專(zhuān)題07 難點(diǎn)探究專(zhuān)題：化簡(jiǎn)絕對(duì)值之四大考點(diǎn)(解析版)2023-2024學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重難點(diǎn)專(zhuān)題提優(yōu)訓(xùn)練（人教版）

第第頁(yè)專(zhuān)題07難點(diǎn)探究專(zhuān)題：化簡(jiǎn)絕對(duì)值之四大考點(diǎn)【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一利用數(shù)軸化簡(jiǎn)絕對(duì)值】 1【考點(diǎn)二分類(lèi)討論化簡(jiǎn)絕對(duì)值】 5【考點(diǎn)三利用幾何意義化簡(jiǎn)絕對(duì)值】 10【考點(diǎn)四解絕對(duì)值方程】 18【典型例題】【考點(diǎn)一利用數(shù)軸化簡(jiǎn)絕對(duì)值】例題：（2023春·上海·六年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知a、b、c在數(shù)軸上的位置．（1）a+b0，abc0，0．填（“＞”或“＜”）（2）如果a、c互為相反數(shù)，求＝．（3）化簡(jiǎn)：|b+c|﹣2|a﹣b|﹣|b﹣c|．【答案】（1）＜，＜，＜；（2）﹣1；（3）2a．【分析】（1）根據(jù)、、在數(shù)軸上的位置即可求解；（2）根據(jù)相反數(shù)的定義即可求解；（3）結(jié)合數(shù)軸，根據(jù)絕對(duì)值性質(zhì)去絕對(duì)值符號(hào)，再合并即可求解．【詳解】解：由數(shù)軸可知，，，則（1），，．故答案為：，，；（2）、互為相反數(shù)，．故答案為：；（3）．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)軸、絕對(duì)值的性質(zhì)、整式的加減，解題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)軸和題目條件判斷出、、的大小關(guān)系．【變式訓(xùn)練】1．（2023·江蘇·七年級(jí)假期作業(yè)）已知、、的大致位置如圖所示：化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)軸得到、、與0的大小關(guān)系，根據(jù)有理數(shù)加減法法則判斷與的符號(hào)，去絕對(duì)值運(yùn)算即可得到答案；【詳解】解：由數(shù)軸可得，，∴，，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的關(guān)系判斷式子的符號(hào)及去絕對(duì)值，解題的關(guān)鍵是正確根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的關(guān)系判斷式子的符號(hào)．2．（2022秋·河南南陽(yáng)·七年級(jí)?？计谀┯欣頂?shù)、、在數(shù)軸上的位置如圖所示，且，化簡(jiǎn)．

【答案】0【分析】先由數(shù)軸得出a，b，c的大小，再按照絕對(duì)值的化簡(jiǎn)法則化簡(jiǎn)即可；【詳解】∵由數(shù)軸可得：，且

當(dāng)時(shí)原式故答案為0【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上的數(shù)的絕對(duì)值化簡(jiǎn)問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)知識(shí)的考查，比較簡(jiǎn)單．3．（2023秋·江蘇·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）若數(shù)軸上的點(diǎn)A、B、C分別表示有理數(shù)a，b，c，O為原點(diǎn)，如圖所示．(1)用“＞”或“＜”填空：0，0，0；(2)化簡(jiǎn)．【答案】(1)＜，＜，＞(2)0【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置得出，再根據(jù)有理數(shù)的加減法法則判斷即可；（2）利用絕對(duì)值的意義化簡(jiǎn)即可．【詳解】（1）解：由圖可得：，且，∴，，；（2）解：，，，．【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小，有理加減法，絕對(duì)值化簡(jiǎn)，關(guān)鍵是利用數(shù)軸得出，且．4．（2022秋·山東德州·七年級(jí)?？计谀┮阎猘、b、c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，(1)化簡(jiǎn)：；(2)若與互為相反數(shù)，且，求（1）中式子的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）通過(guò)數(shù)軸判斷a、b、c的相對(duì)大小，從而確定絕對(duì)值里代數(shù)式的值的符號(hào)，再去掉絕對(duì)值，最后實(shí)現(xiàn)化簡(jiǎn)；（2）兩個(gè)非負(fù)數(shù)互為相反數(shù)，只能各自為零．求出a、b、c的值再計(jì)算代數(shù)式的值．【詳解】（1）由圖可得且∴，，，∴

