專題07 難點探究專題：化簡絕對值之四大考點(解析版)2023-2024學年七年級數(shù)學上冊重難點專題提優(yōu)訓練（人教版）

第第頁專題07難點探究專題：化簡絕對值之四大考點【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一利用數(shù)軸化簡絕對值】 1【考點二分類討論化簡絕對值】 5【考點三利用幾何意義化簡絕對值】 10【考點四解絕對值方程】 18【典型例題】【考點一利用數(shù)軸化簡絕對值】例題：（2023春·上?！ち昙墝ｎ}練習）如圖，已知a、b、c在數(shù)軸上的位置．（1）a+b0，abc0，0．填（“＞”或“＜”）（2）如果a、c互為相反數(shù)，求＝．（3）化簡：|b+c|﹣2|a﹣b|﹣|b﹣c|．【答案】（1）＜，＜，＜；（2）﹣1；（3）2a．【分析】（1）根據(jù)、、在數(shù)軸上的位置即可求解；（2）根據(jù)相反數(shù)的定義即可求解；（3）結合數(shù)軸，根據(jù)絕對值性質去絕對值符號，再合并即可求解．【詳解】解：由數(shù)軸可知，，，則（1），，．故答案為：，，；（2）、互為相反數(shù)，．故答案為：；（3）．【點睛】本題主要考查數(shù)軸、絕對值的性質、整式的加減，解題的關鍵是根據(jù)數(shù)軸和題目條件判斷出、、的大小關系．【變式訓練】1．（2023·江蘇·七年級假期作業(yè)）已知、、的大致位置如圖所示：化簡的結果是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)軸得到、、與0的大小關系，根據(jù)有理數(shù)加減法法則判斷與的符號，去絕對值運算即可得到答案；【詳解】解：由數(shù)軸可得，，∴，，∴，故選A．【點睛】本題考查根據(jù)數(shù)軸上點的關系判斷式子的符號及去絕對值，解題的關鍵是正確根據(jù)數(shù)軸上點的關系判斷式子的符號．2．（2022秋·河南南陽·七年級?？计谀┯欣頂?shù)、、在數(shù)軸上的位置如圖所示，且，化簡．

【答案】0【分析】先由數(shù)軸得出a，b，c的大小，再按照絕對值的化簡法則化簡即可；【詳解】∵由數(shù)軸可得：，且

當時原式故答案為0【點睛】本題考查了數(shù)軸上的數(shù)的絕對值化簡問題，屬于基礎知識的考查，比較簡單．3．（2023秋·江蘇·七年級專題練習）若數(shù)軸上的點A、B、C分別表示有理數(shù)a，b，c，O為原點，如圖所示．(1)用“＞”或“＜”填空：0，0，0；(2)化簡．【答案】(1)＜，＜，＞(2)0【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上點的位置得出，再根據(jù)有理數(shù)的加減法法則判斷即可；（2）利用絕對值的意義化簡即可．【詳解】（1）解：由圖可得：，且，∴，，；（2）解：，，，．【點睛】此題主要考查了利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小，有理加減法，絕對值化簡，關鍵是利用數(shù)軸得出，且．4．（2022秋·山東德州·七年級?？计谀┮阎猘、b、c在數(shù)軸上對應的點如圖所示，(1)化簡：；(2)若與互為相反數(shù)，且，求（1）中式子的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）通過數(shù)軸判斷a、b、c的相對大小，從而確定絕對值里代數(shù)式的值的符號，再去掉絕對值，最后實現(xiàn)化簡；（2）兩個非負數(shù)互為相反數(shù)，只能各自為零．求出a、b、c的值再計算代數(shù)式的值．【詳解】（1）由圖可得且∴，，，∴

∴（2）∵與互為相反數(shù)∴又∵，∴∴∴∴原式【點睛】此題考查數(shù)軸，絕對值的性質，解題關鍵在于利用數(shù)軸比較各數(shù)的大小，再進行計算．6．（2022秋·四川瀘州·七年級統(tǒng)考期中）有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示．(1)判斷下列式子的符號；（填“>”，“<”）①a______0；

②b______0；

③______0；

④______0；(2)比較下列式子的大小，用“<”連接；；；；；；．(3)化簡．【答案】(1)<,>,<,>(2)(3)【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上的位置得出有理數(shù)的大小即可；（2）根據(jù)數(shù)軸上的位置結合有理數(shù)的加減法法則得出結論即可；（3）根據(jù)絕對值的性質去掉絕對值，再進行合并即可．【詳解】（1）由數(shù)軸可知，①；

