系．【專題】壓軸題．【分析】（1）根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0的根的判別式△=b2﹣4ac的符號來判定該方程的根的情況；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得x1+x2=﹣（m+3），x1?x2=m+1；然后由已知條件“|x1﹣x2|=2”可以求得（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=8，從而列出關(guān)于m的方程，通過解該方程即可求得m的值；最后將m值代入原方程并解方程．【解答】（1）證明：∵△=（m+3）2﹣4（m+1）=（m+1）2+4，∵無論m取何值，（m+1）2+4恒大于0，∴原方程總有兩個不相等的實數(shù)根．（2）∵x1，x2是原方程的兩根，∴x1+x2=﹣（m+3），x1?x2=m+1，∵|x1﹣x2|=2∴（x1﹣x2）2=（2）2，∴（x1+x2）2﹣4x1x2=8，∴[﹣（m+3）]2﹣4（m+1）=8∴m2+2m﹣3=0，解得：m1=﹣3，m2=1．當(dāng)m=﹣3時，原方程化為：x2﹣2=0，解得：x1=，x2=﹣，當(dāng)m=1時，原方程化為：x2+4x+2=0，解得：x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的根的判別式△=b2﹣4ac．當(dāng)△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實數(shù)根．15．（2013?孝感）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有兩個實數(shù)根x1，x2．（1）求實數(shù)k的取值范圍；（2）是否存在實數(shù)k使得x1?x2﹣x12﹣x22≥0成立？若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由．【考點】根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式．【專題】壓軸題．【分析】（1）根據(jù)已知一元二次方程的根的情況，得到根的判別式△≥0，據(jù)此列出關(guān)于k的不等式[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+2k）≥0，通過解該不等式即可求得k的取值范圍；（2）假設(shè)存在實數(shù)k使得≥0成立．利用根與系數(shù)的關(guān)系可以求得，然后利用完全平方公式可以把已知不等式轉(zhuǎn)化為含有兩根之和、兩根之積的形式≥0，通過解不等式可以求得k的值．【解答】解：（1）∵原方程有兩個實數(shù)根，∴[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+2k）≥0，∴4k2+4k+1﹣4k2﹣8k≥0∴1﹣4k≥0，∴k≤．∴當(dāng)k≤時，原方程有兩個實數(shù)根．（2）假設(shè)存在實數(shù)k使得≥0成立．∵x1，x2是原方程的兩根，∴．由≥0，得≥0．∴3（k2+2k）﹣（2k+1）2≥0，整理得：﹣（k﹣1）2≥0，∴只有當(dāng)k=1時，上式才能成立．又∵由（1）知k≤，∴不存在實數(shù)k使得≥0成立．【點評】本題綜合考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，在解不等式時一定要注意數(shù)值的正負(fù)與不等號的變化關(guān)系．16．（2004?河南）已知a＞2，b＞2，試判斷關(guān)于x的方程x2﹣（a+b）x+ab=0與x2﹣abx+（a+b）=0有沒有公共根．請說明理由．【考點】一元二次方程的解．【專題】計算題．【分析】兩個方程有公共根，就是兩方程組成的方程組有解．【解答】解：不妨設(shè)關(guān)于x的方程x2﹣（a+b）x+ab=0與x2﹣abx+（a+b）=0有公共根，設(shè)為x0，則有，整理可得（x0+1）（a+b﹣ab）=0．∵a＞2，b＞2，∴a+b≠ab，∴x0=﹣1；把x0=﹣1代入①得1+a+b+ab=0，這是不可能的．所以關(guān)于x的兩個方程沒有公共根．【點評】本題考查了一元二次方程的根的判斷，正確對方程組中的兩個方程進行整理是關(guān)鍵．17．（2013?廈門）若x1，x2是關(guān)于x的方程x2+bx+c=0的兩個實數(shù)根，且|x1|+|x2|=2|k|（k是整數(shù)），則稱方程x2+bx+c=0為“偶系二次方程”．如方程x2﹣6x﹣27=0，x2﹣2x﹣8=0，x2+3x﹣=0，x2+6x﹣27=0，x2+4x+4=0，都是“偶系二次方程”．（1）判斷方程x2+x﹣12=0是否是“偶系二次方程”，并說明理由；（2）對于任意一個整數(shù)b，是否存在實數(shù)c，使得關(guān)于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”，并說明理由．