數(shù)字信號處理課件

緒論一.數(shù)字信號處理的基本概念1.信號2.信號分類3.模擬信號4.數(shù)字信號5.二者關(guān)系6.數(shù)字信號處理DSP(DigitalSignalProcessing)是近幾十年發(fā)展起來的一門新興學(xué)科。

DSP是利用計算機(jī)或?qū)Ｓ迷O(shè)備，以數(shù)值計算的方法對信號進(jìn)行采集、變換、綜合、估值、識別等加工處理，借以達(dá)到提取信息和便于應(yīng)用的目的的一門學(xué)科。1、信號信號是傳輸信息的函數(shù)，是信息的物理表現(xiàn)形式；而信息是信號的具體內(nèi)容，通俗地講，信息就是有用的消息。信息是一個十分抽象而又復(fù)雜的概念，它包含在消息之中，是通信系統(tǒng)中傳送的對象，是客觀世界的第三要素；其特點(diǎn)是無形的，可共享的，無限的，可度量的。消息不等于信息，同一消息可含有不同的信息量。2、信號的分類依載體：電信號、磁信號、聲信號、光信號、熱信號、機(jī)械信號。依變量個數(shù)：一維、二維、多維（矢量）信號。依周期性：周期信號x(t)=x(t+kT);非周期信號。依是否為確定函數(shù)：確定信號；隨機(jī)信號。依能量或功率是否有限：能量信號；功率信號。無論是用模擬方法還是用數(shù)字方法，都是將所研究的信號先變成電信號，即所謂模擬信號。因此，可把信號分為模擬信號和數(shù)字信號兩類。3.模擬信號用電壓或電流去模擬其他物理量，如聲音、溫度、壓力、圖象等所得到的信號。4.數(shù)字信號在時間上和幅度上都是離散的信號。它可由模擬信號經(jīng)離散和量化得到，亦可客觀存在。本質(zhì)上，它只是一系列的“數(shù)”。5.兩者關(guān)系模擬經(jīng)A/D變換得數(shù)字；數(shù)字經(jīng)D/A變換得模擬。6.數(shù)字信號處理通俗地講，處理就是加工，因數(shù)字信號常表示成序列，加工實(shí)際上就是相加、相乘和位移。二.數(shù)字信號處理的學(xué)科概貌（研究內(nèi)容）1.信號的采集

實(shí)現(xiàn)信號的數(shù)字化，包括取樣、量化。2.信號的分析

信號描述與運(yùn)算，各種變換，時、頻域分析。3.系統(tǒng)分析線性系統(tǒng)與非~，時變系統(tǒng)與非~，線性時（移）不變系統(tǒng)，因果系統(tǒng)與非~，線性時（移）不變因果系統(tǒng)。4.快速算法

FFT,WFT,,快速卷積、相關(guān)算法。5.數(shù)字濾波技術(shù)(1)IIR數(shù)字濾波器的分析與設(shè)計；(2)FIR數(shù)字濾波器的分析與設(shè)計。6.信號的頻譜分析與估值確定信號：譜分析；隨機(jī)信號：相關(guān)計算、譜估計。7.特殊算法反卷積，信號重構(gòu)。8.數(shù)字信號處理的實(shí)現(xiàn)(1)在通用微機(jī)上，用軟件實(shí)現(xiàn);(2)用單片機(jī)實(shí)現(xiàn);(3)專用數(shù)字信號處理芯片DSP。三.數(shù)字信號處理系統(tǒng)的基本組成1.框圖前置預(yù)濾波器A/D變換器數(shù)字信號處理器D/A變換器模擬濾波器y(n)y(t)2.各單元的作用前置預(yù)濾波器：濾除高于某一頻率的信號，防混迭。

A/D變換器：完成抽樣和量化，實(shí)現(xiàn)數(shù)字化。如下圖所示：-30123435474nT2T-1數(shù)字信號處理器：y(n)01234nD/A變換器：模擬濾波器：0y(t)四.數(shù)字信號處理的特點(diǎn)精度高模擬系統(tǒng)：由元器件確定（10-3）；數(shù)字系統(tǒng)：由字長確定。2.靈活性高數(shù)字系統(tǒng)的性能主要由乘法器的系數(shù)決定。3.可靠性高只有“0”和“1”兩個電平，受溫度噪聲影響小。4.容易集成規(guī)范性高，電路參數(shù)要求不高。5.時分復(fù)用數(shù)字信號處理器同步多路開關(guān)多路開關(guān)輸出輸入......6.可獲得高性能指標(biāo)如頻譜分析：模擬方法10Hz;數(shù)字方法10-3Hz.7.便于二維與多維處理用存儲一禎或數(shù)禎圖象信號，實(shí)現(xiàn)二、多維處理。8.速度不夠高，工作頻率也不夠高幾十MHz以下。五.本課程的特點(diǎn)1.數(shù)學(xué)工具多微積分，概率統(tǒng)計，隨機(jī)過程，高等代數(shù)，數(shù)值分析，積分變換，復(fù)變函數(shù)等。

2.要求基礎(chǔ)強(qiáng)網(wǎng)絡(luò)理論、信號與系統(tǒng)是本課程的理論基礎(chǔ)。3.與其它學(xué)科密切相連與最優(yōu)控制、通信理論、故障診斷、計算機(jī)、微電子技術(shù)不可分，又是人工智能、模式識別、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等新興學(xué)科的理論基礎(chǔ)之一。六.講授內(nèi)容與參考書

經(jīng)典的：1.A.V.Oppenheim，“DigitalSignalProcessing”,1975.中譯本有多種2.W.D.Stanley,“DigitalSignalProcessing”,1975.中譯本常迥譯1979.3.黃順吉等，數(shù)字信號處理及其應(yīng)用,國防

工業(yè)出版社，19824.鄒理和，吳北熊等，,數(shù)字信號處理,上、下冊,國防工業(yè)出版社,1985.

5.何振亞，數(shù)字信號處理的理論與應(yīng)用，

上、下冊，人民郵電出版社，1985.

研究生用：6.胡廣書，數(shù)字信號處理--理論算法與實(shí)現(xiàn)清華大學(xué)出版社，1997.7.張貿(mào)達(dá)，現(xiàn)代信號處理，清華大學(xué)1996.8.王宏禹，隨機(jī)數(shù)字信號處理，國防工業(yè)出版社，1994.9.程乾生，信號數(shù)字處理的數(shù)學(xué)原理，石油工業(yè)出版社（第2版），1993.