②；

③；

④；故答案為：<,>,<,>．（2）由數(shù)軸可知：（3），，，，，．【點睛】本題考查有理數(shù)的比較大小，熟練掌握有理數(shù)大小比較的方法是解題的關鍵．【考點二分類討論化簡絕對值】例題：（2023春·黑龍江綏化·六年級綏化市第八中學校校考期中）已知、、均為不等式0的有理數(shù)，則的值為．【答案】3，-3，1，?1．【分析】根據(jù)絕對值的性質，將絕對值符號去掉，然后計算．由于不知道a、b、c的符號，故需分類討論．【詳解】解：(1)當a>0，b>0，c>0時，=1+1+1=3；(2)當a<0，b<0，c<0時，==?1?1?1=?3；(3)當a>0，b>0，c<0時，==1+1?1=1；同理，a>0，b<0，c>0；a<0，b>0，c>0時原式的值均為1．(4)當a<0，b<0，c>0時，==?1?1+1=?1；同理，當a<0，b>0，c<0；a>0，b<0，c<0時原式的值均為?1．故答案為：3，-3，1，?1．【點睛】本題考查了絕對值規(guī)律的性質：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0，解答時要注意分類討論．【變式訓練】1．（2023秋·七年級單元測試）若，則．【答案】【分析】討論a和b的符號，逐一求解即可．【詳解】解：∵，∴，或，，若，，則；若，，則；綜上所述，的值為，故答案為：．【點睛】本題考查絕對值的性質，分情況討論是解題的關鍵．2．（2022秋·江蘇·七年級專題練習）現(xiàn)場學習：我們知道|x|＝，所以當x＞0時，＝1，當x＜0時，＝﹣1．解決問題：已知a，b是有理數(shù)，當ab≠0時，求的值．【答案】2或或0【分析】根據(jù)絕對值的意義可進行分類討論求解．【詳解】解：分四種情況：①當a＞0，b＞0時，＝1+1＝2；②當a＜0，b＜0時，＝﹣1﹣1＝﹣2；③當a＞0，b＜0時，＝1﹣1＝0；④當a＜0，b＞0時，＝﹣1+1＝0；綜上所述：的值為2或﹣2或0．【點睛】本題主要考查絕對值的意義，熟練掌握絕對值的意義是解題的關鍵．3．（2023春·上?！ち昙墝ｎ}練習）（1）若，；若，；（2）若，則＝；（3）若，則．【答案】（1）1，；（2）1；（3）1或．【分析】（1）根據(jù)的取值，去絕對值符號，然后化簡即可；（2）由（1）可知，結合可知即，化簡即可；（3）結合可知a、b、c中有一個負數(shù)、兩個正數(shù)或三個負數(shù)兩種情況，分情況結合（1），化簡即可．【詳解】解：（1）∵，∴，∴；∵，∴，∴，故答案為：1，；（2）∵，∴，∴，∴，故答案為：1；（3）∵，∴a、b、c中有一個負數(shù)、兩個正數(shù)或三個負數(shù)兩種情況，當a、b、c中有一個負數(shù)、兩個正數(shù)時，，當a、b、c中有三個負數(shù)時，，故答案為：1或．【點睛】本題考查了絕對值的化簡求值，解題的關鍵是熟練掌握絕對值的性質．4．（2023·全國·七年級假期作業(yè)）請利用絕對值的性質，解決下面問題：(1)已知，是有理數(shù)，當時，則_______；當時，則_______．(2)已知，，是有理數(shù)，，，求的值．(3)已知，，是有理數(shù)，當時，求的值．【答案】(1)，(2)(3)或或或【分析】（1）根據(jù)正負數(shù)去絕對值的方法即可求解．（2）由可得，由根據(jù)進而可求解．（3）分四種情況討論：①當都是正數(shù)，即時；②當有一個為正數(shù)，另兩個為負數(shù)時，設；③當有兩個為正數(shù)，一個為負數(shù)時；④當三個數(shù)都為負數(shù)時，分別去絕對值即可求解．【詳解】（1）解：當時，則，當，則，故答案為：，．（2）已知是有理數(shù)，，所以，且中兩正一負，所以．（3）由題意得：三個有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個為正數(shù)，另兩個為負數(shù)或兩個正數(shù)，一個負數(shù)或三個都為負數(shù)．①當都是正數(shù)，即時，則：，②當有一個為正數(shù)，另兩個為負數(shù)時，設，則：，③當有兩個為正數(shù)，一個為負數(shù)時，設，則：，④當三個數(shù)都為負數(shù)時，則：，綜上所述：的值為或或或【點睛】本題考查了化簡絕對值，有理數(shù)的乘除法，熟練掌握正數(shù)的絕對值等于它本身，負數(shù)的絕對值等于它相反數(shù)是解題的關鍵．5．（2023秋·全國·七年級專題練習）分類討論是重要的數(shù)學方法，如化簡，當時，；當時，；當時，．求解下列問題：(1)當時，值為______，當時，的值為______，當x為不等于0的有理數(shù)時，的值為______；(2)已知，，求的值；(3)已知：，這2023個數(shù)都是不等于0的有理數(shù)，若這2023個數(shù)中有n個正數(shù)，，則m的值為______（請用含n的式子表示）【答案】(1)，1，(2)或3(3)【分析】（1）根據(jù)絕對值的定義求解即可；（2）已知，，所以，，一正兩負，根據(jù)（1）的結論解即可；（3）個正數(shù)，負數(shù)有個，式子中有個正1，個，相加得答案．【詳解】（1）解：，，，故答案為：，1，．（2），，，，，的正負性可能為：①當為正數(shù)，，為負數(shù)時：原式；②當為正數(shù)，，為負數(shù)時，原式；③當為正數(shù)，，為負數(shù)時，原式，原式或3．（3）∵有個正數(shù)，負數(shù)的個數(shù)為，．故答案為：．【點睛】本題考查的是數(shù)字的規(guī)律，有理數(shù)的混合運算，解題的關鍵是一個不等于0的數(shù)除以它的絕對值等于1或，將題目轉化為由幾個正1和幾個的問題．【考點三利用幾何意義化簡絕對值】例題：（2023秋·浙江·七年級專題練習）結合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：

