方程的根和函數(shù)的零點(diǎn)

人教A必修1§3.1.1《方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)》教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)內(nèi)容分析《方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)》是人教版《普通高中課程原則實(shí)驗(yàn)教科書》A版必修1第三章《函數(shù)的應(yīng)用》第一節(jié)的第一學(xué)時(shí).本節(jié)內(nèi)容是在《基本初等函數(shù)（Ⅰ）》的基礎(chǔ)上,學(xué)習(xí)函數(shù)與方程的第一學(xué)時(shí).通過研究一元二次方程的根及對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的關(guān)系,學(xué)生導(dǎo)出函數(shù)零點(diǎn)的概念;通過分析具體函數(shù)在某區(qū)間上存在零點(diǎn)的特點(diǎn),探究在某開區(qū)間上持續(xù)函數(shù)存在零點(diǎn)的鑒定辦法.為下一節(jié)“二分法求方程近似解”做好鋪墊.同時(shí)也為后續(xù)學(xué)習(xí)不等式、算法等知識(shí)奠定了基礎(chǔ).本節(jié)課滲入了數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.二、教學(xué)目的設(shè)立根據(jù)課標(biāo)規(guī)定,結(jié)合教材,考慮學(xué)生的已有認(rèn)知及本班學(xué)生特點(diǎn),我將本節(jié)的教學(xué)目的設(shè)立為下列內(nèi)容：1.探究二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)和對(duì)應(yīng)的一元二次方程根的關(guān)系,理解函數(shù)零點(diǎn)的定義.理解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系,會(huì)求簡(jiǎn)樸函數(shù)的零點(diǎn).2.學(xué)會(huì)用數(shù)形結(jié)合思想研究某區(qū)間上圖象持續(xù)的函數(shù)存在零點(diǎn)和零點(diǎn)個(gè)數(shù)的鑒定辦法.3.感知從特殊到普通的歸納推理.培養(yǎng)抽象概括的能力,養(yǎng)成普通性思考問題的習(xí)慣.教學(xué)重點(diǎn):函數(shù)零點(diǎn)的概念,函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理的理解和應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn):發(fā)現(xiàn)與理解方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系；運(yùn)用零點(diǎn)存在性定理分析函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間.三、學(xué)生狀況分析授課對(duì)象:延邊二中理科平行班學(xué)生1.學(xué)生已有認(rèn)知基礎(chǔ)學(xué)生在本節(jié)內(nèi)容之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了幾個(gè)基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì),會(huì)畫簡(jiǎn)樸函數(shù)的圖象,也會(huì)通過圖象去分析函數(shù)的性質(zhì).含有初步的數(shù)形轉(zhuǎn)化的能力,這就為學(xué)生探究函數(shù)的零點(diǎn)做好了鋪墊.為鑒定函數(shù)與否存在零點(diǎn)提供了直觀感知.2.達(dá)成目的所需的認(rèn)知基礎(chǔ)學(xué)生需要含有較好的觀察分析圖象的能力,較高的抽象概括能力.3.突破方略為學(xué)生創(chuàng)設(shè)適宜的問題情境,激發(fā)學(xué)生的思維,引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、計(jì)算、作圖、思考,發(fā)現(xiàn)函數(shù)在某個(gè)開區(qū)間上存在零點(diǎn)的兩個(gè)條件是圖象持續(xù)和端點(diǎn)處函數(shù)值異號(hào).4.核心素養(yǎng)課堂中學(xué)生動(dòng)手操作,感知從特殊到普通的歸納推理.體會(huì)從圖象中抽象概括出函數(shù)零點(diǎn)定義、零點(diǎn)存在性定理的數(shù)學(xué)抽象過程.養(yǎng)成普通性思考問題的習(xí)慣.四、教學(xué)方略設(shè)計(jì)1．設(shè)立問題情境,學(xué)生參加.不停發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題，探究出有關(guān)結(jié)論,體會(huì)函數(shù)在高中數(shù)學(xué)的核心作用.2.采用開放式的學(xué)習(xí)方式,學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)的生成、發(fā)展過程.借助《幾何畫板》等信息技術(shù)手段,感知函數(shù)的動(dòng)態(tài)變化,體會(huì)特殊到普通的歸納過程.學(xué)生不僅探究了概念,還“體驗(yàn)”到了數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，即函數(shù)零點(diǎn)與方程的根之間的關(guān)系是通過函數(shù)的圖像與軸的交點(diǎn)來建立的.3.課堂中學(xué)生動(dòng)手操作,進(jìn)一步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)本質(zhì).