妙不可言的高考壓軸題解法分析 論文

妙不可言的高考壓軸題解法分析【摘要】本文通過一道高考題不同解法的分析研究，透析出高中學(xué)生在學(xué)習(xí)階段所應(yīng)掌握的數(shù)學(xué)方法技巧，以及如何打靈活應(yīng)用它們來解決多變的問題，并關(guān)于這道題背后的學(xué)生應(yīng)該怎樣學(xué)好數(shù)學(xué)，闡述了我的看法。【關(guān)鍵詞】江蘇卷；高考數(shù)學(xué)；壓軸題；思想方法一，前言第一次見這道題的時間是2013年，當(dāng)時我正在讀大二，在圖書館同學(xué)神秘兮兮的讓我看這道題，然后此題就占據(jù)了我一整個下午的時間，因為那時沒有各種搜題軟件，同學(xué)也不清楚從哪里搞到的題目，也沒有答案，做完后就一直靜靜存放在我的筆記本中，后來一次偶然的機會，我在整理往年高考卷子的時候發(fā)現(xiàn)了它！它靜靜的躺在試卷的最后一題位置，當(dāng)時的心情就如同查高考成績的前一秒一樣，我按耐住內(nèi)心的狂喜，迅速翻到答案部分，很快內(nèi)心的狂喜落下，標(biāo)答跟我的證明方法不一樣，并且在第三問，我竟看不懂標(biāo)答在說什么？之后的若干年我對此題的解法不求甚渴，問了很多的同學(xué)老師，在這里和大家分享一下我對此題的理解，不當(dāng)之處，請多指正。二，問題提出22.（本小題滿分14分）設(shè)a>0，如圖，已知直線l：y=ax及曲線C：y=x2，C上的點Q1的橫坐標(biāo)為a1(0<a1<a)，從C上的點Qn(n≥1)作直線平行于x軸，交直線l于點直線Pn+1,再從點Pn+1作直線平行于y軸，交曲線C于點Qn+1；Qn(n=1，2，2，……)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{an}.1，試求an+1與an的關(guān)系，并求an的通項公式；1 n 1 2，當(dāng)a=1,a1≤

時，證明∑

(ak-ak+1)ak+2< ;2 k=1 32n 13,當(dāng)a=1時，證明∑k=1(ak-ak+1)ak+2<3本題從直線和曲線的交點入手，既考察了學(xué)生的數(shù)學(xué)運算，又對數(shù)列遞推公式的固定模型展開考察，并且在第二問和第三問，學(xué)生面臨幾乎同樣條件下，同一種放縮方法卻并不通用的情況；第一問足夠篩選出A+學(xué)生和A+以下的學(xué)生，第二問則能篩選出A+學(xué)生和S級學(xué)生，第三問與第二問相比則又能篩選S級和SS級，不可謂不是一道優(yōu)秀的高考壓軸題，將高考對人才的分層作用體現(xiàn)的淋漓盡致。這三問我總計使用了6種不同的思路來從不同的角度分析它背后的邏輯層次，下面我們先看第一小問：三，解法分析解：n（I）由題意知：Qn(an，a2)n{y=ax{2y=an212，a2)1可得Pn+1(aan n{x= {x= a1 2naa)41 2 n a)4可得Qn+1(aan，a21 2所以an+1=aan可以得到如下等式均成立：1an=

an21-?a-?1an-1=an-2=……

an22-?a-?1-?an23-?a11?a2= a2a1?對上述這n-1個等式做如下處理：將最后一層的等式帶入上一層，不斷地朝上一層帶入，直至帶到第一個等式。這種方法稱之為疊代法，通常適用于形如an=an-12+c這種形式。過程如下：an=

11-?( an22)2-?aa1 2) a=) a=(a n-2-1 1 2-=()1+2(a a

?an23)22=(1)1+2+2a232a n-2=?n-2=(1)1+2+?n-2a

2n+12a1=(1)2a

n-1

-12n-1a1a2a1 n-12=a(a)

，a12n-1∴an=a(a) .法二：1 2當(dāng)我們得到an=a?an-1，其實可以想到常用求解數(shù)列通項的方法，也即兩邊同需要使用常用數(shù)列解題模型“不動點法”即可求解，解法如下：1 2因為an=a?an-11 2兩邊同取對數(shù)lg(an)=lg(a?an-1)化簡得lgan=2lgan-1-lga……①令lgan=lgan-1=x①?x=2x-lgax=lgalgan-lga=2(lgan-1-lga)所以{lgan-lga}為首項是lga1-lga公比是2的等比數(shù)列.lgan-lga=（lga1-lga）2n-1lganlgan=2n-1 lga+lgalgan=lg(