∴（2）∵與互為相反數(shù)∴又∵，∴∴∴∴原式【點(diǎn)睛】此題考查數(shù)軸，絕對(duì)值的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于利用數(shù)軸比較各數(shù)的大小，再進(jìn)行計(jì)算．6．（2022秋·四川瀘州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示．(1)判斷下列式子的符號(hào)；（填“>”，“<”）①a______0；

②b______0；

③______0；

④______0；(2)比較下列式子的大小，用“<”連接；；；；；；．(3)化簡(jiǎn)．【答案】(1)<,>,<,>(2)(3)【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上的位置得出有理數(shù)的大小即可；（2）根據(jù)數(shù)軸上的位置結(jié)合有理數(shù)的加減法法則得出結(jié)論即可；（3）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)去掉絕對(duì)值，再進(jìn)行合并即可．【詳解】（1）由數(shù)軸可知，①；

②；

③；

④；故答案為：<,>,<,>．（2）由數(shù)軸可知：（3），，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的比較大小，熟練掌握有理數(shù)大小比較的方法是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)二分類(lèi)討論化簡(jiǎn)絕對(duì)值】例題：（2023春·黑龍江綏化·六年級(jí)綏化市第八中學(xué)校?？计谥校┮阎?、均為不等式0的有理數(shù)，則的值為．【答案】3，-3，1，?1．【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，將絕對(duì)值符號(hào)去掉，然后計(jì)算．由于不知道a、b、c的符號(hào)，故需分類(lèi)討論．【詳解】解：(1)當(dāng)a>0，b>0，c>0時(shí)，=1+1+1=3；(2)當(dāng)a<0，b<0，c<0時(shí)，==?1?1?1=?3；(3)當(dāng)a>0，b>0，c<0時(shí)，==1+1?1=1；同理，a>0，b<0，c>0；a<0，b>0，c>0時(shí)原式的值均為1．(4)當(dāng)a<0，b<0，c>0時(shí)，==?1?1+1=?1；同理，當(dāng)a<0，b>0，c<0；a>0，b<0，c<0時(shí)原式的值均為?1．故答案為：3，-3，1，?1．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值規(guī)律的性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0，解答時(shí)要注意分類(lèi)討論．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·七年級(jí)單元測(cè)試）若，則．【答案】【分析】討論a和b的符號(hào)，逐一求解即可．【詳解】解：∵，∴，或，，若，，則；若，，則；綜上所述，的值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值的性質(zhì)，分情況討論是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·江蘇·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）現(xiàn)場(chǎng)學(xué)習(xí)：我們知道|x|＝，所以當(dāng)x＞0時(shí)，＝1，當(dāng)x＜0時(shí)，＝﹣1．解決問(wèn)題：已知a，b是有理數(shù)，當(dāng)ab≠0時(shí)，求的值．【答案】2或或0【分析】根據(jù)絕對(duì)值的意義可進(jìn)行分類(lèi)討論求解．【詳解】解：分四種情況：①當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，＝1+1＝2；②當(dāng)a＜0，b＜0時(shí)，＝﹣1﹣1＝﹣2；③當(dāng)a＞0，b＜0時(shí)，＝1﹣1＝0；④當(dāng)a＜0，b＞0時(shí)，＝﹣1+1＝0；綜上所述：的值為2或﹣2或0．【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對(duì)值的意義，熟練掌握絕對(duì)值的意義是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·上海·六年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）（1）若，；若，；（2）若，則＝；（3）若，則．【答案】（1）1，；（2）1；（3）1或．【分析】（1）根據(jù)的取值，去絕對(duì)值符號(hào)，然后化簡(jiǎn)即可；（2）由（1）可知，結(jié)合可知即，化簡(jiǎn)即可；（3）結(jié)合可知a、b、c中有一個(gè)負(fù)數(shù)、兩個(gè)正數(shù)或三個(gè)負(fù)數(shù)兩種情況，分情況結(jié)合（1），化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：（1）∵，∴，∴；∵，∴，∴，故答案為：1，；（2）∵，∴，∴，∴，故答案為：1；（3）∵，∴a、b、c中有一個(gè)負(fù)數(shù)、兩個(gè)正數(shù)或三個(gè)負(fù)數(shù)兩種情況，當(dāng)a、b、c中有一個(gè)負(fù)數(shù)、兩個(gè)正數(shù)時(shí)，，當(dāng)a、b、c中有三個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，，故答案為：1或．