較新的：

10.吳鎮(zhèn)揚(yáng)，數(shù)字信號的原理與實(shí)現(xiàn)，東南大學(xué)，1997.11.趙爾沅等，數(shù)字信號處理實(shí)用教程，人民郵電，1999.12.姚天任等，現(xiàn)代數(shù)字信號處理，華中理工，1999.13.丁玉美等，數(shù)字信號處理，西安電子科大，（第2版），2001.14.A.V.奧本海姆，R.W.謝弗著，黃建國等譯，離散時間信號處理，科學(xué)出版社，2000.英文原版：

S.J.Orfanidis,Introductiontosignalprocessing,Copyright1996byPrenticeHellComp.S.K.Mitra,Digitalsignalprocessing–acomputer-basedapproach,secondedition,Copyright2001byMcGraw-HillComp.第二章Z變換§2-1引言信號與系統(tǒng)的分析方法有時域、變換域兩種。一.時域分析法1.連續(xù)時間信號與系統(tǒng)： 信號的時域運(yùn)算，時域分解，經(jīng)典時域分析法，近代時域分析法，卷積積分。2.離散時間信號與系統(tǒng)： 序列的變換與運(yùn)算，卷積和，差分方程的求解。二.變換域分析法1.連續(xù)時間信號與系統(tǒng)： 信號與系統(tǒng)的頻域分析、復(fù)頻域分析。2.離散時間信號與系統(tǒng)：

Z變換，DFT(FFT)。

Z變換可將差分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程?！?-2Z變換的定義及收斂域一.Z變換定義：序列的Z變換定義如下：*實(shí)際上，將x(n)展為z-1的冪級數(shù)。二.收斂域1.定義:使序列x(n)的z變換X(z)收斂的所有z值的集合稱作X(z)的收斂域.2.收斂條件：X(z)收斂的充要條件是絕對可和。3.一些序列的收斂域(1).預(yù)備知識阿貝爾定理:如果級數(shù)，在

收斂,那么,滿足0≤|z|<|z+|的z,級數(shù)必絕對收斂。|z+|為最大收斂半徑。同樣,對于級數(shù)，滿足的z，

級數(shù)必絕對收斂。|z_|為最小收斂半徑。0n2n1n(n)...(2).有限長序列x(n)n0n1..1...3.右邊序列*第一項(xiàng)為有限長序列，第二項(xiàng)為z的負(fù)冪級數(shù),收斂域第一項(xiàng)為有限長序列,其收斂域?yàn)?<|z|<∞;第二項(xiàng)為z的負(fù)冪次級數(shù)，由阿貝爾定理可知,其收斂域?yàn)?/p>

Rx-<|z|≤∞;兩者都收斂的域亦為Rx-<|z|<∞;

Rx-為最小收斂半徑。(4)因果序列它是一種最重要的右邊序列,由阿貝爾定理可知收斂域?yàn)椋?5)左邊序列x(n)0n

n2

第二項(xiàng)為有限長序列,其收斂域;

第一項(xiàng)為z的正冪次級數(shù)，根據(jù)阿貝爾定理,其收斂域?yàn)?為最大收斂半徑.雙邊序列指n為任意值時,x(n)皆有值的序列，即左邊序列和右邊序列之和。

(6)雙邊序列0nx第二項(xiàng)為左邊序列，其收斂域?yàn)椋旱谝豁?xiàng)為右邊序列(因果)其收斂域?yàn)椋寒?dāng)Rx-<Rx+時，其收斂域?yàn)槠涫諗坑驊?yīng)包括即 充滿整個Z平面。[例2-1]求序列

的Z變換及收斂域。解：這相當(dāng) 時的有限長序列，當(dāng) 時，這是無窮遞縮等比級數(shù)。[例2-2]求序列

的Z變換及收斂域。

解：*收斂域一定在模最大的極點(diǎn)所在的圓外。收斂域：[例2-3]求序列

變換及收斂域。同樣的，當(dāng)|b|>|z|時，這是無窮遞縮等比級數(shù)，收斂。收斂域：*收斂域一定在模最小的極點(diǎn)所在的圓內(nèi)。 §2-3Z反變換一.定義：已知X(z)及其收斂域,反過來求序列x(n)的變換稱作Z反變換。z變換公式：C為環(huán)形解析域內(nèi)環(huán)繞原點(diǎn)的一條逆時針閉合單圍線.0c1.留數(shù)法由留數(shù)定理可知：

為c內(nèi)的第k個極點(diǎn)， 為c外的第m個極點(diǎn)，Res[]表示極點(diǎn)處的留數(shù)。二.求Z反變換的方法2、當(dāng)Zr為l階(多重)極點(diǎn)時的留數(shù)：留數(shù)的求法：1、當(dāng)Zr為一階極點(diǎn)時的留數(shù)：[例2-4]已知解:1）當(dāng)n≥-1時, 不會構(gòu)成極點(diǎn)，所以這時C內(nèi)只有一個一階極點(diǎn) 因此，求z反變換。2）當(dāng)n≤-2時，X(z)zn-1中的zn+1構(gòu)成n+1階極點(diǎn)。因此C內(nèi)有極點(diǎn)：z=1/4(一階),z=0為(n+1)階極點(diǎn)；而在C外僅有z=4(一階)這個極點(diǎn):2.部分分式法

有理式：數(shù)字和字符經(jīng)有限次加、減、乘、除運(yùn)算所得的式子。有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或兩個多項(xiàng)式的商。分子的次數(shù)低于分母時稱為真分式。部分分式：把x的一個實(shí)系數(shù)的真分式分解成幾個分式的和，使各分式具有或

的形式，其中x2+Ax+B是實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的不可約多項(xiàng)式，而且k是正整數(shù)。這時稱各分式為原分式的“部分分式”。通常，X(z)可

表成有理分式形式：因此，X(z)可以展成以下部分分式形式其中，M≥N時，才存在Bn；Zk為X(z)的各單極點(diǎn)，Zi為X(z)的一個r階極點(diǎn)。而系數(shù)Ak，Ck分別為：