a12)a

n-1

+lgann-1lgan=lg[a·(所以

a12) ]aan=a·(

a12)a

n-11 n

1 （Ⅱ）當(dāng)a=1,a1≤

時，證明∑

(ak-ak+1)ak+2< ;2 k=1 32從第二問要證明的不等式形式上看，前有連續(xù)兩項相減的形式：ak-ak+1因此只需讓后面ak+2放縮為一個定值則在求和過程中就能進行錯位相消。當(dāng)然此方法并非一定能成立，不成立的情況在第三問會出現(xiàn)，這也是本題一個非常好的點，那就是既考察了學(xué)生對常見放縮方法基本功的考察，又給出了超脫于常見放縮解法模型之外的情況，讓學(xué)生明白，這種放縮并非是一本萬利的，特別是當(dāng)給學(xué)生講這道題的時候，更能讓學(xué)生明白為什么方法會失效，從而引發(fā)學(xué)生的深層思考，這對學(xué)生的邏輯思維鍛煉起到了很好的啟發(fā)作用。下面給出第二問的證明：法一：1因為a=1則由（I）可知an=an-2=a1

2n-11

,1 2,因為0<a≤11 2,所以{an}為遞減數(shù)列1 1容易得到a2≤4,a3≤16……因為k≥1所以k+2≥3所以a所以a ≤a≤k+2 3 161所以(ak-ak+1)ak+2≤16(ak-ak+1)于是有n 1n

1

1 1

1 ∑k=1(ak-ak+1)ak+2≤16∑k=1(ak-ak+1)=16(a1-an+1)≤16·(2-an+1)<32.此外還可以直接拆項，使用已知的通項公式進行整理化簡再放縮來處理本題，下面給出第二種解法：法二【1】：k由（I）知an=a12k所以(ak-ak+1)ak+2=akak+2-ak+1ak+2=a12

k-1

+2k+1

-a12

+2k+1=a15·2

k-1

-a16·2

k-1因為k=1，2，3，4，……所以2k-1=1，2，4，8，……可得n∑(ak-ak+1)ak+2=k=1

n∑(a15·2k=1

k-1

-a16·2

)k-1)=(a15×1-a16×1)+(a15×2-a16×2)+(a15×3-a16×3)+…+(a15·2

n-1

-a16·2

n-1)=（a15+a110+a120+…+a15·2)

n-1

）-（a16+a112+a124+…+a16·2

n-1）注意觀察這兩個多項式的次數(shù)規(guī)律：前式：5，10，20，40，80，……后式：6，12，24，48，96，……我們可以在其中增添一些項使這兩個多項式的次數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，從而使多項式構(gòu)成等比數(shù)列，下面用紅色數(shù)字代表增添的項：前式：5，10，15，20，25，30，35，40，45，50，55，60，65，70，75，80，……后式：6，12，18，24，30，36，42，48，54，60，66，72，78，84，90，96，……觀察發(fā)現(xiàn)，在相同的距離下，前式需要增添更多的項，并且前式的公差是5，后項的公差是6，也就是說前式的項數(shù)要更加稠密，所以在我們增添一些項使它們的次數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列后，上式要增加的項數(shù)是要遠多于下式的，因此我們在增添了這些項后，這兩個多項式之差是擴大了的，所以有：（a15+a110+a120+…+a15·2）

n-1

）-（a16+a112+a124+…+a16·2

n-1<（a15+a110+a115+a120+a125…+a15·2n-1

n-1

）-（a16+a112+a118+a124+a130…+a16·2 ）對上述兩個括號內(nèi)進行等比數(shù)列求和：a15[(1-(a15)1-a15

2n-1]

a16[(1-(a16)-1-a16

2n-1]

a15<1-a15

a16-1-a16=a15·

1-a1(1-a15)(1-a16)1

1-a1，則只需要證明 ≤1即可--a16)因為分子分母均為正，所以只需證上式分母減分子大于等于零，操作如下：(1-a15)(1-a16)-(1-a1)=a1(1-a14-a15+a110)1因為0<a1≤21所以1+a110>1>a14+a15所以1(1-a15)(1-a16)-(1-a1)=a1(1-a14-a15+a110)>01于是有a15·

1-a1

<a15≤即證！

(1-a15)(1-a16) 32對于第三問，大家注意觀察與第二問的區(qū)別：a=1是一樣的，也就是說通項公式1還是an=an-2=a1

2n-11

，同樣地都是在求n∑k=1∑

(ak-ak+1)ak+2的一個范圍，而第1 2二問多了一個條件a≤11 2然而如果不能使用常用的放縮思路，在高中階段對學(xué)生而言，似乎已“無路可先來看一下標(biāo)答的做法：n 1,（Ⅲ）證明【2】：由（Ⅰ）知，當(dāng)a=1時，a=a2n 1,因此n n 2k-1

2k 2k+1

2n-1 i

i+1

2i+2∑k=1(ak-ak+1)ak+2=∑k=1(a1

a1

)a1

≤∑i=1(a1

a1

)a122-1=(1-a1)a12∑

a13i<(1-a1)a12?

