數(shù)學建模插值方法課件

插值與擬合數(shù)學建模插值方法前言

函數(shù)是多種多樣的，在科研與工程實際中有的函數(shù)表達式過于復雜而不便于計算，但又需要計算多點的函數(shù)值；有的函數(shù)甚至給不出數(shù)學式子，只能通過實驗和測量得到一些離散數(shù)據(jù)（如某些點的函數(shù)值和導數(shù)值）。面對這種情況，很自然的一個想法就是構造某個簡單的函數(shù)作為要考察的函數(shù)的近似。如果要求近似函數(shù)滿足給定的離散數(shù)據(jù)，則稱之為插值函數(shù)。實用上，我們常取結構相對比較簡單的代數(shù)多項式作為插值函數(shù),這就是所謂的代數(shù)插值。數(shù)學建模插值方法

設為給定的節(jié)點，，為相應的函數(shù)值，求一個次數(shù)不超過的多項式，使其滿足，.這類問題稱為插值問題。稱為被插值函數(shù)，稱為插值函數(shù)，稱為插值節(jié)點一、問題提出插值部分數(shù)學建模插值方法

定理1

設為給定的彼此互異的個插值節(jié)點，則存在唯一的次數(shù)不超過的多項式，滿足條件

,.二、存在性與唯一性數(shù)學建模插值方法證明:

設

,

其中為待定系數(shù).利用插值條件

,我們得到一個線性代數(shù)方程組,其中

觀察發(fā)現(xiàn)矩陣A是范德蒙矩陣,那么,由幾代知識知道矩陣A的行列式為,由定理中條件,插值結點為彼此互異的,那么行列式不為零.故由Cramer法則知線性代數(shù)方程組存在唯一解.

數(shù)學建模插值方法三、Lagrange插值法

（1）Lagrange插值多項式可以表示為

數(shù)學建模插值方法

引入記號,

易證,

從而Lagrange插值多項式可表示為

數(shù)學建模插值方法（2）插值誤差估計

定理2

設在上連續(xù)，在內(nèi)存在,節(jié)點，是拉格朗日插值多項式，則對任意,插值余項

其中且依賴于.數(shù)學建模插值方法例2.求過點(2,0)(4,3)(6,5)(8,4)(10,1)的拉格朗日型插值多項式。解：用4次插值多項式對5個點插值

數(shù)學建模插值方法

數(shù)學建模插值方法于是有數(shù)學建模插值方法functionyi=lagrcz(x,y,xi)n=length(x);m=length(xi);fors=1:myi(s)=0;fori=1:nw(i)=1;dw(i)=1;forj=1:nif(j~=i)w(i)=(xi(s)-x(j))*w(i);dw(i)=(x(i)-x(j))*dw(i);endendyi(s)=y(i)*w(i)/dw(i)+yi(s);endend數(shù)學建模插值方法數(shù)學建模插值方法缺點:當增加或減少插值節(jié)點時,基函數(shù)需要重新構造,不便于實際的計算使用數(shù)學建模插值方法

定義稱為在兩點處的一階差商.

（1）差商定義四、Newton插值法二階差商n階差商數(shù)學建模插值方法(2)Newton插值公式

由差商定義把以上各式由后向前代入,可得數(shù)學建模插值方法差商表

一階差商二階差商三階差商四階差商數(shù)學建模插值方法例2:已知求滿足以上插值條件的牛頓型插值多項式。解:12340-5-63一階差商二階差商三階差商12340-5-63-5-19251數(shù)學建模插值方法由上述差商表對角線上取得的值則牛頓三次插值多項式為

數(shù)學建模插值方法functionyi=newtcz(x,y,xi)n=length(x);m=length(xi);nt=zeros(n,n);nt(:,1)=y';fori=2:nforj=i:nnt(j,i)=(nt(j,i-1)-nt(j-1,i-1))/(x(j)-x(j-(i-1)));endEndfori=1:nnt(i,i)Endfori=1:myi(i)=nt(1,1);forj=2:nt=1;fors=1:j-1t=t*(xi(i)-x(s));endyi(i)=yi(i)+t*nt(j,j);endend數(shù)學建模插值方法五、Hermite插值多項式給定的是節(jié)點上的函數(shù)值和導數(shù)值問題：已知求3次多項式，使得數(shù)學建模插值方法數(shù)學建模插值方法*多項式插值的問題

前面介紹了構造插值公式的方法，并分析了它們的余項。在實際應用插值函數(shù)作近似計算時，總希望插值公式余項的絕對值小一些，即使得逼近的精度好。從表達式看，似乎提高插值多項式的次數(shù)便可達到目的，但實際上并非如此。數(shù)學建模插值方法例如給定函數(shù)