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握絕對(duì)值的性質(zhì)．4．（2023·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）請(qǐng)利用絕對(duì)值的性質(zhì)，解決下面問(wèn)題：(1)已知，是有理數(shù)，當(dāng)時(shí)，則_______；當(dāng)時(shí)，則_______．(2)已知，，是有理數(shù)，，，求的值．(3)已知，，是有理數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的值．【答案】(1)，(2)(3)或或或【分析】（1）根據(jù)正負(fù)數(shù)去絕對(duì)值的方法即可求解．（2）由可得，由根據(jù)進(jìn)而可求解．（3）分四種情況討論：①當(dāng)都是正數(shù)，即時(shí)；②當(dāng)有一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí)，設(shè)；③當(dāng)有兩個(gè)為正數(shù)，一個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí)；④當(dāng)三個(gè)數(shù)都為負(fù)數(shù)時(shí)，分別去絕對(duì)值即可求解．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)，則，故答案為：，．（2）已知是有理數(shù)，，所以，且中兩正一負(fù)，所以．（3）由題意得：三個(gè)有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)或兩個(gè)正數(shù)，一個(gè)負(fù)數(shù)或三個(gè)都為負(fù)數(shù)．①當(dāng)都是正數(shù)，即時(shí)，則：，②當(dāng)有一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí)，設(shè)，則：，③當(dāng)有兩個(gè)為正數(shù)，一個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí)，設(shè)，則：，④當(dāng)三個(gè)數(shù)都為負(fù)數(shù)時(shí)，則：，綜上所述：的值為或或或【點(diǎn)睛】本題考查了化簡(jiǎn)絕對(duì)值，有理數(shù)的乘除法，熟練掌握正數(shù)的絕對(duì)值等于它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）分類(lèi)討論是重要的數(shù)學(xué)方法，如化簡(jiǎn)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．求解下列問(wèn)題：(1)當(dāng)時(shí)，值為_(kāi)_____，當(dāng)時(shí)，的值為_(kāi)_____，當(dāng)x為不等于0的有理數(shù)時(shí)，的值為_(kāi)_____；(2)已知，，求的值；(3)已知：，這2023個(gè)數(shù)都是不等于0的有理數(shù)，若這2023個(gè)數(shù)中有n個(gè)正數(shù)，，則m的值為_(kāi)_____（請(qǐng)用含n的式子表示）【答案】(1)，1，(2)或3(3)【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值的定義求解即可；（2）已知，，所以，，一正兩負(fù)，根據(jù)（1）的結(jié)論解即可；（3）個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)有個(gè)，式子中有個(gè)正1，個(gè)，相加得答案．【詳解】（1）解：，，，故答案為：，1，．（2），，，，，的正負(fù)性可能為：①當(dāng)為正數(shù)，，為負(fù)數(shù)時(shí)：原式；②當(dāng)為正數(shù)，，為負(fù)數(shù)時(shí)，原式；③當(dāng)為正數(shù)，，為負(fù)數(shù)時(shí)，原式，原式或3．（3）∵有個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)為，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是數(shù)字的規(guī)律，有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是一個(gè)不等于0的數(shù)除以它的絕對(duì)值等于1或，將題目轉(zhuǎn)化為由幾個(gè)正1和幾個(gè)的問(wèn)題．【考點(diǎn)三利用幾何意義化簡(jiǎn)絕對(duì)值】例題：（2023秋·浙江·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）結(jié)合數(shù)軸與絕對(duì)值的知識(shí)回答下列問(wèn)題：