的z反變換。[例2-5]利用部分分式法，求解：

分別求出各部分分式的z反變換（可查P54表2-1），然后相加即得X(z)的z反變換。3.冪級數(shù)展開法(長除法)因?yàn)閤(n)的Z變換為Z-1

的冪級數(shù)，即

所以在給定的收斂域內(nèi)，把X(z)展為冪級數(shù)，其系數(shù)就是序列x(n)。如收斂域?yàn)閨z|>Rx+，x(n)為因果序列，則X(z)展成Z的負(fù)冪級數(shù)。若收斂域|Z|<Rx-,x(n)必為左邊序列，主要展成

Z的正冪級數(shù)。[例2-6]試用長除法求

的z反變換。解:收斂域?yàn)榄h(huán)狀，極點(diǎn)z=1/4對應(yīng)因果序列，極點(diǎn)z=4對應(yīng)左邊序列(雙邊序列)*雙邊序列可分解為因果序列和左邊序列。*應(yīng)先展成部分分式再做除法。

4-Z)

4Z+Z+—Z+—Z+—Z+241311645164...16Z16Z-4Z24

Z4Z-ZZZ-—Z—Z—Z-—Z—Z

2233314141444411655116...

Z-—)Z141+—Z+—Z+—Z14-1116-2164-3...Z-—14—14—14-—Z116-1—Z116-1—Z116-1-—Z164-2—Z164-2—Z164-2-——Z1256-3——Z1256-3... §2-4Z變換的基本性質(zhì)和定理如果 則有：*即滿足均勻性與疊加性；*收斂域?yàn)閮烧咧丿B部分。1.線性[例2-7]已知,求其z變換。解：2.序列的移位如果 則有：[例2-8]求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z變換。3.Z域尺度變換(乘以指數(shù)序列)如果，則證明：4.序列的線性加權(quán)(Z域求導(dǎo)數(shù))如果，則證明：5.共軛序列如果，則證明：6.翻褶序列如果，則證明：7.初值定理證明：8.終值定理證明：又由于只允許X(z)在z=1處可能有一階極點(diǎn)，故因子（z-1)將抵消這一極點(diǎn)，因此(z-1)X(z)在上收斂。所以可取z1的極限。9.有限項(xiàng)累加特性證明：10.序列的卷積和(時域卷積定理)

證明：[例2-9]解：11.序列相乘(Z域卷積定理)其中,C是在變量V平面上，X(z/v),H(v)公共收斂域內(nèi)環(huán)原點(diǎn)的一條逆時針單封閉圍線。（證明從略）[例2-10]解：

12.帕塞瓦定理(parseval)其中“*”表示復(fù)共軛，閉合積分圍線C在公共收斂域內(nèi)。（證明從略）如果則有:*幾點(diǎn)說明：§2-5Z變換與拉氏變換、

傅氏變換的關(guān)系

一.Z變換與拉氏變換的關(guān)系1.理想抽樣信號的拉氏變換設(shè)為連續(xù)信號，為其理想抽樣信號，則序列x(n)的z變換為，考慮到,顯然，當(dāng)時，序列x(n)的z變換就等于理想抽樣信號的拉氏變換。2.Z變換與拉氏變換的關(guān)系(S、Z平面映射關(guān)系）S平面用直角坐標(biāo)表示為：Z平面用極坐標(biāo)表示為：又由于所以有：因此， ;這就是說，Z的模只與S的實(shí)部相對應(yīng),Z的相角只與S虛部Ω相對應(yīng)。

=0,即S平面的虛軸

r=1,即Z平面單位圓；

σ→σσ<0,即S的左半平面r<1,即Z的單位圓內(nèi)；→>0,即S的右半平面r>1,即Z的單位圓外?！鷍→00(1).r與σ的關(guān)系Ω=0，S平面的實(shí)軸， ω=0，Z平面正實(shí)軸；

Ω=Ω0(常數(shù))，S:平行實(shí)軸的直線，ω=Ω0T,Z:始于

原點(diǎn)的射線；

Ω

S:寬 的水平條帶，ω整個z平面.0jIm[Z]Re[Z](2).ω與Ω的關(guān)系（ω=ΩT）ω二.Z變換和傅氏變換的關(guān)系連續(xù)信號經(jīng)理想抽樣后,其頻譜產(chǎn)生周期延拓，即

我們知道,傅氏變換是拉氏變換在虛軸S=jΩ

的特例,因而映射到Z平面上為單位圓。因此,

這就是說,（抽樣）序列在單位圓上的Z變換,就等于理想抽樣信號傅氏變換。

用數(shù)字頻率ω作為Z平面的單位圓的參數(shù)，

ω表示Z平面的輻角，且。所以，序列在單位圓上的Z變換為序列的傅氏變換。三.序列的傅氏變換1.正變換:2.反變換:§2-6傅氏變換的一些對稱性質(zhì)一、共軛對稱序列與共軛反對稱序列1.共軛對稱序列設(shè)一復(fù)序列，如果滿足xe(n)=xe*(-n)則稱序列為共軛對稱序列。下面分析它們的對稱關(guān)系。設(shè)序列其中分別表示的實(shí)部和虛部。對其兩邊取共軛，則再將-n代入，則根據(jù)定義，則

這說明共軛對稱序列的實(shí)部是偶對稱序列（偶函數(shù)），而虛部是奇對稱序列（奇函數(shù)）。*特殊地，如是實(shí)序列，共軛對稱序列就是偶對稱序列。2.共軛反對稱序列設(shè)一復(fù)序列，如果滿足xo(n)=-xo*(-n)則稱序列為共軛反對稱序列。同樣有：根據(jù)定義，則這說明共軛反對稱序列的實(shí)部是奇對稱序列（奇函數(shù)），而虛部是偶對稱序列（偶函數(shù)）。*特殊地，如是實(shí)序列，共軛反對稱序列就是奇對稱序列。二、任一序列可表為共軛對稱序列與共軛反對稱序列之和三、序列的傅氏變換可表為共軛對稱分量與共軛反對稱分量之和其中，四、兩個基本性質(zhì)證明：證明：五、序列的實(shí)、虛部與其傅氏變換偶、奇部的關(guān)系1.序列的實(shí)部的傅氏變換等于其傅氏變換的偶部證明：2.序列的j倍虛部的傅氏變換等于其傅氏變換的奇部證明：六、序列的偶、奇部與其傅氏變換的實(shí)、虛部的關(guān)系1.序列的偶部的傅氏變換等于其傅氏變換的實(shí)部證明：2.序列的奇部的傅氏變換等于其傅氏變換的虛部再乘以j。證明：七、序列為實(shí)序列的情況8.實(shí)序列也有如下性質(zhì)：線性移不變系統(tǒng)h(n)為單位抽樣響應(yīng)h(n)x(n)(n)