取其等距節(jié)點，構造的Lagrange插值多項式為當時，只能在內(nèi)收斂，而在這個區(qū)間以外是發(fā)散的。這種畸形現(xiàn)象通常叫做Runge現(xiàn)象。如下圖所示。數(shù)學建模插值方法數(shù)學建模插值方法六、分段插值

所謂分段插值，就是將被插值函數(shù)逐段多項式化。在每個子段上構造插值多項式，然后把它們裝配在一，作為整個區(qū)間上的插值函數(shù)，即稱為分段多項式。如果函數(shù)在每個子段上都是次式，則稱為次式。一般（低次：k=1,2,3）數(shù)學建模插值方法（1）分段線性插值的構造（k=1)

易知在每個子區(qū)間上是一次插值多項式分段線性插值的余項其中數(shù)學建模插值方法（2）分段拋物線插值（K=2）（3）分段三次Hermite插值(K=3)數(shù)學建模插值方法（4）三次樣條插值

在分段插值中，分段線性插值在節(jié)點上僅連續(xù)而不可導，分段三次埃爾米特插值有連續(xù)的一階導數(shù)，如此光滑程度常不能滿足物理問題的需要，而引入的樣條函數(shù)則可以同時解決這兩個問題,使插值函數(shù)既是低階分段函數(shù),又是光滑的函數(shù)。

數(shù)學建模插值方法三次樣條函數(shù)定義

給定區(qū)間的一個劃分，如果函數(shù)滿足：（1）在每一小區(qū)間上是三次多項式；（2）在每個內(nèi)節(jié)點上具有二階連續(xù)導數(shù)；（3）

則稱是在該區(qū)間上關于該劃分的一個三次樣條函數(shù)。數(shù)學建模插值方法其中四個待定系數(shù)為,子區(qū)間共有n個所以要確定S(x)需要4n個待定系數(shù)。另一方面,要求分段三次多項式S(x)及其導數(shù)和在整個插值區(qū)間

a,b

上連續(xù),則要求它們在各個子區(qū)間的連接點上連續(xù)，即滿足條件

由樣條函數(shù)的定義可知,三次樣條插值函數(shù)S(x)是一個分段三次多項式,要求出S(x),在每個小區(qū)間

xi,xi+1

上要確定4個待定參數(shù),若用Si(x)表示它在第i個子區(qū)間

xi,xi+1

上的表達式，則數(shù)學建模插值方法（1）插值條件

（2）連接條件

式共給出了4n-2個條件,而待定系數(shù)有4n個,因此還需要2個條件才能確定S(x),通常在區(qū)間端點上各加一個條件,稱為邊界條件,常用邊界條件有三種類型。數(shù)學建模插值方法第一種類型：給定兩端點

的一階導數(shù)值：

第二種類型：給定兩端點f(x)的二階導數(shù)值：作為特例,稱為自然邊界條件。滿足自然邊界條件的三次樣條插值函數(shù)稱為自然樣條插值函數(shù)。第三種類型：當

是以為周期的函數(shù)時，則要求S(x)也是周期函數(shù),這時邊界條件應滿足當時，數(shù)學建模插值方法這樣，由上給定的任一種邊界條件加上插值條件和連接條件，就能得出4n個方程，可以惟一確定4n個系數(shù)。從而得到三次樣條插值函數(shù)S(x)在各個子區(qū)間

xi,xi+1

上的表達式S(xi）(i=1,2,…,)。但是，這種做法當n較大時，計算工作很大，不便于實際應用。因此我們希望找到一種簡單的構造方法。

數(shù)學建模插值方法三次樣條插值函數(shù)的求法設S(x)在節(jié)點xi處的二階導數(shù)為因為在子區(qū)間

xi-1,xi

上是三次多項式,所以在此小區(qū)間上是x的線性函數(shù),且因為用線性插值,可知其表達式為記，則有數(shù)學建模插值方法其中,Ai,Bi為積分常數(shù),可利用插值條件確定,即要求Ai,Bi滿足并記，則得連續(xù)兩次積分得數(shù)學建模插值方法由上討論可知,只要確定這n+1個值,就可定出三樣條插值函數(shù)S(x)。為了求出,利用一階導數(shù)在子區(qū)間連接點上連續(xù)的條件，求導一次,得在區(qū)間

xi-1,xi

上的表達式為數(shù)學建模插值方法也就是在右端點xi上有

在左端點xi-1上有

將上式中的i-1改為i,即得在子區(qū)間

xi,xi+1

上的表達式,并由此得

利用在內(nèi)接點的連續(xù)性,即就可得到關于參數(shù)的一個方程數(shù)學建模插值方法上式兩邊同乘以,即得方程若記

數(shù)學建模插值方法則所得方程可簡寫成

即

這是一個含有n+1個未知數(shù)、n-1個方程的線性方程組.要完全確定的值還需要補充兩個條件,這兩個條件通常根據(jù)實際問題的需要，根據(jù)插值區(qū)間

a,b

的兩個端點處的邊界條件來補充。邊界條件的種類很多，常見的有以下3種：數(shù)學建模插值方法第一種邊界條件：即已知插值區(qū)間兩端的一階導數(shù)值：則可得到包含Mi的兩個線性方程,S(x)在子區(qū)間

