上海市上海師范大學附屬外國語中學2023-2024學年數(shù)學高二上期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

上海市上海師范大學附屬外國語中學2023-2024學年數(shù)學高二上期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．數(shù)學家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn)，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線稱為歐拉線．已知的頂點，，若其歐拉線的方程為，則頂點的坐標為（）A. B.C. D.2．若等差數(shù)列，其前n項和為，，，則（）A.10 B.12C.14 D.163．2021年11月，鄭州二七罷工紀念塔入選全國職工愛國主義教育基地名單．某數(shù)學建模小組為測量塔的高度，獲得了以下數(shù)據(jù)：甲同學在二七廣場A地測得紀念塔頂D的仰角為45°，乙同學在二七廣場B地測得紀念塔頂D的仰角為30°，塔底為C，（A，B，C在同一水平面上，平面ABC），測得，，則紀念塔的高CD為（）A.40m B.63mC.m D.m4．已知三個頂點都在拋物線上，且為拋物線的焦點，若，則（）A.6 B.8C.10 D.125．十二平均律是我國明代音樂理論家和數(shù)學家朱載堉發(fā)明的.明萬歷十二年(公元1584年)，他寫成《律學新說》，提出了十二平均律的理論.十二平均律的數(shù)學意義是：在1和2之間插入11個正數(shù)，使包含1和2的這13個數(shù)依次成遞增的等比數(shù)列.依此規(guī)則，插入的第四個數(shù)應(yīng)為（）A. B.C. D.6．函數(shù)單調(diào)減區(qū)間是（）A. B.C.和 D.7．如圖已知正方體，點是對角線上的一點且，，則（）A.當時，平面 B.當時，平面C.當為直角三角形時， D.當?shù)拿娣e最小時，8．下列求導運算正確的是（）A. B.C. D.9．已知拋物線y2＝4x的焦點為F，定點，M為拋物線上一點，則|MA|+|MF|的最小值為（）A.3 B.4C.5 D.610．已知正三棱柱中，，點為中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.11．直線分別與軸，軸交于A，B兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是（）A B.C. D.12．若關(guān)于一元二次不等式的解集為，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某人實施一項投資計劃，從2021年起，每年1月1日，把上一年工資的10%投資某個項目.已知2020年他的工資是10萬元，預(yù)計未來十年每年工資都會逐年增加1萬元；若投資年收益是10%，一年結(jié)算一次，當年的投資收益自動轉(zhuǎn)入下一年的投資本金，若2031年1月1日結(jié)束投資計劃，則他可以一次性取出的所有投資以及收益應(yīng)有__________萬元.（參考數(shù)據(jù)：，，）14．若滿足約束條件，則的最大值為_________.15．已知圓和直線.（1）求直線l所經(jīng)過的定點的坐標，并判斷直線與圓的位置關(guān)系；（2）求當k取什么值，直線被圓截得的弦最短，并求這條最短弦的長.16．已知水平放置的是按“斜二測畫法”得到如下圖所示的直觀圖，其中，，則原的面積為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列滿足（1）求數(shù)列的通項公式；（2）是否存在正實數(shù)a，使得不等式對一切正整數(shù)n都成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由.18．（12分）（１）求焦點在x軸上,虛軸長為12，離心率為的雙曲線的標準方程；（2）求經(jīng)過點的拋物線的標準方程；19．（12分）已知的展開式中前三項的二項式系數(shù)之和為46，（1）求n；（2）求展開式中系數(shù)最大的項20．（12分）如圖，△ABC中，，，在三角形內(nèi)挖去一個半圓（圓心O在邊BC上，半圓與AC、AB分別相切于點C，M，與BC交于點N），將△ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周得到一個旋轉(zhuǎn)體（1）求該幾何體中間一個空心球表面積的大??；（2）求圖中陰影部分繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積21．（12分）已知拋物線C:（1）若拋物線C上一點P到F的距離是4，求P的坐標；（2）若不過原點O的直線l與拋物線C交于A、B兩點，且，求證：直線l過定點22．（10分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）任意，恒成立，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】設(shè)，計算出重心坐標后代入歐拉方程，再求出外心坐標，根據(jù)外心的性質(zhì)列出關(guān)于的方程，最后聯(lián)立解方程即可.【詳解】設(shè)，由重心坐標公式得，三角形的重心為，，代入歐拉線方程得：，整理得：①的中點為，，的中垂線方程為，即聯(lián)立，解得的外心為則，整理得：②聯(lián)立①②得：，或，當，時，重合，舍去頂點的坐標是故選：A【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵一是求出外心，二是根據(jù)外心的性質(zhì)列方程.2、B【解析】由等差數(shù)列前項和的性質(zhì)計算即可.【詳解】由等差數(shù)列前項和的性質(zhì)可得成等差數(shù)列，，即，得.故選：B.3、B【解析】設(shè)，先表示出，再利用余弦定理即可求解.【詳解】如圖所示，，設(shè)塔高為，因為平面ABC，所以，所以，又，即，解得.故選：B.4、D【解析】設(shè)，，，由向量關(guān)系化為坐標關(guān)系，再結(jié)合拋物線的焦半徑公式即可計算【詳解】由得焦點，準線方程為，設(shè)，，由得則，化簡得所以故選：D5、C【解析】先求出等比數(shù)列的公比，再由等比數(shù)列的通項公式即可求解.【詳解】用表示這個數(shù)列，依題意，，則，，第四個數(shù)即.故選：C.6、B【解析】根據(jù)函數(shù)求導，然后由求解.