H(z)稱作線性移不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，而且

在單位圓 上的系統(tǒng)函數(shù)就是系統(tǒng)的頻率

響應(yīng)?！?-7離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù) 及頻率響應(yīng)一.系統(tǒng)函數(shù): 我們知道,一線性移不變系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是h(n)必須滿足絕對可和：∑|h(n)|<∞。

z變換H(z)的收斂域由滿足∑|h(n)z-n|<∞的那些z值確定。如單位圓上收斂，此時則有∑|h(n)|<∞，即系統(tǒng)穩(wěn)定；也就是說，收斂域包括單位圓的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 因果系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)為因果序列，

其收斂域?yàn)镽+<|z|≤∞；而因果穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)收斂域?yàn)?≤|z|≤∞，也就是說,其全部極點(diǎn)必須在單位圓內(nèi)。二.因果穩(wěn)定系統(tǒng)三.系統(tǒng)函數(shù)和差分方程的關(guān)系線性移不變系統(tǒng)常用差分方程表示：取z變換得：對上式因式分解，令得：四.系統(tǒng)的頻率響應(yīng)的意義系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)h(n)的傅氏變換也即單位上的變換稱作系統(tǒng)頻率響應(yīng)。也就是說，其輸出序列的傅氏變換等于輸入序列的傅氏變換與頻率響應(yīng)的乘積。對于線性移不變系統(tǒng)：

五.頻率響應(yīng)的幾何確定1.頻響的零極點(diǎn)表達(dá)式模：相角：2.幾點(diǎn)說明(1).

表示原點(diǎn)處零極點(diǎn)，它到單位圓的距離恒為1，故對幅度響應(yīng)不起作用只是給出線性相移分量ω(N-M)。(2).單位圓附近的零點(diǎn)對幅度響應(yīng)的谷點(diǎn)的位置與深度有明顯影響，當(dāng)零點(diǎn)位于單位圓上時，谷點(diǎn)為零。零點(diǎn)可在單位圓外。(3).單位圓附近的極點(diǎn)對幅度響應(yīng)的峰點(diǎn)位置和高度有明顯影響。極點(diǎn)在圓外，系統(tǒng) 不穩(wěn)定。零點(diǎn)在單位圓上0,

處；極點(diǎn)在,處。ω0。。[例2-14]設(shè)一階系統(tǒng)的差分方程為:[解]:對差分方程兩邊取Z變換:

，a為實(shí)數(shù),求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。這是一因果系統(tǒng)，其單位抽樣響應(yīng)為而頻率響應(yīng)為:幅度響應(yīng)為:相位響應(yīng)為:0112345678n零極點(diǎn)分布情況0ωω0-10a1六.IIR系統(tǒng)和FIR系統(tǒng)1.無限長單位沖激響應(yīng)(IIR)系統(tǒng)如果一個離散時間系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)h(n)延伸到無窮長,即n→∞時,h(n)仍有值,這樣的系統(tǒng)稱作IIR系統(tǒng)。2.有限長單位沖激響應(yīng)(FIR)系統(tǒng)h(n)為有限長序列的系統(tǒng)。第三章DFT離散傅里葉變換§3-7抽樣Z變換--頻域抽樣理論§3-8利用DFT對連續(xù)時間信號的逼近§3-6DFT的性質(zhì)§3-5DFT--有限長序列的離散頻域表示§3-3周期序列的DFS§3-4DFS的性質(zhì)§3-2傅氏變換的幾種可能形式§3-1引言點(diǎn)擊進(jìn)入目錄一.DFT是重要的變換

1.分析有限長序列的有用工具。

2.在信號處理的理論上有重要意義。

3.在運(yùn)算方法上起核心作用，譜分析、卷積、相關(guān)都可以通DFT在計算機(jī)上實(shí)現(xiàn)?！?-1 引言二.DFT是現(xiàn)代信號處理橋梁

DFT要解決兩個問題： 一是離散與量化， 二是快速運(yùn)算。信號處理DFT(FFT)傅氏變換離散量化

§3-2 傅氏變換的幾種可能形式一.連續(xù)時間、連續(xù)頻率的傅氏變換-傅氏變換0t0時域信號頻域信號連續(xù)的非周期的非周期的連續(xù)的對稱性:

時域連續(xù)，則頻域非周期。反之亦然。二.連續(xù)時間、離散頻率傅里葉變換-傅氏級數(shù)0t------0時域信號頻域信號連續(xù)的周期的非周期的離散的*時域周期為Tp,

頻域譜線間隔為2π/Tp三.離散時間、連續(xù)頻率的傅氏變換

--序列的傅氏變換x(nT)T-T0T2Tt0------時域信號頻域信號離散的非周期的周期的連續(xù)的四.離散時間、離散頻率的傅氏變換--DFTx(nT)=x(n)t0T2T12Nn00123kNT

由上述分析可知，要想在時域和頻域都是離散的，那么兩域必須是周期的。時域信號頻域信號離散的周期的周期的離散的DFT的簡單推演：在一個周期內(nèi)，可進(jìn)行如下變換：視作n的函數(shù)，視作k的函數(shù)，這樣,正反回到目錄§3-3周期序列的DFS一.周期序列DFS的引入對上式進(jìn)行抽樣，得：

導(dǎo)出周期序列DFS的傳統(tǒng)方法是從連續(xù)的周期信號的復(fù)數(shù)傅氏級數(shù)開始的：因是離散的，所以應(yīng)是周期的。，代入而且，其周期為，因此應(yīng)是N點(diǎn)的周期序列。