(1)數(shù)軸上表示3和2的兩點之間的距離是_____；表示和1兩點之間的距離是_____；一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點之間的距離等于．(2)如果，那么______；(3)若，，且數(shù)a、b在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是點A、點B，則A、B兩點間的最大距離是______，最小距離是_____．(4)若數(shù)軸上表示數(shù)a的點位于與之間，則_____．(5)當_____時，的值最小，最小值是_____．【答案】(1)；(2)或(3)；(4)(5)，【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸，觀察兩點之間的距離即可解決；（2）根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離，分兩種情況即可解答；（3）根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離分別求出a，b的值，再分別討論，即可解答；（4）根據(jù)表示數(shù)a的點到與5兩點的距離的和即可求解；（5）分類討論，即可解答．【詳解】（1）解：由數(shù)軸得數(shù)軸上表示和的兩點之間的距離是：；表示和兩點之間的距離是：；故答案：；．（2）解：由得，，所以表示與距離為，因為與距離為的是或，所以或．故答案：或．（3）解：由，得，，，所以表示與的距離為，與的距離為，，所以或，或，當，時，則A、B兩點間的最大距離是，當，時，則A、B兩點間的最小距離是，故答案：，．（4）解：所以表示與的距離加上與的距離的和，因為表示數(shù)a的點位于與之間，所以，故答案：．（5）解：，所以表示與、、的距離之和，①如圖，當表示的點在的右側時，即，

由數(shù)軸得：，所以，所以；②如圖，當表示的點在和的之間時，即，

由數(shù)軸得：因為，所以，所以；③如圖，當表示的點在和的之間時，即，

由數(shù)軸得：因為，所以，所以；④當表示的點在或或的點上時，即或或，如圖，當時，

；如圖，當時，

；如圖，當時，

；因為，所以當表示的點在或或的點上時，僅當時，的最小值為；綜上所述：當，的最小值為．故答案：，．【點睛】本題主要考查了絕對值的應用，數(shù)軸上用絕對值表示兩點之間的距離，理解絕對值表示距離的意義，掌握距離的求法是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023·全國·七年級專題練習）結合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：(1)探究：①數(shù)軸上表示7和3的兩點之間的距離是；②數(shù)軸上表示和的兩點之間的距離是；③數(shù)軸上表示和5的兩點之間的距離是．(2)歸納：一般的，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點之間的距離等于．(3)應用：①如果表示數(shù)a和3的兩點之間的距離是6，則可記為：，那么a＝．