【詳解】因為函數(shù)，所以，由，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，故選：B7、D【解析】建立空間直角坐標系，利用空間向量法一一計算可得；【詳解】解：由題可知，如圖令正方體的棱長為1，建立空間直角坐標系，則，，，，，，，所以，因為，所以，所以，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以對于A：若平面，則，則，解得，故A錯誤；對于B：若平面，則，即，解得，故B錯誤；當為直角三角形時，有，即，解得或（舍去），故C錯誤；設(shè)到的距離為，則，當?shù)拿娣e最小時，，故正確故選：8、B【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導數(shù)和求導法則判斷.【詳解】，，，，只有B正確.故選：B.【點睛】本題考查基本初等函數(shù)的導數(shù)公式，考查導數(shù)的運算法則，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】作出圖象，過點M作準線的垂線，垂足為H，結(jié)合圖形可得當且僅當三點M，A，H共線時|MA|+|MH|最小，求解即可【詳解】過點M作準線的垂線，垂足為H，由拋物線的定義可知|MF|＝|MH|，則問題轉(zhuǎn)化為|MA|+|MH|的最小值，結(jié)合圖形可得當且僅當三點M，A，H共線時|MA|+|MH|最小，其最小值為.故選：B10、A【解析】根據(jù)異面直線所成角的定義，取中點為，則為異面直線和所成角或其補角，再解三角形即可求出【詳解】如圖所示：設(shè)中點為，則在三角形中，為中點，為中位線，所以有，，所以為異面直線和所成角或其補角，在三角形中，，所以由余弦定理有，故選：A.11、A【解析】把求面積轉(zhuǎn)化為求底邊和底邊上的高，高就是圓上點到直線的距離.【詳解】與x，y軸的交點，分別為，，點在圓，即上，所以，圓心到直線距離為，所以面積的最小值為，最大值為.故選：A12、B【解析】結(jié)合判別式求得的取值范圍.【詳解】由于關(guān)于的一元二次不等式的解集為，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、24【解析】根據(jù)條件求得每一年投入在最終結(jié)算時的總收入，利用錯位相減法求得總收入.【詳解】由題知，2021年的投入在結(jié)算時的收入為，2022年的投入在結(jié)算時的收入為，，2030年的投入在結(jié)算時的收入為，則結(jié)算時的總投資及收益為：①，則②，由①-②得，，則，故答案為：2414、7【解析】畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖象和直線在軸上的截距，確定目標函數(shù)的最優(yōu)解，代入即可求解.【詳解】畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖所示，目標函數(shù)可化為，當直線過點點時，此時直線在軸上的截距最大，此時目標函數(shù)取得最大值，又由，解得，即,所以目標函數(shù)的最大值為.故答案為：.15、（1）直線過定點P（4，3），直線和圓總有兩個不同交點（2）k=1，【解析】(1)把直線方程化為點斜式方程即可；(2)由圓的性質(zhì)知，當直線與PC垂直時，弦長最短.【小問1詳解】直線方程可化為，則直線過定點P（4，3），又圓C標準方程為，圓心為，半徑為，而，所以點P在圓內(nèi)，所以不論k取何值，直線和圓總有兩個不同交點.【小問2詳解】由圓的性質(zhì)知，當直線與PC垂直時，弦長最短.，所以k=1時弦長最短.弦長為.16、【解析】根據(jù)直觀圖畫出原圖，再根據(jù)三角形面積公式計算可得.【詳解】解：依題意得到直觀圖的原圖如下：且，所以故答案為：【點睛】本題考查斜二測畫法中原圖和直觀圖面積之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）通過構(gòu)造新數(shù)列求解；（2）由（1）得，再研究其單調(diào)性，從而得到最值，再解不等式即可求解.【小問1詳解】由，假設(shè)其變形為，則有，所以，又.所以，即.【小問2詳解】由（1），所以，令，則，所以，所以是遞減數(shù)列，所以，所以使得不等式對一切正整數(shù)n都成立，則，即，因為為正實數(shù)，所以.18、（1）；（2）或.【解析】（1）由虛軸長是12求出半虛軸b，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)c2=a2+b2以及離心率，求出a2，寫出雙曲線的標準方程；（2）設(shè)出拋物線方程，利用經(jīng)過，求出拋物線中的參數(shù)，即可得到拋物線方程【詳解】焦點在x軸上，設(shè)所求雙曲線的方程為=1（a>0,b>0）由題意，得解得b=6,解得，所以焦點在x軸上的雙曲線的方程為（2）由于點P在第三象限，所以拋物線方程可設(shè)為：或（p>0）當方程為，將點代入得16=4p，即p=4,拋物線方程為：；當方程為，將點代入得4=8p，即p=,拋物線方程為：；19、（1）9（2）【解析】（1）根據(jù)要求列出方程，求出的值；（2）求出二項式展開式的通項，列出不等式組，求出的取值范圍，從而求出，得到系數(shù)最大項.【小問1詳解】由題意得：，解得：或，因為，所以（舍去），從而【小問2詳解】二項式的展開式通項為：，則系數(shù)為，要求其最大值，則只要滿足，即9!r!9-r!?2r≥9!r-1!10-r20、（1）；（2）.【解析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的軸截面圖，根據(jù)已知條件求球的半徑與長，再利用球體、圓錐的面積、體積公式計算即可.【小問1詳解】連接，則，設(shè)，在中，，；【小問2詳解】，∴圓錐球.21、（1）（2）見解析【解析】（1）由拋物線的定義，可得點的坐標；（2）可設(shè)直線的方程為，，，，與拋物線聯(lián)立，消，利用韋達定理求得，，再根據(jù)，可得，從而可求得參數(shù)的關(guān)系，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：設(shè)，，由拋物線的定義可知，即，解得，將代入方程，得，即的坐標為；【小問2詳解】證明：由題意知直線不能與軸平行，可設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立得，消去得，設(shè)，，，則，，由，可得，即，即，即，又，解