感知從特殊到普通的歸納推理.體會(huì)從圖象中抽象出函數(shù)零點(diǎn)定義,零點(diǎn)存在性定理的數(shù)學(xué)抽象過程.養(yǎng)成普通性思考問題的習(xí)慣.五、教學(xué)過程教學(xué)構(gòu)造設(shè)計(jì)：零點(diǎn)概念的建構(gòu)零點(diǎn)概念的建構(gòu)零點(diǎn)存在性定理的探究設(shè)計(jì)問題，滲入數(shù)學(xué)思想形成概念，確認(rèn)等價(jià)關(guān)系歸納定理,深刻理解熟悉定理,辨析應(yīng)用例題變式，深化拓展應(yīng)用與鞏固小結(jié)反思，提高認(rèn)識(shí)布置作業(yè)，獨(dú)立探究歸納小結(jié)約12分鐘約18分鐘約12分鐘約3分鐘（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入新課師：通過第二章的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等函數(shù)的圖象和性質(zhì)，今天我們開始學(xué)習(xí)第三章.方程的根，我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)過了，重要是以代數(shù)計(jì)算的方式進(jìn)行求解，側(cè)重“數(shù)”的方面的研究.高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段我們接觸過的一種非常重要的數(shù)學(xué)思想叫做數(shù)形結(jié)合.我們這節(jié)課就要從“數(shù)”和“形”的兩方面去研究“方程的根”.引入課題：《方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)》(教師板書)（二）新課解說【環(huán)節(jié)一：零點(diǎn)概念的建構(gòu)】設(shè)計(jì)問題，滲入數(shù)學(xué)思想問題1：求下列一元二次方程的實(shí)數(shù)根，畫出對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的簡(jiǎn)圖，完畢下表。方程函數(shù)方程的實(shí)數(shù)根函數(shù)圖像思考討論：一元二次方程的根與二次函數(shù)的圖像有什么關(guān)系？鑒別式ΔΔ＞0Δ＝0Δ＜0方程ax2+bx+c=0(a>0)的根兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1=x2沒有實(shí)數(shù)根函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象OOxyx1x2OOyxx1OOxy函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)兩個(gè)交點(diǎn)：(x1,0)，(x2,0)一種交點(diǎn)：(x1,0)無交點(diǎn)生：（觀察討論）方程的實(shí)數(shù)根就是函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).師：回答的較好！方程的根是從“數(shù)”的角度研究問題，而函數(shù)圖像與軸交點(diǎn)是從“形”的角度研究問題.正體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.教師歸納:方程的實(shí)數(shù)根函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)師：方程的根還和什么有等價(jià)關(guān)系呢？帶著這個(gè)問題我們繼續(xù)下面的學(xué)習(xí).設(shè)計(jì)意圖:進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,為下一環(huán)節(jié)引出零點(diǎn)做鋪墊【環(huán)節(jié)二：零點(diǎn)概念的建構(gòu)】形成概念，確認(rèn)等價(jià)關(guān)系問題2：求解方程,說出方程所對(duì)應(yīng)的函數(shù)．；

生：,對(duì)應(yīng)的函數(shù)是師：使，叫做方程的根，對(duì)于函數(shù)我們給出一種新的定義，稱為函數(shù)的零點(diǎn).你能根據(jù)我剛剛給出的零點(diǎn)的定義,求出函數(shù)的零點(diǎn)嗎?生：-1和3使，-1和3是函數(shù)的零點(diǎn)師：你能概括普通函數(shù)零點(diǎn)的概念嗎？生：對(duì)于函數(shù),我們把使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn).教師活動(dòng)：板書概念，協(xié)助學(xué)生體現(xiàn)精確的概念問題3：在這個(gè)概念中，我們新接觸了一種數(shù)學(xué)名詞“零點(diǎn)”，請(qǐng)同窗們思考，零點(diǎn)是點(diǎn)嗎？生：（主動(dòng)討論，發(fā)表見解）零點(diǎn)不是點(diǎn)師：那零點(diǎn)是什么？生：是一種數(shù)！師：滿足什么條件的實(shí)數(shù)？生：方程的根，再次強(qiáng)調(diào)：零點(diǎn)不是點(diǎn),是一種實(shí)數(shù)！師:回想剛剛老師提出的問題,“方程的根”還和什么是等價(jià)的呢?師生互動(dòng)：學(xué)生思考作答,互相討論;教師糾錯(cuò),引導(dǎo)得出對(duì)的的關(guān)系.生:還和函數(shù)的零點(diǎn)等價(jià)在屏幕上顯示：方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)教師歸納:這種等價(jià)關(guān)系,為我們分析問題解決問題又提供了一種數(shù)學(xué)思想叫函數(shù)與方程的思想.對(duì)于不能運(yùn)用公式求根的方程,我們能夠?qū)⑺c函數(shù)聯(lián)系起來,運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)找出函數(shù)的零點(diǎn),從而求出方程的根.