②若數(shù)軸上表示數(shù)a的點位于與2之間，求的值．③當a何值時，的值最小，最小值是多少？請說明理由．

【答案】(1)①4；②5；③8(2)(3)①或；②7；③當時，的值最小，最小值是7【分析】（1）根據(jù)兩點之間的距離較大的數(shù)較小的數(shù)可得結論；（2）因為不確定和的大小關系，所以數(shù)軸上表示數(shù)和數(shù)的兩點之間的距離等于；（3）①根據(jù)絕對值的意義可得：，解方程即可；②根據(jù)a的范圍，化簡絕對值，再合并即可；③分析得出表示一點到，1，2三點的距離的和，據(jù)此可解．【詳解】（1）解：①數(shù)軸上表示7和3的兩點之間的距離是；②數(shù)軸上表示和的兩點之間的距離是；③數(shù)軸上表示和5的兩點之間的距離是；（2）一般的，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點之間的距離等于；（3）①，∴或，解得：或；②∵數(shù)軸上表示數(shù)a的點位于與2之間，∴，∴；③表示一點到，1，2三點的距離的和，∴當時，該式的值最小，最小值為．∴當時，的值最小，最小值是7．【點睛】本題考查了數(shù)軸在兩點間的距離及絕對值化簡中的應用，明確數(shù)軸上兩點間的距離及絕對值之間的關系，是解題的關鍵．2．（2022秋·全國·七年級專題練習）閱讀理解；我們知道，若A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)、，A、B兩點間的距離表示為AB，則．所以的幾何意義是數(shù)軸上表示X的點與表示2的點之間的距離．根據(jù)上述材料，解答下列問題：（1）若點A表示－2，點B表示3，則AB＝．（2）若，則的值是．（3）如果數(shù)軸上表示數(shù)的點位于－4和2之間，求的值；（4）點取何值時，取最小值，最小值是多少？請說明理由；（5）直接回答：當式子取最小值時，相應的取值范圍是多少？最小值是多少？【答案】（1）；（2）或；（3）；（4）當時，最小值為；（5）當時，最小值為【分析】（1）根據(jù)題目中的方法確定出的長即可；（2）原式利用絕對值的代數(shù)意義化簡即可求出的值；（3）根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離的求法，化簡即可；（4）根據(jù)線段中點到各點的距離的和最小，可得答案；（5）根據(jù)線段中點到各點的距離的和最小，可得答案．【詳解】解：（1），則；（2）∵，∴，故或，故答案為：或；（3）∵數(shù)軸上表示數(shù)的點位于－4和2之間，∴；（4）∵，代表點到和到之間的距離之和，當時，取得最小值，最小值為；（5）當時，有最小值，最小值為====20．【點睛】本題考查了絕對值，數(shù)軸兩點間的距離，利用了兩點間的距離公式，注意線段上的點與線段兩端點的距離的和最小．3．（2022秋·北京西城·七年級?？茧A段練習）當代印度著名詩人泰戈爾在《世界上最遙遠的距離》中寫道，世界上最遙遠的距離不是瞬間便無處尋覓而是尚未相遇便注定無法相聚距離是數(shù)學、天文學、物理學中的熱門話題，唯有對宇宙距離進行測量，人類才能掌握世界尺度．我們可以從圖形和代數(shù)化簡兩個角度來計算距離：①已知點A，B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a，b，A，B兩點之間的距離表示為，例如表示到2的距離，而則表示到的距離；②我們知道：，于是可以用這一結論來化簡含有絕對值的代數(shù)式．例如化簡時，可先令和，分別求得，（稱和2分別為的零點值），在實數(shù)范圍內，零點值和可將全體實數(shù)分成不重復且不遺漏的如下3種情況：①；②；③．從而化簡可分以下3種情況：①當時，原式；②當時，原式；③當時，原式．綜上，原式＝結合以上材料，回答以下問題：(1)若，則．(2)當代數(shù)式取最小值時，x的取值范圍是．(3)代數(shù)式有最大值，這個值是．【答案】(1)3或(2)(3)2【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點之間的距離公式計算即可；（2）若代數(shù)式取最小值時，表示在數(shù)軸上找一點到和2的距離之和最小，據(jù)此可解；（3）分、、分別化簡，結合的取值范圍確定代數(shù)式值的范圍，從而求出代數(shù)式的最大值．【詳解】（1）解：由絕對值的幾何意義知：表示在數(shù)軸上表示的點到1的距離等于2，，，或；（2）解：若代數(shù)式取最小值時，表示在數(shù)軸上找一點，到和2的距離之和最小，顯然這個點在和2之間，當時，有最小值3．