上的導數(shù)為由條件得

即同理,由條件得

數(shù)學建模插值方法即得確定的線性方程組

其中數(shù)學建模插值方法第二種邊界條件:即已知插值區(qū)間兩端的二階導數(shù)值:,由于在區(qū)間端點處二階導數(shù)

，所以方程中實際上只包含有n-1個未知數(shù)，從而得方程組數(shù)學建模插值方法第三種邊界條件:由與，可得和

其中數(shù)學建模插值方法得關于的線性方程組。

利用線性代數(shù)知識,可以證明方程組的系數(shù)矩陣都是非奇異的，因此有惟一解。

數(shù)學建模插值方法

用三次樣條繪制的曲線不僅有很好的光滑度，而且當節(jié)點逐漸加密時，其函數(shù)值在整體上能很好地逼近被插函數(shù)，相應的導數(shù)值也收斂于被插函數(shù)的導數(shù)，不會發(fā)生龍格現(xiàn)象。因此三次樣條在計算機輔助設計中有廣泛的應用。數(shù)學建模插值方法用MATLAB作插值計算一維插值函數(shù)：yi=interp1(x，y，xi，'method')插值方法被插值點插值節(jié)點xi處的插值結果‘nearest’

：最鄰近插值‘linear’

：線性插值；‘spline’

：三次樣條插值；‘cubic’

：立方插值。缺省時：分段線性插值。

注意：所有的插值方法都要求x是單調(diào)的，并且xi不能夠超過x的范圍。數(shù)學建模插值方法

例：在1-12的11小時內(nèi)，每隔1小時測量一次溫度，測得的溫度依次為：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24。試估計每隔1/10小時的溫度值。x=1:12;y=[589152529313022252724];xi=1:0.1:12;yi=interp1(x,y,xi,'spline');plot(x,y,'+',xi,yi,'r')數(shù)學建模插值方法數(shù)學建模插值方法

三次樣條插值的Matlab實現(xiàn)如果三次樣條插值沒有邊界條件，最常用的方法，就是采用非扭結（not-a-knot）條件。這個條件強迫第1個和第2個三次多項式的三階導數(shù)相等。對最后一個和倒數(shù)第2個三次多項式也做同樣地處理。Matlab中三次樣條插值也有現(xiàn)成的函數(shù)：y=interp1(x0,y0,x,'spline')；y=spline(x0,y0,x)；pp=csape(x0,y0,conds,valconds)，y=ppval(pp,x)。其中x0,y0是已知數(shù)據(jù)點，x是插值點，y是插值點的函數(shù)值。數(shù)學建模插值方法對于三次樣條插值，我們提倡使用函數(shù)csape，csape的返回值是pp形式，要求插值點的函數(shù)值，必須調(diào)用函數(shù)ppval。pp=csape(x0,y0)：使用默認的邊界條件，即Lagrange邊界條件。pp=csape(x0,y0,conds,valconds)中的conds指定插值的邊界條件，其值可為：'complete'邊界為一階導數(shù)，一階導數(shù)的值在valconds參數(shù)中給出，若忽略valconds參數(shù)，則按缺省情況處理。'not-a-knot'非扭結條件'periodic'周期條件'second'邊界為二階導數(shù)，二階導數(shù)的值在valconds參數(shù)中給出，若忽略valconds參數(shù)，二階導數(shù)的缺省值為[0,0]。'variational'設置邊界的二階導數(shù)值為[0,0]。數(shù)學建模插值方法對于一些特殊的邊界條件，可以通過conds的一個1×2矩陣來表示，conds元素的取值為0，1，2。conds(i)=j的含義是給定端點i的j階導數(shù)，即conds的第一個元素表示左邊界的條件，第二個元素表示右邊界的條件conds=[2,1]表示左邊界是二階導數(shù)，右邊界是一階導數(shù)，對應的值由valconds給出。數(shù)學建模插值方法最小二乘法擬合

已知一批離散數(shù)據(jù)(xi,yi),i=0,1,...,n，且

x0<x1<…<xn,尋找一個函數(shù)f(x)，使達到最小.這個過程稱為最小二乘擬合,f(x)稱為擬合函數(shù).

