專題14對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（解析版）

專題14對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)【考點預測】知識點一、對數(shù)函數(shù)的概念1、函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)．其中是自變量，函數(shù)的定義域是，值域為．2、判斷一個函數(shù)是對數(shù)函數(shù)是形如的形式，即必須滿足以下條件：（1）系數(shù)為1；（2）底數(shù)為大于0且不等于1的常數(shù)；（3）對數(shù)的真數(shù)僅有自變量．知識點二、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象性質(zhì)定義域：值域：過定點，即時，在上增函數(shù)在上是減函數(shù)當時，，當時，當時，，當時，知識點三、底數(shù)對對數(shù)函數(shù)圖象的影響1、底數(shù)制約著圖象的升降．如圖知識點詮釋：由于底數(shù)的取值范圍制約著對數(shù)函數(shù)圖象的升降（即函數(shù)的單調(diào)性），因此在解與對數(shù)函數(shù)單調(diào)性有關的問題時，必須考慮底數(shù)是大于1還是小于1，不要忽略．2、底數(shù)變化與圖象變化的規(guī)律在同一坐標系內(nèi)，當時，隨a的增大，對數(shù)函數(shù)的圖像愈靠近x軸；當時，對數(shù)函數(shù)的圖象隨a的增大而遠離x軸．（見下圖）知識點四、反函數(shù)1、反函數(shù)的定義設分別為函數(shù)的定義域和值域，如果由函數(shù)所解得的也是一個函數(shù)（即對任意的一個，都有唯一的與之對應），那么就稱函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)，記作，在中，是自變量，是的函數(shù)，習慣上改寫成（）的形式．函數(shù)（）與函數(shù)（）為同一函數(shù)，因為自變量的取值范圍即定義域都是B，對應法則都為．由定義可以看出，函數(shù)的定義域A正好是它的反函數(shù)的值域；函數(shù)的值域B正好是它的反函數(shù)的定義域．2、反函數(shù)的性質(zhì)（1）互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關于直線對稱．（2）若函數(shù)圖象上有一點，則必在其反函數(shù)圖象上，反之，若在反函數(shù)圖象上，則必在原函數(shù)圖象上．【典型例題】例1．（2022·北京·北二外附屬高一期中）已知．(1)求函數(shù)的定義域；(2)判斷函數(shù)的奇偶性，并加以證明；(3)求的值；(4)證明函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)．【解析】（1）由題意,解得,定義域為；（2）是偶函數(shù)：證明：，所以是偶函數(shù)；（3）；（4）設，，∵，所以，，，∴，即，∴函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)．例2．（2022·上海市嘉定區(qū)第一高一階段練習）已知函數(shù)的定義域是關于的不等式的解集(1)求以上不等式的解集；(2)求函數(shù)的最大值和最小值，并求出此時的值.【解析】（1）由可得，即，則，即，所以，即的解集為.（2）因為，令，則，當即時，，即取得最小值；當或即或時，，即取得最大值；例3．（2022·河南·鄭州外國語高一期中）（1）若函數(shù)的定義域為，求的范圍；（2）若函數(shù)的值域為，求的范圍.【解析】（1）的定義域為，對恒成立；當時，不等式變?yōu)?，即，不合題意；當時，若恒成立，則，解得：；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為；（2）設的值域為，的值域為，；當時，，則，滿足題意；當時，若，則，解得：；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.例4．（2022·寧夏·銀川高一期中）已知函數(shù)，其中，均為實數(shù).(1)若，且的定義域為，求的取值范圍；(2)若，是否存在實數(shù)，使得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.【解析】（1）當時，的定義域為,則，解得：；（2）當時，，函數(shù)拆分成內(nèi)外層函數(shù)，，，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則內(nèi)層函數(shù)在上單調(diào)遞減，并且，當時，在上單調(diào)遞減，并且，滿足條件，當時，需滿足下列條件則，解得：,綜上可知存在實數(shù)，的取值范圍是.【過關測試】一、單選題1．（2022·黑龍江·哈師大附中高一期中）函數(shù)的增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由得，解得，的開口向下，對稱軸為，函數(shù)在上遞減，根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知，的增區(qū)間為.故選：D2．（2022·四川·樹德高一階段練習）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由圖象知最上方的圖象是的圖象，過點的是的圖象，過點的是的圖象，因此，，，，，，即，故選：C．3．（2022·湖南·邵陽市第二高一期中）已知定義域為的奇函數(shù)滿足，，則不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為，所以，時，；當時，；因為函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，所以，時，；時，；時，.所以，的解集為.故選：B4．（2022·吉林·長春市第二實驗高一期中）已知的值域為R，那么實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，其取值集合為，而函數(shù)的值域為R，因此函數(shù)在上的取值集合包含，當時，函數(shù)在上的值為常數(shù)，不符合要求，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，取值集合是，不符合要求，于是得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，取值集合是，則，解得，所以實數(shù)a的取值范圍是.故選：A5．（2022·廣東·廣州市第一高一期中）已知函數(shù)，若對任意的，存在，使得，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】對任意的，存在，使得，則，因為當時，單調(diào)遞增，所以，又因為當時，單調(diào)遞減，所以，所以由解得，故選：A.6．（2022·上?！じ咭粚ｎ}練習）函數(shù)的反函數(shù)為，則的根有（）個A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，則.①當時，，令，解得；②當時，，令，解得.因此，方程的根有個.故選：D.7．（2022·廣東·深圳市龍崗區(qū)龍城高級高一期中）設滿足，滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意，令，則，即，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，又滿足，所以，所以，即，所以.故選：D.8．（2022·江蘇省上岡高級高一期中）若在區(qū)間上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設，由題意得：在上恒成立，且由復合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”原則可知：函數(shù)在上單調(diào)遞減，則有，解得：.故選：A二、多選題9．（2022·安徽·淮北高一期中）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的定義域為 B．為奇函數(shù)C．在定義域上是增函數(shù) D．的值域為【答案】ABC【解析】的定義域為，又，所以為奇函數(shù)，故AB正確；，因為在為增函數(shù)，由復合函數(shù)的單調(diào)性可知在定義域上單調(diào)遞增，故C正確.因為函數(shù)定義域為.時，故的值域為，故D錯誤.故選：ABC.10．（2022·福建·三明高一期中）下列說法中正確的是（