(1)數(shù)軸上表示3和2的兩點(diǎn)之間的距離是_____；表示和1兩點(diǎn)之間的距離是_____；一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間的距離等于．(2)如果，那么______；(3)若，，且數(shù)a、b在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是點(diǎn)A、點(diǎn)B，則A、B兩點(diǎn)間的最大距離是______，最小距離是_____．(4)若數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)位于與之間，則_____．(5)當(dāng)_____時(shí)，的值最小，最小值是_____．【答案】(1)；(2)或(3)；(4)(5)，【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸，觀察兩點(diǎn)之間的距離即可解決；（2）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，分兩種情況即可解答；（3）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離分別求出a，b的值，再分別討論，即可解答；（4）根據(jù)表示數(shù)a的點(diǎn)到與5兩點(diǎn)的距離的和即可求解；（5）分類(lèi)討論，即可解答．【詳解】（1）解：由數(shù)軸得數(shù)軸上表示和的兩點(diǎn)之間的距離是：；表示和兩點(diǎn)之間的距離是：；故答案：；．（2）解：由得，，所以表示與距離為，因?yàn)榕c距離為的是或，所以或．故答案：或．（3）解：由，得，，，所以表示與的距離為，與的距離為，，所以或，或，當(dāng)，時(shí)，則A、B兩點(diǎn)間的最大距離是，當(dāng)，時(shí)，則A、B兩點(diǎn)間的最小距離是，故答案：，．（4）解：所以表示與的距離加上與的距離的和，因?yàn)楸硎緮?shù)a的點(diǎn)位于與之間，所以，故答案：．（5）解：，所以表示與、、的距離之和，①如圖，當(dāng)表示的點(diǎn)在的右側(cè)時(shí)，即，

由數(shù)軸得：，所以，所以；②如圖，當(dāng)表示的點(diǎn)在和的之間時(shí)，即，

由數(shù)軸得：因?yàn)?，所以，所以；③如圖，當(dāng)表示的點(diǎn)在和的之間時(shí)，即，

由數(shù)軸得：因?yàn)?，所以，所以；④?dāng)表示的點(diǎn)在或或的點(diǎn)上時(shí)，即或或，如圖，當(dāng)時(shí)，

；如圖，當(dāng)時(shí)，

；如圖，當(dāng)時(shí)，

；因?yàn)?，所以?dāng)表示的點(diǎn)在或或的點(diǎn)上時(shí)，僅當(dāng)時(shí)，的最小值為；綜上所述：當(dāng)，的最小值為．故答案：，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值的應(yīng)用，數(shù)軸上用絕對(duì)值表示兩點(diǎn)之間的距離，理解絕對(duì)值表示距離的意義，掌握距離的求法是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）結(jié)合數(shù)軸與絕對(duì)值的知識(shí)回答下列問(wèn)題：(1)探究：①數(shù)軸上表示7和3的兩點(diǎn)之間的距離是；②數(shù)軸上表示和的兩點(diǎn)之間的距離是；③數(shù)軸上表示和5的兩點(diǎn)之間的距離是．(2)歸納：一般的，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間的距離等于．(3)應(yīng)用：①如果表示數(shù)a和3的兩點(diǎn)之間的距離是6，則可記為：，那么a＝．