【考點】根與系數(shù)的關(guān)系；解一元二次方程-因式分解法；根的判別式．【專題】壓軸題；閱讀型；新定義．【分析】（1）求出原方程的根，再代入|x1|+|x2|看結(jié)果是否為2的整數(shù)倍就可以得出結(jié)論；（2）由條件x2﹣6x﹣27=0和x2+6x﹣27=0是偶系二次方程建模，設(shè)c=mb2+n，就可以表示出c，然后根據(jù)公式法就可以求出其根，再代入|x1|+|x2|就可以得出結(jié)論．【解答】解：（1）不是，解方程x2+x﹣12=0得，x1=3，x2=﹣4．|x1|+|x2|=3+4=7=2×3.5．∵3.5不是整數(shù)，∴x2+x﹣12=0不是“偶系二次方程；（2）存在．理由如下：∵x2﹣6x﹣27=0和x2+6x﹣27=0是偶系二次方程，∴假設(shè)c=mb2+n，當(dāng)b=﹣6，c=﹣27時，﹣27=36m+n．∵x2=0是偶系二次方程，∴n=0時，m=﹣，∴c=﹣b2．∵是偶系二次方程，當(dāng)b=3時，c=﹣×32．∴可設(shè)c=﹣b2．對于任意一個整數(shù)b，c=﹣b2時，△=b2﹣4ac，=4b2．x=，∴x1=﹣b，x2=b．∴|x1|+|x2|=2|b|，∵b是整數(shù)，∴對于任何一個整數(shù)b，c=﹣b2時，關(guān)于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”．【點評】本題考查了一元二次方程的解法的運用，根的判別式的運用根與系數(shù)的關(guān)系的運用及數(shù)學(xué)建模思想的運用，解答本題時根據(jù)條件特征建立模型是關(guān)鍵．18．（2010?東莞）已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．（1）若方程有兩個實數(shù)根，求m的范圍；（2）若方程的兩個實數(shù)根為x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．【考點】根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式．【專題】壓軸題．【分析】（1）一元二次方程x2﹣2x+m=0有兩個實數(shù)根，△≥0，把系數(shù)代入可求m的范圍；（2）利用兩根關(guān)系，已知x1+x2=2結(jié)合x1+3x2=3，先求x1、x2，再求m．【解答】解：（1）∵方程x2﹣2x+m=0有兩個實數(shù)根，∴△=（﹣2）2﹣4m≥0，解得m≤1；（2）由兩根關(guān)系可知，x1+x2=2，x1?x2=m，解方程組，解得，∴m=x1?x2=．【點評】本題考查了一元二次方程根的判別式，兩根關(guān)系的運用，要求熟練掌握．19．（2014?亳州一模）端午節(jié)期間，某食品店平均每天可賣出300只粽子，賣出1只粽子的利潤是1元．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，零售單價每降0.1元，每天可多賣出100只粽子．為了使每天獲取的利潤更多，該店決定把零售單價下降m（0＜m＜1）元．（1）零售單價下降m元后，該店平均每天可賣出300+100×只粽子，利潤為（1﹣m）（300+100×）元．（2）在不考慮其他因素的條件下，當(dāng)m定為多少時，才能使該店每天獲取的利潤是420元并且賣出的粽子更多？【考點】一元二次方程的應(yīng)用．【專題】銷售問題；壓軸題．【分析】（1）每天的銷售量等于原有銷售量加上增加的銷售量即可；利潤等于銷售量乘以單價即可得到；（2）利用總利潤等于銷售量乘以每件的利潤即可得到方程求解．【解答】解：（1）300+100×，（1﹣m）（300+100×）．（2）令（1﹣m）（300+100×）=420．化簡得，100m2﹣70m+12=0．即，m2+0.12=0．解得m=0.4或m=0.3．可得，當(dāng)m=0.4時賣出的粽子更多．答：當(dāng)m定為0.4時，才能使商店每天銷售該粽子獲取的利潤是420元并且賣出的粽子更多．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是了解總利潤的計算方法，并用相關(guān)的量表示出來．20．（2012?重慶模擬）已知：如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動．（1）如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)，那么幾秒后，△PBQ的面積等于6cm2？（2）如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)，那么幾秒后，PQ的長度等于5cm？（3）在（1）中，△PQB的面積能否等于8cm2？