專題10 閱讀理解、拓展探究-2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊期末選填解答壓軸題必刷專題訓(xùn)練（華師大版）（原卷版）

10華師版數(shù)學(xué)八上閱讀理解、拓展探究1．探究如圖①，邊長為的大正方形中有一個邊長為的小正方形，把圖①中的陰影部分拼成一個長方形（如圖②所示），通過觀察比較圖②與圖①中的陰影部分面積，可以得到乘法公式___________，（用含，的等式表示）應(yīng)用請應(yīng)用這個公式完成下列各題：(1)已知，，則的值為___________．(2)計算：．拓展(3)計算：．2．問題提出在學(xué)完乘法公式后，王老師向同學(xué)們提出了這樣一個問題：你能求代數(shù)式的最大值嗎？初步思考同學(xué)們經(jīng)過交流、討論，總結(jié)出如下方法：解：因為，所以．所以當(dāng)時，的值最大，最大值是0．所以當(dāng)時，的值最大，最大值是4．所以的最大值是4．嘗試應(yīng)用(1)求代數(shù)式的最大值，并寫出相應(yīng)的x的值．拓展提高(2)將一根長的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長各做成一個正方形，那么這兩個正方形面積之和有最小值嗎？若有，求此時這根鐵絲剪成兩段后的長度及這兩個正方形面積的和；若沒有，請說明理由．3．閱讀下面的文字，解答問題：大家知道是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來，但通過估算可以得出的整數(shù)部分是1，將這個數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分，也就是用來表示的小數(shù)部分，又例如：，即，的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為．（1）的整數(shù)部分是________，小數(shù)部分是________；（2）應(yīng)用：若的小數(shù)部分為a，的整數(shù)部分為b，請仿照上述推理過程求的值；（3）拓展：若的整數(shù)部分為x，小數(shù)部分為y，則的相反數(shù)是________．4．【閱讀理解】對于二次三項式，能直接用公式法進行因式分解，得到，但對于二次三項式，就不能直接用公式法了．我們可以采用這樣的方法：在二次三項式中先加上一項，使其成為完全平方式，再減去這項，使整個式子的值不變，于是：像這樣把二次三項式分解因式的方法叫做添（拆）項法．(1)【問題解決】請用上述方法將二次三項式分解因式．(2)【拓展應(yīng)用】二次三項式有最小值或最大值嗎？如果有，請你求出來并說明理由．(3)運用材料中的添（拆）項法分解因式：．5．利用我們學(xué)過的完全平方公式及不等式知識能解決方程或代數(shù)式的一些問題，請閱讀下列材料：閱讀材料：若，求m、n的值．解：∵，∴，∴，∴，，∴，．根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：(1)已知，求a、b的值；(2)已知的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足，求c的值；(3)若，，試比較A與B的大小關(guān)系，并說明理由．6．配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法．它是指將一個式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負數(shù)的意義來解決一些問題．例如，把二次三項式x2-2x+3進行配方．解：x2-2x+3=x2-2x+1+2=(x2-2x+1)+2=(x-1)2+2．我們定義：一個整數(shù)能表示成a2+b2(a，b是整數(shù))的形式，則稱這個數(shù)為“完美數(shù)”．例如，5是“完美數(shù)”．理由：因為5=22+12．再如，M=x2+2xy+2y2=(x+y)2+y2(x，y是整數(shù))，所以M也是“完美數(shù)”．(1)解決問題：①請你再寫一個小于10的“完美數(shù)”_____；并判斷40是否為“完美數(shù)”_____；②若二次三項式x2-4x+5(x是整數(shù))是“完美數(shù)”，可配方成(x-m)2+n(m，n為常數(shù))，則mn的值為_____；(2)探究問題：①已知“完美數(shù)”x2+y2-2x+4y+5(x，y是整數(shù))的值為0，則x+y的值為____；②已知S=x2+4y2+4x-12y+k(x，y是整數(shù)，k是常數(shù))，要使S為“完美數(shù)”，試求出符合條件的k值．(3)拓展結(jié)論：已知實數(shù)x，y滿足-x2+3x+y-5=0，求x+y的最小值．7．先閱讀以下材料，然后解答問題，分解因式．；也可以．