又由于所以求和可以在一個周期內(nèi)進(jìn)行，即

這就是說，當(dāng)在k=0,1,...,N-1求和與在k=N,...,2N-1求和所得的結(jié)果是一致的。二.的k次諧波系數(shù)的求法

1.預(yù)備知識

同樣，當(dāng) 時，p也為任意整數(shù)，則所以亦即

的表達(dá)式將式的兩端乘

，然后從n=0到N-1求和，則：的DFS

通常將定標(biāo)因子1/N移到表示式中。即：3.離散傅氏級數(shù)的習(xí)慣表示法

通常用符號 代入，則：正變換：反變換：4.的周期性與用Z變換的求法周期性：

的一個周期內(nèi)序列記作,而且=,0nN-10,其他n對作Z變換，用Z變換的求：

可見，是Z變換在單位圓上抽樣，抽樣點(diǎn)在單位圓上的N個等分點(diǎn)上，且第一個抽樣點(diǎn)為k=0。如果，則有1234567(N-1)k=0其中，a,b為任意常數(shù)?！?-4 DFS的性質(zhì)一.線性如果則有二.序列的移位則有：如果證明：令i=m+n,則n=i-m。n=0時，i=m;n=N-1時，i=N-1+m所以*和都是以N為周期的周期函數(shù)。三.調(diào)制特性

如果

則有證明：時域乘以虛指數(shù)()的m次冪，頻域搬移m,調(diào)制特性。四.周期卷積和

1.如果則：證明從略。2.兩個周期序列的周期卷積過程（1）畫出和的圖形；（2）將翻摺,得到

可計算出：m計算區(qū)mm0123（3）將右移一位、得到可計算出：m計算區(qū)mm0123m（4）將再右移一位、得到，可計算出：（5）以此類推，

n1344計算區(qū)313.頻域卷積定理如果，則證明從略?！?-5DFT--有限長序列的離散頻域表示一.預(yù)備知識

1.余數(shù)運(yùn)算表達(dá)式如果，

m為整數(shù)；則有：此運(yùn)算符表示n被N除，商為m，余數(shù)為。是的解,或稱作取余數(shù),或說作n對N取模值,或簡稱為取模值,n模N。例如：

(1)(2)

先取模值，后進(jìn)行函數(shù)運(yùn)作;而 視作將周期延拓。2.二.有限長序列x(n)和周期序列的關(guān)系=,0nN-10,其他n周期序列是有限長序列x(n)的周期延拓。有限長序列x(n)是周期序列的主值序列。如：N-1nx(n)0......n0N-1定義從n=0到（N-1）的第一個周期為主值序列或區(qū)間。三.周期序列與有限長序列X(k)的關(guān)系

同樣，周期序列是有限長序列X(k)的周期延拓。

而有限長序列X(k)是周期序列的主值序列。四.從DFS到DFT

從上式可知，DFS,IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1,及k=0到N-1的主值區(qū)間進(jìn)行。

因此可得到新的定義，即有限序的離散傅氏變換(DFT)的定義。,0kN-1,0nN-1或者：

§3-6DFT的性質(zhì)一.線性1.兩序列都是N點(diǎn)時如果

則有：2.和的長度N1和N2不等時，選擇

為變換長度,短者進(jìn)行補(bǔ)零達(dá)到N點(diǎn)。二.序列的圓周移位1.定義一個有限長序列

的圓周移位定義為這里包括三層意思：先將

進(jìn)行周期延拓再進(jìn)行移位最后取主值序列：

n0N-1n0周期延拓n0左移2n0取主值N-12.圓周位移的含義

由于我們?nèi)≈髦敌蛄?，即只觀察n=0到N-1這一主值區(qū)間，當(dāng)某一抽樣從此區(qū)間一端移出時，與它相同值的抽樣又從此區(qū)間的另一端進(jìn)來。如果把

排列一個N等分的圓周上，序列的移位就相當(dāng)于

在圓上旋轉(zhuǎn)，故稱作圓周移位。當(dāng)圍著圓周觀察幾圈時，看到就是周期序列:

。12345n=0N=6三、共軛對稱性1.周期序列共軛對稱分量與共軛反對稱分量周期為N的周期序列的共軛對稱分量與共軛反對稱分量分別定義為同樣，有2.有限長序列的圓周共軛對稱分量與圓周共軛反對稱分量有限長序列的圓周共軛對稱分量與圓周共軛反對稱分量分別定義為由于所以

這表明長為N的有限長序列可分解為兩個長度相同的兩個分量。3.共軛對稱特性之一證明：4.共軛對稱特性之二證明：可知：5.共軛對稱特性之三證明：6.共軛對稱特性之四證明：7.共軛對稱特性之五、六8.X(k)圓周共軛對稱分量與圓周共軛反對稱分量的對稱性9.實(shí)、虛序列的對稱特性

當(dāng)x(n)為實(shí)序列時，根據(jù)特性之三，則

X(k)=Xep(k)又據(jù)Xep(k)的對稱性：

當(dāng)x(n)為純虛序列時，根據(jù)特性之四，則

X(k)=Xop(k)又據(jù)Xop(k)的對稱性：四.圓周卷積和1.時域卷積定理設(shè)和均為長度為N的有限長序列，且，如果，則NN證明：相當(dāng)于將 作周期卷積和后，再取主值序列。將周期延拓：則有：在主值區(qū)間，所以：N同樣可證：N2.時域圓周卷積過程N(yùn)-10nN-10n0m0m0m0m0233211N-1nN最后結(jié)果：五.有限長序列的線性卷積與圓周卷積1.線性卷積的長度為的長度為它們線性卷積為的非零區(qū)間為的非零區(qū)間為兩不等式相加得也就是不為零的區(qū)間.例如:1012n1012n3m-1-2-3mm1012mmn2103145233211012m2.用圓周卷積計算線性卷積

圓周卷積是線性卷積的周期延拓序列的主值序列.