說明理由．【考點】一元二次方程的應(yīng)用．【專題】幾何動點問題；壓軸題．【分析】（1）設(shè)經(jīng)過x秒鐘，△PBQ的面積等于6平方厘米，根據(jù)點P從A點開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q從B點開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動，表示出BP和BQ的長可列方程求解．（2）根據(jù)PQ=5，利用勾股定理BP2+BQ2=PQ2，求出即可；（3）通過判定得到的方程的根的判別式即可判定能否達到8cm2．【解答】解：（1）設(shè)經(jīng)過x秒以后△PBQ面積為6×（5﹣x）×2x=6整理得：x2﹣5x+6=0解得：x=2或x=3答：2或3秒后△PBQ的面積等于6cm2（2）當(dāng)PQ=5時，在Rt△PBQ中，∵BP2+BQ2=PQ2，∴（5﹣t）2+（2t）2=52，5t2﹣10t=0，t（5t﹣10）=0，t1=0，t2=2，∴當(dāng)t=0或2時，PQ的長度等于5cm．（3）設(shè)經(jīng)過x秒以后△PBQ面積為8，×（5﹣x）×2x=8整理得：x2﹣5x+8=0△=25﹣32=﹣7＜0∴△PQB的面積不能等于8cm2．【點評】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，找到關(guān)鍵描述語“△PBQ的面積等于6cm2”，得出等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．21．（2016?濉溪縣三模）如圖，四邊形ACDE是證明勾股定理時用到的一個圖形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED邊長，易知，這時我們把關(guān)于x的形如的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”．請解決下列問題：（1）寫出一個“勾系一元二次方程”；（2）求證：關(guān)于x的“勾系一元二次方程”必有實數(shù)根；（3）若x=﹣1是“勾系一元二次方程”的一個根，且四邊形ACDE的周長是6，求△ABC面積．【考點】一元二次方程的應(yīng)用；勾股定理的證明．【專題】幾何圖形問題；壓軸題．【分析】（1）直接找一組勾股數(shù)代入方程即可；（2）通過判斷根的判別式△的正負(fù)來證明結(jié)論；（3）利用根的意義和勾股定理作為相等關(guān)系先求得c的值，根據(jù)完全平方公式求得ab的值，從而可求得面積．【解答】（1）解：當(dāng)a=3，b=4，c=5時勾系一元二次方程為3x2+5x+4=0；（2）證明：根據(jù)題意，得△=（c）2﹣4ab=2c2﹣4ab∵a2+b2=c2∴2c2﹣4ab=2（a2+b2）﹣4ab=2（a﹣b）2≥0即△≥0∴勾系一元二次方程必有實數(shù)根；（3）解：當(dāng)x=﹣1時，有a﹣c+b=0，即a+b=c∵2a+2b+c=6，即2（a+b）+c=6∴3c=6∴c=2∴a2+b2=c2=4，a+b=2∵（a+b）2=a2+b2+2ab∴ab=2∴S△ABC=ab=1．【點評】此類題目要讀懂題意，根據(jù)題目中所給的材料結(jié)合勾股定理和根的判別式解題．22．（2015?黃岡中學(xué)自主招生）已知關(guān)于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有兩個正整數(shù)根（m是正整數(shù)）．△ABC的三邊a、b、c滿足，m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．求：（1）m的值；（2）△ABC的面積．【考點】根與系數(shù)的關(guān)系；一元二次方程的定義；一元二次方程的解；解一元二次方程-因式分解法；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；勾股定理的逆定理．【專題】應(yīng)用題；壓軸題；分類討論；方程思想．【分析】（1）本題可先求出方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0的兩個根，然后根據(jù)這兩個根都是正整數(shù)求出m的值．（2）由（1）得出的m的值，然后將m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．進行化簡，得出a，b的值．然后再根據(jù)三角形三邊的關(guān)系來確定符合條件的a，b的值，進而得出三角形的面積．【解答】解：（1）∵關(guān)于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有兩個正整數(shù)根（m是整數(shù)）．∵a=m2﹣1，b=﹣9m+3，c=18，∴b2﹣4ac=（9m﹣3