②若數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)位于與2之間，求的值．③當(dāng)a何值時(shí)，的值最小，最小值是多少？請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】(1)①4；②5；③8(2)(3)①或；②7；③當(dāng)時(shí)，的值最小，最小值是7【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離較大的數(shù)較小的數(shù)可得結(jié)論；（2）因?yàn)椴淮_定和的大小關(guān)系，所以數(shù)軸上表示數(shù)和數(shù)的兩點(diǎn)之間的距離等于；（3）①根據(jù)絕對(duì)值的意義可得：，解方程即可；②根據(jù)a的范圍，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，再合并即可；③分析得出表示一點(diǎn)到，1，2三點(diǎn)的距離的和，據(jù)此可解．【詳解】（1）解：①數(shù)軸上表示7和3的兩點(diǎn)之間的距離是；②數(shù)軸上表示和的兩點(diǎn)之間的距離是；③數(shù)軸上表示和5的兩點(diǎn)之間的距離是；（2）一般的，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間的距離等于；（3）①，∴或，解得：或；②∵數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)位于與2之間，∴，∴；③表示一點(diǎn)到，1，2三點(diǎn)的距離的和，∴當(dāng)時(shí)，該式的值最小，最小值為．∴當(dāng)時(shí)，的值最小，最小值是7．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸在兩點(diǎn)間的距離及絕對(duì)值化簡(jiǎn)中的應(yīng)用，明確數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離及絕對(duì)值之間的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）閱讀理解；我們知道，若A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)、，A、B兩點(diǎn)間的距離表示為AB，則．所以的幾何意義是數(shù)軸上表示X的點(diǎn)與表示2的點(diǎn)之間的距離．根據(jù)上述材料，解答下列問(wèn)題：（1）若點(diǎn)A表示－2，點(diǎn)B表示3，則AB＝．（2）若，則的值是．（3）如果數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)位于－4和2之間，求的值；（4）點(diǎn)取何值時(shí)，取最小值，最小值是多少？請(qǐng)說(shuō)明理由；（5）直接回答：當(dāng)式子取最小值時(shí)，相應(yīng)的取值范圍是多少？最小值是多少？【答案】（1）；（2）或；（3）；（4）當(dāng)時(shí)，最小值為；（5）當(dāng)時(shí)，最小值為【分析】（1）根據(jù)題目中的方法確定出的長(zhǎng)即可；（2）原式利用絕對(duì)值的代數(shù)意義化簡(jiǎn)即可求出的值；（3）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離的求法，化簡(jiǎn)即可；（4）根據(jù)線段中點(diǎn)到各點(diǎn)的距離的和最小，可得答案；（5）根據(jù)線段中點(diǎn)到各點(diǎn)的距離的和最小，可得答案．【詳解】解：（1），則；（2）∵，∴，故或，故答案為：或；（3）∵數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)位于－4和2之間，∴；（4）∵，代表點(diǎn)到和到之間的距離之和，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為；（5）當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為====20．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值，數(shù)軸兩點(diǎn)間的距離，利用了兩點(diǎn)間的距離公式，注意線段上的點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)的距離的和最小．3．（2022秋·北京西城·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）當(dāng)代印度著名詩(shī)人泰戈?duì)栐凇妒澜缟献钸b遠(yuǎn)的距離》中寫(xiě)道，世界上最遙遠(yuǎn)的距離不是瞬間便無(wú)處尋覓而是尚未相遇便注定無(wú)法相聚距離是數(shù)學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)中的熱門(mén)話題，唯有對(duì)宇宙距離進(jìn)行測(cè)量，人類(lèi)才能掌握世界尺度．我們可以從圖形和代數(shù)化簡(jiǎn)兩個(gè)角度來(lái)計(jì)算距離：①已知點(diǎn)A，B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a，b，A，B兩點(diǎn)之間的距離表示為，例如表示到2的距離，而則表示到的距離；②我們知道：，于是可以用這一結(jié)論來(lái)化簡(jiǎn)含有絕對(duì)值的代數(shù)式．例如化簡(jiǎn)時(shí)，可先令和，分別求得，（稱(chēng)和2分別為的零點(diǎn)值），在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，零點(diǎn)值和可將全體實(shí)數(shù)分成不重復(fù)且不遺漏的如下3種情況：①；②；③．從而化簡(jiǎn)可分以下3種情況：①當(dāng)時(shí)，原式；②當(dāng)時(shí)，原式；③當(dāng)時(shí)，原式．綜上，原式＝結(jié)合以上材料，回答以下問(wèn)題：(1)若，則．(2)當(dāng)代數(shù)式取最小值時(shí)，x的取值范圍是．(3)代數(shù)式有最大值，這個(gè)值是．【答案】(1)3或(2)(3)2【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式計(jì)算即可；（2）若代數(shù)式取最小值時(shí)，表示在數(shù)軸上找一點(diǎn)到和2的距離之和最小，據(jù)此可解；（3）分、、分別化簡(jiǎn)，結(jié)合的取值范圍確定代數(shù)式值的范圍，從而求出代數(shù)式的最大值．【詳解】（1）解：由絕對(duì)值的幾何意義知：表示在數(shù)軸上表示的點(diǎn)到1的距離等于2，，，或；（2）解：若代數(shù)式取最小值時(shí)，表示在數(shù)軸上找一點(diǎn)，到和2的距離之和最小，顯然這個(gè)點(diǎn)在和2之間，當(dāng)時(shí)，有最小值3．