的長度為,的長度為,先構(gòu)造長度均為L長的序列,即將補(bǔ)零點(diǎn);然后再對它們進(jìn)行周期延拓，即所以得到周期卷積：

可見,周期卷積為線性卷積的周期延拓,其周期為L.由于有個非零值,所以周期L必須滿足:

又由于圓周卷積是周期卷積的主值序列,所以圓周卷積是線性卷積的周期延拓序列的主值序列,即

§

3-7抽樣Z變換--頻域抽樣理論一.如何從頻域抽樣恢復(fù)原序列1.兩種抽樣時域抽樣:

對一個頻帶有限的信號,根據(jù)抽樣定理對其進(jìn)行抽樣,所得抽樣信號的頻譜是原帶限信號頻譜的周期延拓,因此,完全可以由抽樣信號恢復(fù)原信號。頻域抽樣:

對一有限序列(時間有限序列)進(jìn)行DFT所得x(k)就是序列傅氏變換的采樣.所以DFT就是頻域抽樣。2.由頻域抽樣恢復(fù)序列一個絕對可和的非周期序列x(n)的Z變換為

由于x(n)絕對可和,故其傅氏變換存在且連續(xù),也即其Z變換收斂域包括單位圓。這樣,對X(Z)在單位圓上N等份抽樣,就得到對進(jìn)行反變換,并令其為,則

可見,由

得到的周期序列

是非周期序列x(n)的周期延拓。

也就是說,頻域抽樣造成時域周期延拓。1,m=n+rN,0,其他m3.頻域抽樣不失真的條件

當(dāng)x(n)不是有限長時，無法周期延拓；

當(dāng)x(n)為長度M,只有NM時,才能不失真的恢復(fù)信號,即1.由X(k)恢復(fù)X(Z)

序列x(n),（0nN-1）的Z變換為由于，所以（下頁?。┒?由X(k)表達(dá)

X(Z)與的問題——內(nèi)插公式上式就是由X(k)恢復(fù)X(Z)的內(nèi)插公式,其中稱作內(nèi)插函數(shù)。2.內(nèi)插函數(shù)的特性

將內(nèi)插函數(shù)寫成如下式:。。。。。。。

令分子為零,得；所以有N個零點(diǎn)。令分母為零,得為一階極點(diǎn),Z=0為(N-1)階極點(diǎn)。但是極點(diǎn)與一零點(diǎn)相消。這樣只有(N-1)個零點(diǎn),抽樣點(diǎn)稱作本抽樣點(diǎn)。因此說,內(nèi)插函數(shù)僅在本抽樣點(diǎn)處不

為零,其他(N-1)個抽樣點(diǎn)均為零。3.頻率響應(yīng)單位圓上的Z變換即為頻響,代入4.內(nèi)插函數(shù)的頻率特性可見,既是的函數(shù)又是k的函數(shù),其可表示為當(dāng)k=0時,則有時,

時,

，所以

當(dāng)N=5時,的幅度特性和相位特性如下圖：其中，N=5由于i與k均為整數(shù),所以i

k

時

這就是說,內(nèi)插函數(shù)在本抽樣點(diǎn)上,

而在其他抽樣點(diǎn)上5. 與X(k)的關(guān)系

由于的特性可知,在每個抽樣點(diǎn)上其值為1,故就精確等于X(k)。即

而在抽樣點(diǎn)之間,等于加權(quán)的內(nèi)插函數(shù)值

疊加而得。

§3-8利用DFT對連續(xù)時間信號的逼近一.用DFT計算連續(xù)時間信號的傅氏變換可能造成的誤差

1.混疊現(xiàn)象為避免混疊,由抽樣定理可知，須滿足其中,為抽樣頻率;為信號的最高頻率分量；或者

其中,T為抽樣間隔。

[例]有一頻譜分析用的FFT處理器，其抽樣點(diǎn)數(shù)必須是2的整數(shù)冪。假定沒有采用任何特殊的數(shù)據(jù)處理措施，已知條件為（1）頻率分辨率為，（2）信號的最高頻率，試確定以下參量：（1）最小記錄長度

;(2)抽樣點(diǎn)間的最大時間間隔T;(3)在一個記錄中的最小點(diǎn)數(shù)N。解：（a）最小記錄長度（b）最大的抽樣時間間隔T(c)最小記錄點(diǎn)數(shù)N2.頻譜泄漏在實(shí)際應(yīng)用中，通常將所觀測的信號限制在一定的時間間隔內(nèi),也就是說，在時域?qū)π盘栠M(jìn)行截斷操作,或稱作加時間窗,亦即用時間窗函數(shù)乘以信號,由卷積定理可知，時域相乘,頻域?yàn)榫矸e,這就造成拖尾現(xiàn)象,稱之為頻譜泄漏.0n0nn3.柵欄效應(yīng)用DFT計算頻譜時，只是知道為頻率的整數(shù)倍處的頻譜。在兩個譜線之間的情況就不知道,這相當(dāng)通過一個柵欄觀察景象一樣，故稱作柵欄效應(yīng)。補(bǔ)零點(diǎn)加大周期，可使F變小來提高辨力，以減少柵欄效應(yīng)。二.DFT與連續(xù)時間信號傅氏變換間相對數(shù)值的確定

1.連續(xù)時間非周期信號傅氏變換對2.連續(xù)時間周期信號傅氏級數(shù)變換對3.DFT變換時:

4.用DFT計算非周期信號的傅氏變換

用DFT計算所得的頻譜分量乘以T，就等于頻譜的正常幅度電平；用IDFT計算非周期信號的傅氏反變換，再乘以就得到所需信號的正常幅度電平。所以,從時間到頻率,

再從頻率到時間，整個過程總共乘了

幅度電平未受到影響。設(shè)用DFT計算所得的頻譜分量乘以T的理由：用IDFT計算非周期信號的傅氏反變換乘以的理由5.用DFT計算周期信號的傅氏級數(shù)

用DFT計算出的頻譜分量乘以

1/N等于周期信號的頻譜的正常幅度電平。而用IDFT的計算結(jié)果乘以N才等于周期信號。見式（3-112）和式（3-113）（pp.117）。放映結(jié)束第四章FFT快速傅氏變換§4-5線性卷積的FFT算法§4-3DIF的FFT算法§4-4IFFT算法§4-2按時間抽取(DIT)的FFT算法§4-1引言點(diǎn)擊進(jìn)入目錄§4-1引言一.DFT的計算工作量

兩者的差別僅在指數(shù)的符號和因子1/N.