擬合部分數(shù)學建模插值方法一、線性擬合

若設擬合函數(shù)f(x)=b+ax，則有令數(shù)學建模插值方法即這是一個關于a,b的2元線性方程組.求解即可得到f(x)的表達式.數(shù)學建模插值方法二、多項式擬合有時所給數(shù)據(jù)點的分布并不一定近似地呈一條直線,這時仍用直線擬合顯然是不合適的,可用多項式擬合。對于給定的一組數(shù)據(jù)尋求次數(shù)不超過m(m<<N)的多項式，來擬合所給定的數(shù)據(jù)，與線性擬合類似，使偏差的平方和為最小數(shù)學建模插值方法由于可以看作是關于(j=0,1,2,…,m)的多元函數(shù),故上述擬合多項式的構造問題可歸結為多元函數(shù)的極值問題。令得

即有

數(shù)學建模插值方法這是關于系數(shù)的線性方程組，通常稱為正規(guī)方程組?？梢宰C明，正規(guī)方程組有惟一解。

數(shù)學建模插值方法三、可化為線性擬合的非線性擬合

有些非線性擬合曲線可以通過適當?shù)淖兞刻鎿Q轉(zhuǎn)化為線性曲線，從而用線性擬合進行處理，對于一個實際的曲線擬合問題，一般先按觀測值在直角坐標平面上描出散點圖，看一看散點的分布同哪類曲線圖形接近，然后選用相接近的曲線擬合方程。再通過適當?shù)淖兞刻鎿Q轉(zhuǎn)化為線性擬合問題，按線性擬合解出后再還原為原變量所表示的曲線擬合方程。下表列舉了幾類經(jīng)適當變換后化為線性擬合求解的曲線擬合方程及變換關系數(shù)學建模插值方法

曲線擬合方程變換關系變換后線性擬合方程數(shù)學建模插值方法多項式曲線擬合函數(shù)：polyfit()調(diào)用格式： p=polyfit(x,y,n)

[p,s]=polyfit(x,y,n)說明：x,y為數(shù)據(jù)點，n為多項式階數(shù)，返回p為冪次從高到低的多項式系數(shù)向量p。矩陣s用于生成預測值的誤差估計。

例2：由離散數(shù)據(jù)x0.1.2.3.4.5.6.7.8.91y.3.511.41.61.9.6.4.81.52擬合出多項式。

數(shù)學建模插值方法x=0:.1:1;y=[.3.511.41.61.9.6.4.81.52]n=3;p=polyfit(x,y,n)xi=linspace(0,1,100);z=polyval(p,xi);

plot(x,y,’o’,xi,z,’k:’,x,y,’b’)數(shù)學建模插值方法數(shù)學建模插值方法二維插值

xyO第一種（網(wǎng)格節(jié)點）：數(shù)學建模插值方法

注意：最鄰近插值一般不連續(xù)。具有連續(xù)性的最簡單的插值是分片線性插值。最鄰近插值x

y(x1,y1)(x1,y2)(x2,y1)(x2,y2)O

二維或高維情形的最鄰近插值，與被插值點最鄰近的節(jié)點的函數(shù)值即為所求。數(shù)學建模插值方法

將四個插值點（矩形的四個頂點）處的函數(shù)值依次簡記為：分片線性插值xy

(xi,yj)(xi,yj+1)(xi+1,yj)(xi+1,yj+1)Of(xi,yj)=f1，f(xi+1,yj)=f2，f(xi+1,yj+1)=f3，f(xi,yj+1)=f4數(shù)學建模插值方法

雙線性插值是一片一片的空間二次曲面構成。雙線性插值函數(shù)的形式如下：其中有四個待定系數(shù)，利用該函數(shù)在矩形的四個頂點（插值節(jié)點）的函數(shù)值，得到四個代數(shù)方程，正好確定四個系數(shù)。雙線性插值x

y(x1,y1)(x1,y2)(x2,y1)(x2,y2)O數(shù)學建模插值方法(3)分片雙三次樣條插值數(shù)學建模插值方法第二種（散亂節(jié)點）：

yx0數(shù)學建模插值方法

要求x0,y0單調(diào)；x，y可取為矩陣，或x取行向量，y取為列向量，x,y的值分別不能超出x0,y0的范圍。z=interp2(x0,y0,z0,x,y’,’method’)被插值點插值方法用MATLAB作網(wǎng)格節(jié)點數(shù)據(jù)的插值插值節(jié)點被插值點的函數(shù)值‘nearest’

最鄰近插值‘linear’

雙線性插值‘cubic’

雙三次插值