以上分解因式的方法稱為分組分解法，(1)請用分組分解法分解下列因式：①②(2)拓展延伸①若求x，y的值；②求當(dāng)x、y分別為多少時？代數(shù)式有最小的值，最小的值是多少？8．閱讀與思考：先添加一個適當(dāng)?shù)捻?，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法．例如：．(1)【解決問題】補全下列完全平方式：①_________；②_______．(2)【變式訓(xùn)練】試說明無論x取何值，代數(shù)式是正數(shù)；(3)【深入研究】若，，比較M、N的大?。?4)【拓展應(yīng)用】關(guān)于x、y的二元一次方程組和的解相同，求的值．9．閱讀材料：若m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0，求m、n的值．解：∵m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0，∴（m2－2mn＋n2）＋（n2－8n＋16）＝0，∴（m－n）2＋（n－4）2＝0，∴（m－n）2＝0，（n－4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：(1)已知x2－2xy＋2y2＋6y＋9＝0，求、的值；(2)已知△АВС的三邊長分別為а，b，с都是正整數(shù)，且滿足a2＋b2－10a－12b＋61＝0，求△ABC的邊a、b的值；(3)已知a－b＝8，ab＋c2－16c＋80＝0，求a＋b＋c的值．10．（1）仔細觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：(1－x)(1＋x)＝1－x2，(1－x)(1＋x＋x2)＝1－x3，(1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝1－x4(1－x)(1＋x＋x2＋x3＋x4)＝．(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn-1)＝．（2）類比探索，解決問題：(a－b)(a＋b)＝．①(a－b)(a2＋ab＋b2)＝．②(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝．（3）應(yīng)用規(guī)律，拓展延伸：①分解因式：（）．（直接寫出結(jié)果）②計算：1＋2＋22＋…＋22018＋22019＋2202011．【背景知識】用兩種方法計算同一個圖形的面積，就可以得到一個等式．例如：圖1是一個邊長為的正方形，從整體來看，它的面積可以表示為，從分塊來看，這個正方形有四塊，其中面積為的正方形有1塊，面積為的正方形有1塊，面積為ab的長方形有2塊，因此，該正方形的面積還可以表示為，這兩種方法都是求同一個正方形的面積，于是得到．(1)【能力提升】請你根據(jù)背景知識和圖2推導(dǎo)等式______；(2)【能力提升】請你根據(jù)背景知識和圖3推導(dǎo)等式______；(3)【拓展應(yīng)用】若，，利用（2）得到的結(jié)論，求圖3中陰影部分的面積．12．【探究】若滿足，求的值．設(shè)，，則，，∴；(1)【應(yīng)用】請仿照上面的方法求解下面問題：若滿足，求的值；(2)【拓展】已知正方形的邊長為，，分別是、上的點，且，，長方形的面積是8，分別以、為邊作正方形．①_________，_________；（用含的式子表示）②求陰影部分的面積．13．閱讀材料：若滿足（8-x）（x-6）=-3，求（8-x）2+（x-6）2的值．解：設(shè)8-x=a，x-6=b，則（8-x）（x-6）=ab=-3，a+b=8-x+x-6=2所以（8-x）2+（x-6）2=a2+b2=（a+b）2-2ab=22-2×（-3）=10請仿照上例解決下面的問題：(1)問題發(fā)現(xiàn)：若x滿足（3-x）（x-2）=-10，求（3-x）2+（x-2）2的值；(2)若（6-x）2+（x-4）2=8求（6-x）（x-4）的值；(3)類比探究：若x滿足（2022-x）2+（2021-x）2=2020；求（2022-x）（2021-x）的值；14．已知，是一條角平分線．【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1，若是的角平分線．可得到結(jié)論：．小紅的解法如下：過點D作于點E，于點F，過點A作于點G，∵是的角平分線，且，∴______．∴______，又∵，∴______．【類比探究】如圖2，若是的外角平分線，與的延長線交于點D．求證：【拓展應(yīng)用】如圖3，在中，，分別是的角平分線且相交于點D，，直接寫出的值是______．15．(1)閱讀理解：如圖1，在中，若，．