通常x(n)和 都是復(fù)數(shù),所以計算一個

X(k)的值需要N次復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算,和 次復(fù)數(shù)加法運(yùn)算.那么,所有的X(k)就要N2次復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算,N(N-1)次復(fù)數(shù)加法運(yùn)算.當(dāng)N很大時,運(yùn)算量將是驚人的,如N=1024,則要完成1048576次(一百多萬次)運(yùn)算.這樣,難以做到實(shí)時處理.一個X(k)的值的工作量,如X(1)二.改進(jìn)的途徑1.的對稱性和周期性得:對稱性:周期性:

利用上述特性,可以將有些項(xiàng)合并,并將DFT分解為短序列,從而降低運(yùn)算次數(shù),提高運(yùn)算速度.1965年,庫利(cooley)和圖基(Tukey)首先提出FFT算法.對于N點(diǎn)DFT,僅需(N/2)log2N次復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算.例如N=1024=210

時，需要(1024/2)log2210=512*10=5120次。5120/1048576=4.88%,速度提高20倍§4-2按時間抽取(DIT)的FFT算法

—庫利-圖基算法一.算法原理(基2FFT)(一)N/2點(diǎn)DFT1.先將按n的奇偶分為兩組作DFT,設(shè)N=2L,不足時,可補(bǔ)些零。這樣有:n為偶數(shù)時:n為奇數(shù)時:因此，由于:

所以,上式可表示為:(n為偶數(shù))

(n為奇數(shù))

其中,2.兩點(diǎn)結(jié)論:(1)X

(k),X

(k)均為N/2點(diǎn)的DFT。

(2)X(k)=X

(k)+W

X

(k)只能確定出

X(k)的k=個；即前一半的結(jié)果。1212kN

同理,

這就是說,X1(k),X2(k)的后一半,分別等于其前一半的值。3.X(k)的后一半的確定由于（周期性）,所以:

可見,X(k)的后一半，也完全由X1(k),X2

(k)的前一半所確定。*N點(diǎn)的DFT可由兩個N/2點(diǎn)的DFT來計算。又由于

,所以實(shí)現(xiàn)上式運(yùn)算的流圖稱作蝶形運(yùn)算

前一半4.蝶形運(yùn)算

后一半（N/2個蝶形)(前一半)(后一半)1111-1由X1(k)、X2(k)表示X(k)的運(yùn)算是一種特殊的運(yùn)算-碟形運(yùn)算(1)N/2點(diǎn)的DFT運(yùn)算量:復(fù)乘次數(shù):

復(fù)加次數(shù):(2)兩個N/2點(diǎn)的DFT運(yùn)算量:復(fù)乘次數(shù):

復(fù)加次數(shù):

(3)N/2個蝶形運(yùn)算的運(yùn)算量:復(fù)乘次數(shù):

復(fù)加次數(shù):

5.計算工作量分析復(fù)乘:復(fù)加:總共運(yùn)算量:按奇、偶分組后的計算量：*但是,N點(diǎn)DFT的復(fù)乘為N2;復(fù)加N(N-1);與分解后相比可知,計算工作點(diǎn)差不多減少

一半。

例如N=8

時的DFT,可以分解為兩個

N/2=4點(diǎn)的DFT.具體方法如下:

(1)n為偶數(shù)時,即

分別記作:

(2)n為奇數(shù)時,分別記作:

x1(0)=x(0)

x1(1)=x(2)

N/2點(diǎn)

x1(2)=x(4)DFT

x1(3)=x(6)

x2(0)=x(1)

x2(1)=x(3)

N/2點(diǎn)

x2(2)=x(5)

DFT

x2(3)=x(7)

12~~X1(0)X1(1)X1(2)X1(3)X2(0)X2(1)X2(2)X2(3)WN2WN1WN0WN3-1-1-1-1X(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X(7)(3)對X

(k)和X

(k)進(jìn)行蝶形運(yùn)算,前半部為

X(0)X(3),后半部分為X(4)X(7)

整個過程如下圖所示:

由于N=2

L

,所以N/2仍為偶數(shù),可以進(jìn)

一步把每個N/2點(diǎn)的序列再按其奇偶部分

分解為兩個N/4的子序列。例如，n為偶數(shù)時的

N/2點(diǎn)分解為:(二)N/4點(diǎn)DFT進(jìn)行N/4點(diǎn)的DFT,得到(偶中偶)(偶中奇)從而可得到前N/4的X1(k)后N/4的X1(k)為(奇中偶)(奇中奇)同樣對n為奇數(shù)時，N/2點(diǎn)分為兩個N/4點(diǎn)

的序列進(jìn)行DFT，則有:

例如,N=8時的DFT可分解為四個N/4的DFT,

具體步驟如下:(1)將原序列x(n)的“偶中偶”部分:構(gòu)成N/4點(diǎn)DFT，從而得到X3(0),X3(1)。(2)將原序列x(n)的“偶中奇”部分:構(gòu)成N/4點(diǎn)DFT，從而得到X4(0),X4(1)。(3)將原序列x(n)的“奇中偶”部分:構(gòu)成N/4點(diǎn)DFT，從而得到X5(0),X5(1)。(4)將原序列x(n)的“奇中奇”部分:構(gòu)成N/4點(diǎn)DFT，從而得到X6(0),X6(1)。（5）由X3(0),X3(1),X4(0),X4(1)進(jìn)行碟形運(yùn)算,

得到X1(0),X1(1),X1(2),X1(3)。（6）由X5(0),X5(1),X6(0),X6(1)進(jìn)行碟形運(yùn)算,

得到X2(0),X2(1),X2(2),X2(3)。

(0)=

(0)=(0)

N/4

(1)=

(2)=(4)

DFT

(0)=

(1)=(2)

N/4

(1)=

(3)=(6)

DFT

(0)=

(0)=(1)

N/4

(1)=

(2)=(5)

DFT

(0)=

(1)=(3)

N/4

(1)=

(3)=(7)

DFT313141415252626202NN02NNWWWW0123NNNN-1-1-1-2-1-1WWWWX

(0)X

(1)X

(0)X

(1)X

(0)X

(1)X

(0)X

(1)33445566X

(0)X

(1)X

(2)X

(3)X

(0)X

(1)X

(2)X

(3)11122221X(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X(7)（7）由X1(0),X1(1),X1(2),X1(3)，X2(0),X2(1),X2(2),X2(3)進(jìn)行碟形運(yùn)算,