a13

=

a15 1<.i=1

1-a13

1+a1+a12 3標(biāo)答非常的簡潔，僅用6步就完成了本題的證明。然而不進行深度的思考卻并不能很好的看懂消化標(biāo)答的意思，我們先來分析一下下面這個環(huán)節(jié)是如何導(dǎo)出的：n∑k=1(a1

2k-1

-a1

2k)a1

2k+1

2n-1 i∑ (≤ i=1∑ (

-a1

i+1

)a1

2i+2n我們不妨列舉出來，找一下關(guān)系：n左邊=(a11-a12)a14+(a12-a14)a18+…+(a12=(a11-a12)a14+(a12-a13+a13-a14)a18+

n-1

-a12)a12

n+1n-1(a14-a15+a15-a16+a16-a17+a17-a18)a116…+(a21 n-1

n-1+1+1+-aa2n-1+-aa1

n-1+2 2++a

n1 n-+2 2-+2 2-1

2n 2n+1②1②1 -a1)a這里紅色部分代表增添的項，這里借鑒了第二問的法二的做法和思路，對于這種分散的倍增項，想要進行連續(xù)求和放縮，就必須要把中間缺少項補上。例如：2，4，8，16，……補成2，4，6，8，10，12，14，16，……②=(a11-a12)a14+(a12-a13)a18+(a13-a14)a18+(a14-a15)a116+(a15-)na116+(a16-a17)a116+(a17-a18)a116+…+(a2-1n1 -

a2)a2n1n

n+11nn≤(a11-a12)a14+(a12-a13)a16+(a13-a14)a18+(a14-a15)a110+(a15-)nna112+(a16-a17)a114+(a17-a18)a116+…+(a2-1

a2a2

n+12n-11-=∑(a1-

1)a1)a

2i+21

1 - 1) 1i=1下一步比較常規(guī)：(a1i-a1i+1)a12i+2=(1-a1)a12a13i2n-1 i

i+1

2i+2

22n-13i所以∑i=1(a1

a1

)a1

=(1-a1)a1∑i=1a12n-13[1-(a13) ]

a132n-13i

a1 繼續(xù)算出∑i=1a1=

1-a3 <1-a3所以(所以( ) 2-11-a1a2∑

a3i<

1a15

1 1 1= <1i=1 1

31+a1+a133

1a15

1+a14

1+a13平心而論，在平時的高考模擬考試中學(xué)生和老師極大可能無法想出這么精妙的方法，那如果只使用高中考綱范圍內(nèi)常用的數(shù)學(xué)放縮解法模型能否解決第三問呢？我們在第二問已經(jīng)分析過，照搬第二問的放縮方法會太過粗糙，最終導(dǎo)致方所范圍達不到我們要證的范圍，如果依舊要用這種放縮后能產(chǎn)生運算（最好是出現(xiàn)常見數(shù)列求和公式，或者是錯位相消）的方法，我們重新觀察式子的形式(ak-ak+1)ak+2第二k問直接將ak+2放縮掉的方法行不通，那是否可以利用ak+2=ak+12來進行更細致一些放縮呢？如果想要放縮成平方差的形式，那么就需要證明ak+12<ak+ak+1kk?證a4k

<ak+a2k?證a3k

<1+ak?證x∈(0,1),f(x)=x3-x-1,f(x)<0恒成立f'(x)=3x2-1易得f(x)max<max{f(1),f(0)}=-1<0所以可得ak+12<ak+ak+1k有(ak-ak+1)ak+2<(ak-ak+1)(ak+ak+1)=a2k

-ak+12n n 2

2=a

2-a

2<a

2=1所以有∑k=1(ak-ak+1)ak+2<∑k=1ak

ak+1

1 k+1 1會發(fā)現(xiàn)如果只進行這樣的放縮想要得出1就必須在放縮過程中湊出一個分母3，這3樣分子就會出現(xiàn)3倍的式子，自然可以考慮進行湊立方差的放縮方式，不論我們在錯2 2 3 3 n n位相消時出現(xiàn)的是ak

ak+1

還是ak

ak+1

或ak

ak+1

，都必須要滿足分母出現(xiàn)3，這樣分子出現(xiàn)三倍的式子，就順其自然地得到要去湊立方差的道路來，于是我們就用高中常規(guī)方式解決了本題，過程如下：1證明：由（Ⅰ）知，當(dāng)a=1時，an=an-2=a21

n-11,因為0<a1<1,容易得出a1>a2>a3>…>an因此 2(ak-ak+1)?3ak+1因此 23(ak-ak+1)ak+2=(ak-ak+1)ak+1= =32+aa +a

) a3-a(ak-ak+1)?(ak+12+ak+12+ak+12)

(ak-ak+1)?(ak

kk+1

2k+1

3k k+13 < 3 = 3所以n∑(ak-ak+1)ak+2<k=1

n 3ak∑akk=1

-ak+133n 3 3ak-ak+1 1 3

3 1 3<1∑k=1