例1.求函數(shù)的零點(diǎn)()A.B.C.D.練習(xí):1.函數(shù)的圖象以下，則其零點(diǎn)為.2.指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)有零點(diǎn)嗎？問題4：函數(shù)零點(diǎn)的求法有哪些呢？生：求方程的實(shí)數(shù)根.師：我們把這種辦法叫做代數(shù)法.生：也能夠畫函數(shù)的圖像找到它與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).師：我們把這種辦法叫做幾何法.設(shè)計(jì)意圖：規(guī)定學(xué)生從“數(shù)”和“形”兩個(gè)層面來理解函數(shù)零點(diǎn)這個(gè)概念，深化了學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識(shí).運(yùn)用函數(shù)有零點(diǎn)的等價(jià)關(guān)系,向?qū)W生滲入函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想.【環(huán)節(jié)三：零點(diǎn)存在性定理的探究】歸納定理,深刻理解問題5：:二次函數(shù)的圖象在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)嗎?_______，_______，___0(“＜”或“＞”)．師生歸納:發(fā)現(xiàn)＜0,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn).問題6：二次函數(shù)的圖象在區(qū)間在區(qū)間內(nèi)與否也含有這種特點(diǎn)呢?生:觀察圖像,思考作答.問題7:已知函數(shù)的圖象是持續(xù)不停的,且有以下對(duì)應(yīng)值表,函數(shù)在哪個(gè)區(qū)間存在零點(diǎn)呢？12345625-31-4

-5學(xué)生小組討論，代表作答,教師展示學(xué)生作品，學(xué)生闡明生：存在零點(diǎn)師：在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)呢？生：，由于圖象持續(xù)，函數(shù)值從正變到負(fù)，圖像和x軸一定有交點(diǎn)，函數(shù)有零點(diǎn).問題8:如何判斷普通函數(shù)在區(qū)間內(nèi)與否存在零點(diǎn)?生:問題9:如果函數(shù)在區(qū)間滿足,那么,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn),這樣就能夠嗎?生：（討論）如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是持續(xù)不停的一條曲線,并且有,那么,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)問題10:這個(gè)判斷辦法在敘述上尚有無需要修改的地方？教師引導(dǎo):這種辦法是判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上與否存在零點(diǎn),需要計(jì)算端點(diǎn)處的函數(shù)值.生：函數(shù)必須在端點(diǎn)處有定義，因此函數(shù)必須是在閉區(qū)間上的圖象是持續(xù)不停的一條曲線問題11:那存在零點(diǎn)的區(qū)間與否也需要改成閉區(qū)間？生：不需要，零點(diǎn)是運(yùn)用擬定的零點(diǎn)，因此零點(diǎn)不會(huì)出現(xiàn)在端點(diǎn)處.定理：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是持續(xù)不停的一條曲線,并且有,那么,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn),即存在,使,這個(gè)也就是方程的根．問題12：①滿足定理?xiàng)l件，函數(shù)一定在區(qū)間有零點(diǎn)，不滿足定理?xiàng)l件，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)一定不存在零點(diǎn)嗎？②此定理能鑒定零點(diǎn)的存在性，能鑒定零點(diǎn)有多少個(gè)嗎？生：不滿足定理?xiàng)l件，時(shí)仍然可能存在零點(diǎn)師：如何修改條件時(shí),函數(shù)在區(qū)間上只有一種零點(diǎn)？教師活動(dòng)：教師指導(dǎo)學(xué)生作圖,引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想學(xué)生活動(dòng)：小組討論,代表作答,學(xué)生經(jīng)歷自主舉例,增進(jìn)對(duì)定理的精確理解.生：只要讓函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)就能夠.教師歸納：定理中的“持續(xù)不?！笔潜夭豢缮俚臈l件；定理不能確零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；不滿足定理?xiàng)l件時(shí)仍然可能存在零點(diǎn)．師:回想剛剛提出的問題,這個(gè)函數(shù)在哪個(gè)區(qū)間存在零點(diǎn)呢?生:主動(dòng)作答設(shè)計(jì)意圖：1、將現(xiàn)實(shí)生活中的問題抽象成數(shù)學(xué)模型,進(jìn)行合情推理,將原來學(xué)生只認(rèn)為靜態(tài)的函數(shù)圖象,理解為一種動(dòng)態(tài)的過程.2、由原來的圖象語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言.培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和提取有效信息的能力.體驗(yàn)語言轉(zhuǎn)化的過程.