常微分方程數(shù)值解-補充知識

常微分方程數(shù)值解

§1Euler折線法

1.Euler法

2.改進Euler法

3.Euler法的預(yù)估—校正法§2Runge—Kutta法

1.二級R—K法法

2.二級R—K法法

3.三級三階法11/14/20231對于常微分方程初值問題則（1）在區(qū)間[a,b]上存在唯一解y=y(x).

如果f(x,y)

在

[a,b]×(-∞,+∞)上連續(xù)，且關(guān)于

y

滿足Lipschtz

條件：（1）|f(x,y1)–f(x,y2)|≤L|y1-y2|（2）對于(1)在區(qū)間[a,b]上的唯一解y=y(x)，一般情況下很難求出其解析解，因此只能通過數(shù)值解法求其近似解。也就說，構(gòu)造適當(dāng)?shù)臄?shù)值方法，利用(1)求出y=y(x)

在節(jié)點x1,x2,…,xn

處的近似函數(shù)值y1,y2,…,yn

。常用方法主要有兩種：Euler

折線法和Rune-Kutta

法。x∈[a,b]11/14/20232§1

歐拉折線法一．Euler

法xi=x0+ih,i=0,1,2,…，n對于初值問題將區(qū)間[a,b]n等分，步長為h=(b-a)/n，得到n+1個分點已知y=y(x)

在x0處的函數(shù)值為y0，為求出函數(shù)在x1點的函數(shù)值y(x1)

，先將方程(1)進行轉(zhuǎn)化。x∈[a,b]（1）11/14/20233在區(qū)間[x0,x1]上將微分方程化為積分方程：對于右端積分采用左矩形積分公式，得到近似積分：這個近似值我們表示為：即：x0x1xyOx∈[a,b]11/14/20234并稱該計算方法為Euler折線性。（3）依此類推可以求得函數(shù)y=y(x)

在所有分點x1,x2,…,xn

處的近似函數(shù)值y1,y2,…,yn

：采用同樣的方法，可以求出y=y(x)

在x2處的近似值y2：第n次近似解的整體誤差為：11/14/20235二、改進Euler法前面給出的Euler折線性，由于采用的左矩形積分公式，精度較低，如果我們采用梯形公式就可以加以改進，提高計算精度。對于下式的右端積分利用梯形公式得到：進而得到近似計算式：依此類推可以推得一般的計算公式：11/14/20236并稱其為改進Euler法，它是一個隱式計算格式。具體計算時，需要從中解出yi+1

來。（4）例1用Euler法和改進Euler法計算初值問題11/14/20237解:以h=0.02

為步長進行計算,這時得區(qū)間[0,0.1]上的分點由原方程xi

=

0+ih=0.02i,i=0,1,2,3,4,5及Euler折線公式得具體計算公式11/14/20238再由原方程改進Euler折線公式得到這是一個隱式計算公式，但從中很容易解出yi+1來：11/14/20239y0=1該初值問題的真解為y=(1+2x)-0.45。用兩種算法計算出5個點得近似值，再計算出精確解在這些點的值，其結(jié)果列表如下：11/14/202310ixiEuler解

yj改進Euler解

yj精確解

yj001.000001.000001.0000010.020.982000.982500.9825120.040.965000.965950.9659630.060.948920.950260.9502840.080.933670.935370.9353950.100.919180.921200.92123表5-1:三種解的比較從中可以看出，改進Euler法的結(jié)果要更精確一些。11/14/202311三、Euler法的預(yù)估—校正法

在改進Euler法中，有時并不容易解出yi+1來，這時可以通過迭代法求解，得到如下的迭代公式：其中初值通過Euler公式計算合并起來就是如下的形式：11/14/202312用Euler法提供初值，往往可以得到較好的結(jié)果，只需要迭代一次就可以求得很好的近似，因此上面的公式可以改為如下的形式：并稱其為預(yù)估一校正法，其中稱為預(yù)估值，yi+1為校正值。如果進行編程計算，則改為下式：11/14/202313例2用預(yù)估一校正法求解：取步長h=0.1,xi=ih,i=0,1,2,…,10

。解：由公式預(yù)估-校正計算公式

11/14/202314依此類推可以計算出首先，由y0=1，計算出

11/14/202315§2

、Runge—Kutta

法關(guān)于預(yù)估一校正法，如果將其推廣為則稱其為m級Runge—Kutta

法，其中為常數(shù)，這些常數(shù)的選取，應(yīng)該使得誤差盡可能的高。11/14/202316一、二級二階R—K

法其誤差為由Talor展式得11/14/202317由二元函數(shù)的Taylor展式得到帶入Ri+1

得到：11/14/202318要使Ri+1的階數(shù)盡可能的高，應(yīng)選取λ1、λ2、α、β

使h、h2的系數(shù)為零，根據(jù)f的任意性，應(yīng)使解得這時Ri+1=O(h3)

有p=2

階精度。這樣得到的方法稱為二級二階R-K法。

λ2可以任意取定.11/14/2023191).當(dāng)λ2=1/2

時λ1=1/2，α=β=1

則有為預(yù)估一校正法2).當(dāng)λ2=1

時λ1=0，α=β=1/2

具體為11/14/202320二、三級三階R-K法利用和二級二階同樣的推理方法可以得出相應(yīng)的三級三階R-K法的計算公式11/14/202321三、四級四階標準R-K法11/14/202322小結(jié)掌握求解右面常微分方程初值問題的三種方法：一、Euler折線法二、改進Euler折線法三、預(yù)估-校正法11/14/202323實驗練習(xí)

一、取步長h=0.1,分別用Euler法、改進Euler法和Euler預(yù)估校-正法求解下列初值問題：

1.y’=1-y,y(0)=0,0≤x≤1;2.y’=xy2,y(0)=1,0≤x≤1;