（3）當時，原式，當時，原式，，當時，原式，則的最大值為2．【點睛】本題考查了數(shù)軸上的點與點之間的距離及代數(shù)式的最值問題，明確數(shù)軸上的點之間的距離及絕對值的運算法則，是解題的關鍵．【考點四解絕對值方程】例題：（2022秋·全國·七年級專題練習）解下列絕對值方程：(1)(2)【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)絕對值的性質求解即可；（2）根據(jù)絕對值的性質求解即可．【詳解】（1）解：，；（2）解：，或，解得：或．【點睛】本題考查解絕對值方程，掌握絕對值的性質是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）解下列方程：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)或(2)或(3)或(4)或【分析】（1）根據(jù)絕對值的意義，去絕對值，得出或，然后解出方程，即可得出原方程的解；（2）根據(jù)絕對值的意義，去絕對值，得出或，然后解出方程，即可得出原方程的解；（3）根據(jù)絕對值的意義，去絕對值，得出或，然后解出方程，即可得出原方程的解；（4）首先對方程進行整理，得出，再根據(jù)絕對值的意義，去絕對值，得出或，然后解出方程，即可得出原方程的解．【詳解】（1）解：，∴或，解得：或，∴原方程的解為：或；（2）解：，∴或，解得：或，∴原方程的解為：或；（3）解：，∴或，解得：或，∴原方程的解為：或；（4）解：，整理，可得：，∴或，解得：或，∴原方程的解為：或．【點睛】本題考查了含絕對值的一元一次方程，解本題的關鍵在根據(jù)絕對值的意義，去絕對值．正數(shù)的絕對值為它本身，負數(shù)的絕對值則是它的相反數(shù)，0的絕對值還是為0．2．（2022秋·全國·七年級專題練習）先閱讀，后解題：符號表示的絕對值為2，表示的絕對值為2，如果那么或．若解方程，可將絕對值符號內的看成一個整體，則可得或，分別解方程可得或，利用上面的知識，解方程：．【答案】或【分析】注意互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等．【詳解】解：移項得，，根據(jù)絕對值的意義，得或，解得或．【點睛】本題考查了絕對值的概念，同時要注意兩種情況，再熟練解方程即可．3．（2022秋·福建泉州·七年級?？茧A段練習）同學們都知道，表示4與的差的絕對值，實際上也可以理解為4與兩數(shù)在數(shù)軸上所對應兩點之間的距離：同理也可以理解為x與3兩數(shù)在數(shù)軸上所對應的兩點之間的距離，就表示x在數(shù)軸上對應點到的距離，由上面絕對值的幾何意義，解答下面問題：(1)，若，則；(2)請你找出所有符合條件的整數(shù)x，使得；(3)求的最小值，并寫出此時x的取值情況．【答案】(1)6；7或(2)、、0、1(3)當，有最小值9【分析】（1）由絕對值的幾何意義可知表示的是4與兩數(shù)在數(shù)軸上的距離，表示x與2兩數(shù)在數(shù)軸上的距離為5，據(jù)此求解即可；（2）分、、三種情況討論求解即可；（3）分當時，當時，當時，當時四種情況討論求解即可．【詳解】（1）解：由絕對值的幾何意義可知表示的是4與兩數(shù)在數(shù)軸上的距離，∴；同理可知表示x與2兩數(shù)在數(shù)軸上的距離為5，∴或，故答案為：6；7或；（2）解：當時，不符合題意；當時，符合題意，∴此時滿足題意的整數(shù)為、、0、1；當時，不符合題意；綜上所述，滿足題意整數(shù)為、、0、1；（3）解：當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；綜上所述，當，有最小值9．【點睛】本題主要考查了絕對值的含義和應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：既可以理解為x與a的差的絕對值，也可理解為x與a兩數(shù)在數(shù)軸上所對應的兩點之間的距離．4．（2022秋·全國·七年級專題練習）先閱讀下列解題過程，然后解答后面兩個問題．解方程：．解：當時，原方程可化為，解得；當時，原方程可化為，解得．所以原方程的解是或．(1)利用上述方法解方程：．(2)當滿足什么條件時，關于的方程，①無解；②只有一個解；③有兩個解．【答案】(1)或(2)①當無解時，；②當只有一個解時，；當有兩個解時，【分析】（1）根據(jù)絕對值的意義，去掉絕對值，然后化為一元一次方程即可求得；（2）根據(jù)絕對值的意義，運用分類討論進行解答．【詳解】（1）當3x-2≥0時，原方程可化為：3