求邊上的中線的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長到點，使，再連接(或?qū)⒗@著點逆時針旋轉(zhuǎn)得到)，把，，集中在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線的取值范圍是______；(2)問題解決：如圖2，在中，是邊上的中點，于點，交于點，交于點，連接，求證：；(3)問題拓展：如圖3，在四邊形中，，，，以為頂點作一個角，角的兩邊分別交，于，兩點，連接，探索線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．16．【問題背景】小明遇到這樣一個問題：如圖1，在中，，平分，試判斷和之間的數(shù)量關(guān)系．【初步探索】小明發(fā)現(xiàn)，將沿翻折，使點A落在邊上的E處，展開后連接，則得到一對全等的三角形，從而將問題解決（如圖2）（1）寫出圖2中全等的三角形____________________；（2）直接寫出和之間的數(shù)量關(guān)系__________________；【類比運用】（3）如圖3，在中，，平分，求的周長．小明的思路：借鑒上述方法，將沿翻折，使點C落在邊上的E處，展開后連接，這樣可以將問題解決（如圖4）；請幫小明寫出解答過程：【實踐拓展】（4）如圖5，在一塊形狀為四邊形ABCD的空地上，養(yǎng)殖場丁師傅想把這塊地用柵欄圍成兩個小型的養(yǎng)殖場，即圖5中的和，若平分．請你幫丁師傅算一下需要買多長的柵欄．17．【探究】如圖，P是等邊三角形內(nèi)的一點，連接，以為邊作，且，連接．(1)直接寫出與之間的關(guān)系．(2)若，，，連接，判斷的形狀，并說明理由．(3)【應(yīng)用】如圖，P是等腰直角三角形內(nèi)的一點，，，且，，，求的大?。?8．【問題背景】在中，，，三邊的邊長分別為，，，求這個三角形的面積．小明同學(xué)在解答這道題時，先建立一個正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為），再在網(wǎng)格中畫出格點，如圖所示．這樣不需求的高，借助網(wǎng)格就能計算三角形的面積．(1)直接寫出的面積，．(2)【思維拓展】若三邊的長分別為，，，請利用圖的正方形網(wǎng)格中畫出（每個小正方形的邊長為），并直接寫出的面積，．(3)【探索創(chuàng)新】若的三邊長分別為，，（，，且），請直接寫出的面積，．19．背景介紹：勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力，千百年來，人們對它的證明精彩粉呈，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者，向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法．小試牛刀：把兩個全等的直角三角形如圖1放置，其三邊長分別為a，b，c．顯然，，，請用a，b，c分別表示出梯形、四邊形、的面積，再探究這三個圖形面積之間的關(guān)系，可得到勾股定理：(1)________，__________，___________，則它們滿足的關(guān)系式為____________，經(jīng)化簡，可得到勾股定理．（提示：對角線互相垂直的四邊形面積等于對角線乘積的一半）知識運用：(2)如圖2，鐵路上A，B兩點（看作直線上的兩點）相距40千米，C，D為兩個村莊（看作兩個點），，，垂足分別為A、B，千米，千米，則兩個村莊的距離為_________千米（直接填空）；(3)在（2）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一個供應(yīng)站P，使得，請用尺規(guī)作圖在圖3中作出P點的位置并求出的距離．(4)知識遷移：借助上面的思考過程與幾何模型，求代數(shù)式+的最小值__________（0＜x＜16）．20．【閱讀理解】我們在分析解決某些數(shù)學(xué)問題時，經(jīng)常要比較兩個數(shù)或代數(shù)式的大小，解決此類問題時一般要進行轉(zhuǎn)化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依據(jù)是不等式（或等式）的性質(zhì)：若，則；若，則；若，則．例：已知，，其中．求證：．證明：．∵，∴．∴．【新知應(yīng)用】（1）比較大?。篲_____．（2）甲、乙兩個長方形的長和寬如圖所示（m為正整數(shù)），其面積分別為、．試比較、的大小關(guān)系．【實際應(yīng)用】（3）請用“作差法”解決下列問題：某游泳館在暑假期間對學(xué)生優(yōu)惠開放，有A、B兩種方案可供選擇，A方案：每次按原價打八五折；B方案：第一次按照原價，從第二次起每次打八折．請問游泳的同學(xué)選擇哪種方案更合算？【拓展提升】（4）已知x、y、z滿足，，比較代數(shù)式與的大?。?1．先閱讀理解下面例題，再按要求解答下列問題：例：解不等式．解：∵，∴原不等式可化為．由有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，異號得負，得：①