（3）當(dāng)時(shí)，原式，當(dāng)時(shí)，原式，，當(dāng)時(shí)，原式，則的最大值為2．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上的點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離及代數(shù)式的最值問(wèn)題，明確數(shù)軸上的點(diǎn)之間的距離及絕對(duì)值的運(yùn)算法則，是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)四解絕對(duì)值方程】例題：（2022秋·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）解下列絕對(duì)值方程：(1)(2)【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：，；（2）解：，或，解得：或．【點(diǎn)睛】本題考查解絕對(duì)值方程，掌握絕對(duì)值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·浙江·七年級(jí)假期作業(yè)）解下列方程：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)或(2)或(3)或(4)或【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值的意義，去絕對(duì)值，得出或，然后解出方程，即可得出原方程的解；（2）根據(jù)絕對(duì)值的意義，去絕對(duì)值，得出或，然后解出方程，即可得出原方程的解；（3）根據(jù)絕對(duì)值的意義，去絕對(duì)值，得出或，然后解出方程，即可得出原方程的解；（4）首先對(duì)方程進(jìn)行整理，得出，再根據(jù)絕對(duì)值的意義，去絕對(duì)值，得出或，然后解出方程，即可得出原方程的解．【詳解】（1）解：，∴或，解得：或，∴原方程的解為：或；（2）解：，∴或，解得：或，∴原方程的解為：或；（3）解：，∴或，解得：或，∴原方程的解為：或；（4）解：，整理，可得：，∴或，解得：或，∴原方程的解為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了含絕對(duì)值的一元一次方程，解本題的關(guān)鍵在根據(jù)絕對(duì)值的意義，去絕對(duì)值．正數(shù)的絕對(duì)值為它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值則是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值還是為0．2．（2022秋·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）先閱讀，后解題：符號(hào)表示的絕對(duì)值為2，表示的絕對(duì)值為2，如果那么或．若解方程，可將絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的看成一個(gè)整體，則可得或，分別解方程可得或，利用上面的知識(shí)，解方程：．【答案】或【分析】注意互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等．【詳解】解：移項(xiàng)得，，根據(jù)絕對(duì)值的意義，得或，解得或．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的概念，同時(shí)要注意兩種情況，再熟練解方程即可．3．（2022秋·福建泉州·七年級(jí)校考階段練習(xí)）同學(xué)們都知道，表示4與的差的絕對(duì)值，實(shí)際上也可以理解為4與兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)之間的距離：同理也可以理解為x與3兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離，就表示x在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)到的距離，由上面絕對(duì)值的幾何意義，解答下面問(wèn)題：(1)，若，則；(2)請(qǐng)你找出所有符合條件的整數(shù)x，使得；(3)求的最小值，并寫(xiě)出此時(shí)x的取值情況．【答案】(1)6；7或(2)、、0、1(3)當(dāng)，有最小值9【分析】（1）由絕對(duì)值的幾何意義可知表示的是4與兩數(shù)在數(shù)軸上的距離，表示x與2兩數(shù)在數(shù)軸上的距離為5，據(jù)此求解即可；（2）分、、三種情況討論求解即可；（3）分當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)四種情況討論求解即可．【詳解】（1）解：由絕對(duì)值的幾何意義可知表示的是4與兩數(shù)在數(shù)軸上的距離，∴；同理可知表示x與2兩數(shù)在數(shù)軸上的距離為5，∴或，故答案為：6；7或；（2）解：當(dāng)時(shí)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，符合題意，∴此時(shí)滿足題意的整數(shù)為、、0、1；當(dāng)時(shí)，不符合題意；綜上所述，滿足題意整數(shù)為、、0、1；（3）解：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上所述，當(dāng)，有最小值9．【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值的含義和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：既可以理解為x與a的差的絕對(duì)值，也可理解為x與a兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離．4．（2022秋·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）先閱讀下列解題過(guò)程，然后解答后面兩個(gè)問(wèn)題．解方程：．解：當(dāng)時(shí)，原方程可化為，解得；當(dāng)時(shí)，原方程可化為，解得．所以原方程的解是或．(1)利用上述方法解方程：．(2)當(dāng)滿足什么條件時(shí)，關(guān)于的方程，①無(wú)解；②只有一個(gè)解；③有兩個(gè)解．【答案】(1)或(2)①當(dāng)無(wú)解時(shí)，；②當(dāng)只有一個(gè)解時(shí)，；當(dāng)有兩個(gè)解時(shí)，【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值的意義，去掉絕對(duì)值，然后化為一元一次方程即可求得；（2）根據(jù)絕對(duì)值的意義，運(yùn)用分類(lèi)討論進(jìn)行解答．【詳解】（1）當(dāng)3x-2≥0時(shí)，原方程可化為：3