得到

X(0),X(1),X(2),X(3)X(4),X(5),X(6),X(7)。這樣,又一次分解,得到四個N/4點(diǎn)DFT,

兩級蝶形運(yùn)算,其運(yùn)算量有大約減少一半

即為N點(diǎn)DFT的1/4。

對于N=8時DFT,N/4點(diǎn)即為兩點(diǎn)DFT,因此

亦即,

(0)

(4)

(2)

(6)

(1)

(5)

(3)

(7)WN0WN0WN0W0N-1-1-1-1X

(0)X

(1)X

(0)X

(1)X

(0)X

(1)X

(0)X

(1)33445566WN0WN2WN0WN2-1-1-1-1X

(0)X

(1)X

(2)X

(3)X

(0)X

(1)X

(2)X

(3)11121222WWWWN0N1N2N3-1-1-1-1X(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X(7)因此,8點(diǎn)DFT的FFT的運(yùn)算流圖如下

這種FFT算法,是在時間上對輸入序列

的次序是屬于偶數(shù)還是屬于奇數(shù)來進(jìn)行分解的,所以稱作按時間抽取的算法。

二.運(yùn)算量

由上述分析可知,N=8需三級蝶形運(yùn)算N=2=8,由此可知,N=2L

共需L級蝶形運(yùn)算,

而且每級都由N/2個蝶形運(yùn)算

組成,每個蝶形運(yùn)算有一次復(fù)乘,兩次復(fù)加。(DIT)3

因此,N點(diǎn)的FFT的運(yùn)算量為復(fù)乘:mF=（N/2）L=（N/2）log2N復(fù)加:aF=NL=Nlog2N

由于計算機(jī)的乘法運(yùn)算比加法運(yùn)算所

需的時間多得多，故以乘法作為比較基準(zhǔn).如表4-1所示(pp.145）。

(0)=X0(0)

X1(0)

X2(0)X3(0)=X(0)

(4)=X0(1)

X1(1)X2(1)X3(1)=X(1)

(2)=X0(2)

X3(2)=X(2)

(6)=X0(3)

X3(3)=X(3)

(1)=X0(4)

X1(4)X2(4)X3(4)=X(4)

(5)=X0(5)

X3(5)=X(5)

(3)=X0(6)

X3(6)=X(6)

(7)=X0(7)

X1(7)X2(7)X3(7)=X(7)WWWWN0N0N0N0-1-1-1-1WWWWN0N2N0N2-1-1-1-1WWWWNNNN0123...........三.DIT的FFT算法的特點(diǎn)

1.原位運(yùn)算輸入數(shù)據(jù)、中間運(yùn)算結(jié)果和最后輸出均用同一存儲器。

設(shè)用m(m=1,2,…,L)表示第m列;用k,j表示蝶形輸入數(shù)據(jù)所在的（上/下）行數(shù)(0,1,2,…,N-1);這時任何一個蝶形運(yùn)算可用下面通用式表示，即

由運(yùn)算流圖可知,一共有N個輸入/出行,一共有l(wèi)og2N=L列（級）蝶形運(yùn)算(基本迭代運(yùn)算).

所以,當(dāng)m=1時,則有（前兩個蝶形）

當(dāng)m=2時,則有（前兩個蝶形）

當(dāng)m=3時,則有（前兩個蝶形）

可見,在某列進(jìn)行蝶形運(yùn)算的任意兩個節(jié)點(diǎn)(行)k和j的節(jié)點(diǎn)變量就完全可以確定蝶形運(yùn)算的結(jié)果,與其它行(節(jié)點(diǎn))無關(guān)。這樣,蝶形運(yùn)算的兩個輸出值仍可放回蝶形運(yùn)算的兩個輸入所在的存儲器中,即實(shí)現(xiàn)所謂原位運(yùn)算。每一組(列)有N/2個蝶形運(yùn)算,所以只需N個存儲單元，可以節(jié)

省存儲單元。

2

倒位序規(guī)律

由圖可知,輸出X(k)按正常順序排列在存儲單元,而輸入是按順序:

這種順序稱作倒位序,即二進(jìn)制數(shù)倒位。n=00n=10n=01n=11n=01n=1101010101

(n2)x(000)0乾x(100)4兌x(010)2離x(110)6震x(001)1巽x(101)5坎x(011)3艮x(111)7坤（偶）（奇）

這是由奇偶分組造成的,以N=8為例

說明如下:

3.倒位序?qū)崿F(xiàn)

輸入序列先按自然順序存入存儲單

元,然后經(jīng)變址運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)倒位序排列

設(shè)輸入序列的序號為n,二進(jìn)制為

(n2n1n0)2,倒位序順序用

表示,其倒位序二進(jìn)制為(n0n1n2)2,例如，N=8時如下表：

00

0

00

0

00

10

0

11

0

04

20

1

00

1

02

30

1

11

1

06

41

0

00

0

11

51

0

11

0

15

61

1

00

1

13

71

1

11

1

17自然順序n二進(jìn)制nnn倒位序二進(jìn)制nnn倒位順序n^210012A(1)A(2)A(3)A(4)A(5)A(6)A(7)A(8)x(0)x(1)x(2)x(3)x(4)x(5)x(6)x(7)x(0)x(4)x(2)x(6)x(1)x(5)x(3)x(7)變址處理方法存儲單元自然順序變址倒位序4.蝶形運(yùn)算兩節(jié)點(diǎn)的距離:2m-1

其中,m表示第m列,且m=1,…,L

例如N=8=23,第一級(列)距離為21-1=1,

第二級(列)距離為22-1=2，

第三級(列)距離為23-1=4。5.WNr

的確定(僅給出方法)

考慮蝶形運(yùn)算兩節(jié)點(diǎn)的距離為2m-1,蝶

形運(yùn)算可表為

Xm(k)=Xm-1(k)+Xm-1(k+2m-1)WNr

Xm(k+2m-1)=Xm-1(k)-Xm-1(k+2m-1)WNr

由于N為已知,所以將r的值確定即可。

為此，令k=(n2n1n0)2,再將k=(n2n1n0)2

左移(L-m)位,右邊位置補(bǔ)零,就可得到(r)2

的值，即(r)2=(k)22L-m

。

例如N=8=23

(1)k=2,m=3

的r值,∵k=2=(010)2