，或②．解不等式組①得，解不等式組②無解，∴原不等式的解集為．請你模仿例題的解法，解決下列問題：(1)不等式解集為；(2)不等式解集為；(3)拓展延伸：解不等式．22．【閱讀材料】“數(shù)形結(jié)合”是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想方法．比如：在學(xué)習(xí)“整式的乘法”時，我們通過構(gòu)造幾何圖形，用“等積法”直觀地推導(dǎo)出了完全平方和公式：（如圖1）．利用“數(shù)形結(jié)合”的思想方法，可以從代數(shù)角度解決圖形問題，也可以用圖形關(guān)系解決代數(shù)問題．【方法應(yīng)用】根據(jù)以上材料提供的方法，完成下列問題：(1)由圖2可得等式：__________；由圖3可得等式：__________；(2)利用圖3得到的結(jié)論，解決問題：若，，則__________；(3)如圖4，若用其中張邊長為的正方形，張邊長為的正方形，張邊長分別為、的長方形紙片拼出一個面積為長方形（無空隙、無重疊地拼接），則______；(4)如圖4，若有3張邊長為的正方形紙片，4張邊長分別為的長方形紙片，5張邊長為的正方形紙片．從中取出若干張紙片，每種紙片至少取一張．把取出的這些紙片拼成一個正方形（無空隙、無重疊地拼接），則拼成的正方形的邊長最長可以為______．【方法拓展】(5)已知正數(shù)，，和，，，滿足．試通過構(gòu)造邊長為的正方形，利用圖形面積來說明．23．（1）【問題情境】如圖：在中，，點為邊上的任意一點，過點作，，垂足分別為點，，過點作，垂足為點．求證：．（2）【變化一下】①當(dāng)點在延長線上時，請畫圖探究，，三者之間的數(shù)量關(guān)系并給出證明；②如圖，滿足，點為內(nèi)任意一點，過點分別作，，，垂足分別為點，，，請直接寫出，，和之間的關(guān)系．（3）【深入探究】如圖，在中，點為內(nèi)任意一點，過點分別作，，，垂足分別為點，，，過點，，分別作，，，垂足分別為點，，，記，，分別為，，，請直接寫出，，和，，之間的關(guān)系．24．【問題提出】如圖1，在等邊三角形內(nèi)部有一點P，，，，求的度數(shù)．(1)【嘗試解決】將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，則為等邊三角形．∵，，，∴∴為三角形∴的度數(shù)為．(2)【類比探究】如圖2，在等邊三角形ABC外部有一點P，若∠BPA＝30°，求證．(3)【聯(lián)想拓展】如圖3，在中，，．點P在直線上方且，，求的長．25．（1）方法感悟：如圖①，在正方形中，點E、F分別為邊上的點，且滿足，連接．將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，易證，從而得到結(jié)論：，根據(jù)這個結(jié)論，若正方形的邊長為1，則的周長為______（2）方法遷移：如圖②，若在四邊形中，，，E、F分別是上的點，且，試猜想之間有何數(shù)量關(guān)系，證明你的結(jié)論（3）問題拓展：如圖③，在四邊形中，，，B、F分別是邊延長線上的點，且，試探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出你的猜想（不必說明理由）26．綜合與實踐【背景介紹】勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力．如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個全等的直角三角形拼成，用它可以證明勾股定理，思路是大正方形的面積有兩種求法，一種是等于，另一種是等于四個直角三角形與一個小正方形的面積之和，即，從而得到等式，化簡便得結(jié)論．這里用兩種求法來表示同一個量從而得到等式或方程的方法，我們稱之為“雙求法”．【方法運用】千百年來，人們對勾股定理的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者．向常春在2010年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法：把兩個全等的直角三角形和如圖2放置，其三邊長分別為，，，，顯然．(1)請用，，分別表示出四邊形，梯形，的面積，再探究這三個圖形面積之間的關(guān)系，證明勾股定理．(2)【方法遷移】請利用“雙求法”解決下面的問題：如圖3，小正方形邊長為1，連接小正方形的三個頂點，可得，則邊上的高為______．(3)如圖4，在中，是邊上的高，，，，設(shè)，求的值．27．十九世紀(jì)英國赫赫有名的謎題創(chuàng)作者在1903年的英國報紙上發(fā)表的“螞蟻爬行”的問題．問題是：如圖1，在一個長、寬、高分別為的長方體房間內(nèi)，一只螞蟻在右面墻的高度一半位置（即M點處），并且距離前面墻，蒼蠅正好在左