【環(huán)節(jié)四：零點(diǎn)存在性定理的探究】熟悉定理,辨析應(yīng)用例2：判斷函數(shù)在區(qū)間與否存在零點(diǎn)？解:通過計(jì)算可知，，則，這闡明函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn).由于函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，因此它僅有一種零點(diǎn).【環(huán)節(jié)五：應(yīng)用與鞏固】例題變式，深化拓展變式：函數(shù)在哪個(gè)區(qū)間存在零點(diǎn)？練習(xí)1.已知持續(xù)函數(shù),有則()A.在區(qū)間上可能沒有零點(diǎn)B.在區(qū)間上可能有三個(gè)零點(diǎn)C.在區(qū)間上至多有一種有零點(diǎn)D.在區(qū)間上不可能有兩個(gè)零點(diǎn)2．已知函數(shù),,的零點(diǎn)依次是,則()A.B.C.D.3.討論函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間.【環(huán)節(jié)六：歸納小結(jié)】小結(jié)反思，提高認(rèn)識(shí)本節(jié)我們學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？能夠解決哪些問題?接觸到了哪些數(shù)學(xué)思想辦法？知識(shí)點(diǎn):零點(diǎn)的定義等價(jià)關(guān)系零點(diǎn)存在性原理思想辦法:數(shù)形結(jié)合思想函數(shù)與方程思想化歸與轉(zhuǎn)化思想題型:求函數(shù)零點(diǎn)判斷零點(diǎn)所在區(qū)間判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)【環(huán)節(jié)七：歸納小結(jié)】布置作業(yè)，獨(dú)立探究分層作業(yè)：1、教材88頁練習(xí)1、22、拓展作業(yè)：已知,求取何值時(shí)函數(shù)能分別滿足下列條件①有2個(gè)零點(diǎn);②3個(gè)零點(diǎn);③4個(gè)零點(diǎn).六、教學(xué)反思1、教學(xué)內(nèi)容的反思本課內(nèi)容，從幾何直觀上感知和認(rèn)識(shí)函數(shù)的零點(diǎn)，進(jìn)而形成函數(shù)零點(diǎn)的概念；對(duì)于零點(diǎn)存在的條件，高中階段不必要加以證明．重點(diǎn)就是讓學(xué)生通過觀察和分析函數(shù)圖象，直觀感受零點(diǎn)存在的條件．通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，是要學(xué)生體會(huì)函數(shù)在高中數(shù)學(xué)的核心作用.用函數(shù)的觀點(diǎn)統(tǒng)帥中學(xué)代數(shù)，把全部中學(xué)代數(shù)問題納入函數(shù)的思想下．2、問題設(shè)立的反思如何創(chuàng)設(shè)“函數(shù)零點(diǎn)”的“問題情境”,我是通過認(rèn)真思考的.考慮到學(xué)生現(xiàn)有的概括能力較差,因此我采用開門見山的方式.通過給出具體的一次函數(shù)的零點(diǎn)的概念,給學(xué)生提出如何求一種具體二次函數(shù)的零點(diǎn)的問題,學(xué)生通過模仿求出二次函數(shù)的零點(diǎn).這個(gè)過程也為下一種問題“抽象概括出普通函數(shù)零點(diǎn)的概念”做好了鋪墊,使教學(xué)過渡更流暢.3、預(yù)設(shè)與生成的反思課堂活動(dòng)的設(shè)計(jì)是階梯性的,多層次多角度,盡量確保學(xué)生都能夠參加到課堂活動(dòng)中來.但是學(xué)生的思維是有差別的,不一定都能和教師預(yù)設(shè)的環(huán)節(jié)同時(shí).因此教師要隨時(shí)把握課堂教學(xué),為學(xué)生提供思維發(fā)散及延伸的空間使學(xué)生在接受數(shù)學(xué)科學(xué)教育的同時(shí),完善和提高自己.方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)點(diǎn)評(píng)本節(jié)課李老師由學(xué)生熟悉的二次方程與對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)引入,學(xué)生自主完畢表格,歸納二次方程的根與對(duì)應(yīng)二次函數(shù)圖象關(guān)系,通過具體例子給出零點(diǎn)的定義,同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生自己舉例、通過交流、討論的方式展開研究,歸納出零點(diǎn)的普通性定義,總結(jié)三個(gè)等價(jià)關(guān)系,讓學(xué)生切實(shí)理解三個(gè)等價(jià)關(guān)系的意義,學(xué)生歸納零點(diǎn)存在定理,通過正、反例的剖析,學(xué)生對(duì)零點(diǎn)存在定理理解透徹,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想,函數(shù)與方程思想,滲入了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等學(xué)科素養(yǎng).教學(xué)中突出了“零點(diǎn)定義”和“零點(diǎn)存在定理”這兩個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容,教師能夠圍繞問題的本質(zhì),不停啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題,引導(dǎo)學(xué)生參加知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展的學(xué)習(xí)過程,零點(diǎn)存在定理學(xué)生在每個(gè)核心詞都進(jìn)行了