）A．若函數(shù)是奇函數(shù)，則B．函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是C．函數(shù)與的圖象關于對稱D．函數(shù)與函數(shù)為同一函數(shù)【答案】BC【解析】是奇函數(shù)，且在原點有定義，則，比如是奇函數(shù)，則無意義，故A錯誤，的值域為,則能夠取遍所有的正數(shù)，當滿足題意，當，則且，故，因此，故B正確，函數(shù)與互為反函數(shù)，故其圖象關于對稱，C正確，由于函數(shù)，，兩函數(shù)的對應關系不一樣，故不是同一函數(shù)，D錯誤，故選：BC11．（2022·四川·樹德高一階段練習）已知函數(shù)，函數(shù)滿足．則（

）A．B．函數(shù)的圖象關于點對稱C．若實數(shù)a、b滿足，則D．若函數(shù)與圖象的交點為，則【答案】ABC【解析】對于A選項，由函數(shù)，函數(shù)定義域為R，則所以，所以，故A選項正確.對于B選項，因為滿足，的圖象關于點成中心對稱.故B選項正確.對于C選項，設，則，則為奇函數(shù)，由函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可知，當時，單調(diào)遞增，所以在R上為增函數(shù)，則也為R上的增函數(shù)，因為實數(shù)a、b滿足，且，則，即，所以，即.故C選項正確.對于D選項，由，，的圖象關于點成中心對稱，的圖象也關于點成中心對稱，令，則，因為函數(shù)與圖象的交點為，不妨設，由對稱性可知，，所以，則.故D選項錯誤.故選：ABC12．（2022·浙江大學附屬高一期末）已知函數(shù)，，且，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【解析】由題意得，且，則，故，故A錯誤，對于B，，而，故，故B錯誤，對于C，，故C正確，對于D，，故D正確，故選：CD三、填空題13．（2022·江蘇省上岡高級高一期中）已知函數(shù)，則函數(shù)的定義域為_________【答案】【解析】因為，所以，解得，即的定義域為，對于，則，解得，所以的定義域為.故答案為：14．（2022·河南·鄭州外國語高一期中）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】在上單調(diào)遞增，，解得：，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.15．（2022·四川·樹德高一階段練習）己知函數(shù)是偶函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，，則不等式的解集為__________．【答案】【解析】因為函數(shù)是偶函數(shù)，關于軸對稱，向左平移1個單位后得函數(shù)，函數(shù)關于直線對稱，因為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，且,不等式等價于，即，解得：或；或，即，解集為；綜上可知，不等式的解集為.故答案為：16．（2022·河南·鄭州外國語高一期中）已知，，若，，使得，則實數(shù)的最大值是______.【答案】【解析】，，使得，；在上單調(diào)遞減，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，；，解得：，則實數(shù)的最大值為.故答案為：.四、解答題17．（2022·山西·運城市景勝高一階段練習）已知.(1)求的定義域；(2)判斷的奇偶性并加以說明；(3)求使的的取值范圍.【解析】（1）由題意得函數(shù)要有意義則：故的定義域為.（2）為奇函數(shù)，理由如下：由（1）知的定義域關于原點對稱，由,所以故函數(shù)是奇函數(shù)．（3）由>0可得，所以，即解得，故求使>0的的取值范圍是(0,1).18．（2022·福建·三明高一期中）已知函數(shù)(1)求不等式的解集；(2)若對于任意恒成立，求的取值范圍.【解析】（1）由，即計算可得或或故解集為：或；（2）令，則，原式可化為在上恒成立，記函數(shù)在上單調(diào)遞增，，故的取值范圍是.19．（2022·河南·鄭州外國語高一期中）設函數(shù).(1)解方程；(2)設不等式的解集為，求函數(shù)的值域.【解析】（1），由得，解得或，所以或.所以方程的解是或；（2）由得，即，解得，，，令，所以，則為開口向上對稱軸為的拋物線，因為，所以，所以函數(shù)的值域為.20．（2022·全國·高一課時練習）已知函數(shù)．(1)若的值域為R，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若在內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)m的取值范圍．【解析】（1）由的值域為R，可得能取內(nèi)的一切值，故函數(shù)的圖象與x軸有公共點，所以，解得或．故實數(shù)m的取值范圍為．（2）因為在內(nèi)單調(diào)遞增，所以在內(nèi)單調(diào)遞減且恒正，所以，解得．故實數(shù)m的取值范圍為．21．（2020·福建省漳州第一高一開學考試）已知函數(shù)是的反函數(shù)，當時，函數(shù)，（）的最小值為．（1）求的函數(shù)表達式；（2）是否存在實數(shù)，使得函數(shù)的定義域為，值域為，若存在求出、的值，若不存在，請說明理由．【解析】（1）因為函數(shù)是的反函數(shù)，所以，則，令，則,，所以，對稱軸為，①當時，的最小值為；②當時，在,上單調(diào)遞增，所以的最小值；③當時，在,上單調(diào)遞減，所以的最小值為．綜上所述，；（2）當時，，故當時，為單調(diào)遞減函數(shù)，所以在,上的值域為,，則，兩式相減可得，，因為，所以，將代入方程